指数函数与其反函数的交点问题探讨
指数函数对数函数图像交点问题
指数函数、对数函数图像交点问题反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。
在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射,它的反函数y =f -1（x ）是集合C 到集合A 的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。
我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。
正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。
一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x 对称；若原函数与直线y=x 有交点，则反函数图像也必与y=x 相交且交点重合。
为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子（1）12-=x y 函数与它的反函数2121+=x y 图像只有一个交点)1,1(，且在y=x 上。
（2）函数3x y =与它的反函数31x y =的图像有三个交点)1,1()0,0()1,1(、、--，且都在y=x 上。
（3）函数xy 1=的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数图像有无数个交点，其中有两个)1,1()1,1(、--在y=x 上。
引入此例是为了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在y=x 上则一定对称地、成对出现在y=x 两侧，因为太特殊，解释起来有点牵强，所以我们引进了第4个例子（是用一种引导的方式给出的）。
（4）若点)2,1(既在函数b ax y +=图像上，也在其反函数图像上，求a ，b 的值。
经过计算7,3=-=b a ，也就是说点)1,2()2,1(、既在函数73x y +-=图像上，也在其反函数图像上，验证了我们上述的观点。
在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后，为了给学生一个直观的认识，我打算利用几何画板为学生演示一下，结果发现，在电脑屏幕上不能清晰地显示图像的交点（如左下图）；把方程中的7改成8之后，清晰地显示出了交点（图右下图）至此，从数和直观的角度，学生对原函数与反函数图像的交点问题有了一个初步的认识。
指数函数与对数函数两个反函数的交点问题
x
的公切線。
Pf：(1)由u = au ⇒ ln u = u ln a
且 f (x) = ax ⇒ f / (x) = ax iln a ⇒ f / (u) = au iln a = u ln a = ln u = −1
由ln u
=
−1 ⇒
u
=
e−1
=
1 e
代入u
=
au
⇒
1 e
=
1
ae
⇒
(
1 e
)e
5
10
15
-4
1<
a
<
1
ee
≈ 1.444 時
y = ax 與 y = loga x 恰有兩個交點
-6
(α ,α ),(β , β ) 其中 0 < α < e < β
其中
-8
指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題
第四頁/共八頁
定理五：0 < a < 1時, y = ax 與 y=x 兩圖形恰有一個交點(u,u)
>
(e
−
e
)
1 e
⇒ (e−e )x (−e) <
(e
−
e
)
1 e
(
− e)
⇒
(e−
e
)
x
(
−e)
+
1
<
(
e−
e
)
1 e
(
−e)
+
1
⇒
t
/
(
x)
<
t
/
(
1 e
同理 (β , β ) 在 y = ax 上面 ⇒ (β , β ) 在 y = loga x 的圖形上。
反函数 交点-概述说明以及解释
反函数交点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述反函数是数学中一个重要的概念，它是指在函数的基础上进行逆运算得到的新的函数。
在实际应用中，我们经常会遇到需要求解函数的逆运算的情况，这时就需要用到反函数的概念。
本文将介绍反函数的定义、性质和应用，并探讨反函数与交点的关联。
通过对反函数的深入研究，我们可以更好地理解函数之间的关系，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
同时，本文也将展望未来对反函数相关研究的方向，希望能为该领域的进一步发展提供一些思路和启发。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：文章的结构分为引言、正文和结论三个部分。
在正文部分中，首先介绍了反函数的定义，其次探讨了反函数的性质，最后分析了反函数的应用。
在结论部分，总结了反函数的重要性并探讨了反函数与交点的关联，最后展望了未来的研究方向。
整篇文章的结构清晰，逻辑严谨，能够完整地展现反函数与交点的相关内容。
"1.3 目的"部分的内容可能包括对该篇长文的写作目的的阐述，以及对读者的期望。
例如：本文的目的是对反函数的概念、性质和应用进行深入探讨，以便读者能够更全面地理解反函数的重要性和实际应用。
