高中数学易错题解题模型大全
(完整版)高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-6,推荐文档
(III )210 arcs in -------30PBC 的重心 G( Zaja^h),6 6 3【练63】(2005高考淅江东)如图，在三棱锥P AB BC kPA ，点 O 、D 分别是 AC 、 OP 底面ABC .(I) 求证OD 底面PAB ; 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为 平面PBC 所成角的大小；(山) 【答案】方法一：(I) Q o 、D 分别为 AC 、又PA 平面PAB . OD (II) Q AB BC ，OA OC PC 的中点.OD//PA //平面PAB . OA OB OC, ABC 中,AB BC ,PC 的中点， (||) 当k 丄时，求直线PA与 又Q OP 平面 ABC PA PB PC . 取BC 中点E ,连结 PE ,则BC 平面POE . 作OF PE 于F,连结DF ,则OF 平面PBC ， ODF 是OD 与平面PBC 所成的角.又 OD // PAPA 与平面PBC 所成角的大小等于 ODF . 在 RtODF 中, sin ODF OD 普 PA 与平面PBC 所成的角为arcsM 30 (III )由II 知，OF 平面PBC , F 是O 在平面PBC 内的射影.Q D 是PC 的中点，若点F 是VPBC 的重心，贝U B 、F 、D 三点共线, 直线OB 在平面PBC 内的射影为直线 BD . QOB PC PC BD PB BC ，即 K 1. 反之，当K 1时，三棱锥O PBC 为正三棱锥， O 在平面PBC 内的射影为 PBC 的重心. 方法二： x Q OP 平面 ABC , OA OC, AB BC, OA OB,OA OP,OB OP.以O 为原点，射线 OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz (如图), C设 AB a,则 A (-^ a,0,0)，B(0,舟 a,0)，C( 2 a,0,0).设 OP h (I)1 QD 为 PC 的中点， OD = ( la,0,]h)，又 PA-^PA OD // PA OD //平面 PAB . 4' ' 22 则 P(0,0, h) (Ja,0,h)，OD =(II) Q K 1,即 PA 2 2 可求得平面PBC 的法向量n(仁 1, . 1), co sPA,n PAg n■. 210 .7PAgn|30设PA 与平面PBC 所成的角为，则 sin | cos PA,n |210 ------ J PA 与平面PBC 所成的角为30PA =(辽2辽a,2」h). 6 6 3OGQOG 平面PBC. uurOGuu uuuPB.又PB(0孚,h),uur uu 1 2 1 2OGgPB a2 h20.6 3(III)h 2a. PA :'―h 2 a,即k 1反之，当k 1时，三棱椎O PBC 为正三棱锥,2O 在平面PBC 内的射影为 PBC 的重心.【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。
高考数学易错易误易忘题分类汇总及解析(61页)
f
1
x
1
1 x 1 2 1
2x 1 x
再求
y f 1 x 1 的反函数得 g x 2 x 。正确答案：B
1 x
【知识点分类点拔】函数 y f 1 x 1 与函数 y f x 1 并不互为反函数，他只是表示
f 1 x 中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 y f x 1 则
答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位
例 4、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线
1 x
y x 对称，则 y g x的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
4
4
28
8
28
+ 因此当 x=-1 时 x2+y2 有最小值 1, 当 x=- 时，x2+y2 有最大值 。故 x2+y2 的取值范围是[1,
3
3
3
28
]
3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y 的限制，
4
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， 2 y 2 。此外本题还可通过三角换元
x 的取值范围为（）A、 ( a2 1, ) 2a
(a, )
B、 (, a2 1) 2a
a2 1
C、 (
, a)
D、
2a
答案：A （ a 1 时， f x单调增函数，所以 f 1 x 1 f f 1 x f 1 x f 1 a2 1 .） 2a
【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合学生在考试中常见的29个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设a??x|x2?8x?15?0?，b??x|ax?1?0?，b若ab?，谋实数a共同组成的子集的子集存有多少个？【易错点分析】此题由条件ab?b易知b?a，由于空集就是任何非空集合的子集，但在解题中极容易忽略这种b?b知b特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：子集a化简得a??3,5?，由a?a故（ⅰ）当b??时，即为方程ax?1?0难解，此时a=0符合已知条件（ⅱ）当b??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?11或。
综上满足条件的a组成的集合为35?11?3?0,,?，故其子集共有2?8个。
?35?【知识点归类点拔】（1）在应用条件a∪b＝ｂ?a∩b＝ａ?ａ集φ的情况优先进行讨论．（2）在答疑子集问题时，必须特别注意子集的性质“确定性、无序性、互异性”特别就是互异性对子集元素的管制。
有时须要展开检验解的结果就是满足用户子集中元素的这个性质，此外，解题过程中要特别注意子集语言（数学语言）和自然语言之间的转变例如：ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合ａ是空ax,y?|x2?y2?4?，bx,y?|?x?3y?4?22?r2?，其中r?0,若ab??谋r的值域范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合a表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合b表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
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高考数学易错易混易忘题【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y xy =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r 的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件()22214y x ++=对x 、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】若动点（x,y ）在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ） （A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩ （B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b + （D ）2b【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
立体几何(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)
