高三数学总复习作业8

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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练8函数的奇偶性与周期性北师大版

课时规范练8　函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.(2021山东德州高三月考)下列函数既是偶函数又存在零点的是( )A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x2.(2021广东肇庆高三二模)已知函数f(x)=sin x(x+1)(x-a)为奇函数,则a=( )A.-1B.12C.-12D.13.(2021广东广州高三月考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=( )A.-4B.4C.-8D.84.(2021山东聊城高三期中)已知奇函数f(x)={x3-1,x<0,g(x),x>0,则f(-1)+g(2)=( )A.-11B.-7C.7D.115.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且∃x0∈I,f(x0)<0,则下列函数符合上述条件的是( )A.f(x)=x2+|x|B.f(x)=2x-2-xC.f(x)=log2|x|D.f(x)=x-4 36.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,则下列判断正确的是( )A.f(x)的值域为(0,1]B.f(x)的周期为2C.f(x+1)是偶函数D.f(2 021)=07.(2021浙江金华高三月考)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=a(x+1)-2x,则f(f(3))= .8.(2021河南郑州高三月考)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=1x+1,y=f(x)与y=g(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2= .综合提升组9.(2021山西太原高三期中)函数f(x)=e x-2-e2-x的图象( )A.关于点(-2,0)对称B.关于直线x=-2对称C.关于点(2,0)对称D.关于直线x=2对称10.对于函数f(x)=a sin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和211.已知函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是( )A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x=-2对称D.f(x+4)为奇函数12.(2021广东佛山高三二模)已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为 .13.(2021重庆八中高三月考)已知函数f(x)=e|x|-x 13+1e|x|+1(x∈R且x≠1)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为 .创新应用组14.已知函数f (x )的定义域为R ,f (x+2)为偶函数,f (2x+1)为奇函数,则( )A.f (-12)=0B.f (-1)=0C.f (2)=0D.f (4)=015.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 . 课时规范练8　函数的奇偶性与周期性1.D 解析:选项A 中的函数既不是奇函数,也不是偶函数,不合题意;选项C 中的函数是奇函数,不合题意;B 项中的函数是偶函数,但不存在零点,故选D .2.D 解析:函数的定义域为{x|x ≠-1且x ≠a },因为f (x )=sin x (x +1)(x -a )为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f (x )=sin x (x +1)(x -1)=sin x x 2-1,f (-x )=sin (-x )(-x )2-1=-sin x x 2-1=-f (x ),满足f (x )为奇函数,故选D .3.C 解析:因为f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ,①所以f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+a ,因为f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以f (x )+g (x )=-x 3+x 2+a ,②②-①得:2g (x )=-2x 3,所以g (x )=-x 3,所以g (2)=-23=-8,故选C .4.C 解析:f (-1)+g (2)=f (-1)+f (2)=f (-1)-f (-2)=(-1)3-1-[(-2)3-1]=-2-(-9)=7,故选C .5.C 解析:∀x ∈R ,f (x )=x 2+|x|≥0,故A 不符合题意;函数f (x )=2x -2-x 是定义在R 上的奇函数,故B 不符合题意;函数f (x )=log 2|x|是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且在(0,+∞)上,f (x )=log 2x 单调递增,∃x0=12,f(12)=-1<0,故C符合题意;幂函数f(x)=x-43在(0,+∞)上单调递减,故D不符合题意,故选C.6.C　解析:对于A,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,此时0<f(x)≤1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x∈[-1,0)时,-1≤f(x)<0,故在区间[-1,1]上,-1≤f(x)≤1,A错误;对于B,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函数,B错误;对于C,f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2021)=f(1+4×505)=f(1)=1,D错误.故选C.7.11　解析:f(0)=a-1=0,a=1.当x<0时,-x>0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x),即f(x)=x-1+2-x,故f(x)={x+1-2x,x≥0,x-1+2-x,x<0.f(3)=4-23=-4,f(-4)=-5+24=11,故f(f(3))=11.8.2　解析:因为f(x)+f(-x)=2,所以y=f(x)关于点(0,1)对称,y=g(x)=1x+1也关于点(0,1)对称,则交点(x1,y1)与(x2,y2)关于(0,1)对称,所以y1+y2=2.9.C　解析:∵f(x)=e x-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=e x-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-e x,∴f(2+x)+f(2-x)=0,因此,函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故选C.10.D　解析:因为f(x)=a sin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=a sin1+b+c+a sin(-1)-b+c=2c.因为c∈Z,所以f(1)+f(-1)为偶数,所以f(1)和f(-1)可能为4和6,3和1,2和4,不可能是1和2,故选D.11.A　解析:因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.又因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)是最小正周期为8的周期函数,且它的图象关于点(-2,0)对称和关于直线x=4对称,所以f(x+4)为偶函数,故选A.12.(-1,1)　解析:根据题意,对于函数f(x)=x(2x-2-x),都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则f(x)为偶函数,函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+x ln2(2x+2-x),当x>0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.又f(1)=2-12=32,由2f(x)-3<0可得f(x)<f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集是(-1,1).13.2　解析:f(x)=e|x|-x 13+1e|x|+1=1-x13e|x|+1,函数的定义域为R,设g(x)=x 1 3e|x|+1,函数的定义域为R,∴g(-x)=(-x)13e|-x|+1=-x13e|x|+1=-g(x),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max,∴M+m=2-[g(x)max+g(x)min]=2.14.B　解析:因为f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以f(x)=f(4-x),f(1)=0,f(x)=f(x+4),即f(3)=f(1)=0,f(-1)=f(3)=0.故B正确.设f(x)=cosπ2x,因为f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,所以f-12=cos-π4≠0,f(2)=cosπ≠0,f(4)=cos2π≠0.故A,C,D错误.15.1　解析:①中f(x)≥5,无论正数a取什么值f(0)≠0,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f(x)=cos2x-π2=sin2x,f(x)的图象向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f(x)的图象向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f(x)=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sin x是奇函数,f x+π4=√2cos x是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-2圆的方程新人教A版

