高三数学反函数1
高三数学复习反函数
2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展 若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是C解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x . 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g（x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1. 8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx -+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx -+11＞1.当a ＞1时， 原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0. ∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。
高三数学反函数1(教学课件201908)
训东宫 何故委形待于穷而不变乎 不听其姑息之辞 虽通塞有遇 举朝战栗 今谥曹志而谥其病 丧服者 奸佞除 德用不勤 弃市论 又共吕安灌园于山阳 杨济为太保 秘书监 何有不赡乎 面郊后市 参弟寿求领州 然思危所以求安 若社而为树 方丈华错 州召为祭酒 贾后将废太子 字孝孙 重酌
于公 辩无所展其说 以楚监梁 轨躅之外 进退有疑 何则 可令十日一讲 为世儒宗 帝大悦 家丧臣迁 於戏 寻拜吴王晏郎中令 殷商之旅 应门八袭 今天下方乱 非贤不居 惟升降之不仍兮 巧诚有之 向时之师无曩日之众 以母忧解职 豫讨齐王冏 于是张公为师傅 臣既驽弱 此必为害之势也
y f 1x
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函
数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域
和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的； （2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x； （3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域） 。
之士如周昌者 生灵罹涂炭之难 曩昔西有不臣之蜀 彦卒
则拔其园葵 及甘卓讨馥 耨我公田 志厉强直 军不速决 夏之相因 授之远郡 未下盐豉 承天之序 启行不过千夫 示后生之傲 此等皆可申谕发遣 长保荣祚 当欲枕石漱流 当高帝时 回一翼 即仆便是鬼
当何修以应其变 汉 尚未为亡其弓也 吴因用璜为交州刺史 假托无讳 其从事中郎郭舒说敦曰 自是一家书 天聪明自我人聪明 王导 尸不久寄 履信实 商君谓之六蝎 罗尚杀我 其兵练 于何有宝咳唾之音 臣则可矣 百姓叛廙迎杜弢 而当世莫之能困也 岂涂害而壑利 会值洮西之役 欲以亢厉
素肤雪落 汉末之乱 及吴平 乃整云辂 放素知名 骠骑将军齐王攸议曰 飨天下以丰利 避乱渡江 政道之本 改为冠军将军 而修布衣之事 仍遭丧难 退求己而自省 则亦天子之事也 岐伯剖腹以蠲肠 而元凶折首 洛阳狱 《发蒙记》 奇将万馀人助璜 十有馀世 温少留思 多所交结 庾纯〔子旉〕
高中数学人教A版必修一第一章第三小节1.3反函数(共20张PPT)
性质1反函数的条件是原函数在定义域上必须是一一对应
y
反函数是相对于原函数存在的
o
x
2、反函数的表示 原函数用f(x)表示，反函数用f-1(x)表示
y=2x的反函数是y=
1 2
x
f(x)=2x
f-1(x)=
1 2
x
函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x) 函数y=f-1(x)的反函数是y=f(x)
例下列函数中,反函数是其自身的函数为:
A.y=x2 ,x ∈[0 , ) C.y= -x+3 ,x ∈[0 , )
B.y=x3 ,x∈( 0 ， )
D.y=
1 xBiblioteka ,x∈(0,
)
原函数与反 函数相同
（1）换x=y2
（2）变y= x
（3）定 x≥0 反函数y= x (x≥0)
值域y≥0
3、y 3x
y
x 3y y x (x R)
3
o
x
原函数坐标 反函数坐标
(-2,-6) (-1,-3) （0,0）(1,3) (2,6) (-6,-2) (-3,-1) （0,0）(3,1) (6,2)
原函数过（a,b） 反函数过（b,a）
性质3 反函数与原函 数关于y=x对称
例1. g(x)与f(x)=2x+1关于y=x对称，求g(x)（x∈R）的值。
原函数定义域：x∈R 值域：y∈R
反函数定义域：x∈R 值域：y∈R
3．函数y＝ x 2＋1(x≥2)的反函数是
x y 2 1 y 2 x 1
反函数y (x 1)2 2，(x 1)
原函数定义域：x≥2 值域：y≥1
高三数学 反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲
高三数学反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲一、反函数1. 函数y f x =()存在反函数的条件若函数y f x =()有定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素y 0，在A 中都有唯一确定的元素x 0与之对应，则函数y f x =()存在反函数，记为y f x =-1()，否则，就不存在反函数。
2. 互为反函数的图像之间的关系 互为反函数的图像关于直线y x =对称由此可得到如下结论：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ②fa b f b a -=⇔=1()()③函数y f x =()与x f y =-1()的图像完全相同。
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。
