2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵

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考研基础复习(线代)矩阵

进行分块矩阵的乘法运算时，注意：进行分块矩阵的乘法运算时，注意：左分块矩阵的列的分法列的分法必须和右分块矩阵左分块矩阵的列的分法必须和右分块矩阵行的分法一致一致. 的行的分法一致
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆、
A1 O O A2 A= L L O O L O L O L L ， O As
O O L As
可逆的充要条件是： A1 , A2 , L , As 都可逆，且: 都可逆，可逆的充要条件是：
O
A2 1 L
A 1
O
O L O L L ； 1 O As L
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆、
特别：为可逆矩阵，特别：若 A 、 B 为可逆矩阵，则：
对于分块对角阵：对于分块对角阵：
阶方阵，其中 Ai 为 ni 阶方阵，有： | A |=| A1 | | A2 | | As | .
一、矩阵的基本内容 ——5、分块矩阵及其求逆、
A1 O O A2 A= L L O O
A11 O = L O
分块对角阵
L L L O
A O O B
1
A 1 = O
1
O 1 ; B
O A B O
1
O 1 = A
B 1 O ;
A C O B
A 1 = O
A 1 CB 1 1 ； B
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆、
A O C B
1
A 1 = B 1 CA 1
( A M E ) ~ ( E M A 1 ) （行变换）；行变换）
A E ~ 1 E A
；（列变换）列变换）

线性代数2.1矩阵定义

这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其他元素都是0 .
即单位阵E的(i, j)元为
ij
1，当i 0，当i
j， j， (i,
j
1，2，，n)
y1 1 x1,
又如
线性变
换
y2 2 x2
,
yn n xn
对应n阶方阵
1 0
A
0
2
0 0,
0 1 1 1
n 阶矩阵 A也记作An .
例如
1 0
0 1
0 0
00是 4阶方阵.
1 0 1 0
(2) 只有一行的矩阵 A (a1,a2 , ,an ),称为行矩阵，
又称行向量.
a1
(3)
只有一列的矩
阵
B
a2 ,
称
为列矩
阵,又称列向量.
an
(4) 两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
(2)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2 , , xn 到变量 y1, y2 , , ym的线性变换，其中aij为常数.
线性变换(2)的系数 aij 构成矩阵A (aij )mn .
元素是实数的矩阵是实矩阵，
例如 1 0 3 5, 是一个 2 4实矩阵. 9 6 4 3
元素是复数的矩阵称为复矩阵，
例如
13 2i
6 2
2i 2 , 是一个 3 3 复矩阵.
2 2i 2
这里的矩阵除特别说明者外, 都指实矩阵.
常用的特殊矩阵
(1) 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵(方阵).

矩阵知识点归纳及例题

矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。

（一）矩阵的定义。

1. 矩阵的概念。

- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。

2. 特殊矩阵。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。

- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。

- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。

- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。

（二）矩阵的运算。

1. 矩阵的加法。

- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。

- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。

2. 矩阵的数乘。

- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。

- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。

3. 矩阵的乘法。

- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。

- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。

特殊矩阵知识点总结归纳

特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。

特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。

1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。

具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。

对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。

上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。

这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。

3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。

也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。

对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。

4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。

正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。

正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。

二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。

1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。

对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。

此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。

此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。

辅导讲义(线性代数第二讲)

178第二章矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。

1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。

一、考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。

只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。

两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。

如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。

注意不同型的零矩阵是不同的。

2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。

2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算

a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2

a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出，作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法

线性代数-矩阵的概念

的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项 bi i 1,2,,n
一、矩阵概念的引入
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
2. 某航空公司在A,B,C,D四
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
是一个 11 矩阵.
三、几类特殊矩阵
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an ,
称为行矩阵(或行向量).
三、几类特殊矩阵
只有一列的矩阵
a1
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的线性变换. 其中 aij为常数.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
三、几类特殊矩阵
(5)方阵
1 0 0
E
En
0
1
O
0
O 0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(6)方阵
a 0

矩阵所有知识点总结

矩阵所有知识点总结1. 矩阵的定义在数学中，矩阵通常表示为一个由 m 行 n 列元素组成的矩形数组，如下所示：-$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$$a_{ij}$$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

当 m = n 时，矩阵称为方阵。

2. 矩阵的运算矩阵具有加法、数乘、矩阵乘法等运算规则，下面分别介绍这些运算规则。

2.1 矩阵的加法设有两个 m 行 n 列的矩阵 A 与 B，则它们的和记为 A + B，其定义为：-$$A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$$2.2 矩阵的数乘设有一个 m 行 n 列的矩阵 A 与一个实数 k，则它们的数乘记为 kA，其定义为：-$$kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} &\cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots &ka_{mn} \end{bmatrix}$$2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，两个矩阵 A 与 B 的乘积为一个 m 行 n 列的矩阵 C，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。

《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵

7. 单位矩阵对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等定义2.1.2
B 有相同的行数和列数，如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线性代数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩阵
• 第一节矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节矩阵的运算 • 第三节逆矩阵 • 第四节分块矩阵
第一节矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念产品引例某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵.

bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1

矩阵典型习题解析

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。

其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!2.1 知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)( 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

3．矩阵的相等设mn ij mn ij b B a A )(;)(==若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算1．加法（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律① A+B=B+A ；②（A+B ）+C =A +（B+C ）③ A+O=A④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,③ (KL ) A = K (LA )3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则,)(mp ij C C AB ==其中∑==nk kjik ij b aC 1（2）运算规律①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂①定义：A n ij a )(=，则Kk A A A =②运算规律：n m n m A A A +=⋅；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零的方阵称为对角矩阵. 如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
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பைடு நூலகம்
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即
aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
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4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
或 En 或 E。
1 0 0 0 1 0 I 。 0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1。
单位矩阵的作用：类似于数字“1”的运算。
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练习
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a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
(1)
am1 am2 amn
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的
第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元.
以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( a ij ) 或 (aij )mn,
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
。
a1n a2n ann
在对称矩阵中，有aijaji。
例如，矩阵
1 1 和 1 0 都是对称矩阵。
103 0 2 1 3 1 3
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为Ｏm n , 在不会引起
混淆的情况下, 也可记为Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
简记为 A= ( aij )n 或 An
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如
A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
如
a 11
B
a 21
.
a m 1
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4 2 1 0
5 1
3 5
３×４矩阵
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
n×n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0
diag(132,,) 0 1 0 .
0
0
2
对角矩阵
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3.数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n ,
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A = B .
例如
3 4
1 2
与
5 6
a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
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3 .同型矩阵
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q , 如果满足m = p 且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等, 则称这两个矩阵为同型矩阵.
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4 .两个矩阵相等定义两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
§2.1 矩阵的概念几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am 2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
mn 矩阵A也记作 Amn.
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) . 编辑课件
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个数值. 例如
5×2
1 2 4 3
1 2 3 0
矩阵
9 8 5 2 9 8