复合函数与反函数习题(无答案)
1.3复合函数与反函数
数 zn x 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r r , y x 在 R + 上亦为严格增. m
1/ n
例2
求函数 y e x 1 的反函数 .
x 2 解: e y 1
x ln( y 2 1) y e x 1 1 ，即原函数的值域为(1 , ) 反函数为 y ln( x 2 1) D f 1 (1 , )
( x)
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
定理1
设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必
有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格
增函数 .
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其
二、反函数(inverse function)
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f
1
: f ( D ) D , 称此映射f 为函数f的 反函数.
y
1
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数y f
1
x2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费， 20~50千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部 分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质 量x(千克)之间的函数关系，并作出图形
离散数学ch8[2]函数的复合与反函数
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第二部分 集合论 函数的复合与反函数
2021/4/5
1
8-2 复合函数和逆函数
一.复合函数 二.逆函数
三.单侧逆函数
2021/4/5
2
复合函数:定义
复合函数(合成函数)
设f：XY, g: YZ是两个函数， 则 gºf={<x,z>y(yY∧y=f(x)∧z=g(y))
称为g和f的复合函数，或合成函数
b)当f-1的自变元是Y的子集Y’时，f-1（Y’）表示Y’ 在f-1下的逆像。
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18
逆函数:逆像f-1（Y’）
例 考虑f是否有逆函数:
a
0
b
1
2 c
则f没有逆函数， 但f-1{{0}} ={b,c}, f-1{{1}} ={a}
3
f-1{{3,4}}=
d
4
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19
单侧逆函数
Ⅱ）xX,gºf(x)=g(f(x))=g(y)=x, ∴gºf=Ix。
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22
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
2021/4/5
集合Y 集合Y
单射f(x)
g(y)
23
单侧逆函数:存在的充要条件
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
充分性：设g是f的右逆元， 则fºg=Iy,
∵ Iy是满射，∴由复合函数定理知，f是满射的。 必要性：用构造性证明）定义g如下：
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
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单侧逆函数:存在的充要条件
高三数学复合函数与反函数题库
高三数学复合函数与反函数题库题目1：求复合函数的解析式已知函数 f(x) = x^2 + 3 和 g(x) = 2x - 1，求复合函数 f(g(x)) 的解析式。
解析：要求复合函数 f(g(x)) 的解析式，就是将 g(x) 的表达式代入f(x) 中，然后进行化简。
首先，将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中得到：f(g(x)) = (2x - 1)^2 + 3接下来，展开并化简这个表达式：f(g(x)) = (2x - 1)(2x - 1) + 3= 4x^2 - 4x + 1 + 3= 4x^2 - 4x + 4因此，复合函数 f(g(x)) 的解析式为 4x^2 - 4x + 4。
题目2：判断函数的反函数是否存在已知函数 f(x) = 2x + 1，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并给出存在时反函数的解析式。
解析：函数 f(x) 的反函数存在的条件是，f(x) 必须为一对一函数，即每个 y 值对应唯一的 x 值。
对于函数 f(x) = 2x + 1，其中任意两个不同的 x 值，经过 f(x) 的运算得到的结果 y 总是不同的。
因此，函数 f(x) 是一对一函数，反函数存在。
接下来，我们使用代换法求反函数的解析式。