通过介绍反函数与交点的关联，我们希望读者能够进一步认识到反函数在数学和其他领域中的实际作用，并对未来可能的研究方向有所启发。
我们希望本文能为读者打开一扇新的数学视角，引发对反函数相关话题的更深入思考，并激发对数学知识的探索与学习热情。
2.正文2.1 反函数的定义反函数是指，对于给定的函数f，如果存在另一个函数g，使得对任意x，都有f(g(x))=x成立，那么函数g就是函数f的反函数，记作g=f^-1。
换句话说，如果对于函数f的定义域内的每一个x，都有f(g(x))=x，同时对于函数g的定义域内的每一个y，都有g(f(y))=y成立，则函数g是函数f的反函数。
考虑一元函数y=f(x)，定义域为X，值域为Y，如果对于X中的每一个x，都有唯一的y与之对应，那么函数f是从X到Y的一个一一对应。
同底的指数函数与对数函数的交点问题
∙同底的指数函数与对数函数的交点问题∙需要具备的知识点指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential function) ，。
单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);对数函数单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);以上指数函数和对数函数的底数都用a表示。
求同底指数函数对数函数的交点方法：假设+渐近简要分析：首先看a>1还是0<a<1,高中范围内一般只考虑这两种情况.a>1交点数可能有三种情况，0个1个或2个.如下图0<a<1时图象有且仅有一个交点，我稍作说明。
Q:存在函数y=a^x与y=logax（a>1,a≠1）在x属于（0,+∞）,求其交点个数。
（a^x意思是a的x次方，logax指以a为底x 的对数）A:假设一个x，使得y=a^x与y=logax为可比较的数，可以设为a的平方或立方，（因为logaa^n=n，而a^n也是一个可以求的实数，所以可以进行比较。
如a=2，则可设x=1/2，2，4，8...）用所得的指数函数值减去对数函数值。
设指数函数值减去对数函数值为delta y，如果delta y等于或小于零时，函数有交点，如果delta y大于零则函数在x处无交点。
如何验证只有一个交点？首先找到一个x使得delta y为零，然后取x左右的横坐标值x1，x2，如果x1，x2使delta y都大于零，那么可以说指数函数与对数函数有且仅有一个交点。
（如果x1，x2对应的delta y一正一负，则函数图像有两个交点。
）如何验证有二个交点？（已证）如何计算两个交点的交点坐标？（如果出题的老师没有恶意的话，是可以用这种方法算出来的）首先找到一个横坐标值x使得delta y小于零，然后在x左侧或右侧找到一个x1使得delta y大于零，则交点横坐标点在（x，x1）或（x1，x）之间，可以继续假设，知道找到使delta y等于零的x值。
指数函数和反比例函数的交点
指数函数和反比例函数的交点指数函数和反比例函数是两种常见的函数类型，在数学中具有重要的作用。
指数函数是一种形式为y=a^x的函数，其中a是一个常数，x是自变量。
反比例函数是一种形式为y=k/x的函数，其中k是一个常数，x是自变量。
这两种函数的图像展现出截然不同的性质，但在一些情况下，它们可能会有交点。
为了找到指数函数和反比例函数的交点，我们可以将它们的函数表达式相等并解方程。
假设我们有两个函数y=a^x和y=k/x，我们可以将它们等式化为a^x=k/x，并解这个方程来找到它们的交点。
首先，我们考虑指数函数和反比例函数之间的交点数学性质。
指数函数随着x值的增加而快速增长，而反比例函数则会随着x值的增加而逐渐减小。
因此，我们可以预期它们只在特定区域内可能有交点。
接下来，我们以具体的数值来说明这种情况。
假设我们有指数函数y=2^x和反比例函数y=1/x。
我们将它们的函数表达式等式化为2^x=1/x，并求解这个方程。
首先，我们可以通过绘制它们的图像来观察它们的交点。
通过绘制y=2^x和y=1/x的图像，我们可以看到它们在x轴右侧有一个交点，大约在x=0.644处。
要通过解方程来找到它们的精确交点，我们可以将方程2^x - 1/x = 0重新排列成以下形式：2^x = 1/x。
然后，我们可以取对数来消除指数，并得到x * log(2) = -log(x)。
通过将等式两边同时除以x，我们可以得到log(2) = -log(x)/x。
进一步，我们得到(log(2))^2 = -log(x)/x。
在这个示例中，我们展示了如何找到指数函数和反比例函数的一个交点。
请注意，这个交点的具体数值可以根据使用的函数和方程的不同而变化。
在实际的数学问题中，解方程可能需要使用数值计算方法，如牛顿法或二分法。
总结起来，指数函数和反比例函数的交点是由将它们的函数表达式相等并解方程得到的。
这些交点的数值取决于函数的具体形式和方程的求解方法，可以使用数值计算方法和迭代来找到精确的交点。
指、对、幂函数之间的交汇问题
指、对、幂函数之间的交汇问题基本初等函数是中学数学中的重要函数，可以看出这几种函数是高考考查的热点，所以在复习中必须抓好这三类函数。
本文谈谈三类函数交汇问题，希望对大家有所帮助。
一、指、对数函数交融例1、若]1,1[-∈x 时，1122+-<x x a 恒成立，试求正实数a 的取值范围。