8-2圆的方程基础巩固强化1.(2011²广州检测)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1[答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．(文)(2011²广东文，8)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆[答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.(理)(2011²广州模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝12[答案] C[解析] 设中点M (x ，y )，则点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或②x ＋y ＋1＝0.①表示的是不在直线x ＋y ＋1＝0的左下方且在圆x 2＋y 2＝4上的部分；②表示的是直线x ＋y ＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.4．(2011²华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125B.245C.65 D ．5[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)．5．(2012²福州八县联考)已知函数f (x )＝1－x －12，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； ④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0. 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 曲线y ＝1－x －12，x ∈[1,2]表示圆(x －1)2＋y 2＝1，位于直线x ＝1右侧x 轴上方的四分之一个圆，∵1<x 1<x 2<2，∴f (x 1)>f (x 2)．因此，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，④错，③对；显然有k OA >k OB ，∴f x 1x 1>f x 2x 2，∴x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故②正确；又k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1<0，可能有k AB <－1，也可能k AB >－1，∴①错．6．(文)(2011²日照模拟)圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.(理)(2011²西安模拟)若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 由条件知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝3＋b a＋2ab≥3＋22，等号在b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时成立．7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．[答案] (x ＋3)2＋(y －4)2＝4(x ≠－95且x ≠－215)[解析]如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为(x 2，y 2)，线段MN 的中点坐标为(x 0－32，y 0＋42)．由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.因为N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在直线OM 上时的情况)．8．(2011²南京模拟)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9．(文)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |2，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2.(理)(2012²石家庄一模)已知动圆的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，该圆经过点A (0，p )，且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C 的纵坐标为p 时，C (2p ，p )为圆心的圆方程为(x －2p )2＋(y －p )2＝2p 2，令y ＝0得，x ＝2p ±p ，∴MC ⊥NC ，∴sin ∠MCN ＝1.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，直线OA ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12²d ²|AO |＝12.(理)(2011²兰州一诊)已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解析] (1)设圆M 的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |²|PA |＋12|BM |²|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为：S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.能力拓展提升11.(2011²西安模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD |＝46，又最长弦长|AC |＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12³|AC |³|BD |＝20 6.12．(文)(2011²成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.(理)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,0)，由题意知PA ⊥AC ，∴|PC |2＝|PA |2＋|AC |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2，故选B.13．(2011²长春市调研)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________________．[答案] (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，2－a 2＋3－b 2＝r 2，r 2－a －b ＋122＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.14．(文)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径R ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析]设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.15．(文)(2011²青岛模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |²|OB |＝12³⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ³|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2011²北京模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)．动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线C 的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋3)2＋y 2＝4[(x －3)2＋y 2] 整理得(x －5)2＋y 2＝16. (2)由条件知QM 与圆C 相切，则问题转化为在直线l 1上求一点Q ，过点Q 作⊙C 的切线，求切线长的最小值．由于⊙C 的半径为定值4，欲使切线长最小，只需QC 最小，而点C (5,0)为定点，因此，当CQ ⊥l 1时取得最小值，∵C 到l 1的距离d ＝42，∴|QM |min ＝d 2－42＝4.16．(文)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[分析] (1)设出点P 的坐标，由|PA |＝2|PB |写出方程，化简即可；(2)直线l 2与曲线C 只有一个公共点M ，故l 2与C 相切，当|QC |取最小值时，|QM |取到最小值，故|CQ |为点C 到l 1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化得可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.(理)(2012²河南六市联考)已知直线l 与抛物线x 2＝4y 相切于点P (2,1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为(2,0)，动点Q 满足AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q 的轨迹C 有两个不同交点M ，N ，就一定有OM →²ON →＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴直线l 的斜率为y ′|x ＝2＝1，故l 的方程为：y －1＝1(x －2)，即y ＝x －1， ∴点A 坐标为(1,0)，设Q (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BQ →＝(x －2，y )，AQ →＝(x －1，y )，由AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0得，x －2＋0＋2x －12＋y 2＝0，化简整理得x 22＋y 2＝1，故动点Q 的轨迹C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)假设存在这样的圆，其方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)．(ⅰ)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0， ∴m 2<1＋2k 2，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，②x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，③由OM →²ON →＝0，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，④ 将②③代入④得2m 2－11＋k 21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝0，m 2＝23(1＋k 2)，⑤显然满足①式由直线MN ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝r 2相切知：r ＝|m |1＋k2，∴r ＝m 21＋k 2＝23，即存在圆x 2＋y 2＝23满足题意． (ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，可得x 1＝x 2＝63或x 1＝x 2＝－63，y 1＝－y 2＝63，满足OM →²ON →＝0，综上所述：存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax ＋by －a ＋1＝0平分圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．P 在⊙C 内B ．P 在⊙C 上 C ．P 在⊙C 外D ．无法确定[答案] C[解析] 由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝tan60°，2a ＋3b －a ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－34，∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴点P 在⊙C 外．2．(2011²临沂模拟)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0)D ．(－∞，14)[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b2)2＝14.3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )A．1 B.4 5C.25D．2[答案] A[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴d min＝2－1＝1.4．(2011²东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.5．(2011²浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab ≤6，∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.。

