函数的最值与导数测试题
专题15导数与函数的极值最值(基础训练)(原卷版)
专题15 导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1eB ．2e 2C ．0D ．12e 3．(2020·广东惠州4月模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝( )A ．－ 3B ．2 3C ．－2 3D ． 35．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]6.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22＝________．7．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)求函数y ＝f (x )的极值点．10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[综合题组练]1．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为() A ．2e －1 B ．－1eC ．1D ．2ln 22．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)3．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax ，x >0在[－2，2]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A ．(ln 3，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 3 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D ．(－∞，ln 3]4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．5．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围． 6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。
导数与极值最大值与最小值问题练习题
导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。
通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。
本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。
练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。
即，3x^2 - 12x + 9= 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。
然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。
当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。
综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。
练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。
解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。
根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。
将导数g'(x)置为零，求得极值点。
即，e^x - 4 = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。
接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。
g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。
因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。
函数的最大(小)值与导数课后同步检测(基础卷)(解析版)
5.3.2函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷） 一、单选题1. 函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1【解析】y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 2. 函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值 C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(－1，1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值.3. 当0<x <1时，f ()x ＝ln xx ，则下列大小关系正确的是( ) A.f 2()x <f ()x 2<f ()x B.f ()x 2<f 2()x <f ()x C.f ()x <f ()x 2<f 2()x D.f ()x 2<f ()x <f 2()x【解析】根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′()x ＝1－ln xx 2，所以根据对数函数的单调性可知，当0<x <1时，1－ln x >0， 从而可得f ′()x >0，函数f ()x 单调递增， 所以f ()x 2<f ()x <f ()1＝0，而f 2()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2>0，所以有f ()x 2<f ()x <f 2()x .4. 已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的连续可导函数，且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )，因为f ′(x )<g ′(x )，所以F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，所以F (x )在[a ，b ]上单调递减，所以F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).故选A.5. 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－3【解析】因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以当x ＝0时，f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.6. 函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0) C. ⎝⎛⎭⎪⎫－43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43【解析】设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－2x 2＋3x ＋a ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增.当x ＝3时，函数h (x )取得最小值。
课时导数与函数的极值、最值检测题与详解答案
导数与函数的极值、最值测试题与详解答案A 级——保大分专练1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选 A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：3.5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－1＋2b ＋c ＝0，f＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y＝2x －1x2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2.答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2＋－2x x ＋x 2＋2＝－x ＋x －x 2＋2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R)，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a－ln xx 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________．解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0. 由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t>0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2(a >0)．(1)由f ′(x )>0，解得x >1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞；由f ′(x )<0，解得0<x <1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1. ②若1<1a <e ，即1e <a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1.③若1a ≥e，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e＝0，即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e.综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