解：由1122+-<x x a ，得a x x lg )1(2lg )12(+<-，即0)2lg(4lg<-⋅a ax ，设函数)2lg(4lg)(a a x x f -⋅=，由]1,1[-∈x 时，f （x ）<0恒成立，得⎩⎨⎧<-<0)1(0)1(f f ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<-0)2lg(4lg 0)2lg(4lg a a a a ，解得.2>a 故实数a 的取值范围为).,2(+∞ 点评：将指数不等式转化为对数不等式是求解本题的关键，借助于一次函数在闭区间上的最值产生结论恰到好处。
二、指、对函数与二次函数交汇例2、设xa x x f -=2)(在（－1，1）上恒有21)(<x f ，求实数a 的取值范围。
解：由x a x -221<，得x a x <-212，在同一坐标系中作出函数212-=x y与xa y =的图象。
（1）当10<<a 时，如图1，在区间（－1，1）上，xa y =的图象落在212-=x y 的图象的上方，即xa y =经过点)21,1(-B 或在B 的上方，所以21≥a ，故.121<≤a （2）当1>a 时，如图2，在区间（－1，1）上，xa y =的图象落在212-=x y 的图象的上方，即xa y =经过点)21,1(-A 或在A 的上方，所以211≥-a ，解得2≤a 故.21≤<a 综上所述，实数a 的取值范围为.121<≤a 或.21≤<a点评：将函数图象、性质融为一体，将“数”转化为“形”，用“图形”的直观性寻觅出数量关系是解决此类问题的一种简单有效的方法。
指数函数和对数函数图像与交点问题
关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、1a >时方程x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。
设曲线x log y a y a x ==与相切于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1，所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1===此时所以。
指、对函数的交点
指、对函数的交点本文研究了我们熟悉的指数函数与对数函数的图象交点问题，我们都知道同一底数的指数与对数函数互为反函数，如果它们有交点（不是公共点），我们一般认为它们应该在直线y=x上。
这几乎是无可厚非的。
本文通过几何画板的直观演示，可以发现，同一底数的指、对函数它们有交点，可以不在直线y=x上。
这在传统教学看来几乎是一个匪夷所思的问题。
但是，运用现代教育技术可以清楚得观察同一底数的指、对函数的图象从没有交点，到一个交点，到两个交点，再到一个交点，最后到三个交点的全过程。
对于指数函数与对数函数的交点问题，教材上的观点是它们可能没有公共点（如图一），可能有一个公共点（如图二、三），可能有两个公共点（如图四）。
这从指、对函数图象上很容易发现其正确性。
但是，实际上，指对函数可以有三个交点，下面先举一例验证之。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）第15题：在P（1，1），Q（1，2），M（2，3）和N（1/2，1/4）四点中，函数y=a x的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点A . P B . Q C. M D. N这一题答案是D。
初思之，感觉应该是P，细思之，则不可能，如果x=1，y=1，则此时底数a必为1，故不可能是P。
可以求得N（1/2，1/4）可能在指数函数y=a x和它的反函数上，代入y=a x可知a=1/16。
下面就这一函数来研究一下，对同一底数的指数函数与对数函数的交点问题作一详细论证。
指数函数y=(1/16)x与对数函数y=log1/16x，因为它们互为反函数，且两个都是单调递减函数，所以它们显然有一个公共点在直线y=x上（如图三所示），另外，A（1/2，1/4），B（1/4，1/2）也同时满足这函数y=(1/16)x，与函数y=log1/16x，这说明A，B必是指数函数y=(1/16)x与对数函数y=log1/16x的图象的交点。
这样看来，指数函数、对数函数是可以有三个交点的。
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¹ 当 a I ( e e , + ] )时没有交点;
1
º 当 a I { e e } G [ e- e, 1] 时, 一个交点;
1
» 当 a I ( 1, e e )时, 二个交点;
¼当 a I ( 0, e- e )时, 三个交点.
例 求方程 a |x | = ∣ logax ∣的实数解的个数 1 解 由推论我们可得:
loga x ( 0 < a < 1 )相 切于 唯一 公共 点 P ( x, ax ), 则 a = e- e1
证明 如图 3点 P ( x, ax )必在直线 y = x 上 (也
在直线 y = - x + m, 1> m > 0上 ), 则 x = ax
¹
# 教材教法 #
( 2007年第 8期 )
图1
正确的解答 为 A. 不 妨 将上 述两 函数 的 底数 a
取 1, 指数函数 16
y=
( 1 )x 与 y = 16
log
1 x交于 (
16
1, 2
1 4
)
、(
1 4
,
1 2
)以及
y=
x 上一点.
