反函数的导数
高等数学 2-3反函数的导数、复合函数求导法则
思考题
若 在 不可导， 在 可导，且 ，则 在 处（）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（3）
例： 在 处不可导，
取 在 处可导，
在 处不可导，所以1错
在 处可导，
在 处可导，所以2错
证：
于是有
例1
解：
同理可得
例2
解：
特别地
二、复合函数的求导法则
定理
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证：
推广：
例3
解：
例4
解：例5解：Fra bibliotek例6解：
例7
解：
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）;
复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;
章节题目
第三节反函数的导数、复合函数求导法则
内容提要
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
重点分析
复合函数的求导法则
难点分析
利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法
抽象函数求导
习题布置
：1（单）、2（单）、3（单）、5
备注
教学内容
一、反函数的导数
定理
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
反函数的导数
2
3
y
1 2
1 x2 12x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
e
sin
1 x
(sin
1
)
sin 1
ex
cos
1Leabharlann (1 )x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
对数微分法:
y' y(ln y)'
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
四、设 f ( x)在 x 0处可导，且 f (0) 0 ， f (0) 0 ,
sin x
例4 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
反函数的导数 复合函数的求导法则
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全1. 反函数的概念反函数是解决方程的一种方法，与正函数相对应。
在正函数中，给定一个自变量，可以求出一个唯一的因变量。
但有时候我们需要找到一个与因变量相对应的唯一自变量。
这时候就需要使用反函数。
2. 反函数求导的意义反函数的求导可以帮助我们求得一个函数的反函数的导数。
这对于解决一些问题非常有用。
例如，如果我们要求某个函数值的变化率，但很难求出该函数的导数，但是如果我们可以找到这个函数的反函数，那么我们就可以利用反函数的导数来计算该函数值的变化率。
3. 反函数的基本公式- 如果y=f(x)在区间I上是单调增加的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调增加的。
反函数的导数可以使用公式g'(y) = 1/f'(x)- 如果y=f(x)在区间I上是单调减少的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调减少的。
反函数的导数可以使用公式g'(y) = -1/f'(x)4. 反三角函数的导数公式反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
这些函数的求导公式如下：- 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1 / sqrt(1-x^2)- 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1 / sqrt(1-x^2)- 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1 / (1+x^2)5. 反双曲函数的导数公式反双曲函数也包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数等。
这些函数的求导公式如下：- 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1 / sqrt(1+x^2)- 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1 / sqrt(x^2-1)- 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1 / (1-x^2)6. 实例分析对于函数y=x^2，在区间[0,+∞)上单调增加。
其反函数为x=sqrt(y)，在区间[0,+∞)上也是单调增加。
大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法
( 2) f [ g ( x )] | x | x 在 x 0处可导，
4 4
例4 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
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由y f ( x )的单调性可知
于是有
y 0,
y 1 , x x y
f ( x )连续,
又知 ( y ) 0
y 0 ( x 0),
y 1 1 f ( x ) lim lim x 0 x y 0 x ( y ) y 1 即 f ( x ) . ( y )
y 故 f ( u0 ) ( lim 0) 则 y f ( u0 )u u u 0 u y u u lim lim [ f ( u0 ) ] x 0 x x 0 x x u u f ( u0 ) lim lim lim f ( u0 )( x0 ). x 0 x x 0 x 0 x
3
1 7、 ； 8、 . 2 2 (1 x ) 2 x(1 x ) 2 1 x (arccos x )
一、反函数的导数.
n cosnx sinn x sinnx n sinn1 x cos x
n sinn1 xcosnx sinx sinnx cos x
n 1x. n sinn1 x sin
例10 求函数 y
x x x 的导数.
f ( u0 )( x0 ).
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例3 求函数 y ln sin x 的导数. 解
y ln u, u sin x .
dy dy du dv dx du dv dx
②对复合函数的分解比较熟练以后，就不必写 出中间变量，而采用下面例题的方法来计算.