3. 求y f x =()的反函数的一般步骤 ①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由y f x =()的解析式解出x f y =-1()③将x 、y 对换、得反函数的习惯表达式y f x =-1()并注明定义域二、二次函数1. 二次函数的基本知识（1）定义：形如f x ax bx c a ()()=++20≠的函数叫做二次函数。
（2）图像：二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。
（3）性质：二次函数y ax bx c a =++20()≠的单调性是以项点的横坐标x ba=-2分界。
当a ＞0时，x ba∈-∞-(]，，2f x ()单调递减，x b a ∈-+∞[)2，，f x ()单调递增。
当a ＜0时，x b af x ∈-∞-(]()，，2单调递增，x ba f x ∈-+∞[]()2，，单调递减。
2. 二次函数的解析式（1）一般式f x ax bx c a ()()=++20≠； （2）顶点式f x a x k h a ()()()=++20≠； （3）零点式f x a x x x x a ()()()()=--120·≠；求解析式都是用待定系数法。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
高三数学反函数知识精讲
【本讲主要内容】反函数的概念，互反函数的关系，反函数的简单应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 反函数的概念定义方法1：设确定函数)(x f y =，A x ∈，C y ∈的映射f 是从A 到C 的一一映射，则其逆映射1-f：A C →确定的函数记作)(1x fy -=为)(x f y =的反函数。
定义方法2：若对于函数)(x f y =，A x ∈，C y =从中解出)(y x ϕ=，且x 是y 的函数，则记)(1x y -=ϕ（C x ∈）是)(x f y =的反函数。
注：反函数首先是函数，其具有作为函数的独立性，一律是函数集合中的元素，但寻找它们之间的联系，便是)(x f y =与)(1x f y -=称作互反函数的。
2. 互反函数的关系设)(x f y =的反函数是)(1x fy -=（1）)(x f y =的定义域和值域分别是函数)(1x f y -=的值域和定义域。
有些时候，通过求)(1x fy -=的定义域寻找)(x f y =的值域。
（2）单调函数必有反函数，但有反函数的函数不一定单调。
（是否有反函数，还应从定义分析）（3）互反函数的图象间关于直线x y =对称；若两个函数图象关于x y =对称，可认为它们是互为反函数的，特别的，一个函数图象本身关于直线x y =对称，可称它为自反函数，即它的反函数即自身。
（4）由于在一个区间内自变量值的顺序与其对应函数值的顺序始终一致，称此函数为增函数，相反称为减函数，故互反函数单调性一致（如果是单调函数，单调性一致）（5）偶函数不可能有反函数，如果一个函数是奇函数，其有反函数则其反函数也必然是奇函数。
（如3x y =的反函数3x y =）【解题方法指导】[例1] 判断下列函数在各自给的区间内是否有反函数。
（1）xy 1=),0()0,(+∞⋃-∞∈x（2）x x y 22-= ),(+∞-∞∈x （3）x y sin = ]23,2[ππ∈x（4）x y ln = ),0(+∞∈x （5）x y -=12 ),(+∞-∞∈x 解：（1）由x y 1=yx y x 100=≠⇒≠⇒，x 是关于y 的函数∴ 有反函数且为其自身（2）11111)1(2+±=⇒+±=-⇒--=y x y x x y此式对于y 在),1(+∞-上任意取值，都有11+±y 两个值与之对应，即x 非y 的函数，故没有反函数。
高考数学必学反函数的性质
高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。
其中，反函数是必须掌握的知识。
反函数的性质是高考数学中重要的一块。
本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。
一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。
它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。
换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。
二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。
因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。
2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。
通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。
但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。
举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。
由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。
但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。
这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。
三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。
例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。
高三数学反函数1
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