《空间直角坐标系中点的坐标》
空间中的点的坐标-高中数学知识点讲解(含答案)
空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）一．选择题（共9 小题）1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若S 1 ，S ，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则S D ABC xOy yOz zOx( )2 3A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 12．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐1 1 1 1标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )1 1A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P ，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)(34．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分1 1 1 1别为A ，1，1) ，，3，，那么该正方体的棱长为( 1 C1(3 3) ( )A．1 B．2 C．3 D．45．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A (3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( ) A． ( 3 ，1，4) B． (3 ，1，4) C． ( 3 ，1，4) D． ( 3 ，1，4)6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系O xyz 中．正四面体P ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]8．（2016 秋•西城区校级期中）点P (3 ，1， 0) 在空间直角坐标系的位置是 ( )第1页（共9页）A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )A．10 B．13 C．14 D． 5二．填空题（共5 小题）10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则P(2 1 1) yOz Q(x y z) xyz．11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，则P(2 1 1) yOz Q(x y z) x y z．12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是．113．（2014•海淀区校级模拟）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为．14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是．三．解答题（共1 小题）15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．求（1）球的半径R （2）OA g OB第2页（共9页）空间中的点的坐标（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共9 小题）1．（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1，2) ，若S 1 ，，S 分别表示三棱锥D ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )S2 3A．S S S B．S S 且S S C．S S 且S S D．S S 且1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 S S 3 1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：设(2 ，0，，，2，，，2，，，1，，则各个面上的射影分别为，，A 0) B(2 0) C(0 0) D(1 2) A BC D，，1在xOy 坐标平面上的正投影A(2 ，0， 0) ，B(2 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1，1， 0) ，S 2 2 2 ．121在yOz 坐标平面上的正投影A(0 ，0， 0) ，B(0 ，2， 0) ，C(0 ，2， 0) ，D(0 ，1，2) ，S . 2 2 2221在坐标平面上的正投影，0，，，0，，，0，，，1，， 2 2 2 ，zOx A(2 0) B(2 0) C(0 0) D(0 2) S32则且S S ，S S3 2 3 1故选：D ．【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．2．（2019 秋•石景山区期末）如图，以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐1 1 1 1标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，则C 的坐标是 ( )1 1A． (0 ，3， 2) B． (0 ，4， 2) C． (4 ，0， 2) D． (2 ，3， 4)【分析】推导出，， 1 2 ，由此能求出C 的坐标．AD DC 3 DD41【解答】解：以长方体ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，1 1 1 1过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，第3页（共9页）Q DB 的坐标为 (4 ，3， 2) ，1AD DC 3 DD 1 24 ，，，C 的坐标是： (0 ，3， 2) ．1故选：A ．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2018 秋•西城区期末）已知点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为 ( ) A．P(3，1， 2) B．P(3，1， 4) C．P(0 ， 2 ，1) D．P(6 ，4，5)【分析】根据题意，由空间中点坐标的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点A(2 ，0，1) ，B(4 ，2，3) ，P 是AB 中点，2 4 0 2 1 3则点P 的坐标为 ( ，，) ，即 (3 ，1， 2) ；2 2 2故选：A ．【点评】本题考查空间直角坐标系，涉及中点坐标公式，属于基础题．4．（2017 秋•丰台区期末）已知正方体ABCD A B C D 的每条棱都平行于空间直角坐标系的坐标轴，两顶点坐标分1 1 1 1别为，，，1(3，3，，那么该正方体的棱长为A ( 1 1 1) C 3) ( )A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式即可求出．【解答】解：两顶点坐标分别为，，，1(3，3，，Q A ( 1 1 1)C 3)，| AC | (3 1) (3 1) (3 1)3 42 2 2 2 21设棱长为，则，a a 2 a 2 a 2 3a 2 3 42解得a 4 ，故选：D ．【点评】本题考查了正方体的结构特征，以及两点之间的距离公式，属于基础题．5．（2017 秋•西城区校级期末）已知点A(3，1， 4) ，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ( )第4页（共9页）A．，1，B．，，C．，，D．，1，( 3 4) (3 1 4) ( 3 1 4) ( 3 4)【分析】根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的A x A相反数．【解答】解：由题意可得：点A(3，1， 4) ，所以根据空间中点的位置关系可得：点关于轴的对称点的坐标就是横坐标不变、纵坐标、竖坐标数值的相反A x A数，所以可得( 3，，．A 1 4)故选：C ．【点评】本题主要考查对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，此题所以基础题．