导数与反函数练习题.doc
反函数练习
反函数练习一、选择题1．定义在R 上的函数y=f(x)有反函数，下列命题中假命题为（ ）A ．y=f(x)与)(1y f x -=的图象不一定关于y=x 对称B ．)(1x f y -=与)(1x f y --=的图象关于x 轴对称 C ．y=f(x)与)(1x f y -=的图象不可能有交点 D ．y=f(x)与)(1x f y -=的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个2．下列说法中正确的是（ ）①一函数图象上的任意两点的连线都不平行于x 轴，则此函数在定义域上一定是单调的 ②图象关于直线y=x 对称的函数一定有反函数，且其反函数是它自己③一函数是奇函数，且有反函数，则它的反函数也是奇函数④定义域是一个闭区间并且图象连续的函数，一定有最大值与最小值。
A ．②③④B ．②④C ．③④D ．①②③④二、填空题3．如果点（1，2）既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，那么a=__________b=__________。
4．函数196)(--+==x x x f y 的反函数为___________。
三、解答题5．已知实数a ≠0 ，a ≠1，函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。
求证：函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形。
6．已知函数)2(12-≤-=x x y ，求)4(1-f 。
7．已知x x x f 32)3(+=，求)3(x f -。
8．已知x x x f 324)(++=，求)]([1x f f -及)]([1x f f -的解析式，并判定它们是否为同一函数。
9．已知y=f(x)的定义域为]0,(-∞，且x x x f 2)1(2+=+，求)2(1-f 。
10．设y=f(x)是单调递增函数，求证)(1x f y -=也是单调递增函数。
11．函数⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈-=]0,( 1],0[ 22x x x x y 是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。
求导数的反函数法则练习
求导数的反函数法则练习在微积分中，求导是一个常见的操作。
对于已知的函数，我们可以通过求导来确定其导数的值。
然而，有时候我们需要求一个函数的反函数的导数。
在这篇文章中，我们将学习如何使用反函数法则来求导数的反函数。
一、反函数法则简介反函数法则是一个用于求导数的特定规则，它描述了一个函数的反函数的导数与原函数的导数之间的关系。
根据反函数法则，如果函数F(x)的导数存在且不为零，并且它的反函数F^(-1)(x)也存在，则F^(-1)(x)的导数可以通过以下公式计算：[F^(-1)(x)]' = 1 / [F'(F^(-1)(x))]其中，F'(x)表示函数F(x)的导数。
二、使用反函数法则求导数的反函数为了更好地理解反函数法则，我们来通过几个具体的例子来演示如何使用它。
例1：求函数f(x) = 2x^3的反函数的导数。
先求f(x)的导数：f'(x) = 6x^2由于f'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数f^(-1)(x)的导数：[f^(-1)(x)]' = 1 / [f'(f^(-1)(x))]= 1 / [6(f^(-1)(x))^2]例2：求函数g(x) = ln(x)的反函数的导数。
先求g(x)的导数：g'(x) = 1/x由于g'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数g^(-1)(x)的导数：[g^(-1)(x)]' = 1 / [g'(g^(-1)(x))]= 1 / [1/(g^(-1)(x))]= g^(-1)(x)三、练习题现在我们来进行一些练习，以便更好地掌握反函数法则的应用。
练习1：求函数f(x) = 3x^4的反函数的导数。
解答：首先，求f(x)的导数：f'(x) = 12x^3由于f'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数f^(-1)(x)的导数：[f^(-1)(x)]' = 1 / [f'(f^(-1)(x))]= 1 / [12(f^(-1)(x))^3]练习2：求函数g(x) = sqrt(x)的反函数的导数。
反函数练习附答案
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与 互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即 ，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )
反函数求导-例题
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。
同理可以求其他几个反三角函数的导数。
所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。
最后将y想法设法换成x即可。
扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的
值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
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答案与评分标准一.选择题（共30小题）1. 考点：利用导数研究的线上某点切线方程。
专题：计算题。
分析：根据导数的儿何意义求出函数f（x）在x=l处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可.解答：解：Vy= - X3+3X2 y*= - 3x?+6x, 「•y'lx=l= - 3X2+6X|X=I=3,「• llll线y= - X3+3X2在点（1, 2）处的切线方程为y - 2=3 （x - 1）, 即y=3x - 1, 故选A.点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.2. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题：计算题。
