基本函数公式与高阶导数
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
导数和高阶导数公式总结
导数和高阶导数公式总结一、导数的定义和基本公式导数表示了函数在其中一点的变化率。
如果函数f(x)在x=a的邻域内有定义，那么它的导数f'(a)定义如下：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，lim表示极限，h表示变化的量。
在上述定义中，导数可以理解为函数在其中一点的切线斜率。
如果导数大于0，意味着函数在该点递增；如果导数小于0，意味着函数在该点递减；如果导数等于0，意味着函数在该点取得极值。
根据这个定义，我们可以得到一些基本的导数公式：1.常数函数的导数为02. 幂函数的导数：(xn)' = nx^(n-1)3.指数函数的导数：(e^x)'=e^x4. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x5.三角函数的导数：- (sin x)' = cos x- (cos x)' = -sin x- (tan x)' = sec^2 x- (cot x)' = -csc^2 x- (sec x)' = sec x * tan x- (csc x)' = -csc x * cot x二、高阶导数的定义和计算高阶导数是指函数的导数再次求导的结果。
如果函数f(x)的导数f'(x)存在，我们可以继续求导得到f''(x)，称为f(x)的二阶导数。
同样地，我们可以继续求导得到f'''(x)，f''''(x)，以此类推。
高阶导数的计算可以通过对导数的导数进行迭代实现。
例如，对于二阶导数：f''(x)=(f'(x))'=[(f(x+h)-f(x))/h]'= lim(h→0) [[(f(x+h) - f(x)) / h]' / h]通过类似的方法，可以计算三阶导数、四阶导数和更高阶的导数。
导数的基本公式与运算法则高阶求导
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y
1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4
0,
求
d2 y d x2
低阶导数和高阶导数
低阶导数和高阶导数一、低阶导数与高阶导数的定义（一）低阶导数1. 一阶导数- 对于函数y = f(x)，它的一阶导数y^′=f^′(x)表示函数y = f(x)的瞬时变化率。
- 从几何意义上讲，函数y = f(x)在点x处的一阶导数f^′(x)就是曲线y = f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率。
- 例如，对于函数y = x^2，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′=(x^2)^′ = 2x。
2. 二阶导数- 函数y = f(x)的一阶导数y^′=f^′(x)的导数称为函数y = f(x)的二阶导数，记作y^′′=f^′′(x)。
- 二阶导数在物理中可以表示加速度（如果y表示位移，y^′表示速度，那么y^′′表示加速度）。
- 对于前面提到的y = x^2，y^′ = 2x，那么y^′′=(2x)^′=2。
（二）高阶导数1. 定义- 一般地，函数y = f(x)的n - 1阶导数的导数称为函数y = f(x)的n阶导数，记作y^(n)=f^(n)(x)，n≥slant2且n∈ N^+。
2. 莱布尼茨公式（用于求两个函数乘积的高阶导数）- 设u = u(x)和v = v(x)都是n阶可导函数，则(uv)^(n)=∑_{k =0}^nC_{n}^ku^(n - k)v^(k)，其中C_{n}^k=(n!)/(k!(n - k)!)。
二、低阶导数与高阶导数的求法（一）基本函数求导公式1. 幂函数- (x^n)^′=nx^n - 1，例如(x^3)^′ = 3x^2。
2. 三角函数- (sin x)^′=cos x，(cos x)^′=-sin x，(tan x)^′=sec^2x。
3. 指数函数- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1），特别地(e^x)^′ = e^x。
4. 对数函数- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0），特别地(ln x)^′=(1)/(x)。
导数的基本公式18个
导数的基本公式18个1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，它的导数恒为零，即dy/dx=0。
2. 幂函数y=x^n的导数为y=nx^(n-1)对于幂函数y=x^n，它的导数为dy/dx=nx^(n-1)。
3. 指数函数y=a^x(a>0且a≠1)的导数为y=lna·a^x对于指数函数y=a^x，它的导数为dy/dx=lna·a^x，其中lna表示自然对数e为底数时a的对数。
4. 对数函数y=loga(x)(a>0且a≠1)的导数为y=1/(x·lna)对于对数函数y=loga(x)，它的导数为dy/dx=1/(x·lna)。
5. 三角函数y=sin(x)的导数为y=cos(x)对于三角函数y=sin(x)，它的导数为dy/dx=cos(x)。
6. 三角函数y=cos(x)的导数为y=-sin(x)对于三角函数y=cos(x)，它的导数为dy/dx=-sin(x)。
7. 三角函数y=tan(x)的导数为y=sec^2(x)对于三角函数y=tan(x)，它的导数为dy/dx=sec^2(x)，其中sec(x)=1/cos(x)为余割函数。
8. 反三角函数y=arcsin(x)的导数为y=1/√(1-x^2)对于反三角函数y=arcsin(x)，它的导数为dy/dx=1/√(1-x^2)。
9. 反三角函数y=arccos(x)的导数为y=-1/√(1-x^2)对于反三角函数y=arccos(x)，它的导数为dy/dx=-1/√(1-x^2)。
10. 反三角函数y=arctan(x)的导数为y=1/(1+x^2)对于反三角函数y=arctan(x)，它的导数为dy/dx=1/(1+x^2)。
11. 常数乘以一个函数的导数等于常数乘以该函数的导数对于函数y=c·f(x)，它的导数为dy/dx=c·f'(x)。
12. 两个函数的和的导数等于这两个函数的导数之和对于函数y=f(x)+g(x)，它的导数为dy/dx=f'(x)+g'(x)。
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
常见高阶导数8个公式
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
导数公式
求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。
★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。
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例3.17 求下列函数的n阶导数: (1)y=ax (a>0,a≠1); (2)y=sin x; (3)y=ln(1+x).
