几何体上最短路径问题
勾股定理的应用(最短路径问题)(2)
AB= 32+32 = 18=3 2；
(2)经过前(后)面和右（左）面;
AB= 52 +12 = 26 ；
32
(3)经过左（右）面和上（下）底面.
AB 22 42 20 2 5 .
A
3
26
B
A
3
1
25
B
2
1
C B 1
2C
B 2
A
3
2
A1
3
C
Q 3 2 2 5 26 最短路程是3 2 .
四）阶梯（组合几何体）问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、
3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂
蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短
路程是2__5________dm.
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
32B3源自2 ＢAB= AC2+BC2 = 202+152 = 625=25 dm
C1
（三条棱长如图所 示），问怎样走路
最短路程是5.
A1 D
1 B1
C
线最短？最短路线 长为多少？
A
A1
5
b2
4
a A1
41
37
B141c
B
A
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c），
你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗？
练习2：如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为
20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是_______2c5m.
几何体上最短路径问题
确定几何体上的最短路径问题例1．有一圆柱形油罐，如图所示，要行A点环绕油罐建梯子正好到A点的正上方B点,问梯子最短需要多长?（已知油罐的底面周长是12m,高AB是5m）例2．如图所示是一个二级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别为60㎝、30㎝、10㎝，A和B是这个台阶两个相对的端点。
在A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,请你帮助蚂蚁计算一下，它沿着台阶面从A点爬到B点的最短路程是多少？例3．如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝。
如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？例4．如图所示,一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8㎝㎝，8㎝，12㎝，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短距离是多少？例5．有一个长方体纸盒,如图所示，小明所在数学小组研究有长方体的地面点A到长方体中与点A相对的B点的最短距离,若长方体的底面长为12，宽为，高为5，请帮助该小组求出有A点到B点的最短距离.（21。
592≈466，18。
442≈340）变式训练1．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图所示，已知杯子高8㎝，点B距杯口3㎝（杯口在上）,杯子底面半径为4㎝，蚂蚁沿表面从A点爬到B点的最短距离是多少？（ 取3)2．如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市,它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=20km，BB1=40km，且A1B1=80km.现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最短.请你设计一个方案确定P点的位置,并求出这个最短距离。
3．如图1-6，圆柱形玻璃杯,高为12㎝，底面周长为18㎝，在杯内离杯底4㎝的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4㎝与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?5.同学们为学校国庆晚会设计了一个圆柱形灯罩，然后在侧面上缠绕红色彩纸如图（1）所示。
3.3勾股定理的应用举例——立体图形中最短路径问题
归●纳5:、圆柱答展开转化为平面图形，利用两点之间
线段最短找到最短路径，然后运用勾股定理求
解。圆柱体的展开图是一个长方形，但需要注
意展开后点的位置的确定。
变式训练：最短路径问题——圆柱
1、有一圆柱形糖罐, 底面周长是12厘米,高AB是5厘米，蚂蚁从
BC
=
16
×
1 2
= 8，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=1100
∴AB=10(m) .
最短路径问题——长方体
如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在 AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去 吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15
B．25
C．35
D．45
最短路径问题——长方体 例3.如图是一块长，宽，高分别是 4cm，2cm和1cm的长方体木块一只 蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上 和A相对的顶点B处吃糖，那么它需 要爬行的最短路径的长是（B ）
因为每个面的 大小相同，展 开后长方形的 长宽不变，所 以结果相同。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无论什么立方体，都必须通过展开后得到平面图形，利用两点 之间线段最短得到最短的距离，再运用勾股定理求出结果。
课堂总结：
知识：立体图形中的最短路径问题
转化
方法：1、展开； 平面图形
2、找起点、终点 3、运用两点之间线段最短找到最短路径； 4、运用勾股定计算。 5、答
勾股定理的应用 立体图形中最短路径问题
立体图形中的最短路径
最短路径问题——圆柱
B
例1、有一个圆柱,它 我怎 的高为12cm,底面半径为 么走
几何体表面的最短路线问题
体顶点A处有一个蚂蚁，现要向顶点B爬行，求最短
路线长.