分析：根据导数的儿何意义求出函数f（x）在x=l处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+ll在点P （1, 12）处的切线与y轴交点的纵坐标.解答：解：•.•y=x'+ll.'.yFx?则y[x=i=3x2|x=i=3・•・曲线y=x3+ll在点P （1, 12）处的切线方程为y - 12=3 （x- 1）即3x - y+9=0 令x=0解得y=9・•・曲线y=x3+ll在点P （1, 12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题. 3. 考点：函数的单调性与导数的关系。
专题：应用题。
分析：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（X）在（-8, X3）单调递增，在（X3, X4）单调递减，（酒，+00）单调递增函数在处X3有极大值，在X4处有极小值解答：解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（X）在（-8, X3）单调递增，在（X3, X4）单调递减，（X4, +8）单调递增函数在处X3布•极大值，在X4处有极小值故选C点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了识别函数图形的能力，属基础题.4. 考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式。
1.2 反函数、复合函数、参数方程的导数
1 ln 2 (sin ) x 1
2
1.2 导数的计算
例 4．计算下列各题： 1 2 dy （1） y [ f (sin )] ，其中 f ( x ) 可导，求 。 x dx
(1 x )e x （2） y ln ，求 y(0) 。 arccos x
结论：若函数 y f ( x ) 在 x 可导，且 f ( x ) 0 ，则
复合而成。
1 2 1 dy dy du 1 2 2 . 2 2 2 x 1 2 ( x 1) x 1 dx du dx 1 u ( x 1) 1 ( ) x 1 9
1.2 导数的计算
（3） y ln x ，
dy 1 ； 解：当 x 0 时， y ln x ， dx x
17
1.2 导数的计算
x 2 ( x 1) （2） y 5 ； 3 4 (2 x ) ( x 3)
1 解： ln y [2ln x ln( x 1) 3ln(2 x) 4ln( x 3)] 5
1 1 2 2 3 ( 1) 4 y [ ] y 5 x x 1 2 x x 3
当 x 0 时， y ln( x ) 可看成由
y ln u ， u x 复合而成，
dy 1 1 1 ( 1) ( 1) ； dx u x x
1 ∴ (ln x ) 。 x
10
1.2 导数的计算
逐步求导法 —“由外往里，逐层求导 ”
例 2．求下列函数的导数
例如： y f (u) ， u g(v ) ， v k ( x ) 复合成函数
dy du dv y f { g[k ( x )]} ，且 , , 都存在，则 du dv dx
反函数练习（含详细解析）
反函数练习（含详细解析）反函数练习一．填空题1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）=3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为．7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=．8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．9．函数的反函数是．10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点．13．函数（x≤0）的反函数是．14．已知函数，则=．15．函数的反函数为f﹣1（x）=．16．函数的反函数的值域是．17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=．19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．参考答案一．填空题（共20小题）1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1；7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣；。
反函数基础练习含标准答案doc
反函数基础练习含标准答案.doc反函数基础练习含标准答案一、选择题1.设函数f(x) = 2x + 3，那么它的反函数是： A. f(x) = 2x + 3 B. f(x)= (x - 3) / 2 C. f(x) = (x + 3) / 2 D. f(x) = (x - 3) / 2 + 3答案：C2.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是： A. f(x) = x^2 B. f(x) = √xC. f(x) = x^(1/2)D. f(x) = x^2 - 1答案：B3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是： A.f(x) = e^x B. f(x) = ln(x) C. f(x) = e^(1/x) D. f(x) = ln(e^x)答案：B4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是： A. f(x) = |x| B. f(x) = x C.f(x) = -x D. f(x) = x^2答案：B5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是： A. f(x) = x^3 B. f(x) = ∛x C.f(x) = x^(1/3) D. f(x) = x^2 - 1答案：C二、填空题1.设函数f(x) = 2x + 1，那么它的反函数是________。
答案：f(x) = (x -1) / 22.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是________。
答案：f(x) = √x3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是________。
答案：f(x) = ln(x)4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是________。
答案：f(x) = x5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是________。
答案：f(x) = ∛x三、计算题1.设函数f(x) = 2x + 1，求它的反函数f^(-1)(x)。
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1.