解 (1) y' ax ln a y'' ax (ln a)2 y''' ax (ln a)2 ln a ax (ln a)3
二、高阶导数
一般地,如果函数y=f(x)的导函数 函数f(x)的二阶导数,在点x处可导,则称导函数 在点x的导数为
y'' 或
d2 y 或 dx2
f''(x) 或
d2 f (x) dx2
类似的,定义y=f(x)的二阶导数
f'' 的导数为三阶导数,记为 (x)
y'''
1 x2
(12)(arccos x)' 1 ; 1 x2
1 (13)(arctan x)' 1 x2 ;
(14)(arc
cot
x)'
1 1 x2
.
基本求导法则
(Ⅰ)线性法则:
为常数;
(au bv)' au' bv',a,b
(Ⅱ)积法则: (uv)' uv' uv';
(Ⅲ)商法则:
(u v
其中,按规定 0！=1.
y(n) (sin x)(n) sin(x nπ ), n 1, 2,L 2
(3) y' [ln(1 x)]' 1 (1 x)1 1 x
y'' (1 x)2 y''' (1)(2)(1 x)3
(1)2 2!(1 x)3
一般地,有
y(n) [ln(1 x)](n) (1)n1(n 1)!(1 x)n, n 1, 2,L
)'
u'v uv' v2
,v
0;
(Ⅳ)链式法则: { f [u(x)]}' f'[u(x)]u'(x);
{ f [u其(中x)]}' 表示复合函数f[u(x)]对x求导, 表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).
f'[u(x)] f'(u) |uu(x)
(Ⅴ)反函数法则:
x (y)
f' (x) 1 其中,y='f((xy)为) 0, 的反函数. '( y)
第三节 基本函数公式与高阶导数
一、基本导数公式 二、高阶导数
一、基本函数公式
基本初等函数公式
(1)C' 0(C为常数);
(2)(xa )' axa1;
(3)(ax )' ax ln a(a 0,a 1);(ex )' ex
(4)(loga
|
x
|
)'
1 ,(ln x ln a
|
x
|
)'
一般地,有 y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n, n=1,2,…
特别地,a=e时,有 (ex)(n)=ex,n=1,2,…
(2) y' (sin x)'
cos x
sin(x π ) 2
y'' cos(x π ) 2
sin(x π π) 22
sin(x 2 π) 2
一般地,有
y '' [(a b)cos x (a b)sin x]ex [(a b)sin x (a b)cos x]ex
2(a cos x bsin x)ex
所以
y'' 2 y' 2 y 2(a cos x bsin x)ex 2[(a b)sin x (a b)cos x]ex 2(asin x bcos x)ex
或
dn y dxn |xx0
或
f
(n) (x0 )
或
dn f (x0 ) dxn
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n
阶导数.
例3.16 设y=(asin x+bcos x)ex,其中a,b为常数.试证:
y'' 2y' 2y 0
证 因为
y' (a cos x bsin x)ex (asin x bcos x)ex [(a b)sin x (a b)cos x]ex
1; x
(5)(sin x)' cos x;
(6)(cos x)' sin x;
(7)(tan x)' sec2 x;
(8)(cot x)' csc2 x;
(9)(sec x)' sec x tan x;
(10)(csc x)' csc x cot x; (11)(arcsin x)' 1 ;
或
d3 y dx3
或
f''' ( x)
或
d3 f (x) dx3
如果函数y=f(x)的n－1阶导数存在且可导,则称y的n－1阶导数的导数为y=f(x)的n 阶导数,记为
y(n) 或
dn y dxn
或
f (n) (x) 或
dn f (x) dxn
n阶导数(n=1,2,…)在点x0处的值记为
y | (n) x x0