6．（2016 秋•海淀区期末）在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 ( ) A． ( 1 ， 2 ，3) B． ( 1 ， 2 ，3) C． ( 1 ，2，3) D． (1 ，2，3)【分析】点，，关于坐标平面的对称点为，，．(a b c) xOy (a b c)【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(1，2，3) 关于坐标平面xOy 的对称点为 (1 ，2，3) ．故选：D ．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．7．（2016 秋•西城区期末）在空间直角坐标系中．正四面体的顶点，分别在轴，轴上移O xyz P ABC A B x y 动．若该正四面体的棱长是 2，则| OP | 的取值范围是 ( )A．[ 3 1， 3 1] B．[1，3] C．[ 3 1， 2] D．[1， 3 1]【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径．O P PM PM【解答】解：如图所示，若固定正四面体P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，设的中点为，则；AB M PM 22 12 3所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，O P PM M最大距离是PM 加上球M 的半径；所以，3 1…| OP |… 3 1第5页（共9页）即的取值范围是，．| OP | [ 3 1 3 1]故选：．A【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．8．（2016 秋•西城区校级期中）点，，在空间直角坐标系的位置是P (3 1 0) ( )A．在z 轴上B．在yO z 平面上C．在xO z 平面上D．在xOy 平面上【分析】点 (a ，b ， 0) 在xOy 平面上．【解答】解：点，，在平面上．P (3 1 0) xOy故选：D ．【点评】本题考查空间中点的位置的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．9．（2015 秋•北京校级期中）在空间直角坐标系中，点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面xOy 上的射影，O 为坐标原点，则OB 的长为 ( )A．10 B．13 C．14 D． 5【分析】根据射影的定义，求出点在坐标平面内的射影，计算线段即可．A xOyB | OB |【解答】解：在空间直角坐标系中，Q点B 是A(1，2，3) 在xOy 坐标平面内的射影，B 点的坐标是 (1 ，2， 0)| OB | 1 2 052 2 2．故选：D ．【点评】本题考查了点在空间直角坐标平面内的射影以及两点间距离公式的应用问题，是基础题目．第6页（共9页）二．填空题（共5 小题）10．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点(2 ，，在平面内的射影为，，，则P 1 1) yOz Q(x y z) xyz 0．【分析】根据点(2 ，，在平面内的射影为，，，得到在坐标平面上，竖标和纵标与相P 1 1) yOz Q(x y z) B yOz A 同，而横标为 0，写出Q 的坐标是 (0 ，1，1) ，由此能得到结果．【解答】解：在空间直角坐标系中，Q点，，在平面内的射影为，，，P(2 1 1) yOz Q(x y z)1 1)Q(0 ，，，xyz 0．故答案为：0．【点评】本题考查空间中的点的坐标、考查正投影的性质，是一个基础题，本题的运算量比较小，是一个必得分题目．11．（2017 秋•东城区期末）在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(x ，y ，z) ，则x y z 0．【分析】在空间直角坐标系中，点P(2 ，1，1) 在yOz 平面内的射影为Q(0 ，1，1) ，由此能求出x y z ．【解答】解：在空间直角坐标系中，点，，在平面内的射影为，，，Q P(2 1 1) yOz Q(x y z)Q 1 1)(0 ，，，x y z 0 11 0．故答案为：0．【点评】本题考查代数式求值，考查空间直角坐标系中点的射影的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（2015 春•北京校级期中）如图空间直角坐标系中，正方体AC 的棱长为 2，E 是BC 中点，则点E 的坐标是1(1 ，2， 2) ．第7页（共9页）【分析】根据空间直角坐标系，利用中点坐标公式求出的中点的坐标即可．BC E【解答】解：Q正方体ABCD A B C D 中，棱长为 2，1 1 1 1B(2 ，2， 2) ，C(0 ，2， 2) ，又Q E 是BC 的中点，(2 0E 的坐标为，，) ，2 2 2 22 2 2即 (1 ，2， 2) ．故答案为： (1 ，2， 2) ．【点评】本题考查了空间直角坐标系与中点坐标公式的应用问题，是基础题目．13．（2014•海淀区校级模拟）已知点A ，1， 4) ，则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 (3 ，1，4) ．( 3【分析】根据中心对称的性质，得线段AB 的中点为原点O ，由此结合中点坐标公式列方程组，解之即可得到点B 的坐标．【解答】解：设B(x ，y ，z) ，则Q点A(3，1， 4) 与B 关于原点O 对称，x (3)2x 3y 1O AB 0原点是线段的中点，可得，解之得y 12z 4z 42因此点坐标为，，B (3 1 4)故答案为：，，(3 1 4)【点评】本题给出点A 的坐标，求点A 关于原点的对称点B 的坐标，着重考查了空间点的位置关系的中点坐标公式等知识，属于基础题．14．（2014•海淀区校级模拟）在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是第8页（共9页）( 1 ，2， 0) ．【分析】直接利用空间直角坐标系，点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，写出结果．【解答】解：在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3) ，则点A 在yox 面上的投影点坐标是竖坐标为 0，即： ( 1 ，2， 0) ．故答案为： ( 1 ，2， 0) ．【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，点的位置关系，考查基本知识的应用．三．解答题（共1 小题）15．（2008•海淀区自主招生）已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，他们的坐标分别为O(0 ，0， 0) 、A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2) ．求（1）球的半径R （2）OA g OB【分析】（1）根据球面上的点到球心的距离就是半径，得到只要求出A 到圆心O 的距离即可，利用两点之间的距离公式，得到结果，（2）根据两个点的坐标，写出以原点为起点的向量的坐标，利用两个向量数量积的坐标形式的公式，代入求出结果．【解答】解：（1）A 、B 是球心为O 的球面上的两点半径为 0A或 0B 的长度R | OA| 2 1 1 2（2）Q A( 2 ，1，1) 、B(0 ， 2 ，2)OA ( 2 1 1) OB (0 2 2)，，，，，OA g OB 0 2 2 0【点评】本题考查球的计算，考查空间直角坐标系，考查向量的数量积，是一个基础题，在解题时只要细心，这是一个送分题目．第9页（共9页）。
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
空间直角坐标系中点的坐标求法
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD， PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形， ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练 1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°.