2.
（2011-重庆）曲线尸・X 3+3X 2在点（I,
2）
A. y=3x - 1
B. y=-3x+5
（201b 山东）曲线 y=x 3+l 1 在点 P （1, 12）
处的切线方程为（
）
C. y=3x+5
D. y=2x
处的切线与y 轴交点的纵坐标是（
15 3. A. [- 1，-岑]
B ・[・1, 0]
C. [0, II
D.[兰，1]
乙
那么导函数y=f （x ）的图象可能是（
函数q ： g （x ） =x 2 - 4x+3m 不存在零点则
p 是
D.既不充分也不必要条件
导数与反函数练习题
选择题
（2011 •杭州）如图是导函数尸f （x ）的图象，则下列命题错误的是（
）
A .导函数y=f （x ）在x=xi 处有极小值
B .导函数y=F （x ）在x=x?处有极大值 C.函数y=f （x ）在x=X3 处有极小值 D.函
数y=f （x ）在x=X4处有极小值
4. （2011 •福建）若a>0, b>0,且函数f （x ） =4x 3 - ax 2 - 2bx+2在x=l 处有极值，则ab 的最大值等于（
）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
5. （2010*江西）若 f （x ） =ax 4+bx 2+c 满足 f （I ） =2,则 f （ - 1）=（
）
A. -4
B. - 2
C. 2
D. 4
6. （2009•江西）若存在过点（1, 0）的直线与曲线尸x3和y=ax 2+^X- 9都相切，则a 等于（
）
方
91 7 9R
7
A. - 1 或一竺
B. - 1
C. 一」或一竺
D. 一 ■或 7
64
4 4 64 4
°
TT
7. （2008•辽宁）设P 为曲线C ： y=x~+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,—],则点P 横
4
坐标的取值范围是（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件8.（2008•福建）如果函数y=f （x ）的图象如图,
q 的（ ）
(0)
13.
A. 4x-y・3=0
B. x+4y - 5=0
C. 4x・y+3=0
D. x+4y+3=0
(2005-江西)已知函数y=xf (x)的图象如图所示(其中f (x) 是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中疔f(x)
14. (2005•广东)函数f (x) =x3 - 3X2+1是减函数的区间为(
A. (2, +oo)
B. ( -8, 2)
C. ( -oc, 0)
15. (2004-湖北)函数f (x) =ax3+x+l有极值的充要条件是(
A. a>0
B. a>0
C. a<0
D. a<0
16. (2009•四川)函数y=2x+1 (x《R)的反函数是( )
A. y=l+log2X (x>0)
B. y=log2 (x - 1 ) (x> 1 ) )
D. (0, 2)
)
C・ y=- l+log2X (x>0) D. y=log2
10. (2007•江苏)已知二次函数f(x)=ax'+bx+c的导数为f(x), f(0)>0,对于任意实数x都有f(x)>0,则
的最小值为( )
5 3
A. 3
B. ―
C. 2
D.―
2 2
11. (2006•四川)曲线y=4x - x3在点(-1, -3)处的切线方程是
A. y=7x+4
B. y=7x+2
C. y-x - 4
D. y-x - 2
12. (2006•安徽)若曲线y=x，的一条切线I与直线x+4y - 8=0垂直，则1的方程为( ) (x+l) (x> - 1 )
