高中数学抛物线练习题及答案
高中数学 2-4-3《抛物线》习题课同步练习 新人教B版选修2-1
2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
高中数学《抛物线》典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x ay 12=，a p 12=∴①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x y kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S Θ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF Θ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x ．3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k Θ 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ，221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =；(3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。
抛物线的性质-高中数学知识点讲解(含答案)
抛物线的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•海淀区期末）抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(1,0)-2．（2020•东城区模拟）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为( ) A ．1(0,)2-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(0,4)-3．（2020•门头沟区一模）已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为( )A B ．1)C ．D ．44．（2019秋•平谷区期末）已知抛物线2:8C y x =-，那么抛物线C 的准线方程为( ) A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x =5．（2019秋•通州区期末）已知点(2,)A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则||AF 等于( )A ．4B ．3C ．D ．26．（2019秋•石景山区期末）抛物线22x y =-的焦点坐标是( ) A ．1(0,)2B ．1(0,)2-C ．(1,0)D ．(1,0)-7．（2020•顺义区二模）抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为( ) A ．4B ．2C ．1D ．12二．填空题（共6小题）8．（2020•石景山区一模）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则||FN = ．9．（2019秋•平谷区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，那么点P 的坐标为 ．10．（2020•西城区校级模拟）抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p = ；点M 的坐标为 ． 11．（2020•北京模拟）如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ． 12．（2019秋•房山区期末）抛物线28x y =-的准线方程是 ，焦点坐标是 ． 13．（2020•房山区一模）设抛物线22x py =经过点(2,1)，则抛物线的焦点坐标为 ．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•海淀区校级期末）已知A ，B ，C 是抛物线2:4W y x =上的三个点，D 是x 轴上一点． （1）当点B 是W 的顶点，且四边形ABCD 为正方形时，求此正方形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形ABCD 是否可能为正方形，并说明理由．15．（2019秋•西城区期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D ．是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程．抛物线的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•海淀区期末）抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(1,0)-【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标． 【解答】解：抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2p =∴12p= ∴抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题． 2．（2020•东城区模拟）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为( ) A ．1(0,)2-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(0,4)-【分析】利用抛物线24x y =的准线方程为1y =-，即可求出抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标． 【解答】解：抛物线24x y =的准线方程为1y =-，∴抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为(0,1)-，故选：B ．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，比较基础．3．（2020•门头沟区一模）已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为( )A B ．1)C ．D ．4【分析】设出P 的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设(,)P x y ，可得2222||(2)44424||1PM x y x x x PF x x x x -++===+=-． 当且仅当2x =时取得最小值4． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．4．（2019秋•平谷区期末）已知抛物线2:8C y x =-，那么抛物线C 的准线方程为( ) A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x =【分析】真假利用抛物线的标准方程求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线2:8C y x =-， 可得其准线方程为22px ==． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．（2019秋•通州区期末）已知点(2,)A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则||AF 等于( )A ．4B ．3C ．D ．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而||AF 等于点A 到准线的距离|2(1)|d =--，计算可得． 【解答】解：由题意可得抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线的方程为1x =-， 由抛物线的定义可知||AF 等于点A 到准线的距离d ， 而|2(1)|3d =--=，故||3AF =， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义，把距离转化来求解是解决的关键，属中档题． 