设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x + 1将 x 和 y 交换位置：x = 2y + 1解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (x - 1) / 2因此，函数 f(x) 的反函数存在，并且反函数的解析式为 (x - 1) / 2。
题目3：求反函数的导数已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并求反函数的导数。
解析：根据题目2的解析，函数 f(x) 的反函数存在，因此我们可以求出反函数的解析式，然后利用导数的定义进行计算。
首先，设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x^2 + 3x - 5将 x 和 y 交换位置：x = 2y^2 + 3y - 5解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (-3 ± √(25 + 8x)) / 4接下来，我们利用导数的定义来计算反函数的导数。
函数的复合与反函数的计算
函数的复合与反函数的计算在数学中，函数的复合和反函数是重要的概念。
函数的复合是将两个函数组合在一起形成一个新的函数，而反函数则是原函数的逆运算。
本文将详细介绍函数的复合和反函数的计算方法。
一、函数的复合函数的复合是指将两个函数相互组合形成一个新函数。
设有函数f(x) 和 g(x)，那么它们的复合函数可以表示为 f(g(x))。
具体来说，对于给定的输入 x，先将 x 输入到函数 g(x) 中，然后再将 g(x) 的输出作为f(x) 的输入。
例如，我们有两个函数 f(x) = 2x + 3 和 g(x) = x^2，要计算这两个函数的复合函数 f(g(x))，先将 x 输入到 g(x) 中得到 g(x) = x^2，再将 g(x)的结果输入到 f(x) 中，即 f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 3 = 2x^2 + 3。
二、反函数的计算反函数是指给定一个函数 f(x)，找到一个函数 g(x)，使得 f(g(x)) = x，并且 g(f(x)) = x。
换句话说，反函数是原函数的逆运算。
要计算函数的反函数，需要进行如下步骤：1. 设原函数为 f(x)。
2. 将 f(x) 表示为 y = f(x)。
3. 交换自变量和因变量，即将 y = f(x) 改写为 x = f^(-1)(y)。
4. 解上述方程得到 f^(-1)(y)。
5. 将 f^(-1)(y) 表示为反函数 f^(-1)(x)。
需要注意的是，并非所有函数都存在反函数。
函数存在反函数的条件是函数是一一对应的。
举例说明，假设有函数 f(x) = 2x + 3，要计算它的反函数 f^(-1)(x)。
首先将 f(x) 表示为 y = 2x + 3，然后将 x 和 y 互换位置得到 x = 2y + 3，解方程可以得到 y = (x - 3) / 2，因此反函数为 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
三、函数复合和反函数的关系函数的复合和反函数有着紧密的联系。
复合函数题
复合函数题一、选择题1. 已知f(x)=x^2，g(x)=2x + 1，则f(g(x))=（）- A.(2x + 1)^2- B.2x^2+1- C.4x^2+1- D.4x^2+4x+1解析：f(g(x))就是将g(x)作为f(x)的自变量代入f(x)中。
因为g(x)=2x + 1，f(x)=x^2，所以f(g(x))=(2x + 1)^2=4x^2+4x + 1。
答案为D。
2. 若y = f(u)，u=φ(x)，且f(u)和φ(x)均可导，y = f(φ(x))，则y^′=（） - A.f^′(u)- B.φ^′(x)- C.f^′(u)·φ^′(x)- D.f^′(φ(x))+φ^′(x)解析：根据复合函数求导法则，若y = f(u)，u=φ(x)，则y^′=f^′(u)·φ^′(x)。
答案为C。
3. 设f(x)=√(x)，g(x)=x + 1，则g(f(x))的定义域为（）- A.[0,+∞)- B.[-1,+∞)- C.(-1,+∞)- D.(0,+∞)解析：首先求g(f(x))的表达式，g(f(x))=√(x)+1。
对于√(x)，要使其有意义，则x≥slant0，所以g(f(x))的定义域为[0,+∞)。
答案为A。
4. 已知f(x)=sin x，g(x)=x^2，则f(g((π)/(2)))=（）- A.1- B.0- C.sinfrac{π^2}{4}- D.sin(π)/(2)解析：先求g((π)/(2))，g((π)/(2)) = ((π)/(2))^2=frac{π^2}{4}。
再求f(g((π)/(2)))=f(frac{π^2}{4})=sinfrac{π^2}{4}。
答案为C。
5. 若f(x)=e^x，g(x)=ln x，则f(g(x))=（）- A.x- B.e^ln x- C.ln e^x- D.1解析：f(g(x))=e^ln x=x（x>0）。
第04节 反函数与复合函数
e
1
1 1
图1--33
1
o
x
1 ( x 0, x 1), 例6 设 f ( x) 1 x
求 f [ f ( x)] , f f [ f ( x)].