17. (2010•江西)若函数的图象关于直线y=x对称，则a为( )
1+x
A. 1
B. - 1
C. 土 1
D.任意实数
18. (2009•陕西)函数f (x)二(X>4)的反函数为( )
的图象大致是( )
A. fT (x)蓦x?+2 (x 》0) c. f-1 (x) *+4 (Qo)
B . fT (x) *+2 (x 》2)
D. f-1 (x) *+4(x 》2)
x — 2 19・(2009•湖北)函数y= --- (xER, 2x ~ 1 且好岑）的反函数是（ A. y=^-~Y ( xE R, 且 2x ~
1 2
B. C. 广 x+2 ( xE R, 且x 尹4)
2 1 _ 20. (2009-湖北)设a 为非零实数,函数y= ax 1+ax
且 X#1 ) 1 _ ax 1
A. y=— ----------- (xWR,.且 x 尹 ) 1+ax
a
1 - X
D. V= ? ----------- r — (x£R, B. 21. （2009•广A. log2X 22. （2009・广A. log2X
23. 24. 25. 26. D.
y=——( xE R,且x 尹2) x _
2
— 1 y=_ ( x€ R,且好 - 2) （xeR,且乂具）的反函数是（
a
1+ax y=
l
- ax
(xER,且 x£) a c
y= y
a (1-x)
(xER,
且 x^--) a 若函数y=f (x)是函数y=a x (a>0,且狎1) B. log —x C. —D. x 2
2 2X
的反函数，其图象经过点（崩，a ）,则f （x ）=（
若函数y=f （x ）是函数y=a x a （a>0, Jla/1）的反函数，旦f △） =1,则函数y=（ C. log ]X
2
函数 y=10x2-1 (0<x<l) A ・ y=-Vl+lgx(x>3)
(2008•重庆)
的反函数是（
B . y^Vl+lgx
(x>—)
10
C- y= - Jl+lgx (—<x<l)
10
D . y^l+lgx (—<x<i )
------------ 10 _
函数 1) 2 (l<x<3) (2008・天津)
A. y= (x-
(0<x<4)
(2008,天津) A. f 1 (x) C. f'1
(x)
(2008・湖南)
(0<x<4) 的反函数是(
)
B. y= (x- 1) 2
(0<x<4)
C. 7
y=x -1(1 <x<3)
D. y=x 2
（OVxVl ） 1-
Vx
在其定义域上是增函数旦最大值为1 在其定义域上是减函数且最大值为1
设函数f
的反函数为f-1
(x),
B . r 1（X ）在其定义域上是减函数旦最小值为o
D. fT （x ）在其定义域上是增函数且最小值为0
函数y=log 2
(x2 -2x+1)
(x>l)
的反函数为尸f-】（x ）,则fT （2）等于（
A. 3
B. 2
C. 0 D ・・2 27. (2007•天津)函数 y=log 2 (x+1) +1 (x>0)的反函数为( A. y=2x ，
- 1 (x>l)
B. y=2x ，
+l (x>l)
)
C. y=2x+l - 1 (x>0)
D.y=2x+1+l(x>0)
28. (2007-辽宁)若函数y=f (x)的反函数图象过点(1, 5),则函数y=f (x)的图象必过点( )
A. (1, 1)
B. (1, 5)
C. (5, 1)
D. (5, 5)
29. (2004•黑龙江)函数疔口^ (x/-5)的反函数是( )
x+5
A. y旦-5 (x,0)
B. y=x+5 (x^R)
C. y=i-5 (x/0)
D. y=x - 5 (xGR)
X X
30. (2004-陕西)记函数y=l+3”的反函数为尸g (x),则g (10)等于( )
A. 2
B. - 2
C. 3
D. - 1。