《微分几何》教学大纲教学内容

《微分几何》课程教学大纲

课程名称：《微分几何》

课程编码：074112303

适用专业及层次：数学与应用数学（本科）

课程总学时：72学时

课程总学分：4

一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质

微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：

通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：

本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求

第一章曲线论

教学要点：

本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对

空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题

教学时数：22学时。

教学内容：

第一节向量函数

1.1 向量函数的极限

1.2 向量函数的连续性

1.3 向量函数的微商

1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式

1.5 向量函数的积分

第二节曲线的概念

2.1 曲线的概念

2.2 光滑曲线、曲线的正常点

2.3 曲线的切线和法面

2.4 曲线的弧长、自然参数

第三节空间曲线

3.1 空间曲线的密切平面

3.2 空间曲线的基本三棱形

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式

3.4 空间曲线在一点邻近的结构

3.5 空间曲线论的基本定理

3.6 一般螺线

考核要求：

1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能

推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。

2、理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

3、理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算有关问题。

第二章曲面论

教学要点：

本章主要研究曲面概念，曲线坐标网，曲面的切平面和法线。引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论——高斯崩尼公式。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题

教学时数：50学时。

教学内容：

第一节曲面的概念

1.1 简单曲面及其参数表示

1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线

1.3 曲面上的曲线族和曲线网

第二节曲面的第一基本形式

2.1 曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长

2.2 曲面上两方向的交角

2.3 正交曲线族和正交轨线

2.4 曲面域的面积

2.5 等距变换

2.6 保角变换

第三节曲面的第二基本形式

3.1 曲面的第二基本形式

3.2 曲面上曲线的曲率

3.3 迪潘(Dupin)指标线

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向

3.5 曲面的主方向和曲率线

3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率

3.7 曲面在一点邻近的结构

3.8 高斯曲率的几何意义

第四节直纹面和可展曲面

4.1 直纹面

4.2 可展曲面

4.3 线汇

第五节曲面论的基本定理

5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号

5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯－科达齐－迈因納尔迪公式

5.3 曲面论的基本定理

第六节曲面上的测地线

6.1 曲面上曲线的测地曲率

6.2 曲面上的测地线

6.3 曲面上的半测地坐标网

6.4 曲面上测地线的短程性

6.5 高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式

6.6 ﹡极小曲面

第七节常高斯曲率曲面

7.1 常高斯曲率曲面

7.2 伪球面

7.3 罗氏几何

考核要求：

1、理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

2、理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。

3、理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。

4、理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。

5、初步认知张量符号, 理解曲面论的基本定理。

6、理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论——高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。

7、了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。

三、教学章节及学时分配

教学时数具体分配：