图论算法--最小生成树

最小生成树。在此例中，最小
生成树的权值之和为 39。
A, D, F, 无 B, E, C,
G
算法时间复杂度：O (N2)。 【例 02】最优布线问题(wire) 【问题描述】
学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被 连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接 费用往往是不同的。
//u 为点的访问标记，白/蓝
for (i = 1; i <= n; i++){
int k = 0;
for (j = 1; j <= n; j++) //找一个与白点相连的权值最小的蓝点 k
if (u[j] && (minn[j] < minn[k]))
k = j;
u[k] = false;
//蓝点 k 加入生成树，标记为白点
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最小生成树
一、图的最小生成树（MST）
树的一个定理：N 个点用 N-1 条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树，没有别 的可能。
一个有 N 个点的图，边一定是大于等于 N-1 条的。图的最小生成树，就是在这些边中 选择 N-1 条出来，连接所有的 N 个点。这 N-1 条边的边权之和是所有方案中最小的。
int father(int x){
if (fat[x] != x) fat[x] = father(fat[x]);
return fat[x];
}
void unionn(int x,int y){
int fa = father(x);
int fb = father(y);
if (fa != fb) fat[fa] = fb;
率先选择了边 AD。这样我们的图就变成了左图
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在剩下的变中寻找。我们找到了 CE。这里边的权重也 是5
依次类推我们找到了 6,7,7，即 DF，AB，BE。
下面继续选择，BC 或者 EF 尽管现在长度为 8 的边是 最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于 BC 可以通过 CE,EB 来连接，类似的 EF 可以通过 EB,BA,AD,DF 来接连）。所以不需要选择他们。类似 的 BD 也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示 了）。最后就剩下 EG 和 FG 了。当然我们选择了 EG。
只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。 【输入样例】agrinet.in
4
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0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
【输出样例】agrinet.out
28
【参考程序】
#include<cstdio>
#include<iostream>
Kruskal 算法的时间复杂度为 O(E*logE)，E 为边数。 【例 03】最短网络 Agri-Net 【问题描述】
农民约翰被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接 到所有的农场。当然，他需要你的帮助。约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路， 他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农 场。你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短 的方案。每两个农场间的距离不会超过 100000。 【输入格式】 第一行：农场的个数，N（3<=N<=100）。 第二行..结尾 后来的行包含了一个 N*N 的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论上，他们是 N 行，每行由 N 个用空格分隔的数组成，实际上，他们限制在 80 个字符，因此，某些行会 紧接着另一些行。当然，对角线将会是 0，因为不会有线路从第 i 个农场到它本身。 【输出格式】
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cout << total << endl; return 0; }
方法二: Kruskal 算法
一、Kruskal（克鲁斯卡尔）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。算法
将一个连通块当做一个集合。首先将所有的边按从小到大顺序排序（排序或优先队列），并
3 将所有边用快排从小到大排序。
4 计数器 k=0;
5 for (i=1; i<=M; i++)
//循环所有已从小到大排序的边
if 这是一条 u,v 不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，
begin
合并 u,v 所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。
tot=tot+W(u,v)
3
012
101
210
【输出样例】
2 （注：表示连接 1 和 2，2 和 3，费用为 2）
【参考程序】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int g[101][101];
//邻接矩阵
int minn[101];
cin >> n;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
cin >> g[i][j];
memset(minn,0x7f,sizeof(minn)); //初始化为 maxint
minn[1] = 0;
memset(u,1,sizeof(u));
认为每一个点都是孤立的，分属于 n 个独立的集合。然后按顺序枚举每一条边。如果这条边
连接着两个不同的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一
个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了 n-1 条边为止。
算法描述:
1 初始化并查集。father[x]=x。
2 tot=0
n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下 e 行，每行 3 个数 i,j,wij，表示在城市 i,j 之间修建高速公路的造价。 【输出格式】 n-1 行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 【输入样例】 58 122 259 547 4 1 10 1 3 12
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和 G。C 距 E 为 5，G 距 E 为 9，故选取 C，并与边 EC 一同高亮表示。
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B, E
顶点 G 是唯一剩下的顶点，
它距 F 为 11，距 E 为 9，E 无
最近，故高亮表示 G 及相应
边 EG。
A, D, F, G
B, E, C
现在，所有顶点均已被选取，
图中绿色部分即为连通图的 无
当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用， 我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来 实现与另一台计算机的连接。
现在由你负责连接这些计算机，任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接 的）。 【输入格式】
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二、最小生成树用来解决什么问题？
就是用来解决如何用最小的“代价”用 N-1 条边连接 N 个点的问题。
【例 01】城市公交网建设问题 【问题描述】
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为 在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市 都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得 工程的总造价最少？ 【输入格式】
k++
如果 k=n-1,说明最小生成树已经生成，则 break;
end;
6 结束，tot 即为最小生成树的总权值之和。
图例
说明
首先第一步，我们有一张图 Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择 边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排 序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们
}
int cmp(const point &a,const point &b){
//sort()自定义的比较函数
if (a.v < b.v) return 1;
else return 0;
}
int main(){
freopen("agrinet.in","r",stdin);
freopen("agrinet.out","w",stdout);
3 算法结束： MST 即为最小生成树的权值之和
图例
说明
不可选 可选 已选
此为原始的加权连通图。每条 -
边一侧的数字代表其权值。
-
-
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顶点 D 被任意选为起始点。 顶点 A、B、E 和 F 通过单条 边与 D 相连。A 是距离 D 最 C, G 近的顶点，因此将 A 及对应 边 AD 以高亮表示。
A, B, D
E, F
下一个顶点为距离 D 或 A 最 近的顶点。B 距 D 为 9，距 A 为 7，E 为 15，F 为 6。因此，
C, G F 距 D 或 A 最近，因此将顶 点 F 与相应边 DF 以高亮表 示。
B, E, A, D
F
算法继续重复上面的步骤。距 离 A 为 7 的顶点 B 被高亮表 C 示。