山大网络教育线性代数C试题及答案

线性代数模拟题

一．单选题.

1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ C ）． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．

（A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)

m 4

1

． 2. 如果方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ D ）． （A ）0=k 或1=k ；（B ）1=k 或2=k ；（C ）1-=k 或1=k ；（D ）1-=k 或3-=k ．

3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ A ）． （A ） I BCA =； (B) I A C B =； (C) I BAC =； (D) I C B A =．

4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ A ）必成立． （A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =．

5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ D ） （A ）必定r

(B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关

(D)向量组中任意个1+r 向量必定线性相关

6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）

(A)

133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ; (C)

133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ .

7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（ D ） (a)λI-A ＝λI-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量

(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）

8. 当（C ）时，A 为正交矩阵，其中 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=c b a A 0 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ A ） (A)

14433221,,,αααααααα++++线性无关;

(B) 14433221,,,αααααααα----线性无关;

(C)

14433221,,,αααααααα-+++线性无关; (D)

14433221,,,αααααααα--++线性无关.

10. 当=A （ B ）时，有

A ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32

1

321

332

21

132

1

321

321333c c c b b b c a c a c a c c c b b b a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300；（D ）⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-130010001．

二．计算题或证明题

1. 设A ～B,试证明

(1)A m ～B m (m 为正整数)（2）如A 可逆，则B 也可逆，且A －1～B －

1

2. 如n 阶矩阵A 满足A 2

=A ，证明：A 的特征值只能为0或-1。

3. 当a 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+b

x x x x a x x x x x x x x x x x 4321432143243215311

222

参考答案：

当a=0, b = －2时有解12

212

3142

11x k x k k x k x k =--⎧⎪=++⎪⎨=⎪⎪=⎩

4. 判断向量β能否被321,,ααα线性表出，若能写出它的一种表示法．

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=10738β，⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1365,2053,3172321ααα 参考答案：

β不能被123,,ααα线性表示。

5. 若方阵A 可逆，则A 的伴随矩阵*

A 也可逆，并求出*

A 的逆矩阵． 参考答案： 证明（略），1

1

(*)

||

A A A -=