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高三数学专题总复习
高考数学复习专题专题一会合、逻辑与不等式会合看法及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，会合的语言、思想、看法浸透于中学数学内容的各个分支．有关简略逻辑的知识与原理一直贯串于数学的剖析、推理与计算之中，学习对于逻辑的有关知识，能够使我们对数学的有关看法理解更透辟，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其余各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1集合【知识重点】1．会合中的元素拥有确立性、互异性、无序性．2．会合常用的两种表示方法：列举法和描绘法，此外还有大写字母表示法，图示法 ( 韦恩图 ) ，一些数集也能够用区间的形式表示．3．两类不一样的关系：(1)附属关系——元素与会合间的关系；(2)包含关系——两个会合间的关系 ( 相等是包含关系的特别情况) ．4．会合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的会合能认识它表示什么会合．在中学常有的会合有两类：数集和点集．2．能正确划分和表示元素与会合，会合与会合两类不一样的关系．3．掌握会合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达会合的关系及运算．4．把会合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题剖析】例 1给出以下六个关系：(1)0 ∈N*(2)0{ －1，1}(3)∈{0}(4){0}(5){0}∈{0 ，1}(6){0}{0}此中正确的关系是 ______．解答： (2)(4)(6)【评析】 1．熟习会合的常用符号：不含任何元素的会合叫做空集，记作；N表示自然数集； N＋或 N*表示正整数集； Z 表示整数集；Q表示有理数集； R表示实数集．2．明确元素与会合的关系及符号表示：假如a是会合A的元素，记作： a∈A；假如 a 不是会合 A 的元素，记作： a A．3．明确会合与会合的关系及符号表示：假如会合 A 中随意一个元素都是会合 B 的元素，那么会合A叫做会合 B的子集．记作： A B 或B A．假如会合 A 是会合 B 的子集，且 B 中起码有一个元素不属于 A，那么，会合 A 叫做会合 B 的真子集． A B 或 B A．4．子集的性质：①任何会合都是它自己的子集： A A；②空集是任何会合的子集：A；提示：空集是任何非空会合的真子集．③传达性：假如 A B，B C，则 A C；假如 A B，B C，则 A C．例 2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B知足条件( U A) ∩( U B) ＝{1 ，9} ，A∩B＝{2} ，B∩( U A) ＝{4 ，6，8} ．求会合A，B．解：依据已知条件，获得如图1－1 所示的韦恩图，图 1－1于是，韦恩图中的暗影部分应填数字3，5，7．故 A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】 1、明确会合之间的运算对于两个给定的会合 A、B，由既属于 A 又属于 B 的全部元素构成的会合叫做 A、B 的交集．记作： A∩B．对于两个给定的会合A、B，把它们全部的元素并在一同组成的会合叫做 A、B 的并集．记作： A∪B．假如会合 A 是全集 U的一个子集，由 U中不属于 A 的全部元素组成的会合叫做 A 在 U中的补集．记作U A．2、会合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图能够将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决会合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要存心识的利用它解决问题．例 3设会合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数 a 的取值范围是 ______．答： ( －∞，－ 1] ．【评析】本题能够经过数轴进行剖析， 要特别注意当 a 变化时是否能够取到区间端点的值． 象韦恩图相同， 数轴相同是解决会合运算问题的一个特别好的工具．例 4 设 a ，b ∈R ，会合 { 1, a, }{ 0, b, b} ，则－＝．b aab a______【剖析】 因为 {1,a b,a}{ 0, b, b} ，所以 a ＋b ＝0 或 a ＝0( 舍去，a不然 b没存心义 ) ，a所以， a ＋b ＝0， ba＝－ 1，所以－ 1∈{1 ，a ＋b ，a } ，a ＝－ 1，联合 a ＋b ＝0，b ＝1，所以 b －a ＝2．练习 1－1一、选择题1．给出以下关系： ①1R ；② 2Q ；③｜－ 3｜ N * ；④|3 | Q ．其2中正确命题的个数是 ()(A)1 (B)2(C)3(D)42．以下各式中， A 与 B 表示同一会合的是 ()(A) A ＝{(1 ，2)} ，B ＝{(2 ，1)}(B) A ＝{1 ，2} ，B ＝{2 ，1}( C ) A ＝{0} ，B ＝(D) A ＝ { y ｜ y ＝x 2＋1} ，B ＝{ x ｜y ＝x 2＋1}3．已知 M ＝{( x ，y ) ｜x ＞0 且 y ＞0} ，N ＝{( x ，y ) ｜xy ＞0} ，则 M ，N的关系是 ( )(A) M N (B) N M (C) M ＝N(D) M ∩N ＝4．已知全集U＝N，会合 A＝{ x｜x＝2n，n∈N}，B＝{ x｜x＝4n，n ∈N} ，则下式中正确的关系是( )(A) U＝A∪B(B) U＝( U A) ∪B(C) U＝A∪( U B) (D) U＝ (U A)∪( U B)二、填空题5．已知会合A＝{ x｜x＜－ 1 或 2≤x＜3} ，B＝{ x｜－2≤x＜4} ，则A ∪B＝______．6．设M＝{1 ，2} ，N＝{1 ，2，3} ，P＝ { c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N} ，则会合 P 中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{ x｜x≤－ 3 或x≥2} ，B＝{ x｜－ 1＜x＜5} ，则(U A)∩B＝______.8．设会合S＝{ a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为： a i a j＝a k，此中k为i＋j被4除的余数，i，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；知足关系式( x x)a2＝a0的x( x∈S)的个数为______．三、解答题9．设会合A＝{1 ，2} ，B＝{1 ，2，3} ，C＝{2 ，3，4} ，求( A∩B) ∪C．10．设全集U＝{ 小于 10 的自然数 } ，会合A，B知足A∩B＝{2} ，( U A) ∩ B＝{4，6，8}，(U A)∩(U B)＝{1，9}，求会合 A和 B．11．已知会合A＝{ x｜－ 2≤x≤4} ，B＝{ x｜x＞a} ，①A∩B≠，务实数 a 的取值范围；② A∩B≠A，务实数 a 的取值范围；③ A∩B≠，且 A∩B≠A，务实数 a 的取值范围．