高阶、隐函数的导数和微分练习题
高阶导数练习题
高阶导数练习题高阶导数练习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的斜率或变化率。
高阶导数则是导数的导数，它提供了更多关于函数曲线的信息。
在解决实际问题中，高阶导数的应用十分广泛。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。
1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求f(x)的一阶和二阶导数。
解：首先求一阶导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将f(x)代入，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 + 2(x+h)^2 - 5(x+h) + 1 - (x^3 +2x^2 - 5x + 1)] / h。
化简后，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 + 4x +4h - 5] / h。
继续化简，得到f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。
接下来求二阶导数f''(x)。
根据导数的定义，f''(x) = lim(h→0) [f'(x+h) - f'(x)] / h。
将f'(x)代入，得到f''(x) = lim(h→0) [(3(x+h)^2 + 4(x+h) - 5) - (3x^2 + 4x - 5)] / h。
化简后，得到f''(x) = lim(h→0) [6x + 3h + 4] / h。
继续化简，得到f''(x) = 6x + 4。
所以，f(x)的一阶导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 5，二阶导数为f''(x) = 6x + 4。
2. 设函数g(x) = e^x * sin(x)，求g(x)的三阶导数。
解：首先求一阶导数g'(x)。
根据导数的定义，g'(x) = (e^x * sin(x))'。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
隐函数练习题求解隐函数的导数与相关性质
隐函数练习题求解隐函数的导数与相关性质隐函数是在一些方程中无法直接解出的函数，而是以一种隐含的方式存在于方程中。
求解隐函数的导数与相关性质是数学中的重要问题之一。
本文将通过几个隐函数练习题来讨论如何求解隐函数的导数以及一些相关的性质。
一、题目一考虑方程：y - x^3 + x^2 - 3 = 0解：我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
首先，对于 x 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为 x 的函数，即：y = x^3 - x^2 + 3接下来，我们就可以利用隐函数求导的方法来求解隐函数的导数。
对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = 3x^2 - 2x这就是方程 y - x^3 + x^2 - 3 = 0 隐含的导数表达式。
二、题目二考虑方程：x^2 + y^2 - 4x + 2y = 3解：同样地，我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
对于 x 和 y 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为x 的函数，即：y = sqrt(3 - x^2 + 4x) - 2注意到在求解过程中，我们需要考虑到方程右端开根号的部分。
由于该开根号符合函数的定义域要求，所以我们可以将其保留。
接下来，我们依然可以利用隐函数求导的方法来求解隐函数的导数。
对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = (-2x + 4) / (2 * sqrt(3 - x^2 + 4x))同时，我们还可以讨论一些相关的性质。
例如，我们可以计算该隐函数在某个特定点处的导数值，来判断该点处的斜率情况。
另外，通过对隐函数的导数表达式进行分析，我们还能得到该函数的单调性、凹凸性等性质。
三、题目三考虑方程：x^3 + y^3 - 3xy = 0解：同样地，我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
对于 x 和 y 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为x 的函数，即：y = (3x)^(1/3)对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = (1/3) * (3x)^(-2/3)在这个例子中，我们可以看到，由于方程中的 y 的幂次较低，导数的计算相对简单一些。
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。
它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。
本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。
化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。
因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。
2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。
解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。
根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。
代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。
化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。
希望这些习题对您有所帮助！。
高等数学导数及微分练习题
作业习题1、求下列函数的导数。
（1）223)1(-=x x y ； （2）xxy sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xx x y )1(+=。
2、求下列隐函数的导数。
（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。
3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dx yd 。
4、求下列函数的高阶导数。
（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。
5、求下列函数的微分。
（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin xx y -=。
6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。
7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。
作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。
（2）解：2sin cos )sin (x xx x x x y -='='。
（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。
（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。
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高阶导数
1． 填空题.
（1）x y 10=，则()()=0n y
. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..
2． 选择题. （1）设
f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )
A.
'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.
（2）设函数()y
f x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )
A ．()1''f x ； B. ()()[]
-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =
4．计算下列各题.
（1）()
y x x =-11，求()().24y （2）()y
e x x =-21，求().20y （3）y x x =-+132
2，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y
（5）,2sin 2x x y = 求()..50y
5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f
6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1． 设y e
y x x sin 22=-，求.dx dy 2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求
.0=x dx dy
3．求曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222
1313t t
y t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.
（1）.1sin x e x x y -=
（2）().sin ln x x y =
5．设()y y x =由方程e y x xy +-=3
50所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.
（1） 设()
x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y （2） 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=0
1sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥⎧⎨⎪⎩⎪2010
,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.
函数的微分
1． 填空题.
（1）设x x y 22-=在x 0
2=处∆x =001.，则=∆y ，=y d . (2) 设()y f x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim .
（3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x .
（4）d .1dx x = （5）d .3dx e x =
（6）d .11
2dx x -=
（7）d .2tan 2sec xdx x =.
2． 选择题.
（1） 设()y f u =是可微函数，u 是x 的可微函数，则d y =( )
A ．();d x u u f '
B ．();d x u f '
C ．();d u u f '
D ．().d u u u f ''
（2） 若f x ()可微，当∆x →0时，在点x 处的∆y y -d 是关于∆x 的 ( )
A ．高阶无穷小；
B ．等价无穷小；
C ．同阶无穷小；
D ．低阶无穷小. （3） 当
∆x 充分小，'≠f x ()0时，函数()y f x =的改变量∆y 与微分d y 的关系是( )
A ．;d y y =∆
B ．;d y y <∆
C ．;d y y >∆
D ．.d y y ≈∆
（4）()y f x =可微，则d y ( )
A ．与∆x 无关；
B ．为∆x 的线性函数；
C ．当∆x →0时是∆x 的高阶无穷小；
D ．当∆x →0时是∆x 的等价无穷小.
3．求下列函数的微分.
（1）.412
x x y += （2）.2cos x x y =
（3）.2x e x y -=
（4） .1cos 2
x x y -= （5）.)2ln (ln 3x y =
4．设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy .
5．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy
6．223y xy x y ++=，求.dy
7．计算302.1和98.0ln 的近似值.
8.钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。
现有一只挂钟，当摆长为10cm 时走的很准确。
由于摆长没有校正好，长了0.01cm . 问这只钟每天慢多少秒?。