高中数学抛物线的一个重要模型(模型解题法)

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。

过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 构成直角梯形ABCD （图1）.些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o轴（）时，称弦AB 为通径。

例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值；【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o轴（）时，称弦AB 为通径。

例1 求通径长.解： 由于=90AB x θ⊥o轴（），)0,2(pF ， ∴ 当2p x -=时，代入)0(22>=p px y 中，得22,.B y p p y p ===-A ，故y ∴ 2AB p =.例2 求焦点弦AB 长.解法一：设),(),,(2211y x B y x A ，当90AB θ≠op 时，设直线的方程为:y=k(x-).2由22,()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04p k k x p k x -++=， ......① ∴ 1222(1)x x p k+=+. ......② Q =AB AF BF AD BC =++，准线方程2px -=，∴ 1212()22p pAB x x x x p =+++=++. 由②知，222.pAB p k =+......③ 当90θ=o，由（一）知2AB p =. 说明：Q tan k θ=∴ 2222222211cos sin cos 1111.tan sin sin sin k θθθθθθθ++=+=+== 因此，由 ③ 得22122(1).sin pAB p k θ=+= 特别，当902,AB p θ==o时，上式为是通径长。

解法二：设),(),,(2211y x B y x A .902;AB p θ==o 时，上式为90AB θ≠o 时，设直线的方程为11()2tan p x my m k θ=+==其中.由22,2y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得2220.y pmy p --=∴ 122,y y pm += 212.y y p =- ......④ Q2221212()()AB x x y y =-+-221212()()22p pmy my y y =+--+- 2221212()()m y y y y =-+- 2212(1)()m y y =+-221212(1)[()4]m y y y y =++- ......⑤2222(1)(44)m p m p =++（由④得） 222=4(1),p m +∴ 22(1).AB p m =+Q 222221cos 1111tan sin sin m θθθθ+=+=+= ......⑥ ∴ 22=sin p AB θ. 【重要说明】（Ⅰ）关于直线方程的设定，上面用了两种形式，各有优劣。

对于抛物线22(0)y px p =±>，多用2p x my =+，对于抛物线22(0)x py p =±>，多用p y=k(x-).2（Ⅱ）上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方法，要多多玩味。

其中1212AB x y =-=-的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。

（Ⅲ）如果给出22(0)x py p =±>，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，θ为直线AB y 与轴的夹角。

总之，抛物线焦点弦长结论中，θ为直线AB 与抛物线对称轴的夹角。

此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：12x x 与12y y 均为定值：12x x 24p =（由①得），12y y 2p =-，以及122.y y pm +=【探究】抛物线的焦点弦为AB ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有12y y 2p =- ，此命题的逆命题是否成立？为什么？ 例3 求AOB ∆的面积.解法一：直线AB 的方程为：2p x my =+，即02px my --=. Q 原点O 12AOBS AB h ∆∴=⋅=解法二：AOB S S ∆∆=112121()22OF y py y =⋅=⋅-= =（由④得）2p =22p 12sin θ=⋅（由⑥得=.2sin θ2p 例4 连,(2)CF DF CF DF ⊥，证明：图. 证明：设),(),,(2211y x B y x A ， 则21(,),(,)22p pC yD y --, 2112200.()()2222CF DF y y y y K K p p p p p --⋅=⋅=----Q212,y y p =-∴ 1,CF DF K K ⋅=- 故CF DF ⊥.图2例5 设准线l 与x 轴交于点E ，证明：FE 是CE 与DE 的比例中项， 即 2FE CE DE =⋅.容易证明，留给读者完成。

例6 如图3，直线AO 交准线于C ，证明：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 分析：只要证C D 、两点纵坐标相同。

证明：设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=.Q 211112111022,,02OA y y py px k y x y p-====- ∴ 12,p AC y x y =直线的方程为 它与准线方程2px -=联立,得 21c p C y y =-点纵坐标. 由221p y y -=得1221c y y y y y ==. 因此C D 、两点纵坐标相同，x BC //轴.例7 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴.证明：直线AC 经过原点.分析：只要证OC OA k k =.证法1：如图3，设),(),,(2211y x B y x A ， 再设直线AB 的方程为2p my x +=. Q 221p y y -=，2112y px =， ∴ ,222221111211111121212OA OC k x y y x y y x px y p py p py y y p y k =====--=-=-=∴ ,,A O C 三点共线.证法2：如图4，设AC 与EF 相交于N ，准线与x 轴交于E .图3图3Q //AD x 轴//BC .∴ ,CEN CDA V :V .ANF ACB V :V∴,ABBF ACCN ADEN ==（即AD BFEN AB=）， AB AF BCNF =（即AF BCNF AB=）. 又,,BC BF AD AF ==∴ ,EN NF =即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线经过原点O .【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指221p y y -=），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线px y 22=的焦点为F ，B A ,是抛物线上的两点.点C 在它的准线上，且x BC //轴.则C O A ,,三点共线的充要条件是B F A ,,共线。

【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线)0(22>=p px y 及图3）：①弦AB 过焦点F ；②点C 在准线上； ③x BC //轴； ④AC 过顶点O . 可组成以下四个命题：.A ①②③⇒④ （高考题） .B ①②④⇒③ （课本题） ⎭⎬⎫⇒⇒① ②③④D. ② ①③④C. 是否正确？例8 证明： 梯形中位线MN 长为2sin pθ. 图4图3xθ_ OMDN E D A CFBy2p x =-ED留给读者做。

例9 连(AN BN AN BN ⊥、图5），证明：. 证明较难，留作习题。

例10 证明：以线段AB 为直径的圆与准线相切。

由例9，这个性质是显然成立的。

例11 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.证明：设),(),,(2211y x B y x A ， 又设直线AB 的方程为2pmy x +=，则12(,)22y y p N +-， ∴ 1212+0+22-22--22NF y y y y pm k p p p p -===（）m =-（由④得） Q 1,AB k m= ∴ 1,NF AB k k ⋅=-此即.NF AB ⊥在Rt ANB NF V 中，为斜边上的高，故有2.NFAF BF =⋅说明：在平面几何中，有下述定理：Rt ABC V 中，斜边BC 上的高AD 是BD CD 与的比例中项。

例12 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值； 证明：（I ）设),(),,(2211y x B y x A ，则221212,,44x x y y ==由已知，(0,1),F 设直线AB 的方程为：1y kx =+，则由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=∴ .421-=x x由241x y =得x y 21='，所以过B A ,两点的切线方程分别为：,4)(21,4)(2122222111x x x x y x x x x y +-=+-=即 .421,421222211x x x y x x x y -=-= 【注：py x 22=过点(),00y x 的切线方程为：)(00y y p x x +=】由上式可得2212122().x x x x x -=-显然12,x x ≠ 故121211211, 1.22244x x x x x x x x y x ++==⋅-==- 因此，)1,2(21-+x x M . 由于抛物线准线方程为1y =-，故点M 在抛物线的准线上。