§ 1－ 2常用逻辑用语【知识重点】1．命题是能够判断真假的语句．2．逻辑联络词有“或”“且”“非”．不含逻辑联络词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联络词组成的命题叫做复合命题．能够利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若 p 则 q．抗命题：若 q 则 p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．注意差别“命题的否认”与“否命题”这两个不一样的看法．原命题与逆否命题、抗命题与否命题是等价关系．4．充要条件假如p q，则p 叫做q 的充足条件，q 叫做p 的必需条件．假如p q且q p，即q p则p叫做q的充要条件，同时，q 也叫做 p 的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的看法．认识“若p，则 q”形式的命题的抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的互相关系．理解必需条件、充分条件与充要条件的意义．2．认识逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否认．【例题剖析】例 1 分别写出由以下命题组成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1 N；(2)p：平行四边形的对角线相等， q：平行四边形的对角线互相均分．解： (1) p∨q：0∈N，或 1 N；p∧q：0∈N，且1N；p：0N．因为p 真， q 假，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为假．(2) p∨q：平行四边形的对角线相等或互相均分．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相均分．p：存在平行四边形对角线不相等．因为p 假， q 真，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为真．【评析】判断复合命题的真假能够借助真值表．例 2分别写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若 a2＋b2＝0，则 ab＝0；(2)若 A∩B＝A，则 A B．解： (1) 抗命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．22否命题：若 a ＋b ≠0，则 ab≠0；是假命题．22逆否命题：若 ab≠0，则 a ＋b ≠0；是真命题．(2)抗命题：若 A B，则 A∩B＝A；是真命题．否命题：若 A∩B≠A，则 A不是 B 的真子集；是真命题．逆否命题：若 A 不是 B 的真子集，则 A∩B≠A．是假命题．评论：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；抗命题与逆否命题也是互为逆否命题．例 3指出以下语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：( x－2)( x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【剖析】由定义知，若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充足不用要条件；若 p q 且q p，则p 是q 的必需不充足条件；若 p q 且q p，p与q互为充要条件．于是可得(1) 中p是q的必需不充足条件；q是p的充足不用要条件．(2)中 p 是 q 的充足不用要条件； q 是 p 的必需不充足条件．【评析】判断充足条件和必需条件，第一要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p 与 q 之间谁能推出谁了．例 4 设会合M＝{ x｜x＞2} ，N＝{ x｜x＜3} ，那么“x∈M或x ∈N”是“ x∈M∩N”的( )(A) 充足非必需条件(B) 必需非充足条件( C) 充要条件(D) 非充足条件也非必需条件解：条件 p：x∈M或 x∈N，即为 x∈R；条件 q：x∈M∩N，即为{ x∈R｜2＜x＜3} ．又 R { x∈R｜2＜x＜3} ，且 { x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必需非充足条件，选B．【评析】当条件 p 和 q 以会合的形式表现时，可用下边的方法判断充足性与必需性：设知足条件p 的元素组成会合 A，知足条件 q 的元素组成会合B，若 A B 且 B A，则 p 是 q 的充足非必需条件；若A B 且 B A，则 p 是 q 的必需非充足条件；若A＝B，则 p 与 q 互为充要条件．例 5命题“对随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否认是()(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0( C) 存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D) 对随意的x∈R，x3－x2＋1＞0【剖析】这是一个全称命题，它的否认是一个特称命题．其否认为“存在 x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选 C．【评析】注意全 ( 特) 称命题的否认是将全称量词改为存在量词( 或将存在量词改为全称量词) ，并把结论否认．练习 1－2一、选择题1．以下四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z，1＜4x＜3(B)x∈Z，3x－1＝0( C)x∈R，x2－1＝0(D)x∈R，x2＋2x＋2＞02．假如“p 或q”与“非p”都是真命题，那么()(A) q必定是真命题(B) q不必定是真命题( C) p不必定是假命题(D) p与q 的真假相同3．已知a 为正数，则“a＞b”是“ b 为负数”的()(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件( C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件4．“A是B的子集” 能够用以下数学语言表达：“若对随意的x∈A x ∈B，则称 A B”．那么“ A 不是 B 的子集”可用数学语言表达为( )(A)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(B)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(C)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集(D)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集二、填空题5．“p 是真命题” 是“p∨q 是假命题的”__________________条件．6．命题“若x＜－ 1，则｜x｜＞ 1”的逆否命题为 _________．7．