高考数学一轮复习全套课时作业8-10-2最值问题

作业8.10.2最值问题1．(2020·海南Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．2．(2021·济宁嘉祥第一中学模拟)如图，已知抛物线E ：x 2＝2py(p>0)与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，且|AB|＝4.过劣弧AB 上的动点P(x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，相交于点M.(1)求抛物线E 的方程；(2)求点M 到直线CD 距离的最大值．3．(2021·江西南昌摸底考试)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，焦距为4，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点A 关于原点O 的对称点为C ，当l 的斜率存在时，直线AB 和BC 的斜率之积为－12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△OBC 面积的最大值．4．已知点P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，点P 在x 轴上的射影是C ，CQ →＝2CP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)过点(－3，0)的直线交点P 的轨迹于点A ，B ，交点Q 的轨迹于点M ，N ，求14|MN|2－|AB|的最大值．5．(2021·沧州市名校联盟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，圆心为坐标原点的单位圆O 在椭圆C 的内部，且与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线x ＋2y ＝2与椭圆C 只有一个公共点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求△ABP 面积的最大值．作业8.10.2最值问题参考答案1．答案(1)x 216＋y 212＝1(2)18解析(1)椭圆C 的左顶点为A(－a ，0)，则直线AM 的斜率为32＋a ＝12①.又点M 在椭圆C 上，则4a 2＋9b 2＝1②，联立①②，解得a ＝4，b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设过点N 与椭圆相切，且与直线AM 平行的直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，＝12x ＋m ，＋y 212＝1，消去y ，可得x 2＋mx ＋m 2－12＝0，由Δ＝m 2－4(m 2－12)＝0，解得m ＝±4，易知当m ＝－4时，直线l 与直线AM 距离较远，此时直线l 的方程为y ＝12x －4，则直线l 与直线AM 的距离就是点A(－4，0)到直线l 的距离d 1×（－4）－0－4＝1255，因此，△AMN 的面积的最大值为12|AM|·d ＝12（2＋4）2＋32×1255＝18.2．答案(1)x 2＝4y(2)1855解析(1)∵|AB|＝4，且A ，B 在圆上，∴圆心O 到弦AB 的距离d ＝5－22＝1，由抛物线和圆的对称性可得B(2，1)，代入抛物线可得4＝2p ，解得p ＝2，∴抛物线E的方程为x 2＝4y.(2)设1，14x 2，14x x 2＝4y ，可得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，则l 1的方程为：y －14x 12＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －14x 12，①同理l 2的方程为：y ＝12x 2x －14x 22，②联立①②解得x ＝12(x 1＋x 2)，y ＝14x 1x 2，由直线CD 与圆x 2＋y 2＝5切于点P(x 0，y 0)，易得CD 方程为x 0x ＋y 0y ＝5，其中x0，y 0满足x 02＋y 02＝5，y 0∈[1，5]，2＝4y ，0x ＋y 0y ＝5，化简得y 0x 2＋4x 0x －20＝0，Δ＝16x 02＋80y 0>0，∴x 1＋x 2＝－4x 0y 0，x 1x 2＝－20y 0，设M(x ，y)，则x ＝12(x 1＋x 2)＝－2x 0y 0，y ＝14x 1x 2＝－5y 0，∴点M 到直线CD ：x 0x ＋y 0y ＝5的距离为：d ＝－2x 02y 0－5－5x 02＋y 02＝10y 0－2y 0＋105，y 0∈[1，5]，易知d 关于y 0单调递减，∴d max ＝10－2＋105＝1855，即点M 到直线CD 距离的最大值为1855.3．答案(1)x 28＋y 24＝1(2)22解析(1)由焦距为4，可得2c ＝4，解得c ＝2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则C(－x 1，－y 1)．由k AB ·k BC ＝－12，得y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 12x 22－x 12＝－12.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，＋y 12b 2＝1，①＋y 22b 2＝1.②②－①，得y 22－y 12x 22－x 12＝－b 2a 2，所以a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝c 2＝4，所以a 2＝2b 2＝8，所以椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由点A ，C 关于原点对称，可得S △OBC ＝S △OAB .又直线AB 的倾斜角不为0，焦点F(2，0)，所以可设直线AB 的方程为x ＝ty ＋2.＋y 24＝1，ty ＋2，消去x 并整理，得(t 2＋2)y 2＋4ty －4＝0，Δ＝32t 2＋32＞0，则y 1＋y 2＝－4t t 2＋2，y 1y 2＝－4t 2＋2.＝S △OAB ＝12|OF|·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝42×t 2＋1t 2＋2＝42×1t 2＋1＋1t 2＋1≤22，当且仅当1＝t 2＋1，即t ＝0时取等号，所以△OBC 面积的最大值为2 2.4．答案(1)x 2＋y 2＝4(2)1解析(1)设点Q 的坐标为(x ，y)，由CQ →＝2CP →得点P P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，则可得x 24＋＝1，化简得点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.(2)若AB ⊥x 轴，则|AB|＝1，|MN|＝2，∴14|MN|2－|AB|＝0；若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3k ，即kx －y ＋3k ＝0，则坐标原点到直线AB 的距离d ＝3|k|k 2＋1，∴|MN|2＝4(4－d 2)＝4（k 2＋4）k 2＋1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3k 代入x 24＋y 2＝1，并化简，得(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0，Δ＝16(k 2＋1)＞0，∴x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2＝4＋4k 21＋4k2.当k ＝0时，14|MN|2－|AB|＝4－4＝0；当k ≠0时，14|MN|2－|AB|＝9k 24k 4＋5k 2＋1＝94k 2＋1k 2＋5≤924k 2·1k2＋5＝1，当且仅当4k 2＝1k 2即k ＝±22时，等号成立，综上所述，14|MN|2－|AB|的最大值为1.5．答案(1)x 22＋y 2＝1(2)3616解析(1)依题意，得b ＝1.将x ＝2－2y 代入椭圆的方程，得(a 2＋2)y 2－42y ＋4－a 2＝0，由Δ＝32－4(a 2＋2)(4－a 2)＝0，解得a 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可得左焦点F(－1，0)．由题意设直线l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)，代入椭圆方程，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，所以x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，则AB 的中点为设点P(x 0，0)，则k PQ ＝－m 2＋（m 2＋2）x 0＝－m ，解得x 0＝－1m 2＋2，故S △ABP ＝12|PF|·|y 1－y 2|＝|x 0＋1|2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（m 2＋1）m 2＋1（m 2＋2）2.令t ＝m 2＋1(t>1)，则m 2＝t 2－1，且S △ABP ＝2t 3（t 2＋1）2＝2t ＋2t ＋1t 3.设f(t)＝t ＋2t ＋1t 3(t>1)，则f ′(t)＝1－2t 2－3t 4＝（t －3）（t ＋3）（t 2＋1）t 4.易知，f(t)在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(t)min ＝f(3)＝1639，所以S △ABP ≤21639＝3616，即△ABP 面积的最大值为3616.。

