函数的导数公式与和差法则
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的基本公式和运算法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而解决相关的求导问题。
下面将详细介绍导数的基本公式和运算法则。
1.基本公式：-常数函数：如果f(x)=c是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
- 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是实数，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
- 反三角函数：对于反三角函数asin(x)、acos(x)、atan(x)，它们的导数分别为1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 +x^2)。
2.运算法则：-常数法则：如果f(x)=c是一个常数函数，那么对于任何x，有f'(x)=0。
-基本运算法则：a.和法则：对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。
b.差法则：对于函数f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)-v'(x)。
c.乘法法则：对于函数f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
函数的和、差、积、商的导数
例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= x +cosx 1 (3)若f ( x ) x 2 , 则f(x)可能是下式中的( B )
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
导数的运算法则
100 x
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
( 2)因为c' (98)
5284
1321
2
(100 98)
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
2 ;
2
cos x
cos x
cos x
巩固练习
求下列函数的导数:
(4) y (2 x 3)(3x 2)； (5) y x tan x;
2
ln x
(6) y
x
2
2
(
4
)
法一：
y
(
2
x
3
)'
(
3
x
2
)
(
2
x
3)(3x 2)'
解：
4 x(3x 2) (2 x 2 3) 3 18x 2 8x 9
公 式5.若f ( x ) a x， 则f ' ( x ) a x ln a (a 0);
公 式6.若f ( x ) e x， 则f ' ( x ) e x ;
1
公 式7.若f ( x ) log a x， 则f ' ( x )
(a 0, 且a 1);
x ln a
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90％
导数公式导数运算法则
导数公式导数运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化速率。
导数的计算涉及到一系列的运算法则，这些法则可以帮助我们更快、更方便地求取函数的导数。
在以下讨论中，假设函数f(x)和g(x)是可导函数，c是常数。
一、四则运算法则1.加法法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)这个法则表示如果一个函数是两个可导函数的和，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
2.减法法则：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)同样地，如果一个函数是两个可导函数的差，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
3.乘法法则：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)这个法则说明了如果一个函数是两个可导函数的乘积，那么它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
4.除法法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2这个法则表示，如果一个函数是一个可导函数除以另一个可导函数，那么它的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
二、连锁法则1.复合函数的导数：如果y=f(u)和u=g(x)是可导函数，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx这个公式称为连锁法则，它表示了复合函数的导数与内部函数和外部函数的导数之间的关系。
三、常用函数的导数1.幂函数:d(x^n)/dx = nx^(n-1)这个法则表示了幂函数的导数，其中n是任意实数。
2.指数函数:d(e^x)/dx = e^x这个法则说明指数函数e^x的导数是它本身。
3.对数函数:d(ln(x))/dx = 1/x这个法则说明自然对数函数ln(x)的导数是1除以x。
导数基本公式和运算法则
导数基本公式和运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面我们来详细介绍一下。
一、导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处有极限lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)如果该极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)=lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)二、导数的基本公式1. 常数函数的导数为0(d/dx) c = 02. 幂函数的导数(d/dx) x^n = nx^(n-1)3. 指数函数的导数(d/dx) e^x = e^x4. 对数函数的导数(d/dx) ln x = 1/x5. 三角函数的导数(d/dx) sin x = cos x(d/dx) cos x = -sin x(d/dx) tan x = sec^2 x(d/dx) cot x = -csc^2 x三、导数的运算法则1. 常数倍法则如果f(x)在点x0处可导，则kf(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (kf(x))]x=x0 = k[d/dx f(x)]x=x02. 和差法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)+g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 + [d/dx g(x)]x=x0[d/dx (f(x)-g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 - [d/dx g(x)]x=x03. 乘积法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)g(x))]x=x0 = f(x0)[d/dx g(x)]x=x0 + g(x0)[d/dx f(x)]x=x04. 商法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)/g(x))]x=x0 = [g(x0)[d/dx f(x)]x=x0 - f(x0)[d/dx g(x)]x=x0]/[g(x0)]^2以上就是导数的基本公式和运算法则，它们是微积分学习的基础，掌握好这些公式和法则，可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
和、差、积、商的求导法则
u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) [v ( x )]2
f ( x )在x处可导.
首页 上页 下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1
n
n
( 2) [Cf ( x )] Cf ( x );
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
例5
求 y sinh x 的导数 .
解
1 x 1 x x x y (sinh x ) [ (e e )] ( e e ) cosh x . 2 2
1 (tanh x ) cosh 2 x
首页 上页 下页
f ( u0 )( x0 ).
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例9 求函数 y esin x 的导数 .
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
首页 上页 下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例8
求函数 y log a x 的导数.
解 x a y在I y ( ,)内单调、可导,
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x