已知会合A，B是全集U的子集，则“A B”是“U B U A”的______条件．8．设A、B为两个会合，以下四个命题：①A B对随意x∈A，有x B② A B A∩B＝③A B A B④ A B存在x∈A，使得x B此中真命题的序号是 ______．( 把切合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断以下命题是全称命题仍是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单一函数；(2)起码有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除；(3)x∈{ x｜x∈Z}，log2x＞0；(4)x R, x2x 10. 410．已知实数a，b∈R．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab＝0”的抗命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的原由．§ 1－3不等式(含推理与证明)【知识重点】1．不等式的性质．(1)假如 a＞b，那么 b＜a；(2)假如 a＞b，且 b＞c，那么 a＞ c；(3)假如 a＞b，那么 a＋c＞b＋c(假如 a＋c＞b，那么 a＞b－c)；(4)假如 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d；(5)假如 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；假如 a＞b，c＜0，那么 ac＜b c；(6)假如 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd；(7)假如 a＞b＞0，那么 a n＞b n( n∈N＋，n＞1)；(8) 假如＞＞0，那么n a n b x n；a b(N ,1)2．进行不等式关系判断经常用到的实数的性质：若 a∈R，则a20;| a | 0. a 0(a R ) ．3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：假如a、b∈R＋，那么a b ab.当且仅当a＝b 时，2式中等号建立．其余常用的基本不等式：假如a、b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，( a －b)2≥0．假如 a、b 同号，那么b a2.a b5．合情推理之概括推理与类比推理；演绎推理；综合法、剖析法与反证法．【复习要求】1．运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)依据给定的条件，判断给出的不等式可否建立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充足必需关系．2．娴熟掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．3．认识合情推理和演绎推理的含义，能利用概括和类比等进行简单的推理．认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵巧的运用综合法、剖析法与反证法证明数学识题．娴熟运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；综合法：从已知推致使结果的思想方法；剖析法：从结果追忆到产生这一结果的原由的思想方法；反证法：由证明 p q 转向证明q r t ，而 t 与假定矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判断q 为假，从而推出q 为真的方法，叫做反证法．一般来讲，由剖析法获得的证明思路常常用综合法的方式来书写．【例题剖析】例 1若a＞b＞c，则必定建立的不等式是( )A．a｜c｜＞b｜c｜－｜ c｜D．B．ab＞ac C．a－｜c｜＞b1 11a b c【剖析】对于选项 A．当c＝0 时，a｜c｜＞b｜c｜不建立．对于选项 B．当a＜0 时，ab＞ac不建立．对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a－｜ c｜＞ b－｜ c｜，正确．对于选项 D．当a＞b＞0＞c时，111不建立．所以，选 C．a b c例 2a，b∈R，以下命题中的真命题是( )A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜B．若a＞b，则11 a bC．若a＞b，则a3＞b3D．若a＞b，则a1b【剖析】对于选项 A．当a＝－ 1，b＝－ 2 时，｜a｜＞｜b｜不建立．对于选项B．当a＞0，b＜0时，11不建立．a b对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a3＞b3，正确．对于选项D．当b＜0时，a1不建立．所以，选C．b【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依照，依照有关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依照参看本节的知识重点，此外，后边专题讲到的函数的有关知识特别是函数的单一性也是解决不等式问题的特别重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应当给出一个合理的证明( 或说明) ，就像例 1、例 2 对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例 3解以下不等式：(1)x2－x－1＞0；(2) x2－3x＋2＞0；(3)2 x2－3x＋1≤0；(4)x10; (5)｜2x－1｜＜3；(6)2x 1 1.x2x 2解：(1) 方程x2－x－1＝0 的两个根是x1, x2 1 5联合函数 y＝x22－ x －1的图象，可得不等式x2－ x －1＞0的解集为{ x | x15或 x 1 5}. 22(2)不等式 x2－3x＋2＞0等价于( x－1)( x－2)＞0，易知方程 ( x－1)( x－2) ＝0 的两个根为x1＝1，x2＝2，联合函数 y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式 x2－3x＋2＞0的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．(3)不等式 2x2－3x＋1≤0 等价于 (2 x－1)( x－1) ≤0，以下同 (2) 的解法，可得不等式的解集为11}.{ x |x(4) x120 等价于(x－1)(x－2)＞0，以下同(2)的解法，可得不x2等式的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．(5)不等式｜ 2x－1｜＜ 3 等价于－ 3＜2x－1＜3，所以－ 2＜ 2x＜4，即－ 1＜x＜2，所以不等式｜ 2x－1｜＜ 3 的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．(6) 不等式2x11能够整理为x10, x2x2x10, 等价于x10或x 10. 以下同(4)的解法，可得不等式x2x2x 2的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要娴熟掌握．