高三数学一轮复习练习 8.7 课后限时作业

高三数学一轮复习练习 8.7 课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 抛物线y ＝x 2的准线方程是 ( ) A ．2x ＋1＝0 B ．2y ＋1＝0 C ．4x ＋1＝0 D ．4y ＋1＝0解析：2p ＝1，所以y ＝－p 2＝－14，所以准线方程为4y ＋1＝0，选D.答案：D2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) A ．2 3 B. 3C.32D.34解析：4x 2＋y 2＝1化为标准方程为x 214＋y 2＝1，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，所以焦点到准线的距离为3，所以选B. 答案：B3.直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1,B 1，则∠A 1FB 1是 ( ) A.锐角 B.直角C.钝角D.直角或钝角解析：由|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|易得. 答案：B4.（2011届·沈阳质检）抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：方法一：(数形结合法)过点A 作抛物线的准线x ＝－1的垂线，垂足为B ，由抛物线定义，有|AB |＝|AF |，易知AB 平行于x 轴，∠AFx ＝π3，∠BAF ＝π3，△ABF 是等边三角形，过F 作FC垂直于AB 于点C ，则|CA |＝|BC |＝p ＝2，故|AF |＝|AB |＝4.方法二：(代数法)焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π3·(x －1)，即y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或13(舍去)，故点A 的坐标为(3,23)，|AF |＝(3－1)2＋(23－0)2＝4.答案：B5.已知点P （x,y ）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q （x+y,xy ）的轨迹是 ( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线解析：点P 的轨迹方程是x 2+y 2=1,令a=x+y ①，b=xy ②,将①式两边平方得a 2=x 2+y 2+2xy,将x 2+y 2=1及②式代入得a 2=1+2b ，所以点Q 的轨迹是抛物线.答案：B6.（2011届·合肥质检）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， P 3(x 3，y 3)在抛物线上，并且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：抛物线的准线方程为x ＝－p2，根据抛物线的定义，得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2.因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.线段AB 是抛物线y 2=x 的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB 的中点C 到直线x+12=0的距离是 .解析：线段AB 的中点C 到准线x=-14的距离为|AB|长的一半，则点C 到直线x+12=0的距离为94. 答案：948. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是米．解析：如图，设抛物线方程为y ＝ax 2.将(－4，－2)代入方程得a ＝－18.则抛物线方程为y ＝－18x 2.令y ＝－1，则x ＝±2 2.则水面宽度为4 2. 答案：4 29.已知Q(4,0),P 为y 2=x+1上任一点，则｜PQ ｜的最小值为 .1910.已知抛物线y 2=4x ，过点P （4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则y 21+y 22的最小值是 . 解析：设直线方程x=my+4,代入y 2=4x 消去x 得关于y 的一元二次方程， y 2-4my-16=0,Δ=16m 2+64>0. y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-16,y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16m 2+32≥32, 当m=0时，y 21+y 22取得最小值32.答案：32三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.抛物线y 2=2px(p>0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是3.解：设△AOB 的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ， AO 边的方程是y=2x,则OB 边的方程为y=-12x. 由y=2x, y 2=2px 得点A 坐标为（2p,p ）. 由y=-12x, y 2=2px 得点B 坐标为（8p,-4p ）. 因为312. 已知动圆过定点A (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点B (0,1)，并与轨迹C 交于P 、Q 两点，且满足OP →·OQ →＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设M 为动圆圆心，由题意知：|MA |等于M 到定直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中A (1,0)为焦点，x ＝－1为准线．所以动圆的圆心M 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x . (2)由题意可设直线l 的方程为x ＝k (y －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －1)，y 2＝4x 得y 2－4ky ＋4k ＝0. 所以Δ＝16k 2－16k >0⇒k >1或k <0. 又y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4k . 由OP →·OQ →＝0⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0 ⇒k 2(y 1－1)(y 2－1)＋y 1y 2＝0 ⇒(k 2＋1)y 1y 2－k 2(y 1＋y 2)＋k 2＝0⇒4k (k 2＋1)－k 2·4k ＋k 2＝0⇒k ＝－4或k ＝0(舍去)．又k ＝－4<0，所以直线l 存在，其方程为：x ＋4y －4＝0. B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 1.已知抛物线C:y=14x 2的准线为,过与y 轴的交点M 作抛物线C 的两条切线1l 、2l ，切点分别为A 、B ，则MA 与MB 的夹角为 ( ) A.60° B.75° C.90° D.120°解析：由题意知M （0,-1），则设过M 点的切线为y=kx-1.由y=kx-1，x 2=4y ⇒x 2-4kx+4=0.令Δ=16k 2-16=0⇒k 2-1=0.所以k=±1，则MA 与MB 的夹角为90°. 答案：C2.（2011届·日照调研）已知抛物线y 2＝4x的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( ) A. 3 B. 6 C ．2 D ．3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，±1－a 2a ，若△F AB 为直角三角形，则只能∠AFB 为直角，△F AB 为等腰直角三角形，所以1－a 2a ＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B.答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝__ __. 解析：直线的方程为y ＝2(x －3)＋1＝2x －5，将⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －5，y 2＝2px 联立得4x 2－(20＋2p )x ＋25＝0. 则x 1＋x 2＝20＋2p 4＝6，解得p ＝2.答案：24.已知抛物线y=2px 2(p>0)的焦点为F ，点P(1,14)在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q.若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为 .解析：由P(1,14)在抛物线上，得p=18，故抛物线的标准方程为x 2=4y,点F(0,1)，准线为y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+14=54，|MQ|=1，则直角梯形PQMF 的面积为12×(54+2)×1=138.答案：138三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.（2011届·江苏无锡模拟）已知点P （1，3），圆C ：（x-m ）2+y 2=92过点A(1，)，F 点为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，直线PF 与圆相切. (1)求m 的值与抛物线的方程；（2）设点B （2,5），点Q 为抛物线上的一个动点，求BP ·BQ 的取值范围. 解：（1）点A 代入圆C 的方程,得(1-m)2+(-2)2=92. 所以m=1，圆C ：（x-1）2+y 2=92. 当直线PF 的斜率不存在时不合题意. 当直线PF 的斜率存在时，设为k ，则PF:y=k(x-1)+3, 即kx-y-k+3=0.因为直线PF 与圆C 相切，所以2033221k k k --+=+,解得k=1或k=-1. 当k=1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去. 当k=-1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，符合题意. 所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x. (2) BP =(-1,-2),设Q （x,y ）, BQ =(x-2,y-5),BP ·BQ =-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-216y -2y+12=-116(y+16)2+28≤28. 所以BP ·BQ 的取值范围为（-∞,28］.6. 设抛物线的方程为y 2＝4x ，过点P(2,0)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，点Q 满足OQ →＝OA→＋λOB →(λ∈R )．(1)当λ＝1时，求点Q 的轨迹方程；(2)若点Q 在x 轴上，且1<λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：方法一：设直线l 的方程为my ＝x －2，代入y 2＝4x 得：y 2－4my －8＝0.设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8.(1)设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →，所以y ＝y 1＋y 2＝4m .所以x ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝4m 2＋4.消去m 得：x ＝y 24＋4，即点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)．(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上，所以y 1＋λy 2＝0，即y 1＝－λy 2.⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝(1－λ)y 2＝4m ，y 1y 2＝－λy 22＝－8.消去y 2得：－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 1－λ2＝－8.2m 2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2.设f (λ)＝λ＋1λ－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1λ2>0恒成立．所以0<λ＋1λ－2<43，即0<m 2<23，又k ＝1m ，所以k 2>32.所以k <－62或k >62即为直线l 的斜率k 的取值范围．方法二：(1)因为OQ →＝OA →＋OB →，当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性得Q 点坐标为(4,0)．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入y 2＝4x 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，所以k ≠0.设A 、B 、Q 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x ，y )．因为OQ →＝OA →＋OB →，所以⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＝4k 2＋4k 2，y ＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ，解得⎩⎨⎧x ＝4＋4k 2，y ＝4k .消去k 得：x ＝y 24＋4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)．(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上，所以y 1＋λy 2＝0，即k (x 1－2)＋λk (x 2－2)＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－2)＋λ(x 2－2)＝0，x 1＋x 2－4＝⎝⎛⎭⎫4＋4k 2－4，x 1x 2＝(x 1－2)(x 2－2)＋2(x 1＋x 2)－4＝－4，即⎩⎨⎧x 1－2＝－λ(x 2－2)，(x 1－2)＋(x 2－2)＝4k2，(x 1－2)(x 2－2)＝－2⎝⎛⎭⎫4＋4k 2，整理得：2k 2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2.设f (λ)＝λ＋1λ－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1λ2>0恒成立．所以0<λ＋1λ－2<43，0<1k 2<23，所以k 2>32.所以k <－62或k >62，即为直线l 的斜率k 的取值范围．方法三：(1)设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →，所以y ＝y 1＋y 2且x ＝x 1＋x 2.所以y ×y 1－y 2x 1－x 2＝y ×12y 12x －2＝4.即点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)． (2)略．。

