函数反函数对数及对数函数
函数反函数对数及对数函数
函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域 由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
对数及对数函数要点及解题技巧讲解
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章 函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人 教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章 函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实 数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人 教
B
版
图象
第2章 函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全1. 对数函数的定义：y = loga x，其中a为正数且a ≠ 1，x为正数。
则y表示以a为底，x的对数。
2. 对数函数与指数函数互为反函数：loga a^x = x，a^loga x = x。
3. 对数函数的性质：① loga (xy) = loga x + loga y。
② loga (x/y) = loga x - loga y。
③ loga x^n = n loga x。
④ logb x = loga x / loga b。
⑤ loga √x = 1/2 loga x。
⑥ loga (1/x) = -loga x。
4. 常用对数函数值：① log10 1 = 0。
② log10 10 = 1。
③ log10 100 = 2。
④ log10 1000 = 3。
⑤ loge 1 = 0。
⑥ loge e = 1。
5. 解对数方程的方法：①转化为指数形式，即a^x = b。
②化简为一般形式，即loga (mx + n) = p。
将等式两边化为指数形式。
③变形为倒数形式，即loga x - loga (x - 1) = b。
将等式两边化为分数形式。
6. 求解对数函数性质的方法：①分解对数式。
②合并同类项。
③平方移项。
④如有必要，将对数式转化为指数式。
⑤根据指数函数的性质求解。
7. 对数函数的图像特征：①定义域为正实数集。
②值域为全体实数集。
③函数图像关于直线y = x对称。
④在x轴上有一个特殊点：x = 1，此时对数值为0。
⑤在函数图像上任意两点的连线与x轴所成的角度相等，且这个角度叫做该点的倾角。
【高中数学】第六节 对数与对数函数
第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=logN ,其中③ a 叫做对数的底数,④N 叫做真数.a(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1) ⑤log a N常用对数底数为10 ⑥lg N自然对数底数为e ⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N .(a>0,且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩log b N =log a N(a,b均大于0且不等于1);log a b,log a b·log b c·log c d=log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于相关结论:log a b=1log b a0).(3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 log a (MN )= log a M +log aN; log a MN = log a M -log a N ; log a M n = n log a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M (m ,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域:(0,+∞) 值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0 当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数 y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称. 知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y =1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c <d <1<a <b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)log a (MN )=log a M +log a N. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( )(3)log 2x 2=2log 2x. ( ) (4)若log a m <log a n ,则m <n. ( )(5)函数y =ln 1+x1-x 与函数y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(6)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),其图象经过第一,四象限.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√ 2.log 525+1612=( )A.94 B.6 C.214 D.9答案 B log 525+1612=log 552+(42)12=2log 55+4=6.故选B . 3.下列各式中正确的是( )A.log a 6log a3=log a 2 B.lg 2+lg 5=lg 7 C.(ln x )2=2ln x D.lg √x 35=35lg x答案 D 对于A 选项,由换底公式得log a 6log a3=log 36=1+log 32,故A 错;对于B 选项,lg 2+lg 5=lg(2×5)=1,故B 错; 对于C 选项,(ln x )2=ln x ×ln x ≠2ln x ,故C 错;对于D选项,lg √x 35=lg x 35=35lg x ,故D 正确.故选D.4.(2020安徽月考)已知a =log 23,b =(12)12,c =(13)13,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <b <a 答案 D 因为a =log 23>log 22=1,0<b =(12)12<(12)0=1,0<c =(13)13<(13)0=1, 又b 6=(12)3=18,c 6=(13)2=19,所以b 6>c 6,所以b >c ,即c <b <a.故选D.5.(2020河北唐山第十一中学期末)函数f (x )=lg(x -2)的定义域为 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)答案 D 函数f (x )=lg(x -2)的定义域为x -2>0,即x >2,所以函数f (x )=lg(x -2)的定义域为(2,+∞),故选D .6.(易错题)已知a >0,且a ≠1,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 的图象可能是( )答案 B 由函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 互为反函数,得图象关于y =x 对称,从而排除A,C,D.易知当a >1时,两函数图象与B 选项中的图象相同.故选B. 易错分析 忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一 对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m ,log a 5=n (a >0,且a ≠1),则a 3m +n = ( )A.11B.13C.30D.40 (2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x = . 答案 (1)D (2)1 (3)2 角度二 对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)·lg 2+2lg 5=(1+1)·lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2=12+13+14+16=54. 规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= . 答案 9解析 原式=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.2.