随机误差的合成
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
(完整word版)误差理论与数据处理期末试题
一.填空题1. ______(3S 或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。
2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。
3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。
4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。
5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。
6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。
7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。
8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。
9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。
10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。
11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。
这种误差称为______(系统误差)。
12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。
这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。
13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。
14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。
15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。
16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。
17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。
18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。
物理实验中常见误差分析方法介绍
物理实验中常见误差分析方法介绍在物理实验中，误差是不可避免的。
无论是由于仪器的限制、实验环境的影响还是实验者的操作技巧，都可能导致实验结果与理论值之间存在差异。
因此，对误差进行分析和处理是物理实验中至关重要的一步。
本文将介绍几种常见的误差分析方法。
一、随机误差分析随机误差是由于各种不可预测的因素引起的。
它的特点是在一系列测量中，各个测量值的差异是无规律的、不可预测的。
为了分析随机误差，我们可以进行多次重复测量，并计算测量值的平均值和标准偏差。
平均值是多次重复测量结果的算术平均数，可以作为对真实值的估计。
标准偏差是测量值与平均值之间的离散程度的度量，用于表示测量结果的精确度。
通过计算标准偏差，我们可以评估测量结果的可靠性。
二、系统误差分析系统误差是由于仪器的固有偏差、实验条件的变化或者操作技巧的不准确等因素引起的。
与随机误差不同，系统误差在一系列测量中具有一定的规律性，导致测量结果整体上偏离真实值。
为了分析系统误差，我们可以进行零点校准、仪器校正或者改进实验设计等措施。
比如，在测量长度时，我们可以使用一个已知长度的标准物体进行校准，以减小仪器的系统误差。
三、人为误差分析人为误差是由于实验者的主观因素引起的。
比如，操作技巧不熟练、读数不准确、实验者的主观判断等都可能导致人为误差的出现。
为了减小人为误差，我们可以进行培训和实践，提高实验者的技能水平。
此外，还可以采取双重盲法，即实验者不知道实验条件或者测量对象的真实情况，以减少主观判断对实验结果的影响。
四、合成误差分析合成误差是将各种误差因素综合考虑后的总误差。
在物理实验中，往往存在多个误差因素同时影响测量结果，因此需要将这些误差因素进行合成分析。
合成误差的计算可以使用误差传递公式。
该公式可以将各个误差因素的贡献按照一定的规则进行加权求和，得到总误差的估计值。
通过合成误差的分析，我们可以更全面地评估实验结果的准确性和可靠性。
综上所述，误差分析是物理实验中不可或缺的一环。
《误差理论与数据处理》考试题试题及答案
《误差理论与数据处理》考试题(卷)一、填空题（每空1分，共计25分）1．误差的表示方法有绝对误差、相对误差、引用误差。
2．随机误差的大小，可用测量值的标准差来衡量，其值越小，测量值越集中，测量精密度越高。
3．按有效数字舍入规则，将下列各数保留三位有效数字：6.3548— 6.35 ；8.8750— 8.88 ；7.6451— 7.65 ；5.4450— 5.44 ；547300— 5.47×105。
4．系统误差是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。
系统误差产生的原因有（1）测量装置方面的因素、（2）环境方面的因素、（3）测量方法的因素、（4）测量人员方面的因素。
5．误差分配的步骤是：按等作用原则分配误差；按等可能性调整误差；验算调整后的总误差。
6．微小误差的取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/10 。
7．测量的不确定度与自由度有密切关系，自由度愈大，不确定度愈小，测量结果的可信赖程度愈高。
8．某一单次测量列的极限误差lim 0.06mmσ=±，若置信系数为3，则该次测量的标准差σ= 0.02mm 。
9．对某一几何量进行了两组不等精度测量，已知10.05x mmσ=，20.04x mmσ=，则测量结果中各组的权之比为16:25 。
10．对某次测量来说，其算术平均值为15.1253，合成标准不确定度为0.015，若要求不确定度保留两位有效数字，则测量结果可表示为15.125(15) 。
二、是非题（每小题1分，共计10分）1．标准量具不存在误差。
（×）2．在测量结果中，小数点的位数越多测量精度越高。
（×）3．测量结果的最佳估计值常用算术平均值表示。
（√ ）4．极限误差就是指在测量中，所有的测量列中的任一误差值都不会超过此极限误差。