例4 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
五、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）;
已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导;
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例2
导数的商法则与反函数的导数
导数的商法则与反函数的导数在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
导数的商法则以及反函数的导数是求解导数的基本方法之一。
本文将详细介绍导数的商法则以及反函数的导数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、导数的商法则导数的商法则是求解两个函数商的导数的法则。
对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们都可导且g(x)≠0，则(f/g)' 的导数可以通过以下公式计算：(f/g)' = (f'g - g'f) / g²其中，f'表示函数f(x)的导数，g'表示函数g(x)的导数。
利用导数的商法则，我们可以更方便地求解复杂函数的导数。
例如，考虑函数h(x) = (2x² + 3x + 1) / (x - 1)。
根据导数的商法则，我们可以将h(x)的导数表示为：h'(x) = ((2x² + 3x + 1)'(x - 1) - (x - 1)'(2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²进一步计算可得：h'(x) = ((4x + 3)(x - 1) - (2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²化简后得到h'(x)的最终表达式。
通过导数的商法则，我们可以避免直接对复杂函数进行导数运算，简化求导的过程。
二、反函数的导数反函数是指两个函数f(x)和g(x)满足以下条件：f(g(x)) = x，g(f(x))= x。
反函数的导数可以通过导数的商法则来求解。
设函数f(x)在点x处可导，且f'(x) ≠ 0。
如果函数g(x)是f(x)的反函数，在点x处可导，则g'(x)可以通过以下公式计算：g'(x) = 1 / f'(g(x))通过反函数的导数，我们可以在已知一个函数的导数的情况下，求解其反函数的导数。
这在实际问题中具有广泛的应用。
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反函数的导数
首先证明反函数的求导公式：
定理：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)y （ϕ在点
y
的某邻域内连续，严格单
调且()0'0≠y ϕ，则()x f 在点()()00y x x ϕ=可导，且()()
00'1
'y x f ϕ=
证：设()()00y y y x ϕϕ-∆+=∆，()()00x f x x f y -∆+=∆因为ϕ在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1
-=ϕf 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=∆y 时0=∆x ，并
且
当
且
仅
当
→∆y 时
→∆x ，由
()0
'0≠y ϕ，可得
()()00000'1lim
1lim lim
'y y
x x y x y x f y y x ϕ=∆∆=∆∆=∆∆=→∆→∆→∆。
例6 证明： （i ）(a a a
x
x
ln )'(
=其中）1
.0(≠>a a 特别地()
x x e e ='
. (ii) )arcsin '
(
x =
x
2
-11；
()x arccos '=—
x
2
-11
(iii)
()
x arctan '
=
x
2
11+；
()
x arc cot '
=—
x
2
11+
证
（i ）由于R x y a x
∈=
.为对数函数
，y x a
log
=
.),0(+∞∈y 的反函数，故由公
式（6）得到
()
a
x '
=
)(log '
1
y a =e
y
a
log =
a a
x
ln .
（ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是)
2.2(,sin π
π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到
()x arcsin '
=
()
y sin '
1
=
y
cos 1
=
y
sin 2
-11=
)1,1(.-112
-∈x x
同理可
证:
()
x arccos '
=—
)1,1(.-112
-∈x x
()
=
x arctan '
()
y tan '
1
=y sec
2
1
=
y tan 2
11
+=
x
2
11
+
,()+∞∞-∈,x ,
同理可证
()
x arctan '
=—
()+∞∞-∈+,.112
x x
反函数组与坐标变换 设函数组
()()y x v y x u u ,,,== （9） 是定义在xy 平面点集R B 2
⊂上的两个函数，对每一点()y x P ,B ∈，由方程组有uv 平面
上惟一的一点()R
Q 2
v u,∈
∈与之对应，我们称方程组确定了B 到
R 2
的一个映射（变换）
，记作T ，这时映射可写成如下函数形式 T:B R
2
→
,
()()v u Q y x P ,,
或写成点函数形式()B P P T Q ∈=,，并称()v u,Q 为映射下()y x P ,的象，而P 则是Q 的原象，记B 在映射T 下的象集为
B '
=()B T
反过来，若T 为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象），这时每一点B Q '
∈
，由方程组（9）都有惟一的一点B P ∈与之相对应，由此所产生的新映
射称为映射T 的逆映射（逆变换），记作T
1
-，即
T 1-:
B B →'
P Q 或 ()B T Q Q P '
1
,∈=
- 亦即存在定义在上的一个函数组
()()v u y y v u x x ,,,== （10） 把它代入（9）而成为恒等式：
()()()()),,,,(),,,,u u v u y v u x v v v u y v u x ≡≡（ （11） 这时我们又称函数组（10）是函数组（9）的反函数组。
关于反函数组的存在性问题，其实是隐函数组存在性问题的一种特殊情形，这只需把方程组（9）改写成 ()0),(,,,=-=y x u u v u y x F ()()0,,,,=-=y x v v v u y x G （12）
并将定理应用与（12），便可得到函数组(9)在某个局部范围内存在反函数（10）的下述定理。
定理（反函数组定理） 设函数组（9）及其一阶偏导数在某区域R
D 2
⊂
上连续，点
p o
()y x o
,
0是D 的内点，且
()()()()
0,,,,,0
,
00≠∂∂==y x v u u
y x v y x u
则在点
()v p 0
0'
u 0，的某一邻域
U ⎪⎭
⎫
⎝⎛P 0'
内存在惟一的一组反函数（10），使得()()
v u y v u x y x 0
,000,00,==，且当()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈P U v u 0,'
时，有()()()()p U v u y v u x 0
,,,∈以及
恒等式（11),此外，反函数组（10）在⎪⎭
⎫ ⎝⎛P 0'
内存在连续的一阶偏导数，且
()()y x v u y u v x ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()(),,,/y x v u y v u x ∂∂∂∂=∂∂
()()y x v u x v u y ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()()
y x v u x u v y ,,/∂∂∂∂=∂∂。
由(13)看到：互为反函数组的（9）（10），它们的雅各比行列式互为倒数，即
()()()()
1,,.,,=∂∂∂∂v u y x y x v u 。