(完整版)导数与极值、最值练习题
三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x(可能不止一个）（3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是极大值；反之，那么f(x）是极大值题型一图像问题1、函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）（第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）D.C.B.A.4、设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）C.A.5、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x的图象最有可能的是（ ）-11 f '(x )yxO6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）2xO222D.C.B.A.OxOx x Ox y7、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）yyyxx xyxDCBA xyy=f(x)8、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值9、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 10、函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ）DCBA11、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c题型二 极值求法 1 求下列函数的极值（1）f(x)=x 3-3x 2-9x+5; (2)f(x)=ln x x （3）f(x)=1cos ()2x x x ππ+-<<2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数f(x)=313x -+x 2+(m 2-1)x,其中m>0。
【高二】函数的最值与导数综合测试题(附答案)
【高二】函数的最值与导数综合测试题（附答案）选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值为( )A．0 B．－2C．－1 D.1312[答案] A[解析] y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝1312∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )A.2227 B．2C．－1 D．－4[答案] C[解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)令y′＝0解得x＝13或x＝－1当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝13时，y＝2227；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A．最大值为13，最小值为34B．最大值为1，最小值为4C．最大值为13，最小值为1D．最大值为－1，最小值为－7[答案] A[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( )A.2 B．1C．0 D．不存在[答案] A[解析] y′＝12x－121－x＝12?1－x－xx?1－x 由y′＝0得x＝12，在0，12上y′>0，在12，1上y′<0.∴x＝12时y极大＝2，又x∈(0,1)，∴ymax＝2.6．函数f(x)＝x4－4x (x<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析] f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A．5，－15 B．5,4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于( )A．－32 B.12C．－12 D.12或－32[答案] C[解析] y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－12或a＝－32(舍去)．9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3C．－2D．不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－110．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3∴a≥－3，故应选B.二、题11．函数y＝x32＋(1－x)32，0≤x≤1的最小值为______．[答案] 22由y′>0得x>12，由y′<0得x<12.此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，∴最小值在x＝12时取得，ymin ＝22.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；当x>32时，函数为增函数，当－2≤x≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________． [答案] 3－1[解析] f′(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)当x>a时，f′(x)<0；当00；当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝32<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案] 32[解析] f′(x)＝3x2－12由f′(x)>0得x>2或x由f′(x)<0得－2∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝32.三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2；(2)f(x)＝x＋1－x2.[解析] (1)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝12.又x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±π3，∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.又f(x)在区间端点的取值为fπ2＝－π2，f－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.(2)∵函数f(x)有意义，∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．f′(x)＝1＋12(1－x2)－12?(1－x2)′＝1－x1－x2 .令f′(x)＝0，得x＝22 .∴f(x)在[－1,1]上的极值为f22＝22＋1－222＝2.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max ＝2，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．[解析] f(x)的定义域为－32，＋∞.f′(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.当－320；当－1当x>－12时，f′(x)>0，所以f(x)在－34，14上的最小值为f－12＝ln2＋14.又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0，所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝ln72＋116.17．(2021?安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减 ?2(1－ln2＋a)单调递增 ?故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝4x2－72－x，x∈[0,1]．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．[解析] (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2令f′(x)＝0解得x＝12或x＝72.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，12)12(12，1)1f′(x)－0＋f(x)－72?－4 ?－3所以，当x∈(0，12)时，f(x)是减函数；当x∈12，1时，f(x)是增函数．当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g′(x)＝3(x2－a2)．因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．即1－2a－3a2≤－4，①－2a≥－3.②解①式得a≥1或a≤－53；解②式得a≤32.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值习题精选一、单选题1. 