故
A 为正确选项.
关于指数函数 y = ax 与其反函数 y = loga x 的图
像交点有以下几种 情况, 没 有交点, 一个交 点, 二个
图6
图7
1
( 1)当 aI (e e , + ] )时, 方程有 1个解 (如图 4);
1
( 2 )当 a I { e e }时, 方程有 2个解 (如图 5 );
1
( 3 )当 a I (1, e e )时, 方程有 3个解 (如图 6);
( 4 )当 a I [ e- e, 1] 时, 方程有 2个解 (如图 7);
且指数函数 y = ax 在 P 点的切线的斜率为 1,
则 yc= ax lna = 1
º
联立 ¹ º 得
x = ax, (x > 1, a > 1)
ax lna = 11
(* )
此方程组应 有唯一 解, 由 于该 超越 方程 组中 a
和 e联系很紧, 不妨换元, 令 a = ep, (p > 0), 方程组
13
图4
图5
1
图 3 底数 a= e e 时
且指数函数 y = ax 在 P 点的切线的斜率为 - 1,
则 y c= ax lna = - 1
º
联立 ¹ º 得
x = ax, ax lna = - 1, ( 0< x < 1, 0 < a < 1 )
方程组应有唯一解, 换元, 令 a = ep, (p < 0)
先看如下例题: 例 下列各点 中, 可 能是 指数函 数 y = ax 与其 反函数交点的是
A1(
12,
1 4
)
B1 ( 2, 3 )
C1 ( 1, 1)
D1 ( 2, 1)
误解 C 错误认为指数函数 y = ax 与 其反函数
y = loga x 的图像交点必在 y = x 上, 但是 y= ax 与 y = loga x 都不会过 ( 1, 1 )点. 为便于从图象上观察, 我们 取如图 1反例.
(* )可变形为
x = exp, ]
expp = 1
x = exp, ]
xp = 1
x = e,
p=
1 e
1
1
故指数函数 y = ( e e ) x 与对数函数 y = log 1 x
ee
相切于唯一公共点 P ( e, e).
类似的有:
命题 Ò 若 指数 函 数 y = ax 与 其 反 函 数 y =
交点, 三个交点.
命题 Ñ 若指数函 数 y = ax 与其 反函数 的 y =
loga x ( a > 1 )相切于唯一公共点 P ( x0, ax0 ).
1
则 a= e e .
证明 如图 2 切 点 P ( x0, ax0 )必 在 直 线 y = x
上, 则 x = ax 1
¹
1
图 2 底数 a= e e 时
则方程组可变形为:
x = exp, ]
expp = - 1
x = exp, ]
xp = - 1
x= 1, e
p = - e1
故当 a = e- e时, 指 数函 数 y = ( e- e )x 与对 数函
数 y=
loge- ex 相切于唯一公共点 P (
1 e
,
1 e
).
推论 对于指数函数 y = ax 与其反函数的 y= logax1
( 5 )当 a I ( 0, e- e )时, 方程有 4个解 (如图 8) 1
图8 ( 收稿日期: 20070628)
封面人物简介
庞金典 1963年出生, 华中师范大学数学系毕业, 湖北省数学特级教师, 1998 年被评为全国 模范教师, 2001年被湖北省人民政府授予有突出贡献中青年专家称号 1 现任湖北省天门中学副校 长1
连续十几年担任高三毕业班长期担任高中毕业班的数学课的教学以及班主任工作, 在指导学 生复习备考上, 有独特的方法, 取得了令人瞩目的成绩, 所带的学生曾获湖北省 2000年高考理科总 分第一名、第二名, 多次被评为天门市高考优秀辅导教师 1
在教学方法上有一定的研究 1 近五年来, 在省级以上刊物上发表近十篇教学文章 1 作为课题 主要负责人承担省级国家级课题五项 1 主编 5中学生数学)
# 教材教法 #
指数函数与其反函数的交点问题探讨
443300 湖北宜都一中 邹庆禹
在 高中 数 学 教 材 第 一册 函 数 章 节, 学 习 了函 数、反函 数、指数 函数 及其 反 函数 ) ) ) 对 数函 数的 基础上, 本文对指数函数 y = ax 与其反函数 y = loga x 的交点情况进行了探讨, 得到了较完美的结论.