2020届高三数学文科总复习作业：第八章+立体几何+课时作业8-4+Word版含解析

8-4课时作业A组——基础对点练1．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【答案】 B2．(2019·贵阳监测)如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC【答案】 B3．如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB 为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③【答案】 B4．在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部【答案】 A5．如图，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 【答案】 C6．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则P A与平面ABC所成角的大小为()A.5π12 B.π3C.π4 D.π6【答案】 B7．(2019·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(答案不唯一)8．(2019·兰州实战)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是______________．【答案】①③9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC.(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为P A⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2018·石家庄模拟)在平面四边形ABCD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD.(1)当C′D＝2时，求证：平面C′AB⊥平面DAB.(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′ABD的高．B组——能力提升练1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】 B2．(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6 2C．8 2 D．8 3【答案】 C3．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是____________．(写出所有正确结论的序号)【答案】②4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．【答案】1 25．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝4，AB＝2，以AC为直径的球面交PD于M点．(1)求证：平面ABM⊥平面PCD.(2)求CD与平面ACM所成角的正弦值．。

高考数学总复习高效课时作业8-3文新人教版

一、选择题1．已知两点( － 2，0)， (0 ，2) ，点C 是圆x2＋y2－ 2x＝0 上随意一点，则△面积的最A B ABC 小值是 ()A．3－ 2B．3＋ 223－ 2C．3－2 D.2分析： l AB：x－ y＋2＝0，圆心(1，0)到 l 的距离 d＝|3|＝32，2∴AB边上的高的最小值是3－1.2∴ S△min＝1×(2 2) ×(3－1) ＝3－ 2. ∴选 A.22答案： A2．对于a ∈R，直线 (a－1)x－＋＋1＝0 恒过定点，则以C为圆心，以5为半径的圆的方y a C程为 ()A．x2＋y2－2x＋ 4y＝0B．x2＋y2＋2x＋ 4y＝0C．x2＋y2＋2x－ 4y＝0D．x2＋y2－2x－ 4y＝0分析：直线方程可化为( x＋ 1) a－x－y＋ 1＝ 0，易得直线恒过定点( － 1， 2) ，故所求圆的方程 ( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 5，即为x2＋y2＋ 2x－ 4y＝ 0.答案： C3．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0，则F＝E＝ 0 且D＜ 0 是⊙C与y轴相切于原点的() A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件D分析：由题意可知，要求圆心坐标为( －2， 0) ，而D能够大于 0，应选 A.答案： A4．若圆x2＋y2－ax＋ 2y＋ 1＝0 与圆x2＋y2＝ 1 对于直线y＝ x－1对称，过点C(－ a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为()A．y2－ 4x＋ 4y＋ 8＝0B．y2＋ 2x－ 2y＋ 2＝0C．y2＋ 4x－ 4y＋ 8＝0D．y2－ 2x－y－ 1＝ 0分析：由圆x2＋y2－ ax＋2y＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1对于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得 a＝2，即点 C(－2，2)，所以过点 C(－2， 2) 且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋ 8＝0，应选 C.答案： C5．直线l： 4x－ 3y－ 12＝ 0 与x、y轴的交点分别为A、 B， O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为()A． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1B． ( x－1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1C． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2D． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2分析： (3 ，0) ， (0 ，－ 4)， (0 ，0)，A B O∴内切圆的半径| OA| ＋| OB| － | AB|r ＝2＝ 1.又圆心为 (1 ，－ 1) ，22∴方程为 ( x－ 1) ＋ ( y＋ 1) ＝1，应选 A.二、填空题6．(2011 年辽宁 ) 已知圆C经过A(5 ，1) ，B(1 ，3) 两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ________．分析：依题意设所求圆的方程为：( x－a) 2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，（5－a）2＋1＝r 2，a＝2，22（1－a） 2＋9＝r 2，解得r 2＝10，所以所求圆的方程为( x－ 2)＋ y＝ 10.答案： ( x－ 2) 2＋y2＝107．圆心在原点且与直线x＋ y－2＝0相切的圆的方程为________．分析：依据圆与直线相切可知2＝ 2. r ＝ d＝2∴所求圆的方程为x2＋ y2＝2.答案： x2＋ y2＝28．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆位于y轴左边，且与直线＋＝ 0 相切，则圆O的方O x y程是 ________．分析：由题意可设圆O的方程为( x－a) 2＋y2＝ 2( a＜ 0) ，由题意得| a＋ 0|2，＝2即 | a| ＝2，所以a＝－ 2，故所求圆 O的方程为( x＋2)2＋ y2＝2.答案： ( x＋ 2) 2＋y2＝29． (2011 年重庆 ) 设圆C位于抛物线y2＝2x 与直线 x＝3所围成的关闭地区( 包括界限 ) 内，则圆C的半径能取到的最大值为________．分析：C需圆与抛物线及直线x ＝ 3 同时相切，设圆心的坐标为 ( a ， 0)( a ＜ 3) ，则圆的方程为 ( x － a ) 2＋ y 2＝(3 － a ) 2，与抛物线方程 y 2＝ 2x 联立得 x 2＋ (2 － 2a ) x ＋ 6a －9＝ 0，由鉴别式＝ (2 － 2a ) 2－ 4(6 a － 9) ＝ 0，得 a ＝4－ 6，故此时半径为 3－(4 － 6) ＝ 6－ 1.答案：6－ 1三、解答题10．如图，圆 C 经过不一样的三点P ( k ，0) 、Q (2 ， 0) 、R (0 ， 1) ，已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，试求圆 C 的方程．分析：设圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，则 k 、 2 为 x 2＋ Dx ＋F ＝ 0 的两根，∴ k ＋ 2＝－ D ， 2k ＝ F ，即 D ＝－ ( k ＋2) ， F ＝2k ，又圆过 R (0 ， 1) ，故 1＋ E ＋F ＝ 0.∴ E ＝－ 2k － 1.故所求圆的方程为x 2＋ y 2－ ( k ＋ 2) x － (2 k ＋ 1) y ＋2k ＝ 0，k ＋2 2k ＋ 1圆心坐标为(2，2)．∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为1，2k ＋ 1∴ k CP ＝－ 1＝ 2－ k ，∴ k ＝－ 3.∴所求圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋x ＋ 5y － 6＝ 0.211．已知以点 C ( t ， t )( t ∈R ， t ≠0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A ，与 y 轴交于点 O 、 B ，其中 O 为原点．(1) 求证：△ OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y ＝－ 2x ＋ 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程．分析： (1) 证明：设圆的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＝0，24因为圆心 C ( t ， t ) ，∴ D ＝－ 2t ， E ＝－ t ，令 y ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝－＝2 ，∴ (2 t ，0)，D tA44令 x ＝ 0 得 y ＝ 0 或 y ＝－ E ＝ t ，∴ B (0 ， t ) ，1∴ S△OAB＝2| OA|·| OB|14＝2· |2 t | · | t | ＝ 4( 定值 ) ．(2) ∵OM＝ON，∴O在MN的垂直均分线上，而MN的垂直均分线过圆心C，21t 1∴k OC＝2，∴t＝2，解得 t ＝2或 t ＝－2，而当 t ＝－2时，直线与圆C不订交，∴ t ＝2，∴ D＝－4， E＝－2，∴圆 C的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0.12． (2011 年课标全国 ) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 y＝ x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆 C的方程；(2)若圆 C与直线 x－ y＋ a＝0交于 A， B 两点，且 OA⊥ OB，求 a 的值．分析： (1) 曲线y＝x2－ 6x＋ 1 与y轴的交点为 (0 ，1) ，与x轴的交点为 (3 ＋ 22， 0) ， (3－2 2，0) ．故可设 C的圆心为(3， t )，则有32＋ ( t－ 1) 2＝ (22) 2＋t2，解得 t ＝1.则圆 C的半径为2＋（ t23－1）＝3.所以圆 C的方程为( x－3)2＋( y－1)2＝9.(2)设 A( x1， y1)， B( x2， y2)，其坐标知足方程组x－ y＋ a＝0，（ x－3）2＋（ y－1）2＝9.消去 y，得方程2x2＋(2 a－8) x＋ a2－2a＋1＝0.由已知可得，鉴别式＝56－ 16a－4a2＞ 0.所以 x1，2＝（ 8－2a）± 56－ 16a－ 4a2，4a2－2a＋1进而 x1＋ x2＝4－ a， x1x2＝.①2因为 OA⊥ OB，可得 x1x2＋ y1y2＝0.又 y1＝ x1＋a， y2＝ x2＋ a，所以 2x1x2＋a( x1＋x2) ＋a2＝0. ②由①②得 a＝－1，知足＞1，故a＝－ 1.。