6．（2019秋•石景山区期末）抛物线22x y =-的焦点坐标是( ) A ．1(0,)2B ．1(0,)2-C ．(1,0)D ．(1,0)-【分析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标即可． 【解答】解：抛物线22x y =-的焦点坐标是(0,)2p-，1p =，所以抛物线22x y =-的焦点坐标是：1(0,)2-．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 7．（2020•顺义区二模）抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为( ) A ．4B ．2C ．1D ．12【分析】求出欧文相等准线方程，焦点坐标，然后转化求解即可． 【解答】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，准线方程为：1x =-，由抛物线的性质和对于可得：抛物线24y x =上的点到其焦点的距离的最小值为：1．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 二．填空题（共6小题）8．（2020•石景山区一模）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则||FN = 3 ．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点， 可知M 的横坐标为：12， 则11||1122FM =+=， 1||2||2132FN FM ==⨯=．故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（2019秋•平谷区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，那么点P 的坐标为 (4,4)或(4,4)- ． 【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x 的值，代入抛物线方程求得y 值，即可得到所求点的坐标． 【解答】解：抛物线方程为24y x =，∴焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-设所求点坐标为(,)P x y 作PQ l ⊥于Q根据抛物线定义可知P 到准线的距离等于P 、Q 的距离 即15x +=，解之得4x =， 代入抛物线方程求得4y =± 故点P 坐标为：(4,4)± 故答案为：(4,4)或(4,4)-．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决． 10．（2020•西城区校级模拟）抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p = 2 ；点M 的坐标为 ． 【分析】由抛物线22y px =的焦点坐标为(2p，0)，可得p 的值；由抛物线的定义，可得M 的横坐标，代入抛物线方程可得M 的坐标．【解答】解：抛物线22y px =的焦点坐标为(2p ，0)，由题意可得12p=，即2p =； 抛物线24y x =的准线方程为1x =-， 设(,)M m n ，可得14m +=，即3m =， 可得212n =，即23n =± 故答案为：2，(3,23)±．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．（2020•北京模拟）如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = 2± ． 【分析】首先求出抛物线22y px =的准线方程，然后根据点(4,)M m 到准线的距离为6，列出462p+=，直接求出结果．【解答】解：抛物线22y px =的准线方程为2p x =-， 由题意得462p+=，解得4p =． 点(4,)A m 在抛物线22y px =上， 2244m ∴=⨯⨯，∴42m =±故答案为：42±．【点评】本题主要考查抛物线的性质，解题的关键是求出准线方程．属于基础题． 12．（2019秋•房山区期末）抛物线28x y =-的准线方程是 2y = ，焦点坐标是 ． 【分析】有抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果．【解答】解：由抛物线28x y =-可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点(0,)2p-即：(0,2)-，准线22py ==， 故答案分别为：2y =，(0,2)-．【点评】考查抛物线的定义，属于基础题．13．（2020•房山区一模）设抛物线22x py =经过点(2,1)，则抛物线的焦点坐标为 (0,1) ． 【分析】由点在抛物线上，代入求出抛物线的方程，进而求出焦点坐标． 【解答】解：由题意可得，2221p =，所以24p =， 即抛物线的方程为：24x y =， 所以焦点坐标为：(0,1)， 故答案为：(0,1)．【点评】本题考查抛物线的性质，属于基础题． 三．解答题（共2小题）14．（2019秋•海淀区校级期末）已知A ，B ，C 是抛物线2:4W y x =上的三个点，D 是x 轴上一点． （1）当点B 是W 的顶点，且四边形ABCD 为正方形时，求此正方形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形ABCD 是否可能为正方形，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质知C 的坐标为(c x ，)c x ，代入抛物线方程，解出c x ，即可得到正方形的面积； （2）先假设四边形ABCD 为正方形，设直线AC 的方程为y kx m =+，曲直联立，得到韦达定理，并依次求得AC 中点M 坐标、弦长AC 以及点B 的坐标和弦长BD ，再利用1AC BD k k =-，得到k 与m 等量关系①，然后利用||||AC BD =，得到k 与m 等量关系②，联立①②即可判定四边形ABCD 是否可能为正方形． 【解答】解：（1）当点B 是W 的顶点时，设AC 与BD 相交于点O ，则OC OB =，假设点C 在x 轴上方，则C 的坐标为(c x ，)c x ，代入抛物线方程得4c x =，此时正方形的边长为BC =所以正方形的面积为232=． （2）四边形ABCD 不可能为正方形．当点B 不是W 的顶点时，直线AC 的斜率一定存在，设其方程为y kx m =+，A 、C 坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，则222(24)0k x km x m +-+=，所以122212242km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12124()2y y k x x m k +=++=， 因此，AC 的中点M 的坐标为222(,)km k k-，2121616|||kmAC x x-=-，若四边形ABCD为正方形，则BD的中点也是M，11BDACkk k=-=-，因为点D在x轴上，所以0Dy=，所以242Byk k=⨯=，代入24y x=，得24Bxk=，即244(,)Bk k，所以224221422BD BMkk kk kkm km kk k-====--+-，化简得2220k km++=，①||2||2BD BM===，因为||||AC BD=，所以2222(1)(1616)4(444)k km km k m k+-=+++，化简得2840k km++=，②由①②得，230k+=，k无解，故四边形ABCD不可能为正方形．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，充分利用正方形的性质和曲直联立是解决本题的关键，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题．15．（2019秋•西城区期末）已知抛物线2:2(0)C y px p=>，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线4x=-于点E，直线BF交直线1x=-于点D．是否存在这样的直线l，使得//DE AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．【分析】（Ⅰ）通过横坐标为1的点到焦点的距离为3，求出p得到抛物线方程．得到准线方程．