解
1 1 1 x 1 f f ( x) . x 1 f ( x) 1 1 x 1 x 1 x 1 1 f f f ( x) x. 1 f f ( x) 1 x 1 x
2
2
解：由 y ln( x 1 x ) ，解得
x 1 x e
2
y
(1)
1 x x ，得
2
将左边乘
1 x x 再除
2
1 1 x x
2
e
y
y
即
1 x x e
2
(2)
（1）－（2）整理后得
e e x 2
y
y
将上式中的 y 换成 x ， x 换成 y ，因此 得出 y ln( x 1 x ) 的反函数是
2
e e y 2
x
x
.
例3 求 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x2
的反函数．
解：将 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x
2
两边立方, 得
y x 1 x 3( x 1 x ) ( x 1 x 2 )
3 2 3 2 2 3
3( 3 x 1 x 2 )( 3 x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2
1 x 1 x ) 2 1( x 0) , 例7 设 f ( x x 2x 2x 1 求 f ( x).
反函数和复合函数的求导法例
ln
1 1
x x
)
1
1 x
1 x2
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
复合函数的反函数练习题
复合函数的反函数练习题一、基础题1. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = 3x 5，求f(f(x))的反函数。
3. 设函数f(x) = 4 x，g(x) = 1/x，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = 5x + 2，g(x) = 2x 1，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_2(x)，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
二、提高题1. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = sqrt(x + 1)，g(x) = x^2 1，求(f ∘g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = sin(x)，g(x) = arccos(x)，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = cos(x)，g(x) = arctan(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = tan(x)，g(x) = arccot(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
三、综合题1. 设函数f(x) = (1/2)^x，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = (3/4)x + 7，g(x) = (4/3)x 28/3，求(f∘ g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = |x 5|，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = x^3，g(x) = sqrt[3](x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_3(x)，g(x) = 3^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
四、变换题1. 设函数f(x) = 1/(x+1)，g(x) = 1/x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
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1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2
的定义域（
）。
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（
）
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（
）。
4、设，则的定义域为（ ）
()x x x f -+=22lg
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22A. B. C. D. ()()4,00,4 -()(
)4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --5．函数y ＝（x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
2
1log A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞） C ．（－∞，
）D ．（
，＋∞）2
3
2
3
6．找出下列函数的单调区间.（1）；
)1(2
32>=++-a a y x x
（2）.
2
3
22++-=x x y 7、讨论的单调性。
)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x
a 且8．求函数y ＝（x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
1log
1、函数的反函数是（ ）
)1(12<+=x y x A ． B ．C ．
D ．
)3,1(),1(log 2∈-=x x y )3,1(,log 12∈+-=x x y ]3,1(),1(log 2∈-=x x y ]
3,1(,log 12∈+-=x x y 2．函数的反函数的解析表达式为( )
12
3()x
y x R -=+∈（A ） （B ） （C ） （D ） 22log 3y x =-23log 2x y -=23log 2x y -=22
log 3y x
=-3. 反函数是（）
)21( 22≤≤-=
x x x y （A ）（B ）)11( 112
≤≤--+=x x y )
10( 112
≤≤-+=x x y （C ）（D ）)
11( 112
≤≤---=x x y )
10( 112
≤≤--=x x y 4、已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为
b a x f x
+=)()(x f _____________.
5、若函数是函数的反函数，则的图象为 （
）
)(x f ()10222
≤≤--=x x
y )(x f x
x
x
y
y y
y
A
B C
D
6,已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（ ）
)(x f )4(-x f A 、（1，－4） B 、（1，4） C 、（1，0）
D 、（4，1）
7、函数的反函数是
⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)01()
10(122
x x
x x y 8,已知函数
的图象恒过定点A ，且点A 在函数的图象上,求
)0(1)1()(2
>++=-a a x g x )(log
)(3
a x x f +=函数g （x ）的反函数；
9， 给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
1
(11a
x R x ax x y ≠∈--=
且。