其他不等式的解法合适掌握．1．利用不等式的性质能够解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，经过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的状况、从而联合相应的二次函数的图象便可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的鉴别式；求出相应的一元二次方程的根( 或依据鉴别式说明无根 ) ；画出相应的二次函数的简图；依据简图写出二次不等式的解集．3、不等式xa0 与(x－a)(x－b)＞0同解；不等式xa0 与(x x b x b－a)( x－b)＜0同解；4*、不等式｜f ( x) ｜＜c与－c＜f ( x) ＜c同解；不等式｜f ( x) ｜＞c与“ f ( x)＞c 或 f ( x)＜－ c”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，比如 (5) 题对于“≤”号的办理．例 4解以下对于x的不等式；(1)ax＋3＜2；(2) x2－6ax＋5a2≤0．解： (1) 由ax＋3＜2 得ax＜－ 1，当 a＝0时，不等式解集为；当 a＞0时，不等式解集为 { x | x 1} ；a当 a＜0时，不等式解集为 { x | x 1} ．a(2)x2－6ax＋5a2≤0等价于不等式( x－a)( x－5a)≤0，当 a＝0时，不等式解集为{ x｜x＝0}；当 a＞0时，不等式解集为{ x｜a≤x≤5a}；当 a＜0时，不等式解集为{ x｜5a≤x≤a}．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完整一致的．要注意的是，当进行到某一步骤拥有不确立性时，需要进行分类议论．如 (2) 的解决过程中，当解出方程 ( x－a)( x－5a) ＝0 的两根为x1＝a，x2＝5a 以后，需要画出二次函数 y＝x2－6ax＋5a2的草图，这时两根 a 与5a 的大小不定，需要议论，当分a＝0，a＞0，a＜0三种情况以后，便可以在各自状况下确立 a 与5 a 的大小，画出二次函数 y ＝x2－6ax＋5a2的草图写出解集了．例 5 已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0．求证：m ma cb d证明：方法一 ( 作差比较 )由已知 b－a＜0，c－d＜0，又 m＜0，所以 m[( b－a)＋( c－d)]＞0，因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以 a－c＞0，b－d＞0，所以 m[(b a) (c d )]0 ，所以mm0,即mm(a c)(b d ) a c b d a c b d方法二因为 c＜d＜0，所以 c－d＜0，又 a＞b＞0，所以 a－b＞0，所以 a－b＞c－d，所以 a－c＞b－d ＞0，所以11，又因为 m＜0，所以mma cb d ac b d例 6已知 a＋b＋c＝0，a＞b＞c，求证：(1)a＞0；(2)c2. a证明： (1) 假定a≤0，因为a＞b＞c，所以b＜0，c＜0．所以 a＋b＋c＜0，与 a＋b＋c＝0矛盾．(2)因为 b＝－ a－c，a＞b，所以，所以 2a＞－c，又a＞0，所以2c，所以c2.a a例 7已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c) a 中起码有一个不大于 1 .4证明：假定 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a均大于1，4即 (1 a)b 1, (1 b)c1,(1 c)a 1 , 444因为 a，b，c∈(0，1)，所以1－a，1－b，1－c∈(0，1)，所以 (1 a) b 2 (1 a)b 1 ，同理(1－b)＋c＞1，(1－c)＋a＞1，所以 (1 －a) ＋b＋(1 －b) ＋c＋(1 －c) ＋a＞3，即 0＞0，矛盾．所以 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a中起码有一个不大于1．4【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、剖析法与反证法等．证明不等式也是这样．1、例 5 中的方法一所用到的比较法从思想、书写的角度都较为简单，也相对易于掌握，要娴熟掌握．2、例 5 中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简洁、易读，但要注意的是，这样的题的思路经常是剖析法．比方，例 5 中的方法二的思路我们能够以为是这样获得的：欲证m m, 只要证明m(b－d)＞m(a－c)(因为b－d＞0，a－c＞0)，a c b d即只要证明 b－d＜a－c，即只要证明 a－b＞c－d，而由已知a－b＞0，c－d＜0，所以能够循着这个思路依照相反的次序书写．所以，在好多状况下，剖析法更是思虑问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适适用反证法证明的常有的命题一般是特别不言而喻的问题( 如例 6(1)) 、否认式的命题、存在性的命题、含至多起码等字样的高三数学专题总复习命题 ( 如例 7) 等等．证明的步骤一般是： (1) 假定结论的反面是正确的； (2) 推出矛盾的结论； (3) 得出本来命题正确的结论．例 8 依据图中图形及相应点的个数找规律，第 8 个图形相应的点数为 ______．【剖析】第一个图有 1 行，每行有 1＋2 个点；第二个图有 2 行，每行有 2＋2 个点；第三个图有 3 行，每行有 3＋2 个点；第八个图有 8 行，每行有 8＋2 个点，所以共有 8×10＝80 个点．答： 80．练习 1－3一、选择题1．若110 则以下各式正确的选项是()a b11(A) a＞b(B) a＜b22(D)(C) a＞b a2b22．已知a，b为非零实数，且a＜b，则以下命题建立的是 () 222211b a(A) a＜b(B) a b＜ab(C)ab2a2b(D)a b3．已知A＝{ x｜｜x｜＜a} ，B＝{ x｜x＞1} ，且A∩B＝，则 a 的取值范围是 ()(A){ a｜a≤1}(B){ a｜0≤a≤1}(C){ a｜a＜ 1}(D){ a｜0＜a＜1}4．设会合M＝{1 ，2，3，4，5，6} ，S1，S2，，S k都是M的含有两个元素的子集，且知足：对随意的S i＝{ a i，b i}、S j＝{ a j，b j }(i≠j ，i ，j∈{1 ，2，3，，k}) 都有min{ai,bi}min{aj ,bj }，，b i a i b j(min{ xa jy}表示两个数 x，y 中的较小者)，则 k 的最大值是()(A)10(B)11(C)12(D)13二、填空题5．已知数列 { a n} 的第一项a1＝1，且a n 1an (n1,2,3,) ，请计算出1 a n这个数列的前几项，并据此概括出这个数列的通项公式a n＝______．6．不等式x2－5x＋6＜0 的解集为 ____________．7．设会合A＝{ x∈R｜｜ x｜＜4}，B＝{ x∈R｜x2－4x＋3＞0}，则集合{ x∈R｜x∈A，且x A∩B} ＝____________．8．设a∈R且a≠0，给出下边 4 个式子：①a3＋1；② a2－2a＋2；③a 1；④ a21 a a2此中恒大于 1 的是 ______．