黑龙江中考数学28题专题一
专题28 动点综合问题(共32题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M 、作PN BC ⊥于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,55⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（）A ．1552B ．427C ．17D ．533．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）．．．．（2023·黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，在正方形ABCD 同时出发，沿射线AB 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接动的路程为(0x x ≤≤，下列图像中能反映S A ．．．．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点运动的路程为x ，PB PC，图2是点P 运动时关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（A ．6B ．3C ．43236．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的O 上两动点，且2CD =，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，PAB 面积的最大值是（）A ．8B ．6C ．4D ．37．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A．10B．910C 9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P是等边AP BP CP为边的三角形中，最小内角的大小为（段,,A．14︒B．16︒C 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形→匀速运动，运动到点C时停止．设点发沿AB BC象如图2所示，则点M的坐标为（）4,23B．()4,4A．()11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在∥交AC于点E；过点D作DF∥DE AB的面积，则一定能求出（上的点，2DM ME=．若已知CMNA．AFE△的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积12．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则下列结论错误．．的是（）A ．PA PB +的最小值为33B ．PE PF +的最小值为23C ．CDE 周长的最小值为6D ．四边形ABCD 面积的最小值为33二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）在ABC 中，43AB =，60C ∠=︒，在边BC 上有一点P ，且12BP AC =，连接AP ，则AP 的最小值为___________．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，连接AD ，3,35BE BD ==．P 是AB 边上的动点，当ADP △为等腰三角形时，AP 的长为_____________．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上17．（2023·河南·统考中考真题）以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形B C D A→→→运动．运动过程中，线段CB'19．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为，的中点，则N分别是EF AF20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形点E在线段BC上运动，点21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ' ，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________25．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线段AB 上一动点，点H 是直线BE DF +取最小值时，3BH 三、解答题26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．29．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB ，长度为1m 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m /s ，滑动开始前滑块左端与点A 重合，当滑块右端到达点B 时，滑块停顿2s ，然后再以小于9m /s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A 重合，滑动停止．设时间为()s t 时，滑块左端离点A 的距离为()1m l ，右端离点B 的距离为()2m l ，记12,d l l d =-与t 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 4.5s t =和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；滑块从点A 出发到最后返回点A ，整个过程总用时27s （含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：(1)滑块从点A 到点B 的滑动过程中，d 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点B 到点A 的滑动过程中，求d 与t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若18d =，求t 的值．31．（2023·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点(3,0),(0,1),(23,1)A B D ，矩形EFGH 的顶点1130,,3,,0,222E F H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．32．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______；②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．。
黑龙江省数学中考试卷第二十八题型探究
黑龙江省数学中考试卷第二十八题型探究一、知识点1. 求点的坐标及一次函数解析式。
2. 解方程与解直角三角形。
3. 动态图形中的全等与相似，4. 特殊三角形、四边形的性质与判定。
（存在性问题）二、涉及的基本技能与变化。
（一） 解直角三角形ａ.已知一个三角形三边长，优先判定是否为直角三角形。
ｂ.已知直角三角形两边长时，优先考虑是否有特殊角。
例： 如图：直线ｙ=－3x A 、B 两点，将△AOB 沿AB 翻折，点O 落在C 点，求C 点坐标。
ｃ.面积公式有OA •OB ＝AB •OC ·（二） 关于方程：1. 数字系数方程（直接解方程）如：在坐标系中，点B 、C 分别在ｘ轴的正、负半轴上OB 、OC 为方程ｘ2－4ｘ＋3＝0两根（OB ＜OC ）求B 、C 坐标。
2. 字母系数方程ａ.已知方程一根。
（代入求字母值）例：点C （0，－2）且OA 、OC 为关于ｘ的方程ｘ2－6ｍｘ＋8＝0的两根ｂ.已知两根间的关系例1：OA 、OB 的长为关于ｘ的方程ｘ20且OA ∶OB 1 解法：用分解因式法解方程。
例2：ｍ、ｎ为关于ｘ的方程ｘ2＋（22ｔ＝0且ｍ2＋ｍｎ＝4＋的直线ｌ1与ｌ2交于Ａ（0，ｔ）求A 、Q 点坐标。
ｃ.运用非负数性质，解方程。
如①直线AB 交ｘ、ｙ轴于A 、B 两点，且OA 、OB 的长是关于ｘ的方程214x －8ｘ＋2c ＋64＝0的两根，求A 、B 点坐标。
②线段AM、AN是关于ｘ的一元二次方程ｘ2－2ｍｘ＋ｎ2－ｍｎ＋54ｍ2＝0的两实根，可得AM＝AN。
（三）存在性问题。
Ⅰ、四边形1、关于平行四边形如：设点M为直线CE上一点，过M作AC的平行线交ｙ轴于点N。
是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，直接写出点M的坐标。
若不存在，请说明理由。
2、关于菱形如：P是直线AD上的点，平面内是否存在点Q，使O、A、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
黑龙江省中考数学真题试题（含答案）
1 黑龙江省中考数学真题试题一、单项选择题：每小题3分，共30分2015年齐齐哈尔市初中毕业考试数学试卷1．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列各式正确的是（）A A．．﹣22=4B =4 B．． 20=0C =0 C．．=±2 D．=±2 D． | | |﹣﹣|=2．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A A．． B B．． C C．． D D．．3．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：（2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：131313，，1515，，1515，，1616，，1313，，1515，，1414，，1515（单位：岁）（单位：岁）．这组数据的中位数和极差分别是（） A A．． 15 15，，3 B 3 B．． 14 14，，15 C 15 C．． 16 16，，16 D 16 D．． 14 14，，34．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h 随注水时间t 变化规律的是（）A A．．B B．． C C．． D D．．5．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是（）A A．． 5或6或7B 7 B．． 6或7C 7 C．． 6或7或8D 8 D．． 7或8或96．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（）A A．． 8≤AB≤10 B．8≤AB≤10 B． 8 8 8＜AB≤10 C．＜AB≤10 C．＜AB≤10 C． 4≤AB≤5 D．4≤AB≤5 D． 4 4 4＜AB≤5＜AB≤5＜AB≤57．（3分）（2015•齐齐哈尔）关于x 的分式方程=有解，则字母a 的取值范围是（ ）A A．． a=5或a=0B a=0 B．． a≠0 C．a≠0 C． a≠5 D．a≠5 D． a≠5且a≠0a≠08．（3分）（2015•齐齐哈尔）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（元，购买方案有（ ）A A．． 1种B B．． 2种C C．． 3种D D．． 4种9．（3分）（2015•齐齐哈尔）抛物线y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）的对称轴为直线（a≠0）的对称轴为直线x=x=﹣﹣1，与x 轴的一个交点A 在点（﹣在点（﹣33，0）和（﹣）和（﹣22，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b b 2＜0；②2a﹣②2a﹣b=0b=0b=0；；③a+b+c＜③a+b+c＜00；④点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）在抛物线上，若x 1＜x 2，则y 1≤y 2，其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（ ）A A．． 1个B B．． 2个C C．． 3个D D．． 4个1010．．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△为斜边向△ABC ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ACF，，EM 平分∠平分∠AEB AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN DN、、DE DE、、DF DF．．下列结论：①EM=DN；②S △CDN =S 四边形ABDN ；③DE=DF；④DE⊥④DE⊥DF DF DF．．其中正确的结论的个数是（中正确的结论的个数是（ ）A A．． 1个B B．． 2个C C．． 3个D D．． 4个二、填空题：每小题3分，共30分1111．．（3分）（2015•齐齐哈尔）日前从省教育厅获悉，为改善农村义务教育办学条件，促进教育公平，去年我省共接收163400名随迁子女就学，将163400用科学记数法表示为 ．1212．．（3分）（2015•齐齐哈尔）在函数y=+中，自变量x 的取值范围是的取值范围是 ．1313．．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，在同一直线上，BD=AE BD=AE BD=AE，，BC BC∥∥EF EF，要使，要使△ABC ABC≌△≌△≌△DEF DEF DEF，则只需添加一个适当的条件是，则只需添加一个适当的条件是，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）（只填一个即可）1414．．（3分）（2015•齐齐哈尔）△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x 2﹣8x+15=0的根，则△的根，则△ABC ABC 的周长是的周长是 ．1515．．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB AB⊥⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC BC∥∥AD AD，四边形，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．1616．．（3分）（2015•齐齐哈尔）底面周长为10πcm cm，，高为12cm 的圆锥的侧面积为的圆锥的侧面积为 ．1717．．（3分）（2015•齐齐哈尔）从点A （﹣（﹣22，3）、B （1，﹣，﹣66）、C （﹣（﹣22，﹣，﹣44）中任取一个点，在y=y=﹣﹣的图象上的概率是的图象上的概率是 ．1818．．（3分）（2015•齐齐哈尔）菱形ABCD 的对角线AC=6cm AC=6cm，，BD=4cm BD=4cm，，以AC 为边作正方形ACEF ACEF，，则BF 长为长为 ．1919．．（3分）（2015•齐齐哈尔）（2015•齐齐哈尔）BD BD 为等腰△为等腰△ABC ABC 的腰AC 上的高，上的高，BD=1BD=1BD=1，，tan tan∠∠ABD=，则CD 的长为的长为 ．2020．．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，正方形ABCB 1中，中，AB=1AB=1AB=1．．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB 1交直线l 于点A 1，作正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，作正方形A 2B 2C 2B 3，延长C 2B 3交直线l 于点A 3，作正方形A 3B 3C 3D 4，…，依此规律，则A 2014A 2015= ．三、解答题：满分60分2121．．（5分）（2015•齐齐哈尔）先化简，再求值：÷（+1+1）），其中x 是的整数部分．部分．2222．．（6分）（2015•齐齐哈尔）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：个单位长度的小正方形网格中：（1）画出△）画出△ABC ABC 向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△个单位长度后的△A A 1B 1C 1．（2）以点B 为位似中心，将△将△ABC ABC 放大为原来的2倍，得到△得到△A A 2B 2C 2，请在网格中画出△请在网格中画出△A A 2B 2C 2．（3）求△）求△CC CC 1C 2的面积．的面积．2323．．（6分）（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、轴、y y 轴的正半轴，抛物线y=y=﹣﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC AC、、BD BD、、CD CD．．（1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．的面积．2424．．（7分）（2015•齐齐哈尔）（2015•齐齐哈尔）44月23日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年（读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年（11）班数学活动小组对本年级600名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图（每组包括最小值不包括最大值）．九年（．九年（11）班每天阅读时间在0.5小时以内的学生占全班人数的8%8%．根据统计图解答．根据统计图解答下列问题：下列问题：（1）九年（）九年（11）班有）班有 名学生；名学生；（2）补全直方图；）补全直方图； （3）除九年（）除九年（11）班外，九年级其他班级每天阅读时间在1～1.5小时的学生有165人，请你补全扇形统计图；你补全扇形统计图；（4）求该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有多少人？2525．．（8分）（2015•齐齐哈尔）甲、乙两车分别从相距480km 的A 、B 两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，小时，并以各自的速度匀速行驶，途径并以各自的速度匀速行驶，途径C 地，甲车到达C 地停留1小时，小时，因有因有事按原路原速返回A 地．地．乙车从乙车从B 地直达A 地，两车同时到达A 地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发所用的时间x （小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：问题：（1）乙车的速度是）乙车的速度是 千米千米//时，时，t= t= 小时；小时；（2）求甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．千米．2626．．（8分）（2015•齐齐哈尔）如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，在同一条直线上，M M 是线段AE 的中点，的中点，DM DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM FM，易证：，易证：，易证：DM=FM DM=FM DM=FM，，DM DM⊥⊥F M （无需写证明过程）（无需写证明过程）（1）如图2，当点B 、C 、F 在同一条直线上，在同一条直线上，DM DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E 、B 、C 在同一条直线上，在同一条直线上，DM DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，其余条件不变，探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请直接写出猜想．有怎样的关系？请直接写出猜想．2727．．（10分）（2015•齐齐哈尔）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A 、B 两种礼盒，已知A 、B 两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．元．（1）求A 、B 两种礼盒的单价分别是多少元？两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A 种礼盒最多36个，个，B B 种礼盒的数量不超过A 种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？倍，共有几种进货方案？（3）根据市场行情，销售一个A 钟礼盒可获利10元，销售一个B 种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B 种礼盒，为爱心公益基金捐款m 元，每个A 种礼盒的利润不变，在（润不变，在（22）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m m 值是多少？此时店主获利多少元？主获利多少元？2828．．（10分）（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt Rt△△AOB 的两直角边OA OA、、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA OA、、OB 的长满足的长满足|OA |OA |OA﹣﹣8|+8|+（（OB OB﹣﹣6）2=0=0，∠，∠ABO 的平分线交x 轴于点C 过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求线段AB 的长；的长；（2）求直线CE 的解析式；的解析式；（3）若M 是射线BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．