高考数学总复习第八章解析几何课时作业53 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题

课时作业53椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为(B)A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为(B) A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B. 3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为(D)A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2，所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2；由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2，所以λ＝a a 2－b 2＝2.4．(2019·某某某某一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为(D)A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D. 5．(2019·某某重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为(D)A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为(A)A.55 B ．105C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55.故选A. 7．(2019·某某某某中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为－5.解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝6－32＋4－02＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝3.解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值X 围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是－22.解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22. 11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝42k ＋12－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为(D)A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1，连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点，所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2，根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ，解得t ＝a5或t ＝0(舍去)．所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175. 14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值X 围为(D)A ．(0，2－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是b 34a.解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|，因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a，当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a.16．(2019·某某某某一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为word 坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1k ≠0得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0. 即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k －4＋m 1＋2k2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4.∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。

高三人教版数学(理)一轮复习课时作业第八章平面解析几何第八节

课时作业一、选择题1．设动点 P 在直线 x －1＝0 上， O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角极点作等腰直角三角形 OPQ ，则动点 Q 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．两条平行直线D ．双曲线B [设 Q(x ，y)， P(1， a)，a ∈R ，则有 OP ―→,·OQ ―→,＝0，且 |OP ―→,|＝|OQ ―→,|，x 2＋y 2＝1＋a 2， ∴x ＋ ay ＝0，22 222x x ＋ y消去 a ，得 x ＋ y ＝1＋ 2＝y 2 .y∵ x 2＋y 2≠ 0，∴ y ＝±1.即动点 Q 的轨迹为两条平行直线y ＝ ±1.]2．已知点 M(－ 3， 0)，N(3，0)， B(1，0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、N与圆 C 相切的两直线订交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为()22A ．x 2－y＝ 1(x ＞ 1)B ．x 2－y＝1(x ＜－ 1)8822C ．x 2＋y＝ 1(x ＞ 0)D ．x 2－y＝1(x ＞1) 810A [设另两个切点为 E 、F ，如下图，则|PE|＝|PF|，|ME|＝ |MB|，|NF|＝|NB|，进而 |PM|－|PN|＝ |ME|－|NF|＝|MB|－ |NB|＝4－2＝2＜ |MN|，所以 P 的轨迹是以 M 、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支． a ＝ 1，c ＝3，则 b 2＝ 8.2故方程为 x2－ y8 ＝1(x ＞1)．]3．已知定点 F 1(－2，0)， F 2(2，0)， N 是圆 O ：x 2＋y 2＝ 1 上随意一点，点 F 1 对于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1M 的中垂线与直线 F 2M 订交于点 P ，则点 P 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．圆B[设 N(a ，b)，M(x ，y)，则 a ＝ x －2 2，b ＝ y2，代入圆 O 的方程得点 M 的轨迹方程是 (x －2)2＋y 2＝22，此时 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 1 |－(|PF 1|±2)＝±2，即 ||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线． ]4．若点 P(x ， y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋ 4＝ 0 的距离小 2，则点 P(x ，y)的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ． y 2＝－ 8xC ．x 2＝8yD ． x 2＝－ 8yC [点 P(x ，y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋4＝0 的距离小 2，说明点 P(x ，y)到点 F(0，2)和到直线 y ＋2＝0 的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为 x 2＝2py ，此中 p ＝4，故所求的轨迹方程为 x 2＝8y.]5．已知 A(0，7)，B(0，－ 7)，C(12，2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ()2x 22－ x 2A ．y －＝1(y ≤－ 1)B ． y ＝1(y ≥1)48 482－ y 22－y 2C ．x＝1(x ≤－ 1) D ． x ＝ 1(x ≥ 1)4848A [ 由题意知 |AC|＝13，|BC|＝15， |AB|＝ 14，又∵ |AF|＋ |AC|＝ |BF|＋ |BC|，∴ |AF|－ |BF|＝|BC|－ |AC|＝ 2，故点 F 的轨迹是以 A ，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线2的下支．又 c ＝ 7，a ＝1，b 2＝48，∴点 F 的轨迹方程为 y 2－48x＝ 1(y ≤ －1)．]6．设过点 P(x ，y)的直线分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于 A ，B 两点，点 Q 与点 P 对于 y 轴对称， O 为坐标原点，若，则点 P 的轨迹方程是()3 2 2A. 2x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)3 2 2B.2x －3y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2C ．3x －2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2D ．3x ＋2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)A [设 A(a ，0)，B(0，b)(a ，b ＞0)．可得 BP ―→,＝ (x ，y －b)，PA ―→,＝ (a －x ，－ y)， OQ ―→, ＝ ( － x ， y)， AB ―→ ,＝ (－ a ， b)．由 BP ―→ ,＝ 2PA ―→ , 得x ＝2a －2x ，33 22a ＝ x ， y －b ＝－ 2y ，即 2由 OQ ―→,·AB ―→,＝ 1 得 ax ＋by ＝ 1.所以 2x ＋3y ＝b ＝3y.1(x ＞ 0， y ＞ 0)．]二、填空题7．点 P 是圆 C ： (x ＋2)2＋y 2＝4 上的动点，定点 F(2，0)，线段 PF 的垂直均分线与直线 CP 的交点为 Q ，则点 Q 的轨迹方程是 ________．分析依题意有 |QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝ 4＞2，故点 Q 的轨迹是以 C 、F 为焦点的双曲线， a ＝ 1， c ＝2，得 b 22＝3，所求轨迹方程为 x 2－y3 ＝1.2答案 x 2－y3 ＝1．直线 x＋ y＝1 与 x ， y 轴交点的中点的轨迹方程 __________．8a 2－a分析设直线 x＋ y ＝1 与 x ，y 轴交点为 A(a ，0)，B(0，2－ a)，A ，B 中点为a－a2 M(x ，y)，则 x ＝a ，y ＝1－ a，消去 a ，得 x ＋ y ＝1，2 2∵a ≠0，a ≠2，∴ x ≠0，x ≠1.答案x ＋ y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．由抛物线 y 2＝ 2x 上随意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q ，连结极点 O 与 P的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于点 R ，则点 R 的轨迹方程为______________．分析设 P(x 1 ，y 1)， R(x ， y)，11则 Q －2，y 1 ，F 2，0 ，y 1则直线 OP 的方程为 y ＝ x 1x ，①1直线 FQ 的方程为 y ＝－ y 1 x －2 ，②由①②得 x 1＝2x，y 1＝ 2y，1－ 2x 1－2x将其代入 y 2＝ 2x ，可得 y 2＝－ 2x 2＋x.