B
7
侧面展 开图
左
B
3
3 A5
A7
5
AB2 (5 7)2 32 153
B 结论：
AB最短 b c 2 a 2 `
A
长：a, 宽：b, 高：c 且a > b > c > 0
第三项：爬柱子
比赛规则：在圆柱侧面从A走到B，所走路线最 短者获胜.
5
12
立体图形
转化 展开
平面图形
数学思想：转化思想
数学原理：两点之间线段最短
当堂检测：
1.如图，蚂蚁从台阶A处爬到B处它的最短距离是（ B ）.
A 20 B 25 C 30 D 35
2.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只
蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短
2
如图，台阶的长、宽、高分别是30，2，8，求 从A到B所走的的最短距离是 50 .
第二项：翻方块
比赛规则：在方体表面从A走到B，所走路线最 短者获胜.
B
A
如图，方块是边长为1的正方体，求从A到B所走
的最短路线长是
。
第二项：翻方块
如图，方块是边长为1的正方体，求从A到B所走
的最短路线长是
。
B
B
B
答：最短距离是20厘米
路径长为 13
cm.
3.有一个长方体，它的长、宽、高分别为10cm，6cm，12cm．在
顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂 蚁沿长方体表面爬行的速度是3cm/s，问蚂蚁能否在7秒内获取到食物？ 并说明理由.
几何体最短路径--勾股定理12.22
A.20cm
B.2 10 cm
C.6cm D.无法确定
2O
蛋糕 B
2
A
圆柱(锥)中的半径2cm,一只蚂蚁从
点A沿侧面爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）
是( B)
A.20cm
B. 2 10 cm
2O
蛋糕 B
C.6cm D.无法确定
周长的一半
C６
B
2
A
求解几何体的最短路线长
一、正方体中的最值问题
例1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
二、长方体中的最值问题
D1 A1 D
A
4
C1
1 B1 C
2 B
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c （a＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A到C1 的最短路径吗？
从A到C1的最短路径是
小 结： 最短路径问题把几何体适当
展开成平面图形，再利用“两点 之间线段最短”，或点到直线 “垂线段最短”等性质来解决问 题。
②
C
2
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 =5 ;
A1
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1 =√62+12 =√37 ;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
08 立体图形上的最短路径问题
第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题:1。
基本思路：立体图形平面化，即化“曲"为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如:求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3)通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子(圆柱)侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A,根据“两点之间,线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4。
解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm,A 和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析:解:展开图如图所示，2251213AB cm =+=所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC'（在面ADD'A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC'上（如图2))(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++=所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可。
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题(教师版)
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。
2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01 最短路径问题平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫从下底点A 处爬到上底B 处再回到A 处，则小虫所爬的最短路径长是（ ）（p 取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得30AB===cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．【即学即练】1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24pcm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB＝12底面周长＝12×p×24p＝12（cm），BP＝12BC＝5（cm），所以AP（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm，故答案为：13．【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为4pcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）A．24cm B．30cm C．cm D．cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4pcm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4p＝8cm；又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【知识拓展2】长方体有关的最短路径问题想【微点拨】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