( 写出全部知足条件式子的序号)三、解答题9．解以下不等式：2＋x＞0；(2)2x0；(4)｜2－x｜＜ 3；(1)2 x x ＋3x＋1＜0；(3)(5) 1 x2x32.x10．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0．11．解以下对于x的不等式：(1)x2－2ax－3a2＜0；(2) ax2－x＞0；习题 1一、选择题1．命题“若x是正数，则x＝｜x｜”的否命题是 ( )(A)若 x 是正数，则 x≠｜ x｜(B)若 x 不是正数，则 x＝｜ x｜(C)若 x 是负数，则 x≠｜ x｜(D)若 x 不是正数，则 x≠｜ x｜2．若会合M、N、P是全集U的子集，则图中暗影部分表示的会合是()(A)(M∩N)∪P(B)(M∩N)∩P(C)(M∩N)∪(U P)(D)(M ∩N)∩(U P)3．“a 1 ”是“对随意的正数x,2x a1”的()8x(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件(C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件4．已知会合P＝{1 ，4，9，16，25，} ，若定义运算“ &”知足：“若a∈P，b∈P，则 a&b∈P”，则运算“&”能够是()(A) 加法(B) 减法(C) 乘法(D) 除法5．已知a，b，c知足c＜b＜a，且ac＜0，那么以下选项中不必定成．．．立的是( )(A) ab＞ac(B) c( b－a) ＜0 (C) cb2＜ab2(D) ac( a－c) ＜0二、填空题6．若全集U＝{0 ，1，2，3} 且U A＝{2} ，则会合A＝______．7．命题“x∈A，但 x A∪B”的否认是____________．8．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{ y｜y＝｜ x｜， x∈A}，则 B＝____________．9．已知会合A＝{ x｜x2－3x＋2＜0} ，B＝{ x｜x＜a} ，若A B，则实数 a 的取值范围是____________．10．设a，b是两个实数，给出以下条件：①a＋b＞1；② a＋b＝2；③ a＋b＞2；④ a2＋b2＞2；⑤ ab＞1，此中能推出“ a，b 中起码有一个大于1”的条件是______．(写出全部正确条件的序号)三、解答题11．解不等式12. x12．若 0＜a＜b且a＋b＝1．(1)求 b 的取值范围；(2)试判断 b 与 a2＋b2的大小．13．设a≠b，解对于x的不等式：a2x＋b2(1 －x) ≥[ ax＋b(1－x)]2．14．设数集A知足条件：①A R；②0 A且 1A；③若 a∈A，则1 A.1a(1)若 2∈A，则A中起码有多少个元素；(2)证明： A 中不行能只有一个元素．专题一会合、逻辑与不等式参照答案练习 1－1一、选择题1．B 2．B3．A4．C提示：4．会合A表示非负偶数集，会合 B 表示能被4整除的自然数集，所以{ 正奇数 } ( U B) ，从而U＝A∪( U B) ．二、填空题5．{ x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x为 a1或a3)．三、解答题9．( A∩B) ∪C＝{1 ，2，3，4}10．剖析：画以下图的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8} ．11．答：①a＜4；②a≥－ 2；③－ 2≤a＜4提示：画数轴剖析，注意 a 可否取到“临界值”．练习 1－2一、选择题1．D 2．A3．B4．B二、填空题5．必需不充足条件6．若｜x｜≤ 1，则x≥－ 1 7．充要条件8 ．④提示：8．因为A B，即对随意x∈A，有x∈B．依据逻辑知识知，A B，即为④．此外，也能够经过文氏图来判断．三、解答题9．答： (1) 全称命题，真命题． (2) 特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题； (4) 全称命题，真命题．10．略解：答：抗命题：若ab＝0，则 a2＋b2＝0；是假命题；比如a ＝0，b＝1否命题：若 a2＋b2≠0，则 ab≠0；是假命题；比如 a＝0，b＝1逆否命题：若 ab≠0，则 a2＋b2≠0；是真命题；因为若 a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．练习 1－3一、选择题1．B2．C3．A4．B二、填空题5．16 ．{ x｜2＜x＜3} 7．{ x∈R｜1≤x≤3｜ 8 ．④n三、解答题9．答： (1){ x | x或1} ；(2)3535}；0 x2{ x |2x2(3) { x | 0 x 3} ；(4){x｜－1＜x＜5}；(5){ x | 0x1} ．2310．证明：ab＋bc＋ca＝b( a＋c) ＋ac＝－ ( a＋c)( a＋c) ＋ac＝－a2－a c－c2所以 ab＋bc＋ca≤0．11．解： (1) 原不等式( x＋a)( x－3a) ＜0．分三种状况议论：①当a＜0时，解集为{ x｜3a＜x＜－a} ；②当a＝0时，原不等式x2＜0，解集为；③当 a ＞0 时，解集为 { x ｜－ a ＜x ＜3a } ．(2) 不等式 ax 2 －x ＞0 x ( ax －1) ＞0．分三种状况议论：①当 a ＝0 时，原不等式－x ＞0，解集为 { x ｜x ＜0} ；② 当 a ＞ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0x ( x － 1) ＞ 0 ， 解集为a1{ x | x 0或 x} ；③ 当 a ＜ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0 x ( x － 1a) ＜0，解集为{ x | 1x 0} ．a习题 1一、选择题1．D 2 ．D3 ．A4 ．C5 ．C提示：5．A 正确． B 不正确． D ．正确．当 b ≠0 时， C 正确；当 b ＝0 时， C 不正确，∴ C 不必定建立．二、填空题6．{0 ，1，3} 7． x ∈A ，x ∈A ∪B 8 ．{0 ，1，2} 9 ．{ a ｜a ≥2} 10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若 a 、b 均小于等于 1．即， a ≤ 1，b ≤1，则 a ＋b ≤2，与 a ＋b ＞2 矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式12 即12 0,12x0,所以 2x 1x x x1 ，0，此不等式等价于 x(2 x－1)＞0，解得 x＜0或xx1} ．2所以，原不等式的解集为 { x｜x＜0 或x2 12．解： (1) 由a＋b＝1 得a＝1－b，因为 0＜a＜b，所以 1－b＞0 且 1－b＜b，所以1b 1.231(2) a2＋b2－b＝(1 －b) 2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝2(b)2因为13)2148b 1 ，所以 2(b0,248即 a2＋b2＜b．13．解：原不等式化为 ( a2－b2) x＋b2≥( a－b) 2x2＋2b( a－b) x＋b2，移项整理，得 ( a－b) 2( x2－x) ≤0．因为 a≠b，故( a－b)2＞0，所以 x2－x≤0．