如果45x =3,45y =5,那么2x +y = . 答案 1解析 ∵45x =3,45y =5,∴x =log 453,y =log 455,∴2x +y =2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f (x )=ln|x -1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x (a >0,且a ≠1),则a 的取值范围是 ( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)(3)已知函数f (x )=4+log a (x -1)(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 .答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x >1时, f (x )=ln(x -1),又f (x )的图象关于直线x =1对称,所以选B .(2)易知0<a <1,函数y =4x与y =log a x 的大致图象如图所示,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a >√22,∴√22<a <1,故选B .方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合求解.1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|log a(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|log a(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=log a x(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是()答案C当a>1时,对数函数y=log a x为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误; 当0<a<1时,对数函数y=log a x为减函数,当x=1时,函数y=x-a的值为正,故B错误,C正确.故选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)已知f (x )满足f (x )-f (-x )=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a =(79)-14,b =(97)15,c =log 219,则f (a ), f (b ), f (c )的大小关系为 ( )A.f (b )<f (a )<f (c )B.f (c )<f (b )<f (a )C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a ) 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知得c =log 23,∵log 23>log 2e>1,b =ln 2<1,∴c >a >b ,故选D . (2)∵f (x )-f (-x )=0,∴f (x )=f (-x ), ∴f (x )为偶函数.∵c =log 219<0,∴f (c )=f (-log 219) =f (-log 219)=f (log 29),∵log 29>log 24=2,2>(97)1>a =(79)-14=(97)14>(97)15=b >0,∴log 29>a >b.∵f (x )在(0,+∞)单调递减, ∴f (log 29)<f (a )<f (b ), 即f (c )<f (a )<f (b ). 故选C .角度二 解简单的对数不等式典例5 (1)函数f (x )=√(log 2x )-1的定义域为 ( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) (2)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( )A.[1,2]B.[1,2)C.[23,+∞)D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C角度三 对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f (x )=log a (ax 2-x +1)(a >0,且a ≠1). (1)若a =12,求函数f (x )的值域;(2)当f (x )在[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a =12时,ax 2-x +1=12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]>0恒成立, 故函数f (x )的定义域为R,∵12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]≥12,且函数y =lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f (x )的值域为(-∞,1]. (2)由题意可知,①当a >1时,由复合函数的单调性可知,必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a <1时,同理可得必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞).规律总结1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间值进行比较.2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x >log a b (a >0,且a ≠1)的不等式,需借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需要分为a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b (a >0,且a ≠1)的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解.1.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 D ∵a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a >b >c.2.(2019山东高考模拟)已知f (x )=e x -1+4x -4,若正实数a 满足f (log a 34)<1,则a 的取值范围是( )A.a >34 B.0<a <34或a >43 C.0<a <34或a >1 D.a >1答案 C 因为y =e x -1与y =4x -4都是在R 上的增函数,所以f (x )=e x -1+4x -4是在R 上的增函数,又因为f (1)=e 1-1+4-4=1,所以f (log a 34)<1等价于log a 34<1,所以log a 34<log a a ,当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减,所以a <34,故0<a <34; 当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增,所以a >34,故a >1, 综上所述,a 的取值范围是0<a <34或a >1.故选C.3.(2020上海高三专题练习)函数y=√log0.5(4x2-3x)的定义域为.答案[-14,0)∪(34,1]解析由题意可知0<4x2-3x≤1,解得x∈[-14,0)∪(34,1].4.函数f(x)=lo g13(-x2+2x+3)的单调递增区间是.答案[1,3)解析令u=-x2+2x+3,由u>0,解得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3),根据二次函数的图象与性质可知函数u=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减, 因为函数f(x)=lo g13u为单调递减函数,所以根据复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为[1,3).5.已知函数f(x)=ln(√1+9x2-3x)+1,求f(lg 2)+f(lg12)的值.解析由√1+9x2-3x>0恒成立知函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x2+3x)+1]+[ln(√1+9x2-3x)+1]=ln [(√1+9x2+3x)·(√1+9x2-3x)]+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+f(lg12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4B.5C.6D.7答案 B2.log29×log34+2log510+log50.25= ()A.0B.2C.4D.6答案 D 原式=2log 23×(2log 32)+log 5(102×0.25)=4+log 525=4+2=6. 