若2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e 的极值点，则()f x 的极小值为( ) A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 12. 正项等比数列中的14031,a a 是函数的极值点，则20166log a = ( ) A. 1 B. 2D. 1-3. 若在上有两个极值点，则a 的取值范围为( )A.B.C.D.4. 已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B. 13C. 59D.235. 设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >二、多选题6. 已知()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则( )321()4633f x x x x =-+-A. (1)0f '=B. ()f x -在1x =-处有最大值C. ()f x -在1x =处有极小值D. ()f x --在1x =-处有最大值7. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 2π是的一个周期；B. 在上有3个零点；C.的最大值为334； D. 在上是增函数．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是( )A. 10a e-<B.4312ea e <C.3211e a e <D.1a e e< 三、填空题9. 函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________.10. 函数()ln f x x =的定义域为__________，最大值为__________. 11. 若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是__________.()f x ()f x [0,2]π()f x ()f x12. 已知函数在上无极值，则a =__________，()f x 在上的最小值是__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()+2()=mx 4f x g x -，若()3lnx 0f x --对任意(0,+)x ∈∞都成立，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题14. 已知函数2()12.f x x =-(1)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(2)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．15. 已知函数232().xf x x a-=+ (1)若0a =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值.16. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．17. 已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围．18. 已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.(1)若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； (2)若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.19. 已知函数，(1)若，求的最值；(2)若存在使得，求实数m 的取值范围.20. 已知函数，其中0.m >(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，是否存在实数a 使得恒成立，如果存在请求出实数a 的取值范围，如果不存在请说明理由．()f x ()f x ()f x答案和解析1.【答案】A解： 函数2-1()=(+-1)x f x x ax e ，可得-12-1()=(2+)+(+-1)x x f x x a ex ax e '，又2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e的极值点，可得-3-3(-2)=(-4+)+(4-2-1)=0f a e a e '， 即-4++(3-2)=0a a ，解得 1.a =- 可得2-1()=(+-2)x f x x x e'，令()=0f x '，解得12x =-，2=1.x当2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(-2,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知=1x 时，函数取得极小值， 即21-1(1)=(1-1-1) 1.f e =-故选.A2.【答案】A解：321()4633f x x x x =-+-， 2()860f x x x ∴'=-+=，1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点， 140316a a ∴⋅=，又0n a >，2016a ∴=20161.∴=故选.A3.【答案】D解：令sin x t =，(0,1],t ∈ 则2120.t t a -+-= 令，(0,1];t ∈当(0,1],a ∈函数()g t 在上与y a =只有一个交点，(1)0,sin g t x ==对应的x 值有两个.故而(0,1].a ∈ 故选.D4.【答案】D解：求导数可得22()2f x x ax b '=++，要满足题意需2220x ax b ++=有两不等实根， 即224()0a b ∆=->，即a b >， 又a ，b 的取法共339⨯=种，其中满足a b >的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种， 故所求的概率为6293P == 故选D5.【答案】D解：因为0a ≠，()Ⅰ所以当a b =时，函数在单调，无极值，不合条件；()Ⅱ当a b ≠时，因为，所以，①若0a >并且a b <时，23a ba +<， 由，得：x a <或23a bx +>， 由，得：23a ba x +<<， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；②若0a >，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx +<或x a >， 由，得：23a bx a +<<， 所以这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值点，不符合条件；③若0a <，并且a b <时，23a ba +<， 由，得：23a ba x +<<， 由，得：x a <或23a bx +>， 这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值()0f x '>()0f x '<()f x ()f x ()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x点，不符合条件；④若0a <，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx a +<<， 由，得：23a bx +<或x a >， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；因此，若x a =为函数的极大值点，则a ，b 必须满足条件：0a >并且a b <或0a <并且.a b >由此可见，A ，B 均错误； 又总有成立，所以C 错误，D 正确.故选.D6.【答案】ABC解：()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ， 则()f x 在1x =处取得极大值，故(1)0f '=，故A 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =-处有最大值，故B 正确；将()y f x =的图象关于x 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =处有极小值，故C 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折，再关于x 轴翻折得到()y f x =--，此时()y f x =与()y f x =--关于原点对称，()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x 2()()()f x a x a x b =--所以()f x --在1x =-处有最小值，故D 错误， 故选.ABC7.【答案】ABC解：11(2)sin(2)sin 2(2)sin sin 222f x x x x x πππ+=+++=+，A 正确；由()0f x =得到sin sin cos 0x x x +=，sin 0x ∴=或1cos 0x +=，x k π∴=，或2x k ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 在[0,2]π上有三个零点0，π，2π，B 正确；()cos cos 2f x x x '=+，∴当3x π=时，()0f x '=，且当03x π<<时()0f x '>，当3x ππ<<时，()0f x '<，()f x ∴在3x π=时取得最大值，121()sin sin 33232f πππ=+==，C 正确， 由上述求解知函数在[,]32ππ上一定递减，D 错误.故选.ABC8.