故不等式的解集为 { x｜0≤x≤1} ．14．解： (1) 若 2∈A，则11 A,11A,12 A.1 21( 1)2112∴ A中起码有－1，12，2 三个元素．(2) 假定A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知1A ，则1 aa1．即a2－a＋1＝0，此方程无解，这与A中有一个元素a 1a矛盾，所以 A 中不行能只有一个元素．专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描绘变量之间依靠关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种详细的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要环绕以下几个方面：函数的看法，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1函数【知识重点】要认识映照的看法，映照是学习、研究函数的基础，对函数看法、函数性质的深刻理解在好多状况下要借助映照这一看法．1、设A，B是两个非空会合，假如依照某种对应法例 f ，对 A 中的随意一个元素 x，在 B 中有一个且仅有一个元素y 与 x 对应，则称f是会合 A 到会合 B的映照．记作 f ：A→B，此中 x 叫原象， y 叫象．2、设会合A是一个非空的数集，对A中的随意数x，依照确立的法例 f ，都有独一确立的数y 与它对应，则这种映照叫做会合 A 上的一个函数．记作y＝f ( x)，x∈A．此中 x 叫做自变量，自变量取值的范围( 数集A) 叫做这个函数的定义域．全部函数值组成的会合 { y｜y＝f ( x) ，x∈A} 叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法例完整确立．3、函数是一种特别的映照．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．组成函数的三因素：定义域，值域和对应法例．此中定义域和对应法例是中心．【复习要求】1．认识映照的意义，对于给出对应关系的映照会求映照中指定元素的象与原象．2．能依据函数三因素判断两个函数能否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法( 列表法、图象法和分析法) ，理解函数符号 f ( x)(对应法例)，能依照必定的条件求出函数的对应法例．4．理解定义域在三因素的地位，并会求定义域．【例题剖析】例 1 设会合A和B都是自然数会合 N．映照f：A→B把会合A中的元素 x 映照到会合 B 中的元素2x＋x，则在映照 f 作用下，2的象是______；20 的原象是 ______．【剖析】由已知，在映照 f 作用下 x 的象为2x＋x．所以， 2 的象是 22＋2＝6；设象 20 的原象为x，则x的象为 20，即 2x＋x＝20．因为 x∈N，2x＋x 跟着 x 的增大而增大，又能够发现24＋4＝20，所以 20 的原象是 4．例 2 设函数f (x)x 1, x0,则f (1)＝；若f (0)x22x 2, x0,______＋f ( a)＝－2，则 a 的全部可能值为______．【剖析】从映照的角度看，函数就是映照，函数分析式就是映照的法例．所以 f (1)＝3．又 f (0)＝－1，所以 f ( a)＝－1，当a≤0时，由 a－1＝－1得 a＝0；当 a＞0时，由－ a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0得 a＝3或 a ＝－1( 舍)．综上， a＝0或 a＝3．例 3以下四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (C)y x2 , y ( t )2yx21, y x 1x 1(B)(D)y| x |, y t 2y x, yx2x【剖析】 (A)(C)(D) 中两个函数的定义域均不一样，所以不是同一函数．(B) 中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法例也相同，所以选 (B) ．【评析】判断两个函数能否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法例能否完整相同．一般有两个步骤： (1) 在不对分析式进行变形的状况下求定义域，看定义域能否一致． (2) 对分析式进行合理变形的状况下，见解例是否一致．例 4求以下函数的定义域(1)y x 1 1;(2)y1;x22x 3(3)y lg( 3x)( x 1)0 ;(4)y1x2;x|2 x|2解：(1) 由｜x－1｜－ 1≥0，得｜x－1｜≥ 1，所以x－1≥1 或x －1≤－ 1，所以x≥2 或x≤0．所以，所求函数的定义域为{ x｜x≥2 或x≤0} ．(2)由 x2＋2x－3＞0得， x＞1或 x＜－3．所以，所求函数的定义域为{ x｜x＞1 或x＜－ 3} ．3 x0,(3) 由x0,得x＜3，且x≠0，x≠1，x 10,所以，所求函数的定义域为{ x| x＜3，且x≠0，x≠1}(4) 由1 x2，得 1 x2， 1 x1,00 即且| 2 x | 2 0,， x0,x 4,| 2 x | 2所以－ 1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{ x｜－1≤x≤1，且x≠0} ．例 5 已知函数f ( x) 的定义域为 (0 ，1) ，求函数f ( x＋1) 及f ( x2) 的定义域．【剖析】本题的题设条件中未给出函数 f ( x)的分析式，这就要求我们依据函数三因素之间的互相限制关系明确两件事情：①定义域是指 x 的取值范围；②受对应法例 f 限制的量的取值范围在“已知”和“求”中间是一致的．那么由 f ( x)的定义域是(0，1)可知法例f限制的量的取值范围是 (0 ，1) ，而在函数f ( x＋1) 中，受f直接限制的是 x＋1，而定义域是指 x 的范围，所以经过解不等式0＜x＋1＜1得－ 1＜x＜0，即f ( x＋1) 的定义域是 ( －1，0) ．同理可得f ( x2) 的定义域为 { x｜－ 1＜x＜1，且x≠0} ．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：依据题意， AB＝2x．所以， y 2x l2xπ1πx2(2π2lx.x) x222x0,l依据问题的实质意义． AD＞0，x＞0．解l 2 x πx得 0 x.20, 2 π所以，所求函数定义域为 { x | 0x l}2π【评析】求函数定义域问题一般有以下三种种类问题．(1)给出函数分析式求定义域( 如例4) ，这种问题就是求使分析式存心义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这种问题中是重要的．中学数学中常有的对变量有限制的运算法例有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝ tan x，则x kππ，k∈Z．2(2)不给出 f ( x)的分析式而求定义域(如例5)．其解决方法见例5的剖析．(3)在实质问题中求函数的定义域 ( 如例 6) ．在这种问题中除了考虑分析式对自变量的限制，还应试虑实质问题对自变量的限制．此外，在办理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比方在研究函数单一性、奇偶性、最值等问题时，第一要考虑的就是函数的定义域．例 71x(1) 已知f ()x 1 x2，求 f ( x)的分析式；(2) 已知f ( x 1 ) x21x x2，求 f (3)的值；(3) 假如f ( x) 为二次函数，f (0) ＝2，而且当x＝1 时，f ( x) 获得。