（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=+≠，1(A x，1)y，2(B x，2)y．联立得28,(1),y xy k x⎧=⎨=+⎩消去y得2222(28)0k x k x k+-+=．利用韦达定理，方法一：直线BF的方程为22(2)2yy xx=--，求出D的坐标，利用直线DE与直线AF的斜率相等．推出221133232ykx yx-+-=--．转化求解直线的斜率，得到直线方程．方法二：利用//DE AF，得到||||||||BA BFBE BD=，转化求解直线的斜率，然后求解直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以132p+=，解得4p=，所以28y x=，所以准线方程为2x=-．（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=．由△224(28)40k k =-->，解得k <．所以k <且0k ≠．由韦达定理得212282k x x k-+=，121x x =． 方法一：直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--， 又1D x =-，所以2232D y y x -=-，所以223(1,)2y D x ---， 因为//DE AF ，所以直线DE 与直线AF 的斜率相等．又(4,3)E k --，所以221133232y k x yx -+-=--．整理得121222y y k x x =+--，即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--， 化简得121211122x x x x ++=+--，121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++，即127x x +=． 所以22827k k -=，整理得289k =，解得3k =±．经检验，3k =±符合题意． 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+． 方法二：因为//DE AF ，所以||||||||BA BF BE BD =，所以21222241x x x x x --=++． 整理得1212()8x x x x ++=，即22827k k -=，整理得289k =．解得3k =±，经检验，3k =±符合题意． 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
高中数学抛物线-高考经典例题
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-==4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y 2=kxk>0时开口向右(k/4,0) x= ─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上(0,k/4) y= ─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y 2=－16x例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课后练习含解析新人教B版选择性必修第一册
第二章平面解析几何2.7 抛物线及其方程 2.7.2 抛物线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知抛物线C :y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离等于6,则直线AF 的斜率为( )A.2B.±2C.2√2D.±2√2,点F (2,0),因为|AF|=x A +2=6,可得x A =4,又因为点A 在抛物线上,所以y A 2=32,则y A =±4√2,所以点A (4,±4√2),则k AF =±4√22=±2√2. 2.已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px (p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.3.若抛物线y 2=2x 上有两点A ,B ,且AB 垂直于x 轴,若|AB|=2√2,则点A 到抛物线的准线的距离为( ) A.1B.32C.2D.52y 2=2x ,其准线方程为x=-12,∵AB 垂直于x 轴,|AB|=2√2,A 到y 轴的距离为√2,假设A 在y 轴上侧,即y=√2,代入抛物线y 2=2x ,求得x=1,点A 到抛物线的准线的距离d=1+12=32.4.P 为抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,则有( )A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1|B.|PP 1|=12|AB| C.|PP 1|>12|AB| D.|PP 1|<12|AB|,根据题意,PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线,故|PP 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|. 5.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为( ) A.2√3 B.4 C.6 D.4√3,△FPM 为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM ⊥抛物线的准线. 设P (m 24,m),则M (-1,m ),等边三角形边长为1+m 24,又由F (1,0),|PM|=|FM|,得1+m 24=√(1+1)2+m 2,得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D .6.已知点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,则z=x 2+12y 2+3的最小值是 .(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,所以x ≥0,因为z=x 2+12y 2+3=x 2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z 最小,其值为3.7.已知抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点A ,B 在抛物线上,若△FAB 为等边三角形,则其边长为 .±2√3|FA|=|FB|及抛物线的对称性知A ,B 关于x 轴对称,不妨设直线AF 的倾斜角为π6,F (12,0),则直线AF 的方程为y=√33(x -12),联立{y 2=2x ,y =√33(x -12),解得x=7±4√32, 则|AF|=x+p 2=7±4√32+12=4±2√3. 所以该三角形边长为4±2√3.8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.x 2=2py (p>0),设A (x 0,y 0),由题意知M (0,-p2),∵|AF|=3,∴y 0+p2=3,∵|AM|=√17,∴x 02+(y 0+p 2)2=17,∴x 02=8,代入方程x 02=2py 0得,8=2p (3-p2),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x 2=4y 或x 2=8y.9.已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线方程为x=-1. (1)求p 的值;(2)直线l :y=x-1交抛物线于A ,B 两点,求弦长|AB|.由抛物线y 2=2px (p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =x -1,y 2=4x 消去y ,得x 2-6x+1=0,则x 1+x 2=6,x 1x 2=1,所以|AB|=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√2·√(x 1-x 2)2=√2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√2×√32=8.关键能力提升练10.