1.1.2余弦定理课件
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1.1.2余弦定理课件人教新课标
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
课件7：1.1.2 余弦定理
2．在△ABC 中，求证 a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin
A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故由正弦定理得 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___，
a2＋c2－b2 cos B＝_____2_a_c____，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_____
[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，
2．在△ABC 中，已知 a＝9，b＝2 3，C＝150°，则 c 等于( )
A． 39
B．8 3
C．10 2
D．7 3
解析：选 D 由余弦定理得： c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150° ＝ 147 ＝7 3.
3．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则 A 的大小为( )
法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有 两解．
课件9：1.1.2 余弦定理
例 1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°.
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B．
∴2＝3＋c2－2 3·22c．
即 c2－ 6c＋1＝0，
解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2∠B＝2∠A 或 2∠B＋2∠A＝π， 即∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π2. 故△ABC 是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
规律方法 1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二 是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系 式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将 sin A＝
2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2 ＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
类型2 已知三边或三边关系解三角形 例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37， 求△ABC 的最大内角．
解：(1)由余弦定理得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝(2
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B．
∴2＝3＋c2－2 3·22c．
即 c2－ 6c＋1＝0，
解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2∠B＝2∠A 或 2∠B＋2∠A＝π， 即∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π2. 故△ABC 是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
规律方法 1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二 是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系 式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将 sin A＝
2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2 ＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
类型2 已知三边或三边关系解三角形 例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37， 求△ABC 的最大内角．
解：(1)由余弦定理得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝(2
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)
1.1.2余弦定理
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
1.1.2 余弦定理.ppt
在△ABC中，由余弦定理得
cos A AB2 AC2 BC2 2AB AC
2 0.1047 365
因此∠A≈84.0°.
例4. 求证： 在△ABC中，
证明：由余弦定理，得
bcosC
ccos
B
b
a2
b2 2ab
c2
c
a2
c2 b2 2ac
a2
b2
c2 a 2a
=a2+b2－2abcosC. 同理可得
b2 =a2+c2－2accosB. a2 =b2+c2－2bccosA.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍。即
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
即 13k2 16k 3 0
从而
k 3 13
或k=1.
又因为 k 3 时，b<0，故舍去。
13
所以k=1，a= 13 ，b= 5 13 ，c=4.
2
（2）已知两式中消去2b，得
c a2 3 4
代入(1)式a2－a－2b－2c=0，得
b 1 (a2 2a 3) 1 (a 3)(a 1)
4
cos C
a2
b2
c2
a2
(a 3)(a2 4
a)
2ab
2a 1 (a 3)(a 1)
4
4a2 (a 3)(a 1) a 2a(a 3)(a 1)
高中数学优质课件 1.1.2余弦定理
答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两 种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形， 因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
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从量化的角度来看，如何从B 已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1 题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： b2 c2 a2
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5：
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1 题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： b2 c2 a2
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5：
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.