求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
（1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE
是边长为 6 的正三角形，
（1）证面 DEC⊥面 BDE
（2）求点 A 到面 BDE 的距离
6
AP n 2
3
(1,0,0)
x
(0,1,0) y (1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，
侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。
3.1.1点在空间直角坐标系中的...
3.1.1点在空间直角坐标系中的...1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.32.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=05.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A到坐标平面yOz的距离是.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.2614.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B 的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.3答案A解析在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为d=(1-1)2+(-2-0)2+(5-5)2=2.故选A.2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)答案B3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对答案C解析若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=0答案A解析由|MA|=|MB|,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A.5.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.答案5解析因为点P(3,-2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2),所以x=3,y=0,z=2,所以x+y+z=3+0+2=5.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.答案4解析∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),∴|M1M2|=(-1+1)2+(-2-2)2+(-3+3)2=4.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A 到坐标平面yOz的距离是.答案3 1解析根据空间两点间的距离公式,得|OA|=(1-0)2+(2-0)2+(2-0)2=3.∵点A(1,2,2),∴点A到平面yOz 的距离为1.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.解(1)点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,5);(2)点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标为(1,-3,5).9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.解建立如图所示空间直角坐标系.点E在xDy平面上的投影为点B,点B坐标为(1,1,0),点E的竖坐标为12,所以E1,1,12.点F在xDy平面上的投影为BD的中点G,点G的坐标为12,12,0,点F的竖坐标为1,所以F12,12,1.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)答案C解析选项A的距离为8+5+4=17,选项C的距离为8+5+0=13,选项D的距离为8+5+144≠13,故选C.11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对答案A12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b答案C解析点P在xOy平面的投影点的坐标是P＇(a,b,0),∴|PP＇|2=(a-a)2+(b-b)2+(c-0)2=c2,∴点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是|c|.故选C.13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.26答案B解析|AB|=(2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2=5a2+10a+59=5(a+1)2+54,当a=-1时,|AB|min=54=36.14.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)答案AC解析设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间距离公式可得|AB|=(-2)2+32+(4-c)2=7,解得c=-2或10,所以B点的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)答案等腰解析由空间两点间距离公式可求得三角形三边长分别为|AB|=14,|AC|=6,|BC|=6.所以△ABC为等腰三角形.16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.答案过点(1,0,3)且平行于y轴的一条直线解析由空间中点的坐标特点可知,由于x轴上坐标与z轴上坐标已确定,所以点P的集合为过(1,0,3)且平行于y轴的一条直线.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵|AP|=|AB|=2,|BC|=22,四边形ABCD是矩形,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2),∴|PB|=(0-2)2+(0-0)2+(2-0)2=22,∴|PB|=|BC|,又F为PC的中点,∴PC⊥BF.∵E(0,2,0),∴|PE|=(0-0)2+(2-0)2+(0-2)2=6,|CE|=(0-2)2+(2-22)2+(0-0)2=6,∴|PE|=|CE|,又F为PC的中点,∴PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.解(1)因为直线EF 是AB的垂直平分线,所以在平面ABB1A1内只有线段EF上的点到A,B 两点的距离相等,又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得(1-2)2+(2-0)2+(m-0)2=20.所以m2=15.因为m∈[0,4],所以m=15.故平面ABB1A1内的点P(1,2,15),使得△ABP为等边三角形.(2)设MN 上的点Q(0,2,n)满足题意,由AB为Rt△AQB斜边,且F为AB中点,所以|QF|=12|AB|,又F(1,2,0),则(0-1)2+(2-2)2+(n-0)2=12(0-2)2+(4-0)2+(0-0)2,整理得n2+1=5.所以n2=4.因为n∈[0,4],所以n=2.故MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.。
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升
2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
《空间直角坐标系》（人教）第一章：空间直角坐标系的引入1.1 学习目标(1) 了解空间直角坐标系的定义和意义。
(2) 学会在空间直角坐标系中确定一个点的坐标。
1.2 教学内容(1) 空间直角坐标系的定义：三维空间中的一个参照系统，由三个互相垂直的坐标轴组成。
(2) 坐标轴的表示：通常用x, y, z表示三个坐标轴。
(3) 坐标点表示：一个点在空间直角坐标系中的位置由一对有序实数(x, y, z)表示。
1.3 教学活动(1) 利用实际例子（如地图上的位置表示）引出空间直角坐标系的定义。