3.(2020河北冀州中学模拟)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 C4.log 6[log 4(log 381)]的值为( )A.-1B.1C.0D.2 答案 C5.(2019河南郑州模拟)设a =log 50.5,b =log 20.3,c =log 0.32,则 ( )A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <b <c答案 B a =log 50.5>log 50.2=-1,b =log 20.3<log 20.5=-1,c =log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3,log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2,即c <a ,故b <c <a.故选B .6.若lg 2=a ,lg 3=b ,则log 418= ( ) A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a ,lg 3=b ,所以log 418=a+2b 2a.故选D .7.已知函数f (x )=lg 1-x1+x ,若f (a )=12,则f (-a )= ( ) A.2 B.-2 C.12 D.-12答案 D ∵f (x )=lg 1-x1+x 的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f (x ), ∴f (x )为奇函数,∴f (-a )=-f (a )=-12.8.设f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.12 D.-12答案 D 函数f (x )=lg(10x+1)+ax 的定义域为R,因为f (x )为偶函数,所以f (x )-f (-x )=0,即lg(10x +1)+ax -[lg(10-x +1)+a (-x )]=(2a +1)x =0,所以2a +1=0,解得a =-12.B 组 能力拔高9.已知f (x )=lo g 12x ,则不等式(f (x ))2>f (x 2)的解集为 ( ) A.(0,14) B.(1,+∞) C.(14,1) D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f (x ))2>f (x 2)得(lo g 12x )2>lo g 12x 2⇒lo g 12x ·(lo g 12x -2)>0,即lo g 12x >2或lo g 12x <0,解得原不等式的解集为(0,14)∪(1,+∞).10.若x 、y 、z 均为正数,且2x =3y =5z ,则 ( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z答案 D 令2x =3y =5z =k (k >1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k ,∴2x 3y =2lgklg2·lg33lgk =lg9lg8>1,则2x >3y ,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk =lg25lg32<1,则2x <5z ,故选D . 11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm = . 答案 9解析 ∵f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),∴0<m <1<n ,-log 3m =log 3n ,∴mn =1. ∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,且函数f (x )在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数, ∴-log 3m 2=2或log 3n =2.若-log 3m 2=2,则m =13(舍负),故n =3, 此时log 3n =1=-log 3m ,符合题意, 即nm =3÷13=9;若log 3n =2,则n =9,故m =19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故nm =9.C 组 思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值为 . 答案 23解析 作出y =|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示,令|log a x |=1,得x =a 或x =1a ,又1-a -(1a -1)=1-a -1-a a=(1-a )(a -1)a<0,所以1-a <1a -1,所以n -m 的最小值为1-a =13,即a =23.13.若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a (2a )<0,所以0<a <1,又2a >1,所以a >12.综上,实数a 的取值范围为(12,1).14.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f (x )=log 2x2·lo g √2√x2的值域. 解析 由2x ≤16得x ≤4,∴log 2x ≤2, 又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f (x )=log 2x2·lo g √2√x 2=(log 2x -1)·(log 2x -2) =(log 2x )2-3log 2x +2 =(log 2x -32)2-14,∴当log 2x =32时, f (x )min =-14.又当log 2x =12时, f (x )=34; 当log 2x =2时, f (x )=0, ∴当log 2x =12时, f (x )max =34. 故函数f (x )的值域是[-14,34].15.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )得 (3-4log 2x )·(3-log 2x )>k ·log 2x. 令t =log 2x ,因为x ∈[1,4], 所以t =log 2x ∈[0,2],所以(3-4t )·(3-t )>k ·t 对任意的t ∈[0,2]恒成立. 当t =0时,k ∈R; 当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立,即k <4t +9t -15恒成立. 因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k <-3.综上,实数k 的取值范围是(-∞,-3).高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
对数函数的概念和反函数
二、反函数
对数式与指数式的互化:
a N b loga b N
指数函数与对数函数的互化：
y a x loga y x
函数的概念
在某变化过程中有两个变量x、y，如果 对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值 ，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实 数值与它对应，那么y就是x的函数，记作 y=f(x)，x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量 ，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的 值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集 合叫做函数的值域．
反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义 域为D，值域为A．如果对A中任意一个值y ，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满 足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做 y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y)．
y=f -1(x) (x A)
反函数存在的条件：函数的定义域与值域是一一映射
对数函数的概念和反函数
一、对数函数的概念
• 一般地,函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函
数.其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）.