黑龙江省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：每小题3分，共30分2015年齐齐哈尔市初中毕业考试数学试卷1．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列各式正确的是（（2015•齐齐哈尔）下列各式正确的是（ ） A A．． ﹣22=4 B =4 B．． 20=0 C =0 C．． =±2 D．=±2 D． | | |﹣﹣|=考点： 算术平方根；有理数的乘方；实数的性质；零指数幂．算术平方根；有理数的乘方；实数的性质；零指数幂．分析： 根据有理数的乘方，任何非零数的零次幂等于1，算术平方根的定义，绝对值的性质对各选项分析判断即可得解．质对各选项分析判断即可得解． 解答： 解：解：A A 、﹣、﹣222=﹣4，故本选项错误；，故本选项错误； B 、20=1=1，故本选项错误；，故本选项错误；，故本选项错误；C 、=2=2，故本选项错误；，故本选项错误；，故本选项错误；D 、|﹣|=，故本选项正确．，故本选项正确．故选D ．点评： 本题考查了算术平方根的定义，有理数的乘方，实数的性质，零指数幂的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．基础题，熟记概念与性质是解题的关键．2．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A A．．B B．．C C．．D D．．考点： 中心对称图形；轴对称图形．中心对称图形；轴对称图形．分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答： 解：解：A A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C ．点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．重合．3．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：（2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：131313，，1515，，1515，，1616，，1313，，1515，，1414，，1515（单位：岁）（单位：岁）．这组数据的中位数和极差分别是（．这组数据的中位数和极差分别是（ ）A A．． 15 15，，3B 3 B．． 14 14，，15C 15 C．． 16 16，，16D 16 D．． 14 14，，3考点： 极差；中位数．极差；中位数．分析： 根据中位数与极差的定义分别求出即可解答．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）位于最中间的一个数（或两个数的平均数）位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；为中位数；为中位数；极差就是这组数中最大值与最极差就是这组数中最大值与最小值的差．小值的差．解答： 解：按从小到大的顺序排列为：1313，，1313，，1414，，1515，，1515，，1515，，1515，，1616，，故中位数为（15+1515+15））÷2=15，÷2=15，极差为1616﹣﹣13=313=3．．故选A ．点评： 本题为统计题，考查中位数与极差的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，不把数据按要求重新排列，不把数据按要求重新排列，就会出错．就会出错．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差最大数据与最小数据的差．极差==最大值﹣最小值．最大值﹣最小值．4．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h 随注水时间t 变化规律的是（变化规律的是（ ）A A．．B B．．C C．．D D．．考点： 函数的图象．函数的图象．分析： 由于三个容器的高度相同，由于三个容器的高度相同，粗细不同，粗细不同，那么水面高度h 随时间t 变化而分三个阶段． 解答： 解：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h 随时间t 的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短． 故选B ．点评： 此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．不同得到用时的不同．5．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是（视图，组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A A．． 5或6或7B 7 B．． 6或7C 7 C．． 6或7或8D 8 D．． 7或8或9考点： 由三视图判断几何体．由三视图判断几何体．分析： 首先根据几何体的左视图，可得这个几何体共有3层；然后从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状；底层小正方体的个数及形状；最后从左视图判断出第一层、最后从左视图判断出第一层、最后从左视图判断出第一层、第二层的个数，第二层的个数，进而求出组成这个几何体的小正方体的个数是多少即可．个几何体的小正方体的个数是多少即可．解答： 解：根据几何体的左视图，可得这个几何体共有3层，层，从俯视图可以可以看出最底层的个数是4个，个，（1）当第一层有1个小正方体，第二层有1个小正方体时，个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：组成这个几何体的小正方体的个数是：1+1+4=61+1+4=6（个）（个）； （2）当第一层有1个小正方体，第二层有2个小正方体时，个小正方体时，或当第一层有2个小正方体，第二层有1个小正方体时，个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+2+4=71+2+4=7（个）（个）； （3）当第一层有2个小正方体，第二层有2个小正方体时，个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：组成这个几何体的小正方体的个数是：2+2+4=82+2+4=8（个）（个）． 综上，可得综上，可得组成这个几何体的小正方体的个数是6或7或8．故选：故选：C C ．点评： 此题主要考查了由三视图判断几何体，考查了空间想象能力，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：题的关键是要明确：由三视图想象几何体的形状，由三视图想象几何体的形状，由三视图想象几何体的形状，首先，首先，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．6．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（的取值范围是（ ）A A．． 8≤AB≤10 B．8≤AB≤10 B． 8 8 8＜AB≤10 C．＜AB≤10 C．＜AB≤10 C． 4≤AB≤5 D．4≤AB≤5 D． 4 4 4＜AB≤5＜AB≤5＜AB≤5考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．分析： 此题可以首先计算出当AB 与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8AB=8．若大圆的弦．若大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径1010，则，则8≤AB≤10．8≤AB≤10．解答： 解：当AB 与小圆相切，与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB=2=8=8．．∵大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．∴8≤AB≤10．故选：故选：A A ．点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．7．（3分）（2015•齐齐哈尔）关于x 的分式方程=有解，则字母a 的取值范围是（ ）A A．． a=5或a=0B a=0 B．． a≠0 C．a≠0 C． a≠5 D．a≠5 D． a≠5且a≠0a≠0考点： 分式方程的解．分式方程的解．分析： 先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“关于x 的分式方程=有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a 的取值范围．的取值范围．解答： 解：=， 去分母得：去分母得：55（x ﹣2）=ax =ax，，去括号得：去括号得：5x 5x 5x﹣﹣10=ax 10=ax，，移项，合并同类项得：移项，合并同类项得：（5﹣a ）x=10x=10，，∵关于x 的分式方程=有解，有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，x≠2，即a≠5，a≠5，系数化为1得：得：x=x=， ∴≠0且≠2，≠2， 即a≠5，a≠0，a≠5，a≠0，综上所述：关于x 的分式方程=有解，则字母a 的取值范围是a≠5，a≠0，a≠5，a≠0，故选：故选：D D ．点评： 此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a 的取值范围，根据方程的解列出关于a 的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5﹣a≠0，这应引起同学们的足够重视．8．（3分）（2015•齐齐哈尔）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（元，购买方案有（ ）A A．． 1种B B．． 2种C C．． 3种D D．． 4种考点： 二元一次方程的应用．二元一次方程的应用．分析： 设毽子能买x 个，跳绳能买y 根，依据“某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元”列出方程，并解答．元”列出方程，并解答．解答： 解：设毽子能买x 个，跳绳能买y 根，根据题意可得：根，根据题意可得：3x+5y=353x+5y=35，，y=7y=7﹣﹣x ，∵x 、y 都是正整数，都是正整数，∴x=5时，时，y=4y=4y=4；；x=10时，时，y=1y=1y=1；；∴购买方案有2种．种．故选B ．点评： 此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．9．（3分）（2015•齐齐哈尔）抛物线y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）的对称轴为直线（a≠0）的对称轴为直线x=x=﹣﹣1，与x 轴的一个交点A 在点（﹣在点（﹣33，0）和（﹣）和（﹣22，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b b 2＜0；②2a﹣②2a﹣b=0b=0b=0；；③a+b+c＜③a+b+c＜00；④点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）在抛物线上，若x 1＜x 2，则y 1≤y 2，其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（ ）A A．． 1个B B．． 2个C C．． 3个D D．． 4个考点： 二次函数图象与系数的关系．二次函数图象与系数的关系．分析： 根据函数与x 中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．作出判断． 解答： 解：函数与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac 4ac＞＞0，即4ac 4ac﹣﹣b 2＜0，故①正确；，故①正确；函数的对称轴是x=x=﹣﹣1，即﹣=﹣1，则b=2a b=2a，，2a 2a﹣﹣b=0b=0，故②正确；，故②正确；，故②正确；当x=1时，函数对应的点在x 轴下方，则a+b+c a+b+c＜＜0，则③正确；，则③正确；则y 1和y 2的大小无法判断，则④错误．的大小无法判断，则④错误．故选C ．点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a ，b ，c 的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．的式子．1010．．（3分）（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△为斜边向△ABC ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ACF，，EM 平分∠平分∠AEB AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN DN、、DE DE、、DF DF．．下列结论：①EM=DN；②S △CDN =S 四边形ABDN ；③DE=DF；④DE⊥④DE⊥DF DF DF．．其中正确的结论的个数是（中正确的结论的个数是（ ）A A．． 1个B B．． 2个C C．． 3个D D．． 4个考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．分析： ①首先根据D 是BC 中点，N 是AC 中点N ，可得DN 是△是△ABC ABC 的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN EM=DN；；②首先根据DN DN∥∥AB AB，可得△，可得△，可得△CDN CDN CDN∽∽ABC ABC；然后根据；然后根据DN=，可得S △CDN =S △ABC ，所以S △CDN =S 四边形ABDN ，据此判断即可．，据此判断即可．③首先连接MD MD、、FN FN，判断出，判断出DM=FN DM=FN，∠，∠，∠EMD=EMD=EMD=∠∠DNF DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△出△EMD EMD EMD≌△≌△≌△DNF DNF DNF，即可判断出，即可判断出DE=DF DE=DF．．④首先判断出，DM=FA FA，，∠EMD=EMD=∠∠EAF EAF，，根据相似计三角形判定的方法，判断出△判断出△EMD EMD EMD∽△∠∽△∠∽△∠EAF EAF EAF，即可判断出∠，即可判断出∠，即可判断出∠MED=MED=MED=∠∠AEF AEF，然后根据∠，然后根据∠，然后根据∠MED+MED+MED+∠AED=45°，判断出∠∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE DE⊥⊥DF DF．． 解答： 解：∵解：∵D D 是BC 中点，中点，N N 是AC 中点，中点，∴DN 是△是△ABC ABC 的中位线，的中位线，∴DN DN∥∥AB AB，且，且DN=；∵三角形ABE 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EM EM 平分∠平分∠AEB AEB 交AB 于点M ，∴M 是AB 的中点，的中点，∴EM=，又∵又∵DN=DN=，∴EM=DN EM=DN，，∴结论①正确；∴结论①正确；∵DN DN∥∥AB AB，，∴△∴△CDN CDN CDN∽∽ABC ABC，，∵DN=，∴S △CDN =S △ABC ，∴S △CDN =S 四边形ABDN ，∴结论②正确；∴结论②正确；如图1，连接MD MD、、FN FN，，，∵D 是BC 中点，中点，M M 是AB 中点，中点，∴DM 是△是△ABC ABC 的中位线，的中位线，∴DM DM∥∥AC AC，且，且DM=；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，N N 是AC 的中点，的中点，∴FN=，又∵又∵DM=DM=，∴DM=FN DM=FN，，∵DM DM∥∥AC AC，，DN DN∥∥AB AB，， ∴四边形AMDN 是平行四边形，是平行四边形，∴∠∴∠AMD=AMD=AMD=∠∠AND AND，，又∵∠又∵∠EMA=EMA=EMA=∠FNA=90°，∠FNA=90°，∠FNA=90°，∴∠∴∠EMD=EMD=EMD=∠∠DNF DNF，，在△在△EMD EMD 和△和△DNF DNF 中，中，，∴△∴△EMD EMD EMD≌△≌△≌△DNF DNF DNF，，∴DE=DF DE=DF，，∴结论③正确；∴结论③正确；如图2，连接MD MD，，EF EF，，NF NF，，，∵三角形ABE 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EM EM 平分∠平分∠AEB AEB AEB，，∴M 是AB 的中点，的中点，EM EM EM⊥⊥AB AB，，∴EM=MA EM=MA，∠EMA=90°，∠，∠EMA=90°，∠，∠EMA=90°，∠AEM=AEM=AEM=∠EAM=45°，∠EAM=45°，∠EAM=45°，∴，∵D 是BC 中点，中点，M M 是AB 中点，中点，∴DM 是△是△ABC ABC 的中位线，的中位线，∴DM DM∥∥AC AC，且，且DM=；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，N N 是AC 的中点，的中点，∴FN=，∠FNA=90°，∠，∠FNA=90°，∠FAN=FAN=FAN=∠AFN=45°，∠AFN=45°，∠AFN=45°，又∵又∵DM=DM=，∴DM=FN=FA FA，，∵∠∵∠EMD=EMD=EMD=∠∠EMA+EMA+∠AMD=90°+∠∠AMD=90°+∠∠AMD=90°+∠AMD AMD AMD，，∠EAF=360°﹣∠∠EAF=360°﹣∠EAM EAM EAM﹣∠﹣∠﹣∠FAN FAN FAN﹣∠﹣∠﹣∠BAC BAC=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD AMD AMD））=90°+∠=90°+∠AMD AMD∴∠∴∠EMD=EMD=EMD=∠∠EAF EAF，，在△在△EMD EMD 和△∠和△∠EAF EAF 中，中，∴△∴△EMD EMD EMD∽△∠∽△∠∽△∠EAF EAF EAF，，∴∠∴∠MED=MED=MED=∠∠AEF AEF，，∵∠∵∠MED+MED+MED+∠AED=45°，∠AED=45°，∠AED=45°，∴∠∴∠AED+AED+AED+∠AEF=45°，∠AEF=45°，∠AEF=45°，即∠DEF=45°，即∠DEF=45°，又∵又∵DE=DF DE=DF DE=DF，，∴∠DFE=45°，∴∠DFE=45°，∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，∴DE DE⊥⊥DF DF，，∴结论④正确．∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④．个：①②③④． 故选：故选：D D ．点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．质的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R ，而高又为内切圆的直径．，而高又为内切圆的直径．（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二、填空题：每小题3分，共30分1111．．（3分）（2015•齐齐哈尔）日前从省教育厅获悉，为改善农村义务教育办学条件，促进教育公平，去年我省共接收163400名随迁子女就学，将163400用科学记数法表示为用科学记数法表示为 1.634×105．考点： 科学记数法—表示较大的数．科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜1≤|a|＜101010，，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，时，小数点移动了多少位，n n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞原数绝对值＞11时，时，n n 是正数；当原数的绝对值＜是正数；当原数的绝对值＜11时，时，n n 是负数．是负数． 解答： 解：将163400用科学记数法表示为1.634×105， 故答案为：1.634×105． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜1≤|a|＜101010，，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．的值．1212．．（3分）（2015•齐齐哈尔）在函数y=+中，自变量x 的取值范围是的取值范围是 x≥﹣x≥﹣33，且x≠0x≠0 ．。
2024年黑龙江绥化市中考数学试题+答案详解