(2) 通过图形和模型展示坐标轴的互相垂直关系。
(3) 让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中表示一个点。
1.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括在给定的坐标系中表示不同点的坐标。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创造一个坐标系，并标出一些特定的点。
第二章：坐标系的转换2.1 学习目标(1) 学会在不同坐标系之间进行转换。
(2) 理解坐标系转换的原理和意义。
2.2 教学内容(1) 坐标系之间的转换：通过变换矩阵实现不同坐标系之间的转换。
(2) 变换矩阵的定义和性质：变换矩阵是一个方阵，用于描述坐标系的转换关系。
2.3 教学活动(1) 通过图形和实例解释坐标系转换的原理。
(2) 引导学生学习变换矩阵的定义和性质。
(3) 进行实际操作，让学生学会使用变换矩阵进行坐标系之间的转换。
2.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括使用变换矩阵进行坐标系转换。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创建一个坐标系转换问题，并给出解答。
第三章：坐标系的应用3.1 学习目标(1) 学会使用坐标系解决实际问题。
(2) 了解坐标系在各个领域中的应用。
3.2 教学内容(1) 坐标系在几何中的应用：通过坐标系解决几何问题，如计算距离、角度等。
(2) 坐标系在物理学中的应用：描述物体的运动轨迹和速度等。
3.3 教学活动(1) 通过实际例子展示坐标系在几何中的应用。
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 点在空间直角坐标系中的坐标 空间两点间的距离公式
2
2
5+4
9
0 =
= ,
2
2
-7+3
0 = 2 = -2,
∴AB 的中点 C
||=√25 + 1 + 100 = √126=3√14.
1 9
的坐标为(2 , 2,-2).
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求空间点的坐标
【例1】 (1)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是
自主诊断
1.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间
的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
解 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y
轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y
轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个
平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4
的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的
有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P↔(a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序
实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都
可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角
过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上
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1
•P
y
• P2y
3、空间中P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、
纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴上的坐
标z就是P点的竖坐标。
z
z P1
P
P点坐标为
1
x
•o
1
1
xM
•
yy
N
• P0
(x,y,z)
应用举例
例1．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
2
１．空间直角坐标系的概念． ２．空间直角坐标系的画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
3.1 空间直角坐标系的建立
下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3 ) 5y
空间直角坐标系
z
从空间某一个定点０引三条互相
垂直且有相同单位长度的数轴，这样
就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o
y
x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条
标，纵坐标和竖坐标都是０．
z
２．xoy坐标平面内的点
R(0,0, z)
的竖坐标为０，横坐标
B(0, y, z)
与纵坐标分别是点向两
C( x,o, z)
M( x, y, z) 轴作垂线交点的坐标．
O(0,0,0) o
y
Q(0, y,0)
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
1、在空间直角坐标系中描出下列 各点，并说明这些点的位置
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的
空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，数值x,y,z
叫做 P点的横z 坐标、纵坐标、竖坐标。
z • P3
1
•o
xx•
1 P1
解 先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.
因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴 在xOy平面的同侧，这样就确定 了点P在空间直角坐标系中的位置 ,如右图所示.
想
在空间直角坐标系中, x轴上的点、xoy
一 坐标平面内的点的坐标各有什么特点？
想
？ 1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐
坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、
yoz平面、和 zox平面．
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz 面
Ⅳ
xy 面
z zx 面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂
直，并使四指先指向x轴正方向，然后让
四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方
向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3）z E（2,2,0） F（1,0,0）
D• •B
1 •A
O•
F• 1
C
•
y
1
•E
x
如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点 C、B′、P的坐标. 答案：C、B′、P 各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， ( 3 , 2,3)
们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明:
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o y
x
空间直角坐标系的画法:
z
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,
而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同，x 1350 o
轴上的单位长度为y轴（或z轴）
1350
y
的单位长度的一半．
x
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标