【答案】CD解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-即为22(2)(ln )(ln )xf ae x f x x x f x x x +--=-对于任意的(0,1]x ∈恒成立，所以22ln xae x x x x +-，也即ln 20xae x x x+-+对于任意的(0,1]x ∈恒成立.令，则，当0a 时，在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，又当0x →时，，所以不成立； 令，则在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，所以，即1.x x e e所以当1ae时，0xae x -在(0,1]x ∈恒成立，所以在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递减，所以有成立，故1ae时在(0,1]x ∈恒成立；当10a e<<时，存在，使得000xae x -=，所以当00x x <<时，0x ae x ->，所以，所以在单调递减；当01x x <时，0x ae x -<，所以，所以在单调递增.所以，因为000xae x -=，所以00x aex =，且，所以，所以由，可得31ae ，所以311a e e<时在(0,1]x ∈恒成立.综上所述，31ae 时在(0,1]x ∈恒成立.所以“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是.CD 故选：.CD()g x (0,1]()h x (0,1]()g x (0,1]()g x ()g x9.【答案】1解：函数()|21|2ln f x x x =--的定义域为(0,)+∞， 当102x<时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=-+-， 此时函数()f x 在1(0,]2上为减函数，所以111()()212ln 2ln 2222f x f =-⨯+-=； 当12x >时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=--， 则22(1)()2x f x x x-'=-=， 当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时()f x 取得最小值，为(1)2112ln11f =⨯--=，2ln 2ln 4ln 1e =>=，∴函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为1.故答案为：1.10.【答案】(0,1]0 解：由，得0 1.x <∴函数()1ln f x x x =-⋅的定义域为(0,1]；令1x t -=，[0,1),t ∈则21x t =-，函数()1ln f x x x =-⋅化为2()ln(1)g t t t =⋅-，[0,1),t ∈2222()ln(1)01t g t t t-'=-+-， ()g t ∴在[0,1)上为减函数，则max ()(0)0g t g ==，则函数()ln f x x =的最大值为0， 故答案为(0,1]；0.11.【答案】2-解：2ln y a x =的导数为2a y x'=， 由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线， 设切点为(,)m n ，则22am=，m a ∴=， 又22ln m b a m +=，2ln 2(0)b a a a a ∴=->，2(ln 1)22ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，1a ∴=为极小值点，也为最小值点， b ∴的最小值为2ln12 2.-=-故答案为： 2.-12.【答案】232π-【解答】 函数()f x 的导数为22()cos 2(2)sin 1(12sin )(2)sin 12sin f x a x a x a a x a x a a x '=++--=-++--=-(2)sin 1(2sin 1)(sin 1).a x x a x ++-=---当1sin 2x =，即[,]622x πππ=∈-时，()0.f x '=所以要使()f x 在[,]22ππ-上无极值，则2a =，此时2()(2sin 1)0f x x '=--恒成立，即()f x 单调递减，故在区间[,]22ππ-上()f x 的最小值为3().22f ππ=- 13.【答案】解：由已知得……①， 所以，又因为为奇函数，为偶函数， 所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得3ln 0mx x --，对任意都成立，即3ln xmx x+，对任意都成立， 设，则，令，解得21x e =， 由()0h x '>得2lnx 0-->，得210x e<<， 由()0h x '<得2lnx 0--<，得21e x >， ()f x ()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0h x '=所以在区间上单调递增，在区间21(,)e +∞上单调递减， 所以的最大值为，即2m e ，所以实数m 的取值范围是故答案为14.【答案】解：2(1)()12f x x =-的导函数()2f x x '=-，令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-，1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；(2)曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线的斜率为2k t =-，切线方程为2(12)2()y t t x t --=--， 令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t=+， 2116()||(12)22S t t t t∴=⋅+⋅+，由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++， 2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t-+∴'=+-=⋅， 由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 单调递增； 当02t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减， 则()S t 在2t =处取得极小值，且为最小值32，()h x ()h x所以()S t 的最小值为32.15.【答案】解：(1)当0a =时，232()xf x x-=， 24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，因此(1)1f =，()4f x '=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为14(1)y x -=--， 即为45y x =-+；(2)因为232()xf x x a-=+的导数为2222()2(32)()()x a x x f x x a -+--'=+， 而函数()f x 在1x =-处取得极值， 所以(1)0f '-=，即2820(1)aa -=+，解得4a =，因此232()4xf x x -=+，222(1)(4)().(4)x x f x x +-'=+ 由()0f x '>得4x >或1x <-；由()0f x '<得14x -<<， 因此函数()f x 在和上单调递增，在上单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值1，在4x =处取得极小值1.4-又因为当32x <时，()0f x >；当32x <时，()0f x <， 作函数()y f x =的图象如下图，由图可知：函数()f x 在1x =-处取得最大值1；在4x =处取得最小值1.4- 所以函数()f x 的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 的最大值为1，最小值为1.4-16.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e17.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；(2)当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立， 设32112()x x x e h x x++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'=， 可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，令()()t x m x ='，()1x t x e '=-， 由0x ，可得()0t x '恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增， 所以min ()(0)0m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m ==， 再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以2max7()(2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[,).4e -+∞18.