专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度减为原来的一半.(1)判断平面四边形OABC 的形状并求周长；(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积变形1．如图，梯形1111D C B A 111111112,2,3A B C D A B C D ==∥变形2．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．OABC 与正方形O A B C ''''的各点分别一对应，如变形3．（1）如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若2A C ''＝，//B D y '''轴且1．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，(1)画出它的原图形，(2)若2,A C A B C ''=''' 的面积是32，求原图形中AC 边上的高和原图形的面积.2．画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图A B C D ''''，并求出直观图中三角形B C D ⅱ的面积.3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A DBC ''''∥．(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．4．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ''=.(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC(1)求原平面图形ABCD (2)将原平面图形ABCD 6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知∥B C ''．(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形(2)将原平面图形ABCD 绕BC 7．如图，梯形O A B C ''''是水平放置的四边形3O B B C '=''='．(1)在下面给定的表格中画出四边形9．如图所示，O A B C ''''为四边形(1)画出四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形(2)若该四边形OABC 以OA 10．如图，矩形O A B C ''''是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形1O C ''=.(1)画出平面四边形OABC 的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形OABC 以OA 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积11．在ABC 中，角A B C ，，所对边分别为(1)证明：ABC 为等边三角形；(2)若（1）中的等边ABC 边长为注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线⊄面》②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（⊂）》⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《⎩⎨⎧⊥⊥⊥⊥∥∥面、线、、》易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。
圆锥曲线(4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(原卷版
A、B
分别在双曲线的左、右两支上， AF FB 0 ， 3BF FC ，且点 C 在双曲线上，则双曲
线的离心率为（ ）
A． 10 3
B． 10 2
C． 5
2
D． 2 3 3
变式
1．已知
F1、F2
分别是双曲线
C:
x a
2 2
y2 b2
(a
0, b
0) 的左、右焦点，P
为双曲线右
支上一点，若 F1PF2 60 ， SF1PF2 3ac ，则双曲线的离心率为（
）
A． 1+ 5 2
B． 3 1 2
C． 3
D．2
变式
2．已知双曲线 E :
y2 a2
x2 8
1(a
0) 的上焦点为 F1 ，点
P
在双曲线的下支上，若
A(4, 0) ，且 PF1 | PA | 的最小值为 7，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A．2 或 697 25
B．3 或 697 25
C．2
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b 0)
与过定点
(m ，0)
的直线
l
相交于
AB
两点，设为
x ty m
，如此消去
x
，保留
y
，构造的方程如下：
x2 a2
y2 b2
1
，
x ty m
(a2 t2b2 ) y2 2b2tmy b2m2 a2b2 0
（2）抛物线 y2 2 px( p 0) 与直线 x ty m 相交于 A、B 两点，设 A(x1 ，y1) ，
，则双曲线 C
的离心率为（
）
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型有很多，这里列出了一些常见的类型：
1. 集合问题：这类问题通常涉及对集合的理解，如交集、并集、补集等。
学生容易混淆这些概念，导致错误。
2. 函数性质理解：对于函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，学生可能理解不透彻，导致在判断或应用时出错。
3. 等差数列和等比数列的性质理解：等差数列和等比数列是高中数学的重点内容，但学生容易在理解其性质和应用上出错。
4. 三角函数的性质：三角函数具有多种性质，如周期性、单调性、奇偶性等，学生可能对其中某些性质掌握不够，导致解题出错。
5. 立体几何中的空间想象：立体几何需要学生有一定的空间想象能力，对于空间中点、线、面的关系能够准确判断。
但学生往往由于缺乏这种能力而出错。
6. 解析几何中的问题：解析几何涉及直线、圆、椭圆等图形，学生可能在理解这些图形的性质和应用上出错。
7. 概率和统计问题：概率和统计是高考数学的必考内容，学生需要掌握各种概率和统计的基本概念和方法，一旦混淆就可能导致错误。
8. 不等式的性质和应用：不等式是高中数学的重要内容，但学生可能对不等式的性质和应用掌握不够，导致解题出错。
9. 数列的通项和求和公式：数列的通项和求和公式是高考数学的常见考点，学生需要准确理解和掌握这些公式，否则在解题时容易出现错误。
以上只是高考数学中可能出现的一些易错题型，实际上还有很多其他的问题，学生在备考时应全面复习，熟练掌握各种知识点，以应对各种题型。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(3)
【练30】已知函数()f x =R 试分别确定满足条件的a 的取值范围。
答案：（1）1a ≥或3a ≤-（2）31a -≤≤或1a =-【易错点31】不等式的证明方法。
学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。
例31、已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a +a1和 b +b 1不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法)设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t bb a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立. 证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法)∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π).425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练31】数列{}nx 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>=N n x a x x a xn n n ,21,011（1） 证明：对于2n≥总有n x a ≥,（2）证明：对于2n ≥，总有1n n x x +≥.【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。