八上几何最短路径问题
八上几何最短路径问题
嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠八上几何最短路径问题。
简单来说呢，这就是让咱们在各种几何图形里，找出从一个点到另一个点的最短路线。
比如说，在一个三角形里，从一个顶点到对边上的某个点，怎么走距离最短。
这可不是随便走走就行的哦，得用咱们的聪明才智好好琢磨琢磨。
常见的类型
1. 两点之间线段最短
这可是最基本的啦。
比如说，给你两个点 A 和 B，那直接把它们连起来的线段就是最短的路径。
2. 直线同侧两定点到直线上一动点距离之和最小
就像在一条直线的同侧有两个固定的点 P 和 Q，然后在这条直线上找一个动点 M，让 PM + QM 的和最小。
这种情况就得作其中一个点关于直线的对称点，然后连接另一个点和对称点，与直线的交点就是咱们要找的动点啦。
解题方法和技巧
1. 画图很重要
先把题目里的几何图形画清楚，把关键的点和线标出来，这样能让咱们思路更清晰。
2. 利用对称性质
遇到那种同侧两定点的问题，对称可是个好帮手，能把问题变得简单不少。
3. 多做练习题
熟能生巧嘛，做得多了，碰到类似的问题就能很快找到思路啦。
几何最短路径问题虽然有点小复杂，但是只要咱们认真思考，多练习，肯定能轻松拿下！加油哦小伙伴们！。
求解几何体的最短路经长之——正方体、长方体中的最值问题
求解几何体的最短路经长之——正方体、长方体中的最值问题【正方体】如图，边长为1厘米的正方体中，一只瓢虫从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是？两点之间直线最短！图中是一个立体图形，应当把它展开！展开之后连接A和C，即最短路径。
已知AB为1厘米，BC为正方体的两个棱长即2厘米，根据勾股定理，求得最短路径为√5厘米。
结论：展开正方体中的最短路径为两个正方形组成的长方形的对角线长【长方体】如图是一块长，宽，高分别是4厘米、5厘米、3厘米的长方体木块，一只瓢虫要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是？想一想，该如何展开呢？有三种情况！第一种：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，如下图展开的长方形两边分别是4厘米和8厘米（3+5=8），根据勾股定理，AB长√80厘米第二种：把我们看到的左面与上面组成一个平面，如下图展开的长方形两边分别是5厘米和7厘米（3+4=7），根据勾股定理，AB长√74厘米第三种：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，如下图展开的长方形两边分别是3厘米和9厘米（5+4=9），根据勾股定理，AB长√90厘米三种情况比较而言，最短的是第二种，即最短距离是√74厘米结论：长方体中的最值问题，将长方体按三种方式展开，比较最短的走法。
练习题：1，如图是一个棱长为4厘米的正方体盒子，一只蚂蚁在AE的中点M处，它到CD的中点N 的最短路线是多少？2，如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点B处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？答案：1. 2√10厘米2. 5厘米。
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确定几何体上的最短路径问题
例1．有一圆柱形油罐，如图所示，要行A点环绕油罐建梯子正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m）
例2．如图所示是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60㎝、30㎝、10㎝，A和B是这个台阶两个相对的端点。
在A点有一只蚂蚁想到B点
去吃可口的食物，请你帮助蚂蚁计算一下，它沿着台阶面从A
点爬到B点的最短路程是多少？
例3．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线
最短需要多长？
例4．如图所示，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8㎝㎝，8㎝，12㎝，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁
设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短距离是多少？
例5．有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究有长方体的地面点A到长方体中与点A相对的B点的最短距离，
若长方体的底面长为12，宽为，高
为5，请帮助该小组求出有A点到
B点的最短距离。
（21.592≈466,18.442≈340）
变式训练
1．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图所示，已知杯子高8㎝，点B距杯口3㎝（杯口在上），杯子底面半径为4㎝，蚂蚁沿表面
从A点爬到B点的最短距离是多少？（ 取3）
2．如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=20km，BB1=40km，且A1B1=80km。
现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最短。
请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离。
3．如图1-6，圆柱形玻璃杯，高为12㎝，底面周长为18㎝，在杯内离杯底4㎝的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4㎝与
蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？
5.同学们为学校国庆晚会设计了一个圆柱形灯罩，然后在侧面上缠绕
红色彩纸如图（1）所示。
已知圆筒高108㎝，周长36㎝，如果在
表面缠绕彩纸4圈，应需彩纸多长?
6.如图所示，李俊的家在高楼的第15层，一天他去买竹竿，如果
电梯的长、宽、高分别是1.2m、1.2m、2.1m，则他所买的竹竿
的最大长度是多少？
7.将一根24㎝的筷子，置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中（如图），设筷
子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是。