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AB|=( ) A.2B.43C.83D.163C :y 2=4x 的焦点F (1,0)和准线l :x=-1,设A (-1,a ),B (m ,n ),∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴m+12=23,∴m+1=3,AB=83.11.抛物线y 2=2x 的焦点为F ,则经过点F 与点M (2,2)且与抛物线的准线l 相切的圆有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个M (2,2)在抛物线y 2=2x 上,又焦点F (12,0),由抛物线的定义知,过点F ,M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F ,M 且与l 相切的圆有2个.12.已知抛物线y 2=2px 上三点A (2,2),B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x-2)2+y 2=1的两条切线,则直线BC 的方程为( ) A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0 C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0A (2,2)在抛物线y 2=2px 上,故22=2p×2,即p=1,所以抛物线方程为y 2=2x ,设过点A (2,2)与圆(x-2)2+y 2=1相切的直线的方程为y-2=k (x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=√k 2+1=1,解得k=±√3,如图,直线AB :y-2=√3(x-2),直线AC :y-2=-√3(x-2).联立{y -2=√3(x -2),y 2=2x ,得3x 2+(4√3-14)x+16-8√3=0,故x A x B =16-8√33,由x A =2得x B =8-4√33,故y B=2√3-63,联立{y -2=-√3(x -2),y 2=2x ,得3x 2-(4√3+14)x+16+8√3=0,故x A x C =16+8√33,由x A =2得x C =8+4√33,故y C =-2√3-63,故y B +y C =2√3-63+-2√3-63=-4,又由B ,C 在抛物线上可知,直线BC 的斜率为k BC =y B -yC x B-x C=y B -y C12y B 2-12y C2=2y B +y C=2-4=-12,故直线BC 的方程为y-2√3-63=-12(x -8-4√33),即3x+6y+4=0.13.已知M ,N 是过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点,O 是坐标原点,且满足MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,S △OMN =√3|MN|,则p 的值为 .MN 的斜率k>0,过M ,N 作抛物线准线的垂线,垂足分别为G ,H ,过N 作NK ⊥MG 于K , 由MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|MF|=3|FN|, ∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|, ∴|NK|=√|MN |2-|MK |2=√32|MN|, 由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12|OF|·|NK|=√38p|MN|,又S △OMN =√3|MN|,∴√38p|MN|=√3|MN|,得p=8.14.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y 2=2px (p>0),如图,一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ,反射后又射向抛物线上的点Q ,再反射后又沿平行x 轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .2=3x,PQ 必过抛物线的焦点F (p2,0).当直线PQ 斜率不存在时,易得|PQ|=2p ;当直线PQ 斜率存在时,设PQ 的方程为y=k (x -p2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立{y =k (x -p2),y 2=2px ,得k 2(x 2-px +p 24)=2px ,整理得4k 2x 2-(4k 2p+8p )x+k 2p 2=0, 所以x 1+x 2=p+2pk2,x 1x 2=p 24.所以|PQ|=x 1+x 2+p=2p (1+1k 2)>2p. 综上,当直线PQ 与x 轴垂直时,弦长最短, 又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y 2=3x.15.(2021全国乙,理21)已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,且F 与圆M :x 2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p ;(2)若点P 在M 上,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.点F (0,p 2)到圆M 上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x 2=4y ,即y=14x 2,则y'=12x.设切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则易得直线l PA :y=x 12x-x 124,直线l PB :y=x 22x-x 224,从而得到P x 1+x 22,x 1x 24,设直线l AB :y=kx+b ,联立抛物线方程,消去y 并整理可得x 2-4kx-4b=0,∴Δ=16k 2+16b>0,即k 2+b>0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b ,∴P (2k ,-b ).∵|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√16k 2+16b ,点P 到直线AB 的距离d=2√k 2+1,∴S △PAB =12|AB|d=4(k 2+b )32, ①又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入①得,S△PAB=4(-b2+12b-154)32,而yP=-b∈[-5,-3],∴当b=5时,(S△PAB)max=20√5.16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值;(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.M(x3,y3),N(x4,y4),k1 k2=y3-y4x3-x4×x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424×y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0, 所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1 k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.学科素养拔高练17.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9−4|MF|的最小值为()A.23B.-23C.-1D.13y 2=16x 的焦点为F ,则F (4,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4,由{y 2=16x ,x =4,可得M (4,8),N (4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF |9−4|MF |=718.