• 注意：1、loga x 前面的系数必须是1；
•
2、对数的底数是常数，a＞0,且a≠ 1；
•பைடு நூலகம்
3、自变量x在真数的位置上，且真数仅有自变量x。
4、若一个奇函数存在反函数，则它的反函 数也是奇函数。
求反函数的步骤
1、由y=f(x)解出x关于y的式子，即“反解”； 2、由函数y=f(x)的定义域和值域确定反函数
的值域和定义域，即“交换”； 3、根据习惯将x改写为y,y改写为x，并注明相
对数函数图象及性质——图象反函数
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$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在 其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定 义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函 数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互 换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利 用对数函数和指数函数的互逆关 系进行转化，从而简化问题的求 解过程。
例如，在求解复利、增长率等问 题时，可以利用指数函数进行建 模；而在求解对数方程、求解某 些特定函数的定义域等问题时， 则可以利用对数函数的性质进行 求解。
此外，在一些工程和科学计算中 ，也经常需要利用对数函数和指 数函数的互逆关系进行数值计算 和数据处理。
对数与对数函数
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
高一数学指、对数函数与反函数
赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往 下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。 民歌有意思，留在春营地和 路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。 还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么 爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。 有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一 首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。 知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样 遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。 演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。 在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不 唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。 我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我 母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开 亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。 财富离幸福 有多远？ 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到 乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。 有人不想多办事，也不想到哪儿去 以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享 受，与幸福无关。 （二） 人有时不知道自己到底要什么。 如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只 占一成，饮食男女而已。 于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只 需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。 但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。 （三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采 说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口 腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。 （四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的 住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里 希·伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。 有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简 单到我们承担不了。 （五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如 避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、 捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。 （六） 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯 洁和情操的醇厚，靠内力实现。 蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、 肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科 椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。 人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地 灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。 落书页上，好像字句开出素白的花。 落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。 蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。 春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。 黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。 有一个老汉勤 劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。 当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换 钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。 黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打 个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。 老汉说：没有。 邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东 西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？ 老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。 故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才 能，就贫穷如老汉，
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函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域 由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数1cos 3cos 2+-=x x y 的值域，因为1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]25,(1cos 5--∞∈+-x ，故]21,(--∞∈y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432+=x xy 的值域当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，xx y 43+=，若0>x ，则4424=⋅≥+xx x x 若0<x ，则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+x x x x x x ，从而得所求值域是]43,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)21,1(--上递减、在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法 一、选择题1．下列四种说法正确的一个是 （ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y ==4．已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 5．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f（ ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是 （ ）7．设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．xx +-11D ．12+x x8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x ac bc y --=D ．x ac cb y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ ）A ．)2,1[-B ．]1,1[-C ．)2,2(-D ．)2,2[-二、填空题：11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题： 15、①．求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域；②求函数x x y 21-+=的值域；③求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.16、在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22x x y +=得图象.17已知函数x x f x x f x =+-+-)()11()1(，其中1≠x ，求函数解析式.18设)(x f 是抛物线，并且当点),(y x 在抛物线图象上时，点)1,(2+y x 在函数)]([)(x f f x g =的图象上，求)(x g 的解析式.19动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ；设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.20已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ，0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值.二、函数的基本性质：（1）函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数； 如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数； （2） 函数的最大（小）值 设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I 上0)(>'x f （0)(<'x f ）仅是)(x f 为区间I 上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。
但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。
而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。
如果用导数证明)(x f y =在某区间I 上递增或递减，那么就证明在某区间I 上0)(>'x f 或0)(<'x f 。
（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞ （6）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“异减同增”2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。