即点 R 的轨迹方程为 y 2＝－ 2x 2＋ x.答案y 2＝－ 2x 2＋x三、解答题10．已知定点 F(0，1)和直线 l 1： y ＝－ 1，过定点 F 与直线 l 1 相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l 2 交动点 C 的轨迹于 P ，Q 两点，交直线 l 1 于点 R ，求,的最小值．分析 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1 的距离，∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线，∴动点 C 的轨迹方程为 x 2＝ 4y.(2)由题意知，直线 l 2 方程可设为 y ＝ kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去 y ，得 x 2－4kx －4＝0.设 P(x 1 ，y 1)， Q(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－ 4.2又易得点 R 的坐标为－ k ，－ 1 ，＝ 1 ＋2，y 1＋1 · x2＋2， y 2＋1, xkk22 ＝ x 1＋k x 2＋k ＋(kx 1＋ 2)(kx 2 ＋2)＝(1＋k 22 (x 1＋x 2 ＋ 4＋＋2k＋4)x xk) k224＝－ 4(1＋k )＋4k k ＋2k ＋k 2＋4＝4 2 1k ＋ 2 ＋8.k21 2 ∵k ＋2≥ ，当且仅当k ＝ 1 时取等号，k2≥4×2＋8＝16，即 RP ―→,·RQ ―→,的最小值为 16.11．已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点 F 1，F 2 在 y 轴上，它的一个极点为 A( 2，0)，且中心 O 到直线 AF 1 的距离为焦距的 1，过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆交于4不一样的两点 P ， Q ，点 N 在线段 PQ 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)设 |PM| |NQ|·＝|PN| ·|MQ|，求动点 N 的轨迹方程．y 2 x 2分析 (1)设椭圆的标准方程是 a 2＋b 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)．因为椭圆的一个极点是 A(2，0)，故 b 2＝ 2.依据题意得∠ AF 1 O ＝π，sin ∠AF 1 ＝b，6 Oa即 a ＝2b ，a 2＝8，y 2 x 2所以椭圆的标准方程是 8 ＋ 2 ＝1.(2)设 P(x 1， y 1 )，Q(x 2 ，y 2)， N(x ，y)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l的方程为 y ＝k(x －2)．直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－ 2＜k ＜2.22依据根与系数的关系得 x 1＋ x 2＝4k2，x 1x 2＝4k－8 2 .4＋ k 4＋ k又|PM| ·|NQ|＝ |PN| ·|MQ|，即(2－x 1)(x 2－ x)＝(x －x 1)(2－x 2)．解得 x ＝ 1，代入直线 l 的方程得 y ＝－ k ，y ∈(－2，2)．所以动点 N 的轨迹方程为 x ＝ 1， y ∈(－2，2)．12．(2012 ·辽宁高考 )如图，动圆 C 1：x 2＋y 2＝ t 2，1<t<3，与椭圆2x 2C 2 ： 9 ＋ y ＝1 相交于 A ， B ， C ，D 四点，点 A 1，A 2 分别为 C 2 的左，右极点．(1)当 t 为什么值时，矩形ABCD 的面积获得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线 AA 1 与直线 A 2B 的交点 M 的轨迹方程．分析(1)设 A(x 0， y 0)，则矩形 ABCD 的面积 S ＝4|x 0||y 0|.22x 022x 0由 9 ＋y 0＝ 1 得 y 0＝ 1－ 9 ，2x 02－92＋9.进而 x 02y 02＝x 021－x 0＝－ 19 92429 21当 x 0＝ 2，y 0＝2时， S max ＝ 6.进而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.(2)由 A(x 0，y 0 )， B(x 0，－ y 0)，A 1(－3，0)，A 2(3，0)知直线 AA 1 的方程为 y ＝ y 0＋．①x 0＋ 3(x 3)直线 A 2B 的方程为 y ＝－y 0②0－3(x －3)．x －y 02由①②得 y 2＝ x 02－9(x 2－9)．③又点 A(x 0 ，y 0)在椭圆 C 上，故 y 02＝ 1－ x 029 .④x 2 2 将④代入③得 9 －y ＝1(x<－3，y<0)．2所以点 M 的轨迹方程为 x9 － y 2＝1(x<－ 3， y<0)．。

2013高三数学总复习同步练习：8-8曲线与方程(理)

8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 [答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B.3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52.4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ，则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B. 7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，k ≠0，则l 2：y －1＝－1k(x －1)，l 1与x 轴交于点A (1－1k ，0)，l 2与y 轴交于点B (0,1＋1k )，∴AB 的中点M (12－12k ，12＋12k)，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k ，y ＝12＋12k ∴x ＋y ＝1.即AB 的中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点P 的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3，∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)，两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9， ∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0).能力拓展提升11.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎨⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.12．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.13．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎨⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.14．(2012·福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2161的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意知椭圆的焦点坐标为：F 1(－3,0)，F 2(3,0)．∵△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，∴△MF 1F 2的内切圆的半径r ＝32.又∵S △MF 2F 1＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋2c )·r ＝c |y M |，∴y M ＝±4.∴满足条件的点M只有两个，在短轴顶点处．15.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切．16．(2012·广东揭阳市模拟)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点G (1,0)和G ′(－1,0)，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆P ，试探究是否存在一个以点G ′(－1,0)为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知直线A 1N 1的方程为： y ＝m2x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点， ①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．将mn ＝3代入，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知，点G (1,0)和G ′(－1,0)为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，由椭圆的定义得|PG ′|＋|PG |＝4，即|PG ′|＝4－|PG |，∴以G ′为圆心，以4为半径的圆与圆P 内切，即存在定圆G ′，该定圆与圆P 恒内切，其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16.1．已知点A (2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC |＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C ．y 2＝4xD ．x 2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC 外心为G (x ，y )，B (0，a )，C (0，a ＋4)，由G 点在BC 的垂直平分线上知y ＝a ＋2， ∵|GA |2＝|GB |2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a )2，整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x .2．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．3．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.4．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1. 5．(2012·石家庄质检)点P 为圆O ：x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 经过定点(0,2)，且与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则D (x 0,0)．由题意可得⎩⎨⎧ x ＝x 0，y ＝12y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，(*) 将(*)式代入x 2＋y 2＝4中，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(4k 2＋1)×12＝16(4k 2－3)，由Δ>0，得4k 2－3>0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1.② |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(－16k 4k 2＋1)2－4·124k 2＋1].③ 原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.④由三角形的面积公式及③④得S △OAB ＝12×|AB |d ＝44k 2－3(1＋4k 2)2＝44k2－3(4k2－3)2＋8(4k2－3)＋16＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.。