当直线l 的斜率存在时,设过点F 的直线l 的方程为y=k (x-4),不妨设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{y 2=16x ,y =k (x -4),消y 可得k 2x-(16+8k 2)x+16k 2=0,∴x 1+x 2=8+16k 2,x 1x 2=16, ∴|MF|=x 1+p 2=x 1+4,|NF|=x 2+p2=x 2+4, ∴1|MF |+1|NF |=x 1+x 2+84(x1+x 2)+x 1x 2+16=16+16k 232+64k2+16+16=14.∴|NF |9−4|MF |=|NF |9+4|NF |-1≥2√|NF |9·4|NF |-1=13,当且仅当|NF|=6时取等号.故|NF |9−4|MF |的最小值为13.18.(多选)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线与抛物线交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,点P 在l 上的射影为P 1,则下列结论中正确的是( ) A.若x 1+x 2=6,则|PQ|=8B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设M (0,1),则|PM|+|PP 1|≥√2D.过点M (0,1)与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条,设y=k (x-1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0, x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.对于A,若x 1+x 2=6,则k 2=1,故k=1或-1,|PQ|=√1+1√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2×4√2=8,故A 成立; 对于B,取PQ 点中点N ,N 在l 上的投影为N',Q 在l 上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP 1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=12(|PP 1|+|QQ'|)=12|PQ|,故B 成立;对于C,M (0,1),|PM|+|PP 1|=|MP|+|PF|≥|MF|=√2,故C 成立;对于D,过M (0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M (0,1)且与x 轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D 不成立.。
高考数学复习题库 抛物线
高考数学复习题库抛物线抛物线一.选择题1.抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )A. B. C.－ D.－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－. 答案 D2.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝( )A. B.1 C.2 D.3 解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去). 答案 C3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( ). A. B.1 C.2 D.4 解析抛物线y2＝2px(p ＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2. 答案 C4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ). A.18 B.24 C.36 D.48 解析如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0). ∵当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6. 又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36. 答案 C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（） A. B. C. D. 答案 C6.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ). A.n＝0 B.n＝1 C.n＝2 D.n≥3 解析结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦. 答案 C7.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D. 解析依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案 A二.填空题8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.解析设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝. 答案9.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 y2＝4x10.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________. 解析过N 作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 答案11.设圆C 位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________. 解析依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝－1.答案－112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
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高中数学抛物线练习题及答案
1.2021·宜春模拟动点P到点A0,2的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为
Ay2=4x By2=8x
Cx2=4y Dx2=8y
2.若抛物线y2=2pxp>0的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=
A B1 C2 D 3
3.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是
A B C- D-
4.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个正三角形的边长为
A4 B8 C8 D16
5.已知抛物线y2=2pxp>0,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为
Ax=1 Bx=-1
Cx=2 Dx=-2
6.直线l过抛物线y2=2pxp>0的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=3，则p=
A2 B C D4
7.2021·西安模拟若双曲线-=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线
x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为
A B C D
8.能力挑战题若已知点Q4,0和抛物线y=x2+2上一动点Px,y,则y+|PQ|最小值为
A2+2 B11
C1+2 D6
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.
10.2021·巢湖模拟抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m= .
11.2021·铜川模拟已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是4,a,则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是.