高三数学知识点全部汇总人教版
高三数学知识点全部汇总人教版高三数学知识点全部汇总一、函数与方程1. 函数概念及性质函数是描述两个变量之间相互关系的工具。
具有定义域、值域和对应关系等性质。
2. 一元二次函数一元二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a≠0。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 指数函数与对数函数指数函数是以底数为常数的幂函数，对数函数是指数函数的反函数。
5. 解方程与不等式解方程是求出使等式成立的未知数值，解不等式是求出使不等式成立的未知数值范围。
二、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是具有相同公差的数列，常用通项公式an=a1+(n-1)d来表示。
2. 等比数列等比数列是相邻两项的比值相等的数列，常用通项公式an=a1*q^(n-1)来表示。
3. 递推数列递推数列是通过前一项和递推关系得到后一项的数列。
4. 数列求和数列求和是指对数列中的所有项进行加和运算，有等差数列求和公式和等比数列求和公式。
三、平面几何1. 平面图形的性质平面图形包括点、线、角、三角形、四边形、圆等，具有特定的性质和定理。
2. 三角形三角形是由三条边和三个内角组成的图形，有特殊的三边关系、三角形的性质和定理。
3. 圆与圆的相交关系圆与圆之间可以相离、相切或相交，并有相应的关系和定理。
四、空间几何1. 空间图形的性质空间图形包括点、线、面、体等，在三维空间中有特定的性质和定理。
2. 平行与垂直平行是指两条直线在同一平面内永不相交，垂直是指两条直线相交成直角。
3. 球与球的相交关系球与球之间可以相离、相切或相交，并有相应的关系和定理。
五、概率与统计1. 概率基本概念概率是用来描述事件发生可能性的大小，包括样本空间、事件、概率的概念。
2. 样本空间与事件样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
3. 随机变量与概率分布随机变量是随机试验结果的数值描述，概率分布用来描述随机变量取值的概率。
高三数学知识点总结(3篇)
高三数学知识点总结第一章：集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集：N-或N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R1）列举法：{a,b,c……}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图：4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，;（2）A与B是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）实即：①任何一个集合是它本身的子集。
AíA②真子集：如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集第二章：基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈-.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）.由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
高三数学复习模块的知识点总结（3篇）
高三数学复习模块的知识点总结任一____A，____B，记做ABAB，BAA=BCard(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB,A是B成立的充分条件BA,A是B成立的必要条件AB,A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2高三数学复习模块的知识点总结（二）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
不等式的判定：①常见的不等号有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。
分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于;②在不等式“a>b”或“a③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小;④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。
不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(____，y，……，z)≤G(____，y，……，z)(其中不等号也可以为<，≥，>中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
高三数学基础必考总复习资料
高三数学基础必考总复习资料高三数学基础复习1.集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系;(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用;2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义;3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二.有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测20__年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：(1)题型是1个选择题或1个填空题;(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用三.1.集合：某些指定的对象集在一起成为集合(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作;若b不是集合A的元素，记作;(2)集合中的`元素必须满足：确定性、互异性与无序性;确定性：设A是一个给定的集合，_是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立;互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素;无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内;描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
高考文科数学总复习知识点
高考文科数学总复习知识点高三文科数学总复集合：集合的元素具有确定性、互异性和无序性特征。
常用的数集包括自然数集（或非负整数集）记为N，正整数集记为N或N+，整数集记为Z，实数集记为R，有理数集记为Q。