高三数学二轮复习同步练习8知识归纳

专题81．(2011·湖南文，18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X 每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解析](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)P(“＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或越过530(万千瓦时)的概率为310.2．(文)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析]设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23.(理)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； (2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率． [解析] 考虑甲、乙两个单位的排列．甲、乙两单位可能排列在6个位置，所以共有A 26＝30种可能结果． (1)设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则A 包含的结果为A 23＝6种，故所求概率P (A )＝630＝15(2)设B 表示“甲、乙两单位演出序号不相邻”，则B 表示“甲乙两单位序号相邻”，B 包含的结果有C 15×A 22＝10种所以P (B )＝1－P (B )＝1－1030＝23. 答：甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率为15.甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率为23.3．(文)(2011·福建文，19)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的205的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．[解析] (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35 又由b ＝320＝0.15，c ＝220＝0.1得a ＝0.1 即：a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，所有可能结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}共10种结果．设A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件其等级系数相等”则A 包含的基本事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}4个．所以p (A)＝410＝0.4. (理)(2011·惠州一模)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)求随机变量ξ的数学期望与方差． [解析] (1)随机变量ξ可能的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35，P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310， P (ξ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110.所以随机变量ξ的分布列为(2)随机变量ξ的数学期望为：Eξ＝2×35＋3×310＋4×110＝52.随机变量ξ的方差为：Dξ＝(2－52)2×35＋(3－52)2×310＋(4－52)2×110＝920.4．(2011·福建模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．[解析] (1)作出茎叶图如下：(2)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到的成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)， (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)， (79,95)(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)， (95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)， (87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．基本事件总数n ＝25.记“甲的成绩比乙高”为事件A ，事件A 包含的基本事件： (82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)， (79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)， (95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．事件A 包含的基本事件数m ＝12. 所以P (A )＝m n ＝1225.(3)派甲参赛比较合适．理由如下：x －甲＝15(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，x －乙＝15(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，s 2甲＝15[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，s 2乙＝15[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．5．(2011·九江模拟)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？[解析] (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A －表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A －包含的基本事件数为4.∴P (A －)＝410＝25，∴P (A )＝1－P (A －)＝35.(2)x －＝12，y －＝27，∑i ＝24x i y i ＝977，∑i ＝24x 2i ＝434，∴b ^＝∑i ＝24x i y i －3x －y－∑i ＝24x 2i －3x －2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a ^＝y －－b ^x －＝27－2.5×12＝－3， ∴y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的．6．(文)某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)可以把这批电子元件分成第一组[100,200]，第二组(200,300]，第三组(300,400]，第四组(400,500]，第五组(500,600]，第六组(600,700]，由于工作不慎将部分数据丢失，现有如图所示的部分图表．(2)求上图中阴影部分的面积；(3)若电子元件的使用时间超过300h ，则为合格产品，求这批电子元件合格的概率． [解析] (1)由题意可知0.1＝A ·100，∴A ＝0.001， ∵频率＝频数/总数，∴0.1＝B 200，∴B ＝20，∴C ＝0.1，D ＝0.15，E ＝40，F ＝80，G ＝0.1， ∴H ＝10，I ＝0.05.(2)阴影部分的面积0.4＋0.1＝0.5.(3)电子元件的使用时间超过300h 的共有150个，这批电子元件合格的概率P ＝150200＝34.(理)(2011·辽宁理，19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数．[解析] (1)X 可能的取值为0,1,2,3,4，且 P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835，P (X ＝4)＝1C 48＝170.即X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x －甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s 2甲＝18(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x －乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s 2乙＝18(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12)＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．7．(理)有同样大小的9个白球和6个红球．(1)从中选出5个球，使得红球比白球多的取法有多少种？(2)若规定取到一个红球记1分，取到一个白球记2分，则从中取出5个球，使得总分不小于8分的取法有多少种？[解析] (1)5个全是红球有C 56种取法，4个红球、1个白球有C 46C 19种取法，3人红球、2个白球有C 36C 29种取法，所以取出的红球比白球多的取法共有C 56＋C 46C 19＋C 36C 29＝861(种)．(2)要使总分不小于8分，至少需取3个白球，3白2红有C 39C 26种取法，4白1红有C 49C 16种取法，5个全是白球有C 59种取法，所以总数不小于8分的取法共有C 39C 26＋C 49C 16＋C 59＝2142(种)．8．(理)若(x ＋124x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次幂的项；(2)展开式中所有x 的有理项； (3)展开式中系数最大的项．[解析] 由已知条件：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得n ＝8. (1)T r ＋1＝C r8(x )8－r(124x)r ＝C r 8·2－r·x 4－34，令4－34＝1，得r ＝4，∴x 的一次幂项为T 4＋1＝C 48·2－4·x ＝358x . (2)令4－34∈N (r ≤8)，则只有当r ＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2.(3)记第r 项系数为t r ，设第k 项系数最大，则有t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1，又t ＝C r －18·2－r ＋1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k8·2－kC k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k )！·2≥8！k ！(8－k )！8！(k －1)！(9－k )！≥8！(k －2)！(10－k )！·2，∴⎩⎨⎧29－k ≥1k1k －1≥210－k，解得3≤k ≤4.∴系数最大的项为第3项和第4项.。

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作业8
一、填空题（每小题5分，共30分）
1.已知O 为△ABC 所在平面内的一点，
|OA |2+|BC |2=|OB |2+|CA |2=|OC |2+| AB |2，则O 为△ABC 的 .
2. O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若
(PB -PC )·(OB +OC )=(PC -PA )·(OA +OC )=0，则O 为△ABC 的 .
3.已知在△ABC 中，OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ，则O 为△ABC 的 .
4.已知O 为△ABC 内一点，且满足(OA +OB )⊥(OA -OB ),(OB +OC )⊥
(OB -OC ),则O 为△ABC 的 .
5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B （-1，3），若点C 满足OC =OA +OB ，其中、∈R ，且 + =1，则点C 的轨迹方程为 .
6. 在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足(AB AB
+ AC AC )·BC =0且AB AB
· AC AC =12，则△ABC 为三角形.
二、解答题(共70分)
7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.
8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数 =0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？
9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？。