12.已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+y-12=1内切,记点P的轨迹为曲线E.
1求曲线E的方程.
2设斜率为2的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.
13.2021·宝鸡模拟已知抛物线C:y2=2pxp>0过点A1,-2.
1求抛物线C的方程,并求其准线方程.
2是否存在平行于OAO为坐标原点的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
14.能力挑战题如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以原点O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A,B是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
1求曲线C1和C2的方程.
2设点C,D是曲线C2所在抛物线上的两点如图.设直线OC的斜率为k1,直线OD的斜率为k2,且k1+k2=,证明:直线CD过定点,并求该定点的坐标.
1.【解析】选D.由已知得,动点P到点A0,2的距离与它到直线l:y=-2的距离相等,根据抛物线的定义得,该轨迹为以A0,2为焦点,y=-2为准线的抛物线,且=2,∴p=4.又焦点在y轴上,开口向上,所以所求方程为:x2=8y.
2.【解析】选C.由已知,0在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6舍去.
3.【解析】选D.由抛物线y=-2x2得x2=-y,
所以其焦点为F0,-,
设点M纵坐标为y0,
由抛物线定义得-y0=1,得y0=-.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:1若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;2若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.
4.【解析】选B.设其中一个顶点为x,2,∵是正三角形,∴=tan 30°=,即=,
∴x=12.
∴除原点外的另外两个顶点是12,4与12,-4,
∴这个正三角形的边长为8.
5.【解析】选B.方法一:设Ax1,y1,Bx2,y2,由题意知直线AB的方程为:y=x-,与
y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,
由题意知:y1+y2=4,
∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
方法二:设Ax1,y1,Bx2,y2,
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:kAB====1,∴p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
6.【解析】选C.过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D.因为|AF|=4，=3，所以
|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得=，即=，解得a=2，所以=，即==，
所以p==，选C.
7.【解析】选D.由已知得F1-c,0,F2c,0,
抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F,0,
依题意=.
即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,∴25c2-a2=4c2,
解得c=a.
故双曲线的离心率为=.
8.【解析】选D.抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F0,3.用抛物线的定义:设P到准线的距离为d,
则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,当且仅当F,Q,P共线时取等号
故y+|PQ|的最小值是6.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为0,4,准线方程为y=-4,故圆的圆心为0,4,又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4--4=8,所以圆的方程为x2+y-42=64.
答案:x2+y-42=64
10.【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为0,4,又因为双曲线-=1的上焦点坐标为0,,依题意有4=,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为0,的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
11.【解析】由y2=4x得,抛物线的焦点F1,0,准线方程为x=-1,
由|a|>4知点A4,a在抛物线的外部,
要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点A,P,F三点共线即可,此
时:|PA|+|PF|min==,所以:|PA|+|PM|的最小值为|PA|+|PF|min-1=-1.
答案:-1
12.【解析】1由题意,得点P到直线y=-1和点0,1距离相等,
∴点P的轨迹是以点0,1为焦点,以直线y=-1为准线的抛物线,
∴曲线E的方程是x2=4y.
2设斜率为2的直线方程为y=2x+m,
由消去y,得x2-8x-4m=0,
由直线与曲线E相切,得Δ=-82+16m=0,
得m=-8,
∴直线方程为y=2x-8,即2x-y-8=0.
∴原点到直线的距离为d==.
13.【解析】1将1,-2代入y2=2px,得-22=2p×1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
2存在.假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=±1.
∵-1∉[-,+∞,1∈[-,+∞.
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】1设AxA,yA,F1-c,0,F2c,0,曲线C1所在椭圆的长轴长为2a,则2a=|AF1|+|AF2|=6.
又由已知及圆锥曲线的定义得:
xA-c2+=,xA+c2+=,xA+c=,
得:xA-c2=.又∵∠AF2F1为钝角,
∴xA-c=,故xA=,c=1,
即曲线C1的方程为+=1-3≤x≤,
曲线C2的方程为y2=4x0≤x≤.
2设直线OC的方程为:y=k1x,
由
得k1x2-4x=0,即C,,
同理得:D,,
∴直线CD的方程为:y-=x-,即y=x+2,
当x=0时,恒有y=2,即直线CD过定点0,2.感谢您的阅读，祝您生活愉快。