指数函数与对数函数的关系(反函数)

x
y
R
(0,+∞)
x=loga y
y
x
(0,+∞)
R
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x=loga y(a>0,a≠1)的反函数
指数函数y=ax(a>0,a≠1)
反 函 数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)
y
y 2x y x
y log 2 x
0
x
y y ( 1 )x 2 0
• 2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反 函数，图象关于直线y=x对称。
• 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。
注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x”
表示反函数，不是-1次幂（倒数） 的意思
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2y log 1 x.
y x
x
y log 1 x
2
y 10x
y
y 2x y x
y log 2 x
y log10 x
0
x
y ( 1 )x
y y
(
1
)
10
x
2
0
y x
xy log 1 x
10
y log 1 x
2
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系.
函数y=log2x的图像与 函数y=2x的图像关于 直线y=x对称
4 写出反函数及它的定义域
y y=2x
结论:
Q(a,b) (0,1)
O (1,0)
y=x P(b,a) y=log2x
x
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
y=x对称.
小结
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1)
互为反函数
定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
作业
课本第106页练习 A组B组
对称性：
(1) y ax与y log a x的图象关于 y x成轴对称 (2) y a x与y ( 1 )x的图象关于
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1)
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, a越大图像越靠近y轴 (4) a>1时, a越大图像越靠近x轴
质
0<a<1时, a越小图像越靠近y轴 0<a<1时, a越大图像越靠近x轴 (5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
(2)指数函数
y 2 x 3
,它的底数是 2 ,
3
它的反函数是对数函数 y log 2 x
3
练习
1.说出下列各组函数之间的关系:
(1)y=10x和y=lgx；
互为反函数,
(2)y=2x和y=loglnx.
练习
2.写出下列对数函数的反函数:
3
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
(2)对数函数 y log 1 x, 它的底数是 1
3
它的反函数是指数函数
y 1 x.
3
3
例2 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
2y
2
x
.
3
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x;
解：令 x2 1 4，解之得：x 5 又 x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f (x) log2 (1 2x ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线
(1)y=log2.5x; (2)y=logπx; 3 y log x.
1
(1)y=2.5x
(2)y=πx
3y
1
x
3
3
3.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (2)y=1.4x;
3y x.
2
(1)y=log4x (2)y=log1.4x 3y log x 2
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得ｘ＝ｙ＋2
a y轴成轴对称
(3) y log a x与y log 1 x的图象关于
a
x轴成轴对称
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
图 y=ax
y y=ax
象 (0<a<1)
(a>1)
1
o
x
(1)定义域：R
性 (2)值域：(0,+∞)
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得 1 log a (4 1)
即 : log a 3 1,a 3.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x2 （1 x 2） 求出f （1 4）的值。
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
指数换对数
y=ax
x=loga y
对应法则互逆
交换x,y
y=loga x
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值 域
y=ax
3 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ｘ＋2 （ｘ∈R ）
3
ｙ＝3ｘ－2 经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｙ＝ｘ＋2 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
y
ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ
x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换 3 求原函数的值域
y y=2x Q(a,b) y=x
函数y=f(x)的图像和
(0,1) O
它的反函数的图像
(1,0)
P(a,b) y=log2x x
关于直线y=x对称
• 1．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。