（×）5．系统误差可以通过增加测量次数而减小。
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
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l2
D1
D2
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1122
将已知各误差值及误差传递系数代 入角度的系统误差式，得
2 cos 0
f l1
l1
f l2
l2
f D1
D1
f D2
D2
2
2 (0.0045 0.0011 0.0045 0.0008
2 2 93.921 2 20.961 45 15
0
2
145956 0
295952
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1111
因为
sin 2 f (l1,l2, D1, D2 )
D1 D2
D1 D2
2l 2l1 2l2 D1 D2
§3.3 系统误差合成
§3.4 系统误差与随机误差的合成 §3.5 误差分配
§3.6 微小误差取舍准则
§3.7 最佳测量方案的确定
总结
第三章 误差的合成与分配
22
§3.1 函数误差
间接测量 通过直接测量与被测的量有一定
函数关系的其他量，然后按照已 知的函数关系式计算出被测的量。
函数误差 间接测得的被测量及其误差也应是直接测得
1
sin
n i1
f xi
xi
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
66
例题3.1
用弓高弦长法间接测量直径D。直接 测得其弓高h和弦长s，然后通过函 数关系计算求得直径D。 如果： h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
求测量结果。
s
500
5
s
s
2h 250
直径的系统误差: D f s f h 7.4mm
s h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
99
例题3.2 用双圆球检定高精度内锥角α ，已知
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm 测得尺寸及系统误差为
第三章 误差的合成与分配
重点与难点
1． 函数系统误差 2． 函数随机误差 3． 随机误差的合成 4． 未定系统误差和随机误差的合成 5． 误差分配 6． 微小误差取舍准则 7． 最佳测量方案的确定
第三章 误差的合成与分配
11
第三章 误差的合成与分配
主要内容 §3.1 函数误差
§3.2 随机误差的合成
cosd
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
cos
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
直接测量量 直接测量量
cos f x1, x2,..., xn
0.9659
0.0109 0.002 0.0109 0.003)rad
0.00011005rad
23
将所求得的角度系统误差修正后，则得被检定内
可得角度α的系统误差为
2 cos 0
f l1l1 Nhomakorabeaf l2
l2
f D1
D1
f D2
D2
2
式中各个误差传递系数为
f l1
-
(2l1
D1 D2 2l2 D1
D2 )2
2
0.0045；
f 0.0045； f 0.0109； f 0.0109
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm
解：由图可得函数关系式
sin （D1 D2）/ 2
D1 D2
2
l
2l1 2l2 D1 D2
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度α0为
sin 0
45 15
0.2588
量及其误差的函数，故称这种间接测量的误 差为函数误差。
第三章 误差的合成与分配
33
§3.1.1 函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要
为初等函数，且一般为多元函数，
其表达式为： y f ( x1, x2 , ...xn )
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上
式的函数增量为：
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
44
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
函数系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm 求检定结果。
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1100
（D1 D2）/ 2
l1 l2 D1 / 2 D2 / 2
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm
f
f
f
dy x1 dx1 x2 dx2 ... xn dxn
若已知各个直接测量值的系统误差为：
x1 , x2 , , xn
用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系
统误差：
f
f
f
y x1 x1 x2 x2 ... xn xn
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
88
s2
h 50mm, h 0.1mm
D= +h 4h
s 500mm, s 1mm
误差传递系数为:
f h
( s2 4h h
h)
s2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f
( s2 h) 4h
h s
D
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
77
h s
D
h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
解：由几何关系
s2 D= +h
4h
先不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm s 500mm 处的直径测量值
s2 D0 4h h 1300mm