集合还有重要的等价关系，即A∩B=A当且仅当A∪B=B当且仅当A是B的子集。
一个由n个元素组成的集合有2个不同的子集，其中有2n-1个非空子集，也有2n-1个真子集。
函数：函数单调性的证明可以通过取值、作差、变形、定号和得出结论等步骤完成。
常用的结论包括：若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数；增+增=增，减+减=减；复合函数的单调性是“同增异减”；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
函数的奇偶性定义为f(-x)=f(x)时为偶函数，f(-x)=-f(x)时为奇函数。
需要注意的是，函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.基本初等函数：指数函数的一般形式为x=a^n，其中n>1且n为自然数。
负数没有偶次方根，任何次方根都是正数，当n是奇数时，a^n=a，当n是偶数时，a^n=|a|。
对数的定义为若a=N，则b=log_a N，其中a为对数的底数，b为以a为底的N的对数，N为真数。
需要注意的是，负数和零没有对数，log_a 1=0且log_a a=1（a>0且a≠1）。
对数的运算法则包括log_a (MN)=log_a M+log_a N，log_a (M/N)=log_a M-log_a N，log_a M^n=nlog_a M，换底公式为log_a b=log_c b/log_c a。
指数函数和对数函数是互逆的，即a^log_a N=N。
b=(a。
a≠1,c。
c≠1,b>)，利用换底公式推导以下结论：logc a = 1n(1) loga bn = loga b (2) loga b = logb am改写为：假设b=(a。
高三数学第一轮复习-知识点
高中数学一轮复习知识点第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论. 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考高三数学总复习知识点归纳总结
高考高三数学总复习知识点归纳总结一、函数与方程1. 一次函数- 定义及性质- 斜率公式- 常见应用2. 二次函数- 定义及性质- 抛物线及图像特点- 判别式与根的情况- 常见应用3. 指数函数与对数函数- 定义及性质- 指数函数的图像特点- 对数函数的定义与性质- 常见应用4. 三角函数- 基本概念及性质- 常用三角函数的周期性、奇偶性、函数值范围- 三角函数的图像特点- 常见应用5. 方程与不等式- 一元一次方程与一元一次不等式- 一元二次方程与一元二次不等式- 三角方程与三角不等式- 常见应用二、数列与数学归纳法1. 等差数列- 定义及性质- 常见应用2. 等比数列- 定义及性质- 常见应用3. 斐波那契数列- 定义及性质- 常见应用4. 数学归纳法- 原理及应用步骤- 常见应用三、几何与三角形1. 直线与角- 基本概念及性质- 常见应用2. 三角形- 定义及性质- 各类三角形的特点- 常见应用3. 圆- 基本概念及性质- 圆的切线与切点- 弧度制- 常见应用4. 三角函数与解三角形- 正弦定理- 余弦定理- 解三角形的步骤与技巧- 常见应用四、概率与统计1. 随机事件与概率- 基本概念及性质- 概率计算方法- 常见应用2. 排列与组合- 基本概念及性质- 常见应用3. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 统计图的绘制与分析- 常见应用五、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义- 常见函数的导数- 常见应用2. 微分的概念与性质- 微分的定义- 高阶导数- 常见应用3. 函数的极值与最值- 极值与最值的概念- 极值与最值的判定条件- 常见应用总结本文档对高考高三数学总复习的知识点进行了归纳总结，涵盖了函数与方程、数列与数学归纳法、几何与三角形、概率与统计、导数与微分等内容。
希望能帮助您系统复习数学知识，取得优异的成绩！。
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高三数学总复习知识点
考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是我为大家整理的高三数学总复习知识点，希望对大家有所帮助!
总结
(1)集合：集合的运算;
(2)复数：复数的运算或几何意义;
(3)极坐标与参数方程：化直角坐标;
(4)算法：
(5)解三角形：
(6)数列：等差(比)数列的概念及运算，问法会有创新;
(7)几何证明选讲：
(8)三视图：综合考察多面体或旋转体的基本性质、空间几何元素的位置关系、表面积或体积的计算;
(9)平面向量：平面向量的概念及运算或小综合，或与思维方法有关;
(10)二元一次不等式组有关的问题：小综合、问法上会有创新;
(11)直线与圆：综合在几何证明选讲或极坐标、参数方程中考察。
(12)圆锥曲线：考察定义、几何性质或标准方程;
(13)排列组合、二项式定理：主要考察利用两个原理或两个计数模型计数。
(14)函数：综合、创新。
另外，定积分、几何概型在近四年的高考中都出现了一次，也属于容易题，在今年的备考中也要加以注意。
高考数学考点一：导数
一、综述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合
1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法
则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
高考数学考点二：不等式
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利
用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
4.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)。
高考数学考点三：立体几何
1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直"的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2.判定两个平面平行的方法：
(1)根据定义--证明两平面没有公共点;
(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;
(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3.两个平面平行的主要性质：
(1)由定义知："两平行平面没有公共点";
(2)由定义推得："两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面";
(3)两个平面平行的性质定理："如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行";
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;
(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
看过""的还:。