高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案 必修3
高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教B版必修3(2021年整理)
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点)2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法。
（重点）3.会应用相关知识解决实际统计问题。
（难点）［基础·初探］教材整理1 样本的平均数阅读教材P65～P66，完成下列问题。
1.定义：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.2。
特点：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样本的平均数估计总体的平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似.3.作用：n个样本数据x1，x2，…，x n的平均数错误!＝错误!，则有n错误!＝x1＋x2＋…＋x n,也就是把每个x i（i＝1，2，…，n)都用错误!代替后，数据总和保持不变。
所以平均数错误!对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平。
一组观察值4，3,5,6出现的次数分别为3，2,4,2，则样本平均值为( ）A.4.55 B。
4。
5C.12.5D.1.64【解析】错误!＝错误!≈4.55。
【答案】A教材整理2 样本的方差和标准差阅读教材P66“最后一段”至P68，完成下列问题.1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。
人教B版必修3高中数学2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征word导学案
一、知识点归纳整理：1. 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据或中间两数的平均数叫这组数据的中位数2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (可能有多个或没有众数)3.平均数：n个数x1,x2,…,x n,x = 1n( x1+x2+…+x n )叫n个数的算术平均数,简称平均数4. 方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征？答：方差和标准差分别用S 2和s表示．用表示一组数据的平均数，x1、x2、… x n表示n 个数据，则这组数据方差的计算公式是标准差的计算公式是方差和标准差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度．方差反映数据波动大小,方差越大,则波动越大, 越不稳定标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数练习1：这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数方差标准差1、2、3、4、5 3 211、12、13、14、15 13 23、6、9、12、15 9 18撰稿人：赵志岩练习2：请你用上面发现的结论来解决以下的问题。
已知数据a1，a2，a3，…，a n的平均数为X，方差Y, 标准差Z, 则①数据a1+3，a2 +3，a3 +3，…，a n +3平均数为---------，方差为-------，标准差为----------。
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3，…，a n -3平均数为----------，方差为--------，标准差为----------。
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3a n的平均数为-----------，方差为-----------，标准差为----------。
④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3，…，2a n -3的平均数为----------，方差为---------，标准差为----------。
数学知识点人教A版高中数学必修三 2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》学案1-总结
高中数学必修三学案：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
1. 2.标准差、方差的概念。
(1).数据的离散程度可用极差、 、 来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的数据为123,,,n x x x x ，样本的平均数为x ，则定义2s = ，2s 表示方差。
(2).为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根 s = ，s 表示样本标准差。
不要漏写单位。
3.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？ ①众数： 。
②中位数： 。
③平均数： 。
二、新课导学 ※ 探索新知新知1：众数、中位数、平均数(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．① 当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．②当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数． (3)平均数：如果有n 个数123,,,n x x x x ，那么nx x x n+++ 21叫这n 个数的平均数．新知2：标准差、方差 1.标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示。
样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法： ① 算出样本数据的平均数x 。
② 算出每个样本数据与样本(1,2,)i x x i n -= ③算出②中(1,2,)ix x i n -= 的平方。
④ 算出③中n 个平方数的平均数，即为样本方差。
⑤ 算出④中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：])()()[(122221x x x x x x ns n ++++-=显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)》学案(无答案)新人教a版必修3
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征姓名班级组别使用时间【学习目标】1.了解众数、中位数、平均数并会求一组数据的平均数．2．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
【知识链接】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？【自主学习】⒈众数：出现次数的数叫做这组数据的众数。