【答案】解：(1)当1b =时，()sin ln (1)f x x a x =++，()()cos 1ag x f x x x ='=++， 在单调递增，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--时，()g x 在(,4)π单调递减，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得0()0g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点， 所以；(2)当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-上()f x 零点情况；()(,)2ii x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，(,4)π()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<， 存在唯一的(,)2s ππ∈，使得()0f s =；()iii 当(,)2x b π∈-，令1()()cos h x f x x x b'==-+， 则21()sin ()h x x x b '=-++单调递减， 且21(0)00h b '=+>，21()102()2h b ππ'=-+<+， 则1(0,)2x π∃∈，使得1()0h x '=，则在1(,)b x -单调递增，1(,)2x π单调递减，并且lim ()0x bf x +→-'<，，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=，3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知在单调递减，在单调递增，在3(,)2x π单调递减，又因为lim ()0x bf x +→->，，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由()()()i ii iii 可知，()f x 有3个零点.19.【答案】的定义域为，，令，得1x =， 当时，，单调递减；()f x '()f x (0,)+∞()0f x '=()0f x '<()f x当时，，单调递增又，所以，； (2)由题意知：只需，由(1)知在单调递减，单调递增，①若01m <，则在单调递减，则只需， 即2ln 210m m m m e--+， 记，01m <， 因为，所以在单调递减，单调递增， 而，，所以在01m <恒成立，又因为2ln 0m m ，所以2ln 210m m m m e--+对任意01m <恒成立. ②若1m >，，只需， 即，解得1ln3m <， 综上，20.【答案】解：，定义域为 所以，(0,)x ∈+∞，令，(0,)x ∈+∞，对于方程，164m ∆=-，①当04m <<时，0∆>，有两个根，为12x =22x =120x x <<()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞()f x (0,)+∞2()4g x x x m =-+在和上；在上，所以函数的单调增区间为和； 单调减区间为， ②当4m 时，0∆，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间. (2)由(1)知，若有两个极值点，则04m <<，又1x ，2x 是240x x m -+=的两个根，则124x x +=，12x x m ⋅= 所以214x x =-，，由(1)知，124x m=--，， 恒成立，，令，，只要即可； ，令则，，令，则，所以在上单调递减，在1(,2)e上单调递增． ，所以存在12a e -，使得恒成立． ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x (0,)+∞()f x (0,2)t ∈min ()a h t ()h t。
导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)
导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。
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函数的最值与导数
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．以上都有可能 [答案] A
[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数
∴f ′(x )＝0，故应选A..
3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )
A.2227
B ．2
C ．－1
D ．－4 [答案] C
[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)
令y ′＝0解得x ＝13
或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；
当x ＝13时，y ＝2227
；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C.
8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154
，则a 等于( ) A ．－32
B.12 C ．－12
D.12或－32
[答案] C
[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1.
当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．
当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，
最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154
， 解得a ＝－12或a ＝－32
(舍去)． 9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是
() A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3<k<－1或1<k<3
C．－2<k<2
D．不存在这样的实数
[答案] B
[解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3，故选B.
10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
[答案] B
[解析]∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故应选B.
二、填空.
14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
[答案]32
[解析]f′(x)＝3x2－12
由f′(x)>0得x>2或x<－2，
由f′(x)<0得－2<x<2.
∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
f(3)＝－1，
∴最大值M＝24，最小值m＝－8，
∴M－m＝32.
1．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(，在1=x 与2-=x 时，都取得极值。
（Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有c 的取值范围。
【答案】（Ⅰ）a ＝
，b ＝－6. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题设有b ax x x f ++=23)(2'=0的两根为2,1-==x x ， a ＝，b ＝－6. （6分）
（Ⅱ）当[]2,3-∈x 时，由（1）得有{})1(),3(m in )(min f f x f -=，（8分）
所以由题意有min )(x f ＝－（10分）
（12分）
考点：函数导数求极值，最值
点评：不等式恒成立转化为求函数最值
2，x x x g ln )(+=，其中0>a 。
（1）若1=x 是函数)()()(x g x f x h +=的极值点，求实数a 的值。
（2）若对任意的1x ，[]e x ,12∈（e 为自然对数的底数）都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围。
【答案】（1（2）a 的取值范围为【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。
（10，∞+） （1分）
1=x 是)(x h 的极值点0)1('=∴h
（2）对任意的1x ，[]e x ,12∈都有)()(21x g x f ≥成立⇔对任意1x ，[]e x ,12∈都有[][]max min )()(x g x f ≥，运用转化思想来求解最值即可
5．已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；
（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）)(x f 的极小值为2)1(-=f . 单调性和极值问题，以及导数的几何意义求解切线方程的综合运用。
（1）利用当a=1，确定解析式然后求解导数，分析单调区间，得到其极值。
（2）因为要使直线对于任意的ms 实数，x+y+m=0都不是曲线的切线，说米呢了导数值大于其斜率值 解：（Ⅰ）因为当1=a 时，33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，得1x =-或1=x . 当(1,1)x ∈-时，0)(<'x f ；当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，0)(>'x f .所以)(x f 在(1,1)-上单调递减，在[)(,1],1,-∞-+∞上单调递增. 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f .
（Ⅱ）因为2()333f x x a a '=--≥， 所以，要使直线0=++m y x 对任意的m ∈R 总
不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-，即。