2024年黑龙江绥化市中考数学试题+答案详解（试题部分）考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的方框涂黑1. 实数12025−的相反数是（ ）A. 2025B. 2025−C. 12025−D.120252. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A. 圆B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰三角形3. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个4.有意义，则m 的取值范围是（ ） A. 23m ≤B. 32m ≥−C. 32m ≥D. 23m ≤−5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ()2139−−=B. ()222a b a b +=+C.3=±D. ()3263x yx y −=6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A. 2650x x ++= B. 27100x x −+= C. 2520x x −+=D. 26100x x −−=7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差8. 一艘货轮在静水中的航速为40km /h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为（ ） A. 5km /hB. 6km /hC. 7km /hD. 8km /h9. 如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（ ）A. ()9,4B. ()4,9C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 21,3⎛⎫⎪⎝⎭10. 下列叙述正确的是（ ）A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B. 平分弦的直径垂直于弦C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11. 如图，四边形ABCD 是菱形，5CD =，8BD =，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是（ ）A.245B. 6C.485D. 1212. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内13. 中国的领水面积约为370 000 km 2，将数370 000用科学记数法表示为：__________． 14. 分解因式：2228mx my −=______．15. 如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠=______︒．16. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒，测得底部点B 的俯角为45︒，点A 与楼BC 的水平距离50m AD =，则这栋楼的高度为______m （结果保留根号）．17. 计算：22x y xy y x x x ⎛⎫−−÷−= ⎪⎝⎭_________． 18. 用一个圆心角为126︒，半径为10cm 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______cm ．19. 如图，已知点()7,0A −，(),10B x ，()17,C y −，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0ky k x=≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =______．20. 如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠=______．21. 如图，已知(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，依此规律，则点2024A 的坐标为______．22. 在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，点E 在直线AD 上，且2cm DE =，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是______cm ．三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内23. 已知：ABC ．（1）尺规作图：画出ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）5cm，则ABC的面积是______（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知ABG的面积等于22cm．24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．25. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？x （3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间min 之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为1y；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为2y．请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A 种电动车或B 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m /min （每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km ，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写A 或B ）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x 的值______．26. 如图1，O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ，与AC 相交于点F ．（1）求证：AB 与O 相切．（2）若正方形ABCD 1+，求O 的半径．（3）如图2，在（2）的条件下，若点M 是半径OC 上的一个动点，过点M 作MN OC ⊥交CE 于点N ．当:1:4CM FM =时，求CN 的长．27. 综合与实践 问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象． 纸片ABC 和DEF 满足90ACB EDF ∠=∠=︒，2cm AC BC DF DE ====． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现（1）如图1，取AB 的中点O ，将两张纸片放置在同一平面内，使点O 与点F 重合．当旋转DEF 纸片交AC 边于点H 、交BC 边于点G 时，设()12AH x x =<<，BG y =，请你探究出y 与x 的函数关系式，并写出解答过程． 问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH ，发现CGH 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由． 拓展延伸（3）如图3，当点F 在AB 边上运动（不包括端点A 、B ），且始终保持60AFE ∠=︒．请你直接写出DEF 纸片的斜边EF 与ABC 纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．28. 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =−++与直线相交于A ，B 两点，其中点()3,4A ，()0,1B ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ，连接AC ，在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠．若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点E 为原抛物线对称轴上的一点，F 是平面直角坐标系内的一点，当以点B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F 的坐标．2024年黑龙江绥化市中考数学试题+答案详解（答案详解）考生注意：1．考试时间120分钟2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的方框涂黑1. 实数12025−的相反数是（ ）A. 2025B. 2025−C. 12025−D.12025【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数12025−的相反数是12025，故选：D ．2. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A. 圆 B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【详解】A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确， 故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个【答案】A 【解析】【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．【详解】解：由三视图易得最底层有3个正方体，第二层有2个正方体，那么共有325+=个正方体组成． 故选：A ．4. 有意义，则m 的取值范围是（ ） A. 23m ≤B. 32m ≥−C. 32m ≥D. 23m ≤−【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得230m −≥，即可求解．有意义， ∴230m −≥， 解得：32m ≥， 故选：C ．5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ()2139−−=B. ()222a b a b +=+C.3=±D. ()3263x yx y −=【答案】A 【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．【详解】解：A. ()2139−−=，故该选项正确，符合题意； B. ()2222a b a ab b +=++，故该选项不正确，不符合题意；C.3=，故该选项不正确，不符合题意；D. ()3263x yx y −=−，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A. 2650x x ++= B. 27100x x −+= C. 2520x x −+= D. 26100x x −−=【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】C【解析】【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C ．8. 一艘货轮在静水中的航速为40km /h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为（ ）A. 5km /hB. 6km /hC. 7km /hD. 8km /h 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．【详解】解：设江水的流速为km/h x ，根据题意可得： 120804040x x=+−， 解得：8x =，经检验：8x =是原方程的根，答：江水的流速为8km/h ．故选：D ．9. 如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（ ）A. ()9,4B. ()4,9C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意B 的坐标乘以13，即可求解． 【详解】解：依题意，()3,2B ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D ．10. 下列叙述正确的是（ ）A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B. 平分弦的直径垂直于弦C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．11. 如图，四边形ABCD 是菱形，5CD =，8BD =，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是（ ）A. 245B. 6C. 485D. 12【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC ，进而得出6AC =，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，5CD =，8BD =， ∴142DO BD ==，AC BD ⊥，5BC CD ==，在Rt CDO △中，3CO ==， ∴26AC OC ==，∵菱形ABCD 的面积为12AC BD BC AE ⨯=⨯， ∴18624255AE ⨯⨯==， 故选：A ．12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0b c> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，20b a =<即可判断①，=1x −时，函数值最大，即可判断②，根据1x =时，0y <，即可判断③，根据对称性可得122x x +=−即可判段④，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线=1x −， ∴12b x a=−=− ∴20b a =<∵抛物线与y 轴交于正半轴，则0c > ∴0b c<，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线=1x −,∴当=1x −时，y 取得最大值，最大值为a b c −+∴2am bm c a b c ++≤−+（m 为任意实数）即2am bm a b +≤−，故②正确；∵1x =时，0y <即0a b c ++<∵2b a =∴20a a c ++<即30a c +<∴31a c +<，故③正确；∵()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，∴,M N 关于=1x −对称， ∴1212x x +=−即122x x +=−故④不正确正确的有②③故选：B二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内13. 中国的领水面积约为370 000 km 2，将数370 000用科学记数法表示为：__________．【答案】3.7×105【解析】【详解】科学记数法是指：a ×10n ，且1≤a ＜10，n 为原数的整数位数减一，370000=3.7×510． 故答案为：3.7×105．14. 分解因式：2228mx my −=______．【答案】()()222m x y x y +−【解析】【分析】本题考查了因式分解，先提公因式2m ，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．【详解】解：2228mx my −=()2224m x y −=()()222m x y x y +−故答案为：()()222m x y x y +−．15. 如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠=______︒．【答案】66【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得33E C ∠=∠=︒，根据三角形的外角的性质可得66DOE ∠=︒，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵OC OE =，33C ∠=︒，∴33E C ∠=∠=︒，∴66DOE E C ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ∥，∴66A DOE =∠=︒∠，故答案为：66．16. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒，测得底部点B 的俯角为45︒，点A 与楼BC 的水平距离50m AD =，则这栋楼的高度为______m （结果保留根号）．【答案】(50+##()50【解析】【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得456050m BAD CAD AD ∠=︒∠=︒=，，，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，456050m BAD CAD AD ∠=︒∠=︒=，，．在Rt △ABD 中，tan 4550150m BD AD =⋅︒=⨯=，在Rt ACD △中，tan 6050CD AD =⋅︒==，∴(m 50BC BD CD =+=+．故答案为：(50+． 17. 计算：22x y xy y x x x ⎛⎫−−÷−= ⎪⎝⎭_________． 【答案】1x y− 【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：22x y xy y x x x ⎛⎫−−÷− ⎪⎝⎭ 222x y x xy y x x−−+=÷ 2()x y x x x y −=− 1x y=−，故答案为：1x y−． 18. 用一个圆心角为126︒，半径为10cm 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______cm ． 【答案】72【解析】【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为cm R ，由题意得，12610π2π180R ⨯⨯= 解得：7cm 2R = 故答案为：72． 19. 如图，已知点()7,0A −，(),10B x ，()17,C y −，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0k y k x=≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =______．【答案】15−【解析】【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B −，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D −，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A −，(),10B x ，()17,C y −，∴7OA BC ==，∴24x =−，即()2410B −，，则24OF =，10BF = ∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF ∥∴ODE OBF △∽△ ∴14OE OD DE OF OB BF === ∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D −∴6 2.515k =−⨯=−故答案为：15−．20. 如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠=______．【答案】80︒##80度【解析】【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作关于OA ，OB 的对称点12P P ，．连接12OP OP ，．则当M ，N 是12PP 与OA ，OB 的交点时，PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：150OPM OPM ∠=∠=︒，12OP OP OP ==，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：作P 关于OA ，OB 的对称点12P P ，．连接12OP OP ，．则当M ，N 是12PP 与OA ，OB 的交点时，PMN 的周长最短，连接12PO P O 、，1PP 关于OA 对称，∴11112POP MOP OP OP PM PM OPM OPM ∠=∠==∠=∠，，，同理，222P OP NOP OP OP ∠=∠=，，12122(210)0POP POP P OP MOP NOP AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，12OP OP OP ==， ∴12POP △是等腰三角形．∴2140OP N OPM ∠=∠=︒， ∴2180MPN MPO NPO OP N OPM ∠=∠+∠=∠+∠=︒ 故答案为：80︒．21. 如图，已知(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，依此规律，则点2024A 的坐标为______．【答案】(2891,【解析】【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，7n A 的坐标为()10,0n ，据此可求得2024A 的坐标．【详解】解：∵(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，，∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，7n A 的坐标为()10,0n ，(71101,n A n ++∵202472891÷=⋅⋅⋅，∴2023A 的坐标为()2890,0．∴2024A 的坐标为(2891,故答案为：(2891,．22. 在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，点E 在直线AD 上，且2cm DE =，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是______cm ．或5或【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设,AC BD 交于点O ，点1E 在线段AD 上，2E 在AD 的延长线上，过点AC 作AC ，BD 的垂线，垂足分别为123,,F F F ，进而分别求得垂线段的长度，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，8BC =，∴8AD BC ==，4CD AB ==，∴AC ===∴sin5CD CAD AC ∠===，cos 5CAD ∠==，41tan 82CAD ∠== 如图所示，设,AC BD 交于点O ，点1E 在线段AD 上，2E 在AD 的延长线上，过点AC 作AC ，BD 的垂线，垂足分别为123,,F F F∵AO DO =∴OAD ODA ∠=∠当E 在线段AD 上时，∴1826AE AD DE =−=−=在11Rt AE F 中个，111sin 655E F AE CAD =⋅∠== ∵OAD ODA ∠=∠在12Rt E F D 中，12112sin 255E F DE E DF =∠=⨯=； 当E 在射线AD 上时，在2Rt DCE 中，221tan 42DCE ∠== ∴CAD DCE ∠=∠∴90DCE DCA ∠+∠=︒∴2E C AC ⊥∴2E C ===在23Rt DE F 中，232232sin 55E F DE E DF DE =⨯∠=⨯=综上所述，点E 或5或或5或 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内23. 已知：ABC．（1）尺规作图：画出ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知ABG的面积等于25cm，则ABC的面积是______ 2cm．【答案】（1）见解析（2）15【解析】【分析】本题考查了三角形重心的性质，画垂线；（1）分别作,BC AC的中线，交点即为所求；（2）根据三角形重心的性质可得23ABGABDSS=，根据三角形中线的性质可得2215cmABC ABDS S==【小问1详解】解：作法：如图所示①作BC的垂直平分线交BC于点D②作AC的垂直平分线交AC于点F③连接AD、BF相交于点G④标出点G，点G即为所求【小问2详解】解：∵G是ABC的重心，∴23 AG AD=∴23 ABGABDSS=∵ABG 的面积等于25cm ，∴27.5cm ABD S =又∵D 是BC 的中点，∴2215cm ABC ABD S S ==故答案为：15．24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．（2）在扇形统计图中，A 组所占的百分比是______，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B 和C 的概率．【答案】（1）60（2）30%，作图见解析（3）16【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率；（1）根据D 组的人数除以占比得出总人数；（2）根据总人数求得A 组的人数，进而求得占比，以及补全统计图；（3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解．【小问1详解】解：参加本次问卷调查的学生共有1220%60÷=（人）；【小问2详解】解：A组人数为6020101218−−−=人A组所占的百分比为：18100%30% 60⨯=补全统计图如图所示，【小问3详解】画树状图法如下图列表法如下图由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．∴P（选中的2个社团恰好是B和C）21 126 ==．25. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A 、B 两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A 、B 两种电动车200辆，其中A 种电动车的数量不多于B 种电动车数量的一半．当购买A 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的A 、B 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y 元与骑行时间min x 之间的对应关系如图．其中A 种电动车支付费用对应的函数为1y ；B 种电动车支付费用是10min 之内，起步价6元，对应的函数为2y ．请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A 种电动车或B 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m /min （每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km ，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写A 或B ）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x 的值______．【答案】（1）A 、B 两种电动车的单价分别为1000元、3500元（2）当购买A 种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元（3）①B ②5或40【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；（1）设A 、B 两种电动车的单价分别为x 元、y 元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；（2）设购买A 种电动车m 辆，则购买B 种电动车()200m −辆，根据题意得出m 的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解；（3）①根据函数图象，即可求解；②分别求得12,y y 的函数解析式，根据214y y −=，解方程，即可求解．【小问1详解】解：设A 、B 两种电动车的单价分别为x 元、y 元由题意得，258030500060120480000x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得10003500x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种电动车的单价分别为1000元、3500元【小问2详解】设购买A 种电动车m 辆，则购买8种电动车()200m −辆，由题意得:()12002m m ≤− 解得：2003m ≤ 设所需购买总费用为w 元，则()100035002002500700000w m m m =+−=−+25000−<，w 随着 m 的增大而减小， m 取正整数66m ∴=时，w 最少∴700000250066535000w =−⨯=最少 (元)答：当购买A 种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元【小问3详解】解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m /min ，小刘家到公司的距离为8km ， ∴所用时间为80002263003=分钟， 根据函数图象可得当20x >时，21y y <更省钱，∴小刘选择B 种电动车更省钱，故答案为：B ．②设11y k x =，将()20,8代入得，1820k = 解得：25k =∴125y x =； 当010x <≤时，26y =，当10x >时，设222y k x b =+，将()10,6，()20,8代入得，2222610820k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：22154k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴2145y x =+ 依题意，当010x <<时，214y y −= 即2645x −= 解得：5x =当10x >时，214y y −= 即124455x x +−= 解得：0x =（舍去）或40x =故答案为：5或40．26. 如图1，O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ，与AC 相交于点F ．（1）求证：AB 与O 相切．（2）若正方形ABCD1+，求O 的半径．（3）如图2，在（2）的条件下，若点M 是半径OC 上的一个动点，过点M 作MN OC ⊥交CE 于点N ．当:1:4CM FM =时，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析（2（3）5【解析】【分析】（1）方法一：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，四边形ABCD 是正方形，AC 是正方形的对角线，得出OE OG =，进而可得OG 为O 的半径，又OG AB ⊥，即可得证；方法二：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，根据正方形的性质证明()AAS AOE AOG ≌得出OE OG =，同方法一即可得证；方法三：过点O 作OG AB ⊥于点G ，连接OE ．得出四边形AEOG 为正方形，则OE OG =，同方法一即可得证；（2）根据O 与AD 相切于点E ，得出90AEO ∠=︒，由（1）可知AE OE =，设AE OE OC OF R ====，在Rt AEO △中，勾股定理得出AO =，在Rt ADC 中，勾股定理求得AC ，进而根据OA OC AC +=建立方程，解方程，即可求解．（3）方法一：连接ON ，设CM k =，在Rt OMN △中，由勾股定理得：2MN k =，在Rt CMN 中，由勾股定理得：CN =，结合题意522FC k R ====5k =，即可得出CN ；方法二：连接FN ，证明CNM CFN ∽△△得出2CN CM CF =⋅，进而可得155CM CF ==，同理可得CN 方法三：连接FN ，证明CNM CFN ∽△△得出2NC MC FC =⋅，设CM k =，则5FC k =，进而可得NC =，进而同方法一，即可求解．【小问1详解】方法一：证明：连接OE ，过点O 作OG AB ⊥于点G ， O 与AD 相切于点E ，。
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题(解析版)
二〇二三年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1. ﹣9的相反数是【】A. 9B. ﹣9C. 19 D. ﹣19【答案】A【解析】【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此﹣9的相反数是9．故选A．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义依次对各项进行分析即可得到最后结果．【详解】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转180°能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. 22434b b b += B. ()246a a = C. ()224x x −= D. 326a a a ⋅=【答案】C 【解析】【分析】根据单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，进行计算即可求解． 【详解】解：A. 22234b b b +=，故该选项不正确，不符合题意； B. ()248aa =，故该选项不正确，不符合题意；C. ()224x x −=，故该选项正确，符合题意；D. 2326a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 如图，直线12l l ∥，分别与直线l 交于点A ，B ，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若145∠=°，则2∠的度数是（ ）A. 135°B. 105°C. 95°D. 75°【答案】B 【解析】【分析】依据12l l ∥，即可得到1345∠=∠=°，再根据430∠=°，即可得出荅案． 【详解】解：如图，12l l Q ∥，1345∴∠=∠=°，又430∠=°Q ，2180341804530105∴∠=°−∠−∠=°−°−°=°，故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 5. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】首先确定该几何体左视图的小正方形数量，然后求解面积即可．【详解】解：该几何体左视图分上下两层，其中下层有3个小正方形，上层中间有1个正方形，共计4个小正方形，∵小正方体的棱长为1， ∴该几何体左视图的面积为4， 故选：C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解左视图即为从左边看到的图形是解题关键． 6. 如果关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（ ） A. 1m <− B. 1m >−且0m ≠C. 1m >−D. 1m <−且2m ≠−【答案】D 【解析】【分析】分式方程两边乘以()1x +，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：211x mx −=+ 21x m x −=+解得：1x m =+ 且1x ≠− ∵关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数， ∴10+<m ，且2m ≠− ∴1m <−且2m ≠−， 故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 7. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ） A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 女1 女2 女3 男 女1女1，女2 女1，女3 女1，男 女2 女2，女1女2，女3 女2，男 女3 女3，女1 女3，女2 女3，男 男男，女1男，女2男，女3共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种， ∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是61122=， 故选：A ．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8. 如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN V 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形， 1114444(4)(4)222x x x x =×−×−×−−−，21282x x =−+， 21(2)62x =−+， 故S 与x 之间函数关系二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6， 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．9. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm 的导线，将其全部截成10cm 和20cm 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ） A. 5种 B. 6种C. 7种D. 8种【答案】C 【解析】为【分析】设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意，得出152xy −=，进而根据,x y 为正整数，即可求解．【详解】解：设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意得，1020150x y +=，即152xy −=， ∵,x y 为正整数， ∴1,3,5,7,9,11,13x = 则7,6,5,4,3,2,1y =， 故有7种方案， 故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．10. 如图，二次函数()20y ax bx c a ++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；④关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根；⑤若点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y 轴的交点确定a 、b 、c 的正负，即可判定①和②；将点()3,0代入抛物线解析式并结合2b a =−即可判定③；运用根的判别式并结合a 、c 的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点()1,m y ，()22,y m −+的对称轴为1x =，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤． 【详解】解：Q 抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，∴00a c ><，，∵抛物线的对称轴为直线1x =， ∴12ba−=，即20b a =−<，即②错误； ∴0abc >，即①正确，Q 二次函数()20yax bx c a ++≠图像一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0930a b c ∴++=()9320a a c ∴+−+=，即30a c +=，故③正确；∵关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠，()2222444b a c k b ac ak ∆=−+=−−，00a c ><，，∴40ac −>，240ak −≤，∴无法判断2244b ac ak −−的正负，即无法确定关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠的根的情况，故④错误； ∵()212m m +−+=∴点()1,m y ，()22,y m −+关于直线1x =对称 ∵点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上， ∴12y y =，即⑤正确； 综上，正确的为①③⑤，共3个 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的()20y ax bx c a ++≠的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11. 经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游308000000人次，同比增长23.1%，数据308000000用科学记数法表示为_________． 【答案】83.0810×的【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据308000000用科学记数法表示为83.0810×． 故答案为：83.0810×．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______，使四边形ABCD 成为菱形．【答案】AD BC ∥（荅案不唯一） 【解析】【分析】根据题意，先证明四边形ABCD 是平行四边形，根据AC BD ⊥，可得四边形ABCD 成为菱形． 【详解】解：添加条件AD BC ∥ ∵AD BC =，AD BC ∥ ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形． 添加条件AB CD = ∵AD BC =，AB CD = ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形． 添加条件OB OD = ∵AC BD ⊥，∴90AOD COB ∠=∠=° ∵AD BC =，OB OD =，∴()Rt Rt HL AOD COB V V ≌ ∴AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形． 添加条件ADB CBD ∠=∠ 在AOD △与COB △中，ADB CBD AOD COB AD BC ∠=∠∠=∠ =∴AOD COB △≌△ ∴AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形．故答案为：AD BC ∥（AB CD =或OB OD =或ADB CBD ∠=∠等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 13.在函数12yx +−中，自变量x 的取值范围是______． 【答案】1x >且2x ≠ 【解析】【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x −>−≠，即可求解． 【详解】解：依题意，10,20x x −>−≠ ∴1x >且2x ≠， 故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．14. 若圆锥的底面半径长2cm ，母线长3cm ，则该圆锥的侧面积为______2cm （结果保留π）． 【答案】6π 【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式πS rl =侧，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：2236cm S rl πππ==××=侧．故答案为：6π．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式． 15. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x =≠图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x=−图像的一支上，点C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 是面积为9的正方形，则实数k 的值为______．【答案】6− 【解析】【分析】如图：由题意可得,22ODAE OCBEk k S k k S ==−==−，再根据9ODAE OCBE S S +=进行计算即可解答．【详解】解：如图：∵点A 在反比例函数()0k y k x =≠图像的一支上，点B 在反比例函数2ky x=−图像的一支上， ∴,22ODAE OCBE k k S k k S ==−==− ∵四边形ABCD 是面积为9的正方形，∴9ODAE OCBE S S +=，即92kk −−=，解得：6k =−． 故答案为6−．【点睛】本题主要考查了反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为k 的绝对值．16. 矩形纸片ABCD 中，3AB =，5BC =，点M 在AD 边所在的直线上，且1DM =，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点M 重合，折痕与AD ，BC 分别交于点E ，F ，则线段EF 的长度为______．【答案】154 【解析】【分析】分点M 在D 点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠，∴,OM OB EF BM =⊥，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD BC ∥∴,M OBF MEO BFO ∠=∠∠=∠， 又OM OB = ∴OEM OFB V V ≌ ∴OF OB =，当M 点在D 点的右侧时，如图所示，设,BM EF 交于点O ，∵3AB =，5BC =，1DM =，∴Rt ABM V 中，BM则12OM BM ==， ∵tanEO AB M OM AM ==3162==，∴12EO OM =∴2EF OE OM ===， 当M 点在D 点的左侧时，如图所示，设,BM EF 交于点O ， ∵3AB =，5BC =，1DM =，∴Rt ABM V 中，5BM则1522OM BM ==， ∵tan EO AB EMO OM AM ∠==34=， ∴34EO OM =∴315224EF OE OM ===，综上所述，EF 的长为：154，故答案为：154． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键．17. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，4OA OB ==，连接AB ，过点O 作1OA AB ⊥于点1A ，过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B ；过点1B 作12B A AB ⊥于点2A ，过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B ；过点2B 作23B A AB ⊥于点3A ，过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B ；…；按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为______．【答案】20212021114,22−【解析】【分析】根据题意，结合图形依次求出123,,A A A 的坐标，再根据其规律写出2023A 的坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，4OA OB ==，OAB ∴V 是等腰直角三角形，45OBA ∠=°，1OA AB ⊥Q ，1OA B ∴V 是等腰直角三角形，同理可得：1111,OA B A B B V V 均为等腰直角三角形，1(2,2)A ∴，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形， 依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A−−由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22−． 故答案为：20212021114,22 −．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标，找出其坐标的规律．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18. （11014sin 30(4)12π− −°++−−；（2）分解因式：3221218a a a −+．【答案】（1；（2）()223a a −． 【解析】【分析】（1）先化简各数，然后再进行计算即可；（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】（1）解：原式114212=−×++=（2）解：原式()2269a a a =−+ ()223a a −．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，实数的运算，特殊角的三角函数值，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19. 解方程：2320x x −+=． 【答案】11x =，22x =【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解． 【详解】解：2320x x −+= (1)(2)0x x −−=∴10x −=或20x −= ∴11x =，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．20. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t （单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A 组“045t <≤”；B 组“4560t <≤”；C 组“6075t <≤”；D 组“7590t <≤”；E 组“90t >”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A 组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在______组内； （3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？【答案】（1）50，图见解析 （2）36，C （3）1920人 【解析】【分析】（1）用条形统计图中C 组人数除以扇形统计图中C 组占比，计算求解可得样本容量，总人数与其他各组人数的差即为B 组人数，然后补全统计图即可； （2）根据536050°×计算求解A 组的圆心角，然后根据中位数的定义求解判断即可； （3）2000乘以该校随机抽取部分学生完成书面作业不超过90分钟的学生人数的占比，计算求解即可． 【小问1详解】解：由题意知，样本容量135026=％， B 组人数为5051320210−−−−=（人）， 补全条形统计图如下：【小问2详解】为解：由题意知，在扇形统计图中，A 组的圆心角为53603650°×=°， ∵样本容量为50，∴将数据排序后，第25个和第26个数据的平均数为中位数， ∵51015+=，5101328++=， ∴本次调查数据的中位数落在C 组内， 故答案为：36°，C ； 【小问3详解】51013202000192050+++×=（人）,答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 21. 如图，在Rt ABC △中，90B?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是斜边AC 上一点，以AE 为直径的O e 经过点D ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）求证：BC 是O e 的切线；（2）若5BD =，tan ADB ∠，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2）509p【解析】【分析】（1）连接OD ，OAD ODA ∠=∠，由角平分线的定义可得OAD BAD ∠=∠，从而可得ODA BAD ∠=∠，再根据平行线的判定可得OD AB ∥ ，从而可得90ODC B ∠=∠=°，再根据切线的判定即可得出结论；（2）连接OF ，DE ，由90B??，tan ADB ∠，可得60ADB∠=°，30BAD ∠=°，再由直角三角形的性质可得210AD BD ==，再由圆周角定理可得90ADE ∠=°，根据角平分线的定义可得30DAE BAD ∠=∠=°，利用锐角三角函数求得AE =，再由直角三角形的性质可得12OAAE== ，证明AOF V 是等边三角形，可得60AOF ∠=°，从而证明ODF △是等边三角形，可得OF 垂直平分AD ，再由12BD AD =，可得ADF AOF S S =△△，从而可得OAF S S =阴影扇形，再利用扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接OD ，∵OA ，OD 是O e 的半径， ∴OA OD =， ∴OAD ODA ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠， ∴OAD BAD ∠=∠， ∴ODA BAD ∠=∠， ∴OD AB ∥ ， ∴90ODC B ∠=∠=°， ∴OD BC ⊥于点D ， 又∵OD 为O e 的半径， ∴BC 是O e 的切线． 【小问2详解】 解：连接OF ，DE ，∵在Rt ABD V 中，90B??，tan ADB ∠，∴60ADB ∠=°，30BAD ∠=°，∵5BD =， ∴210AD BD ==， ∵AE 是O e 的直径， ∴90ADE ∠=°，∵AD 平分BAC ∠， ∴30DAE BAD ∠=∠=°， 在Rt ADE V 中，10AD =，∴=cos30AD AE =°∴12OAAE== ， ∵AD 平分BAC ∠， ∴260BAC BAD ∠=∠=°， ∵OA OF =，∴AOF V 是等边三角形， ∴60AOF ∠=°， ∵OD AB ∥， ∴60DOF ∠=°， ∴ODF △是等边三角形， ∴OF AD ⊥， 又∵OA OD =， ∴OF 垂直平分AD ， ∵90B ?，30BAD ∠=°，∴12BD AD =， ∴ADF AOF S S =△△，∴260350=3609OAFS S ππ×= =阴影扇形． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．22. 一辆巡逻车从A 地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B 地，25小时后，一辆货车从A 地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B 地，货车到达B 地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A 地．巡逻车、货车离A 地的距离y （千米）与货车出发时间x （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A ，B 两地之间的距离是______千米，=a ______； （2）求线段FG 所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）60，1（2）60120y x =−+ （3）511小时或1917小时或2517小时 【解析】【分析】（1）根据货车从A 地到B 地花了34小时结合路程=速度×时间即可求出A 、B 两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a 的值； （2）利用待定系数法求解即可；（3）分两车从A 前往B 途中相遇前后和货车从B 往A 途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：380604×=千米， ∴A ，B 两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B 地填装货物耗时15分钟， ∴3151460a =+=， 故答案为：60，1 【小问2详解】解：设线段FG 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠ 将()1,60F ，()2,0G 代入y kx b =+，得 6020k b k b +=+=解得60120k b =−=， ∴线段FG 所在直线的函数解析式为60120y x =−+ 【小问3详解】解：设货车出发x 小时两车相距15千米，由题意得，巡逻车的速度为2602255÷+=千米/小时 当两车都在前往B 地的途中且未相遇时两车相距15千米，则22515805x x+−=， 解得111x =−（所去）； 当两车都在前往B 地的途中且相遇后两车相距15千米，则22515805x x++=， 解得511x =； ∵2251356015455×+=<−=， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B 地前往A 地途中且两车未相遇时相距15千米，则()2602515160521x x +++−= −， 解得1917x =； 当货车从B 地前往A 地途中且两车相遇后相距15千米，则()22560120155x x+−−+=， 解得2517x =；综上所述，当货车出发511小时或1917小时或2517小时时，两车相距15千米． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 23. 综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在ABC V 和AEF △中，AB AC =，AE AF =，30BAC EAF ∠=∠=°，连接BE ，CF ，延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______，BDC ∠=______°； （2）类比探究：如图2，在ABC V 和AEF △中，AB AC =，AE AF =，120BAC EAF ∠=∠=°，连接BE ，CF ，延长BE ，FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，ABC V 和AEF △均为等腰直角三角形，90BAC EAF ∠=∠=°，连接BE ，CF ，且点B ，E ，F 在一条直线上，过点A 作AM BF ⊥，垂足为点M ．则BF ，CF ，AM 之间的数量关系：______；（4）实践应用：正方形ABCD 中，2AB =，若平面内存在点P 满足90BPD ∠=°，1PD =，则ABP S =△______．【答案】（1）BE CF =，30（2）BE CF =，60BDC ∠=°，证明见解析 （3）2BF CF AM =+（4【解析】【分析】（1）根据已知得出BAE CAF ∠=∠，即可证明BAE CAF V V ≌，得出BE CF =，ABE ACF ∠=∠，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明()SAS BAE CAF △≌△，根据等腰直角三角形的性质得出12AM EF EM MF ===，即可得出结论； （4）根据题意画出图形，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ，延长BP 至M ，使得1PMDP ==，证明ADP BDM V V ∽，得出PA BM =，勾股定理求得PB ，进而求得BM ，根据相似三角形的性质即可得出1PA +，勾股定理求得,BQ PQ ，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】解：∵30BAC EAF ∠=∠=°， ∴BAE CAF ∠=∠， 又∵AB AC =，AE AF =， ∴BAE CAF V V ≌，∴BE CF =，ABE ACF ∠=∠ 设,AC BD 交于点O ，∵AOD ACF BDC ABE BAO ∠=∠+∠=∠+∠ ∴30BDC BAO BAC ∠=∠=∠=°， 故答案为：BE CF =，30． 【小问2详解】结论：BE CF =，60BDC ∠=°；证明：∵120BAC EAF ∠=∠=°，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠， 又∵AB AC =，AE AF =， ∴BAE CAF V V ≌ ∴BE CF =，AEBAFC ?∵120EAF ∠=°，AE AF =， ∴30AEF AFE ∠=∠=°，∴()303060BDC BEF EFD AEB AFC ∠=∠−∠=∠+°−∠−°=°， 【小问3详解】2BF CF AM =+，理由如下，∵90BAC EAF ∠=∠=°，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠， 即BAE CAF ∠=∠，又∵ABC V 和AEF △均为等腰直角三角形∴,AB ACAE AF ==， ∴()SAS BAE CAF △≌△， ∴BE CF =，在Rt V AEF 中，AM BF ⊥，∴12AMEF EM MF ===， ∴2BF BE EF CF AM =+=+； 【小问4详解】 解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ， 延长BP 至M ，使得1PM DP ==， 则MDP V 是等腰直角三角形，45MDP ∠=°∵45CDB ∠=°,∴90MDB MDP PDC CDB PDC ∠=∠+∠+∠=°+∠ADP =∠，∵AD DP DB DM ==， ∴ADP BDM V V ∽∴PA BM =∴PA BM =， ∵2AB =，在Rt DPB V 中，PB =∴1BM BP PM =++∴1PA + 过点P 作PQ AB ⊥于点Q ， 设QB x =，则2AQ x =−，在Rt APQ △中，222PQ AP AQ =−， 在Rt PBQ △中，222PQ PB BQ =−∴2222AP AQ PB BQ −=−∴()22222x x −−=−解得：x =BQ =，设,PQ BD 交于点G ，则BQG V 是等腰直角三角形，∴QG QB ==在1Rt ,Rt DPB DPB V V 中，1DP DP DB DB ==∴1Rt Rt DPB DPB V V ≌∴1PDB PDB ∠=∠ 又11PD PD ==，DG DG = ∴1PGD PDG V V ≌ ∴145PGD PGD ∠=∠=° ∴190PGP ∠=°， ∴1PG AB ∥∴111222ABP S AB QG =×=×=V在Rt PQB △中，PQ ===∴11222ABP S AB PQ =×=×=V 综上所述，ABP S =△． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键． 24. 综合与探究如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．（1）求点M 坐标及抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标； （3）点D 是线段BC (包含点B ，C )上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM 于点N ，若以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似，请直接写出点Q 的坐标；（4）将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A ′，点C 的对应点为点C ′，在抛物线平移过程中，当MA MC ′′+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，MA MC ′′+的最小值为______．【答案】（1）()0,2M −，2722y x x =−++ （2）()2,5P （3）11,02Q−，23,52Q的（4）1181,1216−， 【解析】【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++； （2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p −++，1,22E p p−+，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）由90COM ∠=°可知，要使点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似，则以点Q ，N ，C 为顶点的三角形也是直角三角形，从而分90CQN ∠=°和90QCN ∠=°两种情况讨论，①当90CQN ∠=°，可推导B 与点Q 重合，CQN COM △∽△，即此时符合题意，利用求抛物线与x 轴交点的方法可求出点Q 的坐标；②当90QCN ∠=°时，可推导QCN COM △∽△，即此时符合题意，再证明QDC COM △∽△，从而得到2QD DC =，再设点Q 的横坐标为q ，则27,22Q q q q−++，(),0D q ，从而得到()272232q q q −++=−，解得q 的值，从而得到点Q 的坐标，最后综合①②即可；（4）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M ′，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ′′′′==，MA MC ′′+的值最小就是M A M C ′′+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ′′，连接AC ′′交直线=2y −于点M ′，连接M C ′则此时M A M C ′′+取得最小值，即为AC ′′的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ′′的解析式，从而确定M ′的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【小问1详解】解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =， ∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得21640c b c =−++=解得722b c= =∴抛物线的解析式为2722y x x =−++ 【小问2详解】解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx mk =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得 240m k m =+= ，解得122k m =−= ， ∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p <<则27,22P p p p −++ ，1,22E p p −+， ∴2271224(04)22PE p p p p p p=−++−−+=−+<<∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P 【小问3详解】13,52Q ，21,02Q −， 补充求解过程如下：∵在COM V 中，90COM ∠=°，以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似， ∴以点Q ，N ，C 为顶点三角形也是直角三角形， 又∵QD x ⊥轴，直线QD 交直线CM 于点N ， ∴90CNQ ∠≠°，即点N 不与点O 是对应点．故分为90CQN ∠=°和90QCN ∠=°两种情况讨论： ①当90CQN ∠=°时，由于QN x ⊥轴， ∴CQ y ⊥轴，即CQ 在x 轴上， 又∵点Q 在抛物线上， ∴此时点B 与点Q 重合， 作出图形如下：此时90CQN COM ∠=∠=°， 又∵QCN OCM ∠=∠ ∴CQN COM △∽△，即此时符合题意，令27202y x x =−++=， 解得：121,32x x =−=(舍去) ∴点Q 的坐标，也即点B 的坐标是11,02Q−． ②当90QCN ∠=°时，作图如下：的∵QD x ⊥轴，90COM ∠=° ∴QD OM ∥，∴CNQ OMC ∠=∠， ∵ CNQ OMC ∠=∠，90QCN COM ∠=∠=°， ∴QCN COM △∽△，即此时符合题意， ∵QCN COM △∽△，∴CQN OCM ∠=∠，即DQC OCM ∠=∠ ∵DQC OCM ∠=∠，QDC COM ∠=∠， ∴QDC COM △∽△∴422QD CO DC OM ===，2QD DC = 设点Q 的横坐标为q ，则27,22Q q q q−++，(),0D q ， ∴2722QD q q =−++，3CD q =− ∴()272232q q q −++=−， 解得：123,32q q ==(舍去)， ∴27252q q −++=，∴点Q 的坐标是23,52Q综上所述：点Q 的坐标是11,02Q − ，23,52Q；【小问4详解】1181,1216− ，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M ′，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ′′′′==，∴MA MC ′′+的值最小就是M A M C ′′+最小值，显然点M ′在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ′′，连接AC ′′交直线=2y −于点M ′，连接M C ′则此时M A M C ′′+取得最小值，即为AC ′′的长度，∵点C 关于直线=2y −对称的对称的点是点C ′′，()4,0C∴()4,4C ′′−，∴()()min min MA MC M A M C AC ′′′′′′+=+=， 设直线AC ′′的解析式是：11y k x b =+ 将点()0,2A ，()4,4C ′′−代入得：111244b k b = +=− 解得：11322k b =− = 直线AC ′′的解析式是：322y x =−+ 令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M′− ， ∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x =−++=−−+， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316 − 即1181,1216 −故答案是：1181,1216 −， 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．。
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷及答案解析
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a44．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（）A．6B．7C．8D．96．（3分）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣17．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种9．（3分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝12，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为x （0＜x ＜12），正方形EFGH 和等腰Rt △ABC 重合部分的面积为y ．下列图象能反映y 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的图象与x 轴交于（﹣1，0），（x 1，0），其中2＜x 1＜3．结合图象给出下列结论：①ab ＞0；②a ﹣b ＝﹣2；③当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）的另一个根是﹣；⑤b 的取值范围为1＜b ＜．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y 轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝．13．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是．14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm．15．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为．16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP 的长为．17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：+|﹣4cos60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；（2）分解因式：2a3﹣8ab2．19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：组别A B C D成绩（x/分）60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数（人）m94n16【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是°；（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积．22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：（1）a＝米/秒，t＝秒；（2）求线段MN所在直线的函数解析式；（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）23．（12分）综合与实践如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是；（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则＝；（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长度．24．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为．2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本选项不符合题意；B.5a•2a＝10a2，故本选项不符合题意；C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；D．（﹣a2）2＝a4，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．4．【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，∴∠2＝∠4＝40°．故选：B．【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的相等．5．【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图．【解答】解：左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故左视图的面积为3；俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4；所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．故选：B．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．6．【分析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，分母不为0，列出关于m 的不等式，解不等式即可．【解答】解：，x+1﹣mx＝0，x﹣mx＝﹣1，（1﹣m）x＝﹣1，，∵关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，∴m﹣1＜0且m﹣1≠﹣1，解得：m＜1且m≠0，故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：篮球足球排球羽毛球篮球（篮球，篮球）（篮球，足球）（篮球，排球）（篮球，羽毛球）足球（足球，篮球）（足球，足球）（足球，排球）（足球，羽毛球）排球（排球，篮球）（排球，足球）（排球，排球）（排球，羽毛球）羽毛球（羽毛球，篮球）（羽毛球，足球）（羽毛球，排球）（羽毛球，羽毛球）共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率为．故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，根据计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，列出二元一次方程，求出正整数解即可．【解答】解：设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，依题意得：8x+10y＝200，整理得：y＝20﹣x，∵x、y均为正整数，∴或或或，∴购买方案有4种，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．【分析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．再运用以上方法基本上可以快速定位答案．【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要分两部分，①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有AB符合；②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项A符合．故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握此类问题的判断方法是快速而正确解题的关键．10．【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2＜x1＜3得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤．【解答】解：由图象可知，﹣＞0，∴ab＜0，故结论①错误；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，∴＜﹣＜1，∵抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根，∴﹣1•x1＝，∴x1＝﹣，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是﹣，故结论④正确；∵a﹣b+2＝0，∴a＝b﹣2，∴y＝（b﹣2）x2+bx+2，∵2＜x1＜3，∴，解得1＜b＜，故结论⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，掌握二次函数的性质以及函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：7416.7万＝74167000＝7.4167×107，故答案为：7.4167×107．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，进而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，∴∠MOH＝45°，∴2a﹣1＝a+1，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，解得：x＞﹣3且x≠﹣2，故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．14．【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设扇形的母线长为l cm，∵圆锥的底面半径是1cm，∴圆锥的底面周长是2πcm，即侧面展开图扇形的弧长是2πcm，则＝2π，解得：l＝4，由勾股定理得：圆锥的高＝＝（cm）．故答案为：．【点评】本题考查的是圆锥的计算，认识平面图形和勾股定理，掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等是解题的关键．15．【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，∵B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，∴OC•OD＝3OC＝3，∵ABCO是平行四边形，∴AB＝OC＝1，∴AD＝2，∴A（﹣2，3），∵点A在反比例函数图象上，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积计算是关键．16．【分析】分三种情况讨论，一是∠BB′C＝90°，可由∠PB′B＝∠PBB′，推导出∠PB′C＝∠PCB′，则B′P＝CP＝BP＝BC＝2；二是∠BCB′＝90°，则点B′在DC上，求得B′D＝＝3，则B′C＝2，由勾股定理得22+CP2＝（4﹣CP）2，求得CP＝；三是由∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，说明∠B′BC≠90°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝∠ACB＝90°，由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP，如图1，△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，∴∠PB′C+∠PB′B＝90°，∠PCB′+∠PBB′＝90°，∵∠PB′B＝∠PBB′，∴∠PB′C＝∠PCB′，∴B′P＝CP，∴CP＝BP＝BC＝×4＝2；如图2，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，∵∠BCB′＝∠C＝90°，∴点B′在DC上，∴B′D＝＝＝3，∴B′C＝DC﹣B′D＝5﹣3＝2，∵B′C2+CP2＝BP′2，且B′P＝BP＝4﹣CP，∴22+CP2＝（4﹣CP）2，解得CP＝；∵∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，∴∠B′BC≠90°，综上所述，线段CP的长为2或，故答案为：2或．【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等角的余角相等、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类是解题的关键．17．【分析】根据所给滚动方式，发现每滚动三次，出现一个花心，再根据点A n坐标变化的规律即可解决问题．【解答】解：由题知，∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，∴A1O＝A1C′，∴点A1在OC′的垂直平分线上．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，在Rt△A1OB中，tan30°＝，∴A1B＝，∴点A1的坐标为（1，）．依次类推，点A2的坐标为（），点A3的坐标为（），…，∴点A n的坐标为（）（n为正整数）．又∵每滚动三次，出现下一个花心，∴2024÷3＝674于2，则674+1＝675，∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．当n＝675时，点A675的坐标为（1349+，），即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1349+674，）．故答案为：（1349+674，）．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及能根据所给滚动方式发现点A n坐标变化的规律是解题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．【分析】（1）利用算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；（2）利用提公因式法及公式法因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝2+|﹣4×|﹣1+4＝2+2﹣1+4＝7；（2）原式＝2a（a2﹣4b2）＝2a（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查实数的运算，算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，利用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．19．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】（1）先有B人数及其所占百分比求出被调查总人数，再用总人数乘以A的百分比求出m的值，再根据各组人数之和等于总人数求出n的值；（2）根据m和n的值即可补全条形统计图；（3）用360°乘以C组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；（4）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得．【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为94÷47%＝200（人），∴m＝200×25%＝50，∴n＝200﹣50﹣94﹣16＝40；故答案为：50，40；（2）补全条形统计图如图所示：（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°×＝72°；故答案为：72；（4）2000×＝560（名），答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名．【点评】本题考查条形统计图，频数（率）分布表，用样本估计总体及扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝OD＝OC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，∴∠OCF＝∠E＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵sin∠CFB＝，∴∠CFB＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠COF＝∠CFO＝45，∴CF＝OC＝＝4，∴∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠COD＝45°，∴CD＝OD＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积＝﹣×2×2＝2π﹣4．【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22．【分析】（1）根据图形计算即可求解；（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），得到M（13，48），利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．【解答】解：（1）由题意得甲无人机的速度为a＝48÷6＝8（米/秒），t＝39﹣19＝20（秒）．故答案为：8，20；（2）由图象知，N（19，96），∵甲无人机的速度为8米/秒，∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒），∴甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），6+7＝13（秒），∴M（13，48），设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx+b，将M（13，48），N（19，96）代入得，解得∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x﹣56．（3）由题意A（0，20），B（6，48），同理线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x+20，线段BM所在直线的函数解析式为y＝48，当0≤t≤6时，由题意得|4x+20﹣8x|＝12，解得x＝2或x＝8（舍去），当6＜t≤13时，由题意得|4x+20﹣48|＝12，解得x＝10或x＝4（舍去），当13＜t≤19时，由题意得|8x﹣56﹣4x﹣20|＝12，解得x＝16或x＝22（舍去），综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．【点评】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．23．【分析】（1）利用“一线三垂直“证△ABC≌△EBD（AAS）即可得证；（2）证△DEF∽△CAF可求EF长度，然后即可求出△BDF的面积；（3）要求的值，有两个方向，①把BN和BC的值求出来，这题BC很好求，但是BN不好求，可以建立坐标系求解析式，再求交点N坐标，最后利用两点距离公式求BN的长度；②根据题干给我们的思路建立一线三直角得相似进行转化即可，利用△EMN∽△EAC和△BMN∽△BED建立关于MN的方程，求出MN的长度，最后利用△BMN∽△CAB求值即可．（4）由已知条件过P作BC垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解．另外方法二的正切和差角公式可以作为课外拓展知识，在这种直接写答案的题型中可以用下，快速找出答案．【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，∵∠A＝∠E＝90°，∴△ABC≌△EBD（AAS），∴AB＝DE；故答案为：AB＝DE．（2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，∵∠A＝∠E＝90°，∴△ABC≌△EBD（AAS），∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝2，AC＝6，∴DE＝2，BE＝6，∴AE＝AB+BE＝8，∵∠DEB+∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，∴，即，∴EF＝4，∴BF＝BE+EF＝10，＝BF•DE＝10．∴S△BDF（3）方法一：如图，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立坐标系，由AC＝6，AE＝8，DE＝2，BD＝2，∴C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B、D代入得，，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣，同理可求直线CE解析式为：y＝﹣x+6，令x﹣＝﹣x+6，解得x＝，∴y＝，即N（，），∴利用两点距离公式可得BN＝，∵BC＝＝2，∴＝＝．故答案为：．方法二：如图，过N作NM⊥AE于点M，由△EMN∽△EAC得，，即，∴EM＝MN，由△BMN∽△BED得，，即，解得MN＝，由△BMN∽△CAB得，＝．故答案为：．（4）方法一：①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作PQ⊥BC于点Q，∵tan∠BCP＝＝，tan∠ABC＝＝＝3，∴PQ＝CQ，PQ＝3BQ，设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a，∴BC＝BQ+CQ＝11a，∵BC＝＝2＝11a，∴a＝，∴BP＝＝2a＝，∴AP＝BP﹣AB＝；②当点P在点B右侧时，如图所示，作PG⊥BC交BC延长线于点G，tan∠BCP＝＝，tan∠PBG＝tan∠ABC，即，剩下思路与第一种情况方法一致，求得AP＝．综上，AP的长度为或．方法二：补充知识：正切和差角公式：tan（α+β）＝，tan（α﹣β）＝．①当点P在点B左侧时，因为tan∠BCA＝，tan∠BCP＝，所以此时点P在A的左侧，如图所示，tan∠BCP＝tan（∠BCA+∠ACP）＝＝＝，解得tan∠ACP＝，即＝，∵AC＝6，∴AP＝．②当点P在点B右侧时，如图所示，tan∠ACP＝tan（∠BCA+∠BCP）＝＝＝，即，∵AC＝6，∴AP＝．综上，AP的长度为或．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握以上基础知识和添加合适的辅助线是解题关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则x F﹣x E＝x A﹣x C，即可求解；（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM ＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝﹣2，则a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设点D（x，0），由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；（3）设点P（x，x2﹣x﹣2），当y＝x2﹣x﹣2＝x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2﹣x﹣2），∵E、C、F、A共线，EF＝AC，则x F﹣x E＝x A﹣x C，即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，解得：x＝2，即点P（2，﹣3）；（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为＝，故答案为：．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题。
2023年黑龙江鸡西中考数学试题试卷及答案
2023年黑龙江鸡西中考数学试题试卷及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A.B. 22(2)4a a -=-222()a b a b -=-C.D.()()2224m m m -+--=-()257a a =2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） 1,0,3,5,,2,3x --A.B. 5C. 和5D. 1和33-3-5. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花100m 50m 卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）23600mA.B. C. 或 D.5m 70m 5m 70m 10m 6. 已知关于x 的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） 122m xx x+=--mA. B. C. 且 D. 且2m ≤2m ≥2m ≤2m ≠-2m <2m ≠-7. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A ，B ，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种8. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作ABC A AB O BC x ∥ky x=,A B C 轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）CD y ∥D 12BCD S =A kA.B.C.D.6-12-92-9-9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠ABCD 5,:1:4AD OA OD ==ABCD OE 到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）1OD B C y 1C EA.B.C.D.()1,2()1,2-()51,2-()15,2-10. 如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿ABCD ,E F ,AB BC AF DE ⊥G ABF △翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下AF ,AMF AM △DE P BD AFH ,,,HM CM DM BM 列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点AF DE =BM DE ∥C M FM ⊥BHMF E运动到的中点，；⑤．（ ）AB tan 22BHF ∠=2EP DH AG BH ⋅=⋅A. ①②③④⑤B. ①②③⑤C. ①②③D. ①②⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11. 据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________． 12. 函数y=中，自变量x 的取值范围是____________．3x +13. 如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形ABCD AC BD O 是正方形（填一个即可）ABCD14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．x 501x x m +>⎧⎨-≤⎩m 16. 如图，是的直径，切于点A ，交于点，连接，若，则AB O A PA O A PO O A C BC 28B ∠=︒__________．P ∠=︒17. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________．13cm 265cm πcm 18. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋Rt ACB △30,2BAC CB ∠=︒=E AB Rt ABC △A 转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程Rt AFD △C B D F CF ,EF CE 中，面积的最大值是__________．CEF △19. 矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若ABCD 3,9AB AD ==ABCD A B E 是直角三角形，则点到直线的距离是__________．ADE V E BC 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A 在直线上，顶点B 在x 轴上，垂直ABC A 13:3l y x =AB x 轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x22OB =C 2:3l y x =2BC l ⊥A 2l 1C 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的1B 1B 11A B 1l 1A 11A C 111A B C △1A 2l 垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第二个2C 2B 2B 22A B 1l 2A 22A C ；如此下去，……，则的面积是__________．222A B C △202320232023A B C A三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：，其中． 2222111m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭tan 601m =︒-22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．ABC A ()()2,1,1,2A B --()3,3C -（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．ABC A 111A B C △111A B C △（2）请画出关于轴对称的．ABC A y 222A B C △（3）将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果222A B C △O 90︒333A B C △22A C 保留）．π23. 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．23y ax bx =++x ()()3,0,1,0A B -y C（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请P 12PBC ABC S S =A A P 说明理由．24. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A ：优秀，B ：良好，C ：合格，D ：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C 组对应的扇形圆心角度数是__________； ︒（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．25. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地480km 前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货120km 车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲2h 3地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问()km y ()h x 题：（1）图中的值是__________；a （2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系()km y ()h x 式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．12km 26. 如图①，和是等边三角形，连接，点F ，G ，H 分别是和的中点，连ABC A ADE V DC ,DE DC BC 接．易证：．,FG FH 3FH FG =若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是ABC A ADE V 90BAC DAE ∠=∠=︒ABC A ADE V 等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写120BAC DAE ∠=∠=︒FH FG 出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A ，B 两款文化衫，每件A 款文化衫比每件B 款文化衫多10元，用500元购进A 款和用400元购进B 款的文化衫的数量相同． （1）求A 款文化衫和B 款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A 款七折优惠，B 款每件让利m 元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m 值．28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x 轴上，，的长是一元二次AOCB OC 60AOC ∠=︒OC 方程的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线于点D ，直线分别交x 轴和y 轴于点24120x x --=OB AD F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位OD 长度的速度沿向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t 秒．FE（1）求直线的解析式．AD （2）连接，求的面积S 与运动时间t 的函数关系式．MN MDN △（3）点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 【11题答案】 【答案】 75.69910⨯【12题答案】 【答案】 3x ≥-【13题答案】【答案】或 AB BC =AC BD ⊥【14题答案】 【答案】##0.6 35【15题答案】【答案】## 32m -≤<-23m ->≥-【16题答案】 【答案】34 【17题答案】 【答案】12 【18题答案】【答案】## 43+34+【19题答案】【答案】6或或 322+322-【20题答案】 【答案】 404623三、解答题（满分60分） 【21题答案】 【答案】，原式 1m m +333=-【22题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）134π【23题答案】【答案】（1）223y x x =--+（2）存在，点的坐标为或 P ()2,3-()3,12-【24题答案】 【答案】（1）40 （2）见解析 （3） 90（4）220人 【25题答案】 【答案】（1）120 （2） 60y x =（3）或 12517h 13117h 【26题答案】 【答案】图②中，图③中，证明见解析2FH FG =FH FG =【27题答案】【答案】（1）A 款文化衫每件50元，则B 款文化衫每件40元， （2）一共有六种购买方案（3） 5m =【28题答案】 【答案】（1）； 3433y x =-+（2）；()()223912302323912323432t t t S t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩（3）存在，点Q 的坐标是或．333,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()6,4310。
2024年黑龙江鸡西中考数学试题及答案
2024年黑龙江鸡西中考数学试题及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列计算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. ()527a a =C. ()339328a b a b -=-D.()()22a b a b a b -++=-【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；D 、 ()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A. 1B. 0.8C. 0.6D. 0.5【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014=⨯+++0.5=故选：D ．5. 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m ≤ B. 4m ≥ C. 4m ≥-且2m ≠ D. 4m ≤且2m ≠【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6. 已知关于x 的分式方程2333x x kx -=--无解，则k 的值为（ ）A. 2k =或1k =- B. 2k =- C. 2k =或1k = D. 1k =-【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，整理得，(2)9k x -=-，的当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =-，所以关于x 的分式方程2333x x kx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8. 如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，可得6B y OD a==，2B x a =，则有32BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽，∴AF AE EF OD OE DE==，∵E 为AO 的中点，∴AE OE =，∴1AF AE EF OD OE DE===，∴AF OD =，EF DE =∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a==，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=，∴11639 4.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．9. 如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（ ）【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin MAC OBC ∠=∠=sin MC AC MAC =∠=，tan MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===，21tan 42OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC∠=∠∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠===，∴sin MC AC MAC =∠=，∴BM BC MC =-=-=，∴1tan 2MN BM OBC =∠==故选：C ．10. 如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin NBC ∠=BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】连接DG，可得BD AB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BD BM AB ==，可判断④；根据相似有212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求出BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒，BD AB =90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BNBDBM AB ==，∴BN =，故④正确，∴212ABM DBN S AB S BD⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==-，∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H HA ABC AD ==，∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽，∴13HMAHBM BC ==，∴13AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==，∴32HM BM BH BM BM+==，∴23BM BH ==，∵BN =，∴BN ==，∵2BC =，∴在Rt BNC △中，23NC ==，sin NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．【答案】121.390810⨯【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12. 在函数y =中，自变量x 的取值范围是________．【答案】3x ≥##3x≤【解析】【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13. 已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．【答案】AC BD =或AB BC⊥【解析】【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．【答案】35【解析】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=，故答案为：35．15. 关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．【答案】102a -≤<【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤，由102x a ->，得：2x a >， 不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴-≤<，解得102a -≤<，故答案为：102a -≤<．16. 如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．【答案】65【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵ AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒-︒=︒，故答案为：65．17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．【答案】90【解析】【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=，解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．【答案】12+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==，利用三角形中位线定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ===，∴BM ===，∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=，故答案为：12+．19. 矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．【答案】52或72或10【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD∠∠∴3tan =tan =4CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯=∴97822PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52B C PC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为52或72或10．故答案为：52或72或10．20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．【答案】()1,3【解析】【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====,OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴，由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是5,32⎛ ⎝；7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是52⎫⎪⎪⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是12⎛ ⎝；13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组，2024121688÷= ，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos 60m =︒．【答案】1m -+，12【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m-+=⋅+--1m =-+，当1cos 602m =︒=时原式12=．22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）【答案】（1）作图见解析，()12,3B（2）作图见解析，()23,0B -（3【解析】【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB =，再由旋转角等于90︒，利用弧长公式即可求出．【小问1详解】解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，小问2详解】如图，22AB C 为所求；()23,0B -，【小问3详解】AB ==，点B 旋转到点2B=．23. 如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+（2）存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：【（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，103b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23b c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=--+【小问2详解】解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=解得，123,1x x =-=，∴()3,0A -，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =-=+∴APC APE AOCPCOE S S S S =+- 梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A50100x <≤3B 100150x <≤m C150200x <≤20D200250x <≤14E 250300x <≤5（1）频数分布表中m = ，扇形统计图中n = ．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C （3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A 组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C 组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【小问1详解】解：被抽取的学生数为：36%50÷=(人)故503201458m =----=（人），%205040%n =÷=，即40n =，故答案为：8，40；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，382526+<< ，5142526+<<，∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C 组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组，答案为：C ；【小问3详解】解：14560022850+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25. 甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h ，乙货车的速度是 km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】（1）30，40（2）EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤（3）经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．【小问1详解】解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，所以甲货车到达配货站之前的速度是105 3.5=30÷（km/h ）∴乙货车到达配货站路程为225105=120(km)-，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240km ，总时间是6h ，∴乙货车速度240640km /h =÷=，故答案为：30；40【小问2详解】甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象可知(4,105)E 和点(5.5,225)F 设(4 5.5)EF y kx b x =+≤≤∴41055.5225k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：21580b k =-⎧⎨=⎩，∴甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式()802154 5.5y x x =-≤≤【小问3详解】设甲货车出发h x ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：1053012040x x -=-，解得：32x =,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：1053040120x x -=-，解得：4514x =，③甲货车在配货站卸货后驶往B 地时：0802151054012x x =---，解得：5x =，答：经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等．26. 已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．【答案】图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=；图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=；证明见解析【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，构造全等三角形，得出AN AQ =，CAN QAB ∠=∠，再证明AQM ANM △≌△，得到MN QM =；在Rt QHM △中由勾股定理得222QH HM QM +=，即22212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=证明：∵,60,AB AC BAC =∠=︒∴ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又30CAN BAM ∠+∠=︒30BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM ∴=；∵60,60,ABQ ABC ∠=︒∠=︒∴60QBH ∠=︒，∴30,BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =∴12HM BM BH BM BQ =+=+，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即22212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅++=222NC B M N N B M M C ∴=⋅++图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=证明：以点B 顶点在ABC 外作30ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，为AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又60CAN BAM ∠+∠=︒60BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM∴=在Rt BQH 中，60QBH ∠=︒，30BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =12HM BM BH BM BQ =-=-，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即22212BQ BM BQ QM ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅+-=222NC B M N N B M M C ∴=⋅+-27. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元的（2）共有3种购买方案（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子31002x ⎛⎫-⎪⎝⎭个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y 元，即有一次函数3541002y x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元．由题意得：1052001510325a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1510a b =⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；【小问2详解】解：设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子1000153100102x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭个．由题意得：3510023161002x x x x ⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：14586417x ≤≤，x 和31002x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正整数，60x ∴=，62，64，3100102x -=，7，4，∴共有3种购买方案．【小问3详解】设商家获得总利润为y 元，3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，400y x =-+，10k =-< ，y ∴随x 的增大而减小，∴当60x =时，340y =最大，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．28. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S =时，点M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A的坐标为(A （2）()())2202233 3.6t S t t ⎧<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩ （3）存在，(12,4N +，()22,4N -，(32,N -，4N ⎛⎝【解析】【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA 的长，根据等边三角形的性质得出6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，求出AC 的长即可；（2）分02t <≤，23t <≤和3 3.6t <<三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（3）当2=时求出2t =，得4OP =，分OP 为边和对角线两种情况可得点N 的坐标；当2+=和+=O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【小问1详解】解：2560x x --=，解得16x =，21x =-OA 的长度是2560x x --=的根，6OA ∴=∵OAB 是等边三角形，∴6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，在Rt AOC 中，60,AOC ∠=︒∴30,OAC ∠=︒116322OC OA ∴==⨯=，∴AC ===∴点A 的坐标为(A 【小问2详解】解：当02t <≤时．过P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴2OP t =，3OQ t =，30OPD ∴∠=︒∴,OD t =∴PD ===，211322S OQ PD t ∴=⨯⨯=⨯=；当23t <≤时，过Q 作QE OA ⊥，垂足为点E∵60,A ∠=︒∴30,AQE ∠=︒又123,AQ t =-∴13622AE AQ t ==-，QE ==又2OP t =，2122S t ⎛⎫∴=⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭。
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方法三：利用角平分线的性质建立比利式。
知三角函数值，设比例系数。再用比例式 表示其他边，转移角。两种情况。 y=-2x+12, y=2x-12
亦可直接求线段长确定点 的坐标，解直角三角形。
y= - x2-3x+4
A P
D C Q B
B P A
A'
C
Q
图1
D
BP
A'
善于引人字母
1知比，包括知角的三角函数。 设比例系数。用其表示相关量。 2知点在图像上，用同一个字母 表示点的坐标。 3在同一直角三角形中，用同一个 字母表示边或用角边表示其他边。 4知点的运动速度。用时间t表示 相关线段。
设未知数
表示相关量
依据等量关系
列方程或 建立函数
依据等量关系
从甲地到乙地的速度是6千米每小时，回 来的速度是8千米每小时，求往返一次的 平均速度？
C(GF=x,BG=x,GC=6-x,CE=4,EG=2+X, 求得x=3，最后一个在三角形CEG中,其面积为6， EF:FG=2:3，6的3/5)
一等腰三角形的周长为20，一个内 角的余弦值为三分之二，求其边长。
143
设未知数，用同一个未 知数表示对边，用对边 相等做等量关系列方程。
（-4,5）。相切的辅助线规律和 垂径定理的应用。构造直角三角 形，用同一个字母表示相关线段。
设AL=x,HL=2x,用半径 和正方形的边构造两个 直角三角形，依勾股定 理做等量关系列方程。
C
B P
A'
C
A
Q
图
D
A
图3
DQ
2011大庆
如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD
上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是 ()A．1 B．2 C．3 D．4
4 5
H A D
F
B
C 第18题图
E
设未知数HD、D交点，比例做等量关系 整体代入求之，公共底
BD:DC=3:2, AF:FD=6:5, 求：AE:EC 设比例系数，用同一个字母表示线段，
用比例式做等量关系再表示线段。
过点D作平行线。
18:25
求tan15º 、tan22.5º 方法一：利用等腰三角形外角折半。 方法二：利用角平分线的辅助线规律。