空间向量的坐标表示
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空间向量的正交分解及其坐标表示(上课用)
注意： 1.空间向量的基底可以为零向量吗？
基向量不能为零向量
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
三、平面向量的坐标表示
y
正交单a位 xi +y j
基底
yj
a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
j
(直角)坐标，记作
O
x
i xi
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
记作.P=(x,y,z)
e3
e1
O e2
y
x
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理，对
z
于空间任一向量 p 存在唯
一的 有序实数组 (x,y, z)使 p xi yj zk
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[探究问题] 1．已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？ [提示] Px1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
空间向量的坐标表示
p
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧空间向量在数学和物理学中扮演着重要的角色，它们被广泛地用于描述力、速度、加速度和位移等物理量。
在本文中，我将介绍空间向量的表示方法和一些常用的运算技巧。
一、空间向量的表示方法空间向量可以用多种方式表示，其中最常见的是使用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个空间向量可以由其在x、y和z轴上的分量表示。
例如，一个点P的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示P在x、y和z轴上的分量。
这种表示方法简单直观，易于理解和计算。
除了坐标表示外，空间向量还可以使用矢量符号表示。
矢量符号通常在向量上方加一箭头，表示其方向和大小。
例如，一个向量a可以表示为a→。
这种表示方法更加简洁，能够清晰地表达向量的性质，但在计算时需要注意方向和大小的对应关系。
二、空间向量的运算技巧1. 向量相加空间向量的相加运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁,b₂, b₃)，它们的和向量c可以表示为 c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
这个运算规则适用于三维空间中的所有向量。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量a和一个实数k，向量ka可以表示为 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。
这个运算技巧可以用来改变向量的大小或方向。
3. 向量的点积向量的点积（内积）是两个向量相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
点积运算的结果是一个标量，可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。
4. 向量的叉积向量的叉积（外积）是两个向量相乘后得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)。
空间向量运算的坐标表示
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3 )
a (a1,a2,a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
练习1:已知
a
(2,3,5),b
已知 A( x1, y1, z1 ) , B( x2, y2, z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M
是AB的中点，求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值.
z
O
y
x
练习1：如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1, a2 , a3 )
数组 (a1, a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 就
i Oj
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系下 x 的坐标.
记为 a (a1,a2,a3 ) .
⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a (x, 2,1) , b (3, x2, 5) 且 a 与 b 的夹角为
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
a (a1,a2,a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
练习1:已知
a
(2,3,5),b
已知 A( x1, y1, z1 ) , B( x2, y2, z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M
是AB的中点，求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值.
z
O
y
x
练习1：如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1, a2 , a3 )
数组 (a1, a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 就
i Oj
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系下 x 的坐标.
记为 a (a1,a2,a3 ) .
⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a (x, 2,1) , b (3, x2, 5) 且 a 与 b 的夹角为
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量的坐标表示
A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
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则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
2、空间向量基本定理：
如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得 向量 p ，
p xa yb zc
a
P
c
p
b
A'
c o Aa
C
p
bB
P’
B'
OP OA' OB' P' P xOA yOB zOC
a (a1 , a2 , a3 )
例1、已知a (2, 3,5), b (3,1, 4)
求a b, a b,8a,
例2:(1)已知空间三个点的坐标为 A(1,5,-2),B(2,4,1),C=(p,3,q+2),若 A,B,C三点共线，则p＋q＝ .
（2）已知a＝(3,-2,6),b=(-1,4,-2), c=(7,5,λ),若三个向量共面，求实数λ 的值.
（3）若m＝(8,3,a)与n=(2b,6,5) 共线， 则a＋b＝ .
例3：已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面是直角三角形，且∠ACB＝900， 点M,N分别是AC、A1B1的中点，利用 向量的知识证明：MN∥平面BC-B1C1.
1:已知A(3,5,-7），B(-2,4,3), 则AB 的坐标为 ；
p xa yb zc
1、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 j、 k
为单位坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯一
的有序实数组 ( x, y, z ) ，使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p在空间直角坐标系Oz 上式可简记作 xyz中的坐标， p
空间向量的坐标表示
1、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 a b (a1 b1, a2 b2 ),
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 ,Hale Waihona Puke y1 ), B( x2 , y2 )
练5:已知A(1,0,0），B(0,1,0), C=(0,0,2), 求一点D使DB∥AC,DC ∥AB.
练6：已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点M、N分别在AC和C1D上，且 AM:MC=C1N:ND=2:1,求证： z MN∥BD1. A1 D1 B1 C1 N A D M B C x
y
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运 算律； （2）、空间向量中的公式的形式与平面向
量中相关内容一致，因此可类比记忆； 2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
2、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b;
(2)3a b;
(3)6a;
练3:空间四个点A(1,0,1），B(4,4,6), C=(2,2,3),D(10,14,17),判定四点是否 共面，
练4：已知a=(0,0,1),b=(-1,3,2), c=(2,-1,3),d=(4,5,6),设d=xa+yb+zd, 则x，y，z的值是 。
k
p ( x, y, z)
A(x,y,z)
i
Oj
y
2、空间向量的直角坐标运算律： 则:
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
2、空间向量基本定理：
如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得 向量 p ，
p xa yb zc
a
P
c
p
b
A'
c o Aa
C
p
bB
P’
B'
OP OA' OB' P' P xOA yOB zOC
a (a1 , a2 , a3 )
例1、已知a (2, 3,5), b (3,1, 4)
求a b, a b,8a,
例2:(1)已知空间三个点的坐标为 A(1,5,-2),B(2,4,1),C=(p,3,q+2),若 A,B,C三点共线，则p＋q＝ .
（2）已知a＝(3,-2,6),b=(-1,4,-2), c=(7,5,λ),若三个向量共面，求实数λ 的值.
（3）若m＝(8,3,a)与n=(2b,6,5) 共线， 则a＋b＝ .
例3：已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面是直角三角形，且∠ACB＝900， 点M,N分别是AC、A1B1的中点，利用 向量的知识证明：MN∥平面BC-B1C1.
1:已知A(3,5,-7），B(-2,4,3), 则AB 的坐标为 ；
p xa yb zc
1、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 j、 k
为单位坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯一
的有序实数组 ( x, y, z ) ，使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p在空间直角坐标系Oz 上式可简记作 xyz中的坐标， p
空间向量的坐标表示
1、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 a b (a1 b1, a2 b2 ),
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 ,Hale Waihona Puke y1 ), B( x2 , y2 )
练5:已知A(1,0,0），B(0,1,0), C=(0,0,2), 求一点D使DB∥AC,DC ∥AB.
练6：已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点M、N分别在AC和C1D上，且 AM:MC=C1N:ND=2:1,求证： z MN∥BD1. A1 D1 B1 C1 N A D M B C x
y
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运 算律； （2）、空间向量中的公式的形式与平面向
量中相关内容一致，因此可类比记忆； 2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
2、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b;
(2)3a b;
(3)6a;
练3:空间四个点A(1,0,1），B(4,4,6), C=(2,2,3),D(10,14,17),判定四点是否 共面，
练4：已知a=(0,0,1),b=(-1,3,2), c=(2,-1,3),d=(4,5,6),设d=xa+yb+zd, 则x，y，z的值是 。
k
p ( x, y, z)
A(x,y,z)
i
Oj
y
2、空间向量的直角坐标运算律： 则:
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )