专题讲座奇异函数匹配法和课后习题重点难点讲解
函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
课例《函数奇偶性》点评
必修1第一章§1.3.2《函数的奇偶性》第一课时---课例点评一、总体评价：本节课是高中数学必修一第一章《函数的奇偶性》的第一课时，主要内容是奇、偶函数的引出、奇偶性定义的理解，奇、偶函数图像特征、判断函数奇偶性的步骤与方法。
本节课罗轶老师能够以新课程理念为指导，以“问题串”为导向来设计本节课的教学情境，不断地向学生提供参与数学活动的机会，教师并加以适当引导，帮助学生在自主探究与合作交流过程中真正理解和掌握本节内容，较好地体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，切实做到了“学生真正成为学习的主人，教师成为组织者、引导者、参与者”，取得了良好的教学效果。
二、本节课有以下突出的五个优点：1、在新课引入中，该老师非常注意问题情境的创设，他通过播放舞台灯光的视频及现实生活中的对称图形，展示对称美，渗透美学教育，有利于让学生进一步感受生活来源于数学，数学服务于生活。
并以此为载体，提出与本节课相关的数学问题，这样设计可以极大地激发学生的学习兴趣。
2、本节课该老师重视学生的思维活动和自主探究，舍得给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台。
如：在引出奇函数的定义过程中，给学生提供了口头表达、合作交流的机会；在判断函数奇偶性时，让学生上台展示……。
可以说本节课给了学生参与课堂活动的许多机会，展示自我的平台，教师并适当地加以鼓励与引导，生生互动，师生互动的较好。
3、在知识的生成上，本节课该老师运用了特殊到一般的方法引导学生进行偶函数定义的探究，用类比的方法得到奇函数的定义。
每个问题的设置层层递进，由浅入深，符合学生的认知规律。
同时，本节课注意到数学思想方法的渗透,如：特殊与一般的思想，分类讨论思想，数形结合的思想以及类比的方法在本节课中得到了体现。
这些都有利于提升学生的数学素养，为学生的发展奠定良好的基础，而且学法指导也能够落到实处。
4、本节课该老师注意合理使用多媒体辅助教学，如1：通过幻灯片展示所探究的问题，通过幻灯片展示出判断函数奇偶性的一般步骤，培养学生严严谨的思维能力，较好地突破了本课教学中的难点。
高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用
重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。
2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。
3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。
奇异函数平衡原理
奇异函数平衡原理奇异函数平衡原理是指在奇异函数的研究中，通过对奇异点的平衡处理，可以得到奇异函数的解析解。
奇异函数是指在某些点上不满足解析性质的函数，例如在某些点上不可导或者不连续。
在实际问题中，奇异函数的研究具有重要的意义，因为很多现实问题都可以用奇异函数来描述。
在奇异函数的研究中，平衡原理是一种重要的方法，它可以帮助我们求解奇异函数的性质和解析解。
奇异函数平衡原理的基本思想是，在奇异点附近，通过引入新的变量转化为常函数，从而使得原方程在奇异点附近变得简单。
通过这种方法，可以将奇异函数转化为解析函数，从而得到奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理的具体步骤如下：首先，找到奇异点的位置，确定奇异点的类型。
奇异点可以分为可去奇异点、极点和本性奇异点。
不同类型的奇异点需要采取不同的平衡处理方法。
其次，引入新的变量进行平衡处理。
通过引入新的变量，可以将原方程在奇异点附近转化为常函数，从而得到简化的方程。
然后，对新的方程进行求解。
通过对新的方程进行求解，可以得到奇异函数的解析解。
最后，将得到的解析解转化回原变量。
通过将得到的解析解转化回原变量，可以得到奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理的应用非常广泛，它在物理、工程、经济等领域都有重要的应用。
例如，在量子力学中，奇异函数平衡原理被用来求解薛定谔方程；在电路分析中，奇异函数平衡原理被用来求解奇异电路。
奇异函数平衡原理不仅可以帮助我们求解奇异函数的解析解，还可以帮助我们深入理解奇异函数的性质和行为。
总之，奇异函数平衡原理是奇异函数研究中的重要方法，它通过对奇异点的平衡处理，可以帮助我们求解奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理具有重要的理论意义和实际应用价值，它在科学研究和工程技术中都具有重要的地位。
通过深入学习和理解奇异函数平衡原理，可以更好地应用它来解决实际问题，推动科学技术的发展。
专题讲座奇异函数匹配法和课后习题重点难点讲解
专题讲座和课后习题重点难点讲解)()()()()()()()(1111011110t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dtd C t r dt d C t r dt d C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （1）式 系统用这个n 阶的线性时不变微分方程表示。
（一） 从-0到+0状态的转换有两条规律：（1）当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容时，则换路前后电容两端的电压不会发生突变，)0(+C v = )0(-C v ；当电路中无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时，则换路前后电感中电流不会发生突变， )0(+L i = )0(-L i（2）“标准”的微分方程右端自由项中包含δ(t)及其各阶导数，则-0到+0状态发生了跳变，即.等等)0()0(或)0()0(-+-+'≠'≠r r r r ，否则不会跳变。
在结合书中例题分析后，再请同学回答习题2-5，是否有跳变。
（二） 冲激函数匹配法求+0状态着重讲解习题2-5（3）小题后，让学生自己做习题2-5（1）和（2）习题2-5（3）：222()3()4()()d d d rt rt rt e t d t d t d t ++= ，若激励信号为)()(t u t e =, 起始状态为(0)1,(0)1r r --'==，求(0)(0)r r ++'和冲激函数匹配法求解系统的+0状态一般方法是：将激励信号()e t 代入系统的微分方程（1）式并整理后，得到-0到+0期间的微分方程为1011110111()()()()()()()()()n n n n n n l l l l l l d d d C r t C r t C r t C r t dt dt dt d d d B t B t B t B t D u t dt dt dtδδδδ------++++=+++++∆ ， (-0<t<+0) 可以设()(1)1101(1)(2)1101()()()()()()()()()()()()nl l l l n n l l l l n d r t a t a t a t a t b u t dt d r t a t a t a t a u t dtr t δδδδδδδ-------⎧'=+++++∆⎪⎪⎪=++++∆⎨⎪⎪⎪=⎩代入t=0时微分方程,求出0a 、1a 、2a …l a 、b则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--+------++)0()0()0()0()0()0(01111r r a r dt d r dtd b r dt d r dtd n n n n n nn n +0状态为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-+------++)0()0()0()0()0()0(11011r r r dt d a r dtd r dt d b r dtd n n n n n nn n 1、给定系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t e t e dtd t r t r dt d t r dt d +=++ ， 若激励信号为)()(t u te =，起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，求系统的完全响应)(t r ，并指出其零输入响应、零状态响应、瞬态响应、稳态响应、自由响应和强迫响应各分量。
高一数学《函数及其表示》知识讲解
高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点，下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解，希望能帮到大家！考点一映射的概念1．了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2．映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一考点二函数的概念1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的.取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3．区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1．函数的三种表示方法列表法图象法解析法2．分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.1函数及其表示.pdf
②若已知函数 f(g(x))的定义域为［a,b］，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈［a,b］时的值域.
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.
〖例 2〗设函数
f (x)
=
x2
− 4x + 6, x
0 则不等式
f (x)
f (1) 的解集是（
A
）
x + 6, x 0
. (−3,1) (3,+)
y
=
3x +1 x−2
的反函数为
y
=
2x +1 x−3
，其定义域为{x
R
|
x
3} ，
∴原函数
y
=
3x +1 x−2
的值域为 { y
R
|
y
3}
y = 3x +1 = 3(x − 2) + 7 = 3 + 7
（法二）分离变量法： x − 2
x−2
x−2 ，
7 0
3+ 7 3
∵ x − 2 ，∴ x − 2 ，
4、例题解析
lg (x2 − 2x)
〖例 1〗(2012·大连模拟)求函数 f (x) =
的定义域;
9 − x2
(2)已知函数 f(2x)的定义域是［-1,1］，求 f(x)的定义域；
(3)求下列函数的值域.
①y=x2+2x,x∈［0,3］,
②y=log3x+logx3-1,
③ y = 2x2 −1y = 3x2 − x + 2 ， x [1,3] 的值域 解：（利用函数的单调性）函数 y = 3x2 − x + 2 在 x [1, 3] 上单调增
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专题讲座和课后习题重点难点讲解
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11011
110t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dt d C t r dt d C t r dt d C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （1）
式
系统用这个n 阶的线性时不变微分方程表示。
（一） 从-0到+
0状态的转换有两条规律：
（1）当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容时，则换路前后电容两端的电压不会发生突变，)0(+C v = )0(-C v ；当电路中无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时，则换路前后电感中电流不会发生突变， )0(+L i = )0(-L i
（2）“标准”的微分方程右端自由项中包含δ(t)及其各阶导数，则-0到+
0状态发生了跳变，即.等等)0()0(或)0()0(-+-+'≠'≠r r r r ，否则不
会跳变。
在结合书中例题分析后，再请同学回答习题2-5，是否有跳变。
（二） 冲激函数匹配法求+
0状态
着重讲解习题2-5（3）小题后，让学生自己做习题2-5（1）和（2）
习题2-5（3）：222()3()4()()d d d r t r t r t e t dt dt dt ++= ，若激励信号为
)()(t u t e =, 起始状态为(0)1,(0)1r r --'==，求(0)(0)r r ++'和
冲激函数匹配法求解系统的+0状态一般方法是：
将激励信号()e t 代入系统的微分方程（1）式并整理后，得到-0到
+0期间的微分方程为
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011
11
0111()()()()()()()()()
n n n n n n l l l l l l d d d
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(-0<t<+0)
可以设
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⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--+------++
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⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-+------++
)0()0()0()0()
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011r r r dt d a r dt
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d n n n n n n
n n
1、给定系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t e t e dt
d
t r t r dt d t r dt d +=++ ，
若激励信号为)()(t u t e =，起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，求系统的完全响应)(t r ，并指出其零输入响应、零状态响应、瞬态响应、稳态响应、自由响应和强迫响应各分量。
（20分）
解：零输入响应为：t t zi e e t r 234)(---= 零状态响应为：
2
32
1
2)(2++-=--t t zs e e t r 完全响应为：
2、给定系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t e t e dt
d
t r t r dt d t r dt d +=++ ， 若
激励信号为3()()t e t e u t -=，起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，求系统的完全响应)(t r ，并指出其零输入响应、零状态响应、瞬态响应、稳态响应、自由响应和强迫响应各分量。
（20分）
（三）特别说明：
如果激励信号是冲激函数，也就是()()e t t δ=，那么将激励信号代入微分方程（1）式后得到到-0到+
0期间的微分方程为
1011110111()()()()()()()()n n n n n n m m m m m m d d d
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如果激励信号是阶跃函数，也就是()()e t u t =，那么将阶跃函数代入微分方程（1）式后得到到-0到+
0期间的微分方程为
1011112
01112()()()()()()()()n n n n n n m m m m m m d d d
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