2.中位数：如果将一组数据按的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最是这组数据的中位数3.平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数，记做【探究提升】1．（1）若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是___________；（2）如果两组数x1,x2,…,x n和y1,y2,…,y n的样本平均数分别是x和y,那么一组数x1+y1,x2+y2,…,x n+y n的平均数是___________．2.某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110 3.某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．4.某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．【课堂小结】1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；形成对数据处理过程进行初步评价的意识．【当堂检测】C级1．已知一组数据为-1,0,4，x,6,15,且这组数据的中位数为5，那么数据的众数为（） A.5 B.6 C.4 D.5.52.10名工人某天生产同一件零件，生产的件数是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是（）A.14件B.16件C.15件D.17件3.已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是( )A．0.14,0.15 B．0.15,0.14 C．0.15,0.15 D．0.15,0.1454．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x=A 21B 22C 20 D23。
人教版高中数学必修3-2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》参考教案2
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标：1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
教学重点：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
教学过程：1．本均值：nx x x x n +++= 21 2．样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== 3．例题讲解：例1,P76,本处略。
例2,P77,本处略。
通过这两套习题熟悉上述两个公式。
由于本章节内容识记性知识点较多，对计算能力也有较高要求，故教师可从多渠道补充课堂练习，达到预期目标。
4．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。
在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
5．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理课堂练习：小结：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
课后作业：P81第4题；P82第5题.。
湖南省衡南县第三中学高中数学 2.2.2-1用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案 新人教A版必修3
湖南省衡南县第三中学高中数学 2.2.2-1用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案新人教A版必修3一、日清检测：1、有20种不同的零食，它们的热量含量如下：110，120，123，165，432，190，174，235，428，318，249，280，162，146，210，120，123，120，150，140这的20个数据组成的总体的平均数是。
二、学习目标：１、知识与技能：２、过程与方法：３、情感态度与价值观：三、情境引入在欧洲国家，每当飞机发生空难，乘客对飞机的安全系数产生怀疑时，常听到航空公司的有关人士辩解说：“乘坐飞机还是比乘坐火车安全的．”理由是：飞机飞行10万千米才死亡1人，而火车行驶5万千米就有1人死亡．你认为这个结论正确吗，能否给出合理的解释呢？四、自主学习阅读教材P71－78，回答下列问题1．众数、中位数、平均数、标准差、方差、用样本估计总体：2、它们各自的特征：探究1：探究4：现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这个数组的标准差是() A．1B．2C．3D．4探究5：(1)下列刻画一组数据离散程度的是()A. 平均数B．方差C．中位数D．众数（2）、计算10，11，12，11，14，8的方差是。
探究6：(1)下列判断正确的是()A．样本平均数一定小于总体平均数B．样本平均数一定大于总体平均数C．样本平均数一定等于总体平均数D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为()A．27 B．28C．29 D．30五、教师小结六、当堂检测：1．下列说法错误的是()A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2．在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的()A．平均状态B．分布规律C．离散程度D．最大值和最小值3．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为()A．3与3 B．23与3C．3与23 D．23与234．(2012·山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88, 88,88.若B 样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差5．抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是________，得分的方差是________．6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝________.。
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案新人教必修3
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征[自我认知]: 1.如果5个数1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的平均数是7 ,那么1x +1,2x +1,3x +1,4x +1,5x +1这5个数的平均数是 ( )A.5B.6C.7D.82.下面说法:①如果一组数据的众数是5,那么这组数据中出现次数最多的数是5;②如果一组数据的平均数是0,那么这组数据的中位数为0 ;③如果一组数据1,2,x ,4的中位数是3 ,那么x =4;④如果一组数据的平均数是正数,那么这组数据都是正数其中错误的个数是 ( )A.1B.2C.3D.43. 一组数据12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位数是 ( )A.31B.36C.35D.344.某农科所种植的甲、乙两种水稻,连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验,试验得出平均产量是x 甲=x 乙=415㎏,方差是2s 甲=794,2s 乙=958,那么这两个水稻品种中产量比较稳定的是 ( )A.甲B.乙C.甲、乙一样稳定D.无法确定5.对一射击选手的跟踪观测,其环数及相应频率如下:环数 6 7 8 9 10频率 15% 25% 40% 10% 10%求该选手的平均成绩__________。
6.五个数1,2,3,4, a 的平均数是3 ,则a =_______,这五个数的标准差是___________.7.已知2,4,2x ,4y 四个数的平均数是5而5,7,4x ,6y 四个数的平均数是9,则x y 的值是___________.8.已知样本数据1x ,2x ,…n x 的方差为4,则数据21x +3,22x +3,…2n x +3的标准差是_____.9.甲.乙两名射手在相同条件下射击10次,环数如下：甲：7 8 8 9 9 9 9 10 10 10乙：7 7 8 9 9 9 10 10 10 10问哪一名选手的成绩稳定？10.样本101，98，102，100，99的标准差为______[课后练习]:11.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的 ( ) 班次 姓名A.平均状态B.分布规律C.波动大小D.最大值和最小值12.两个样本甲和乙,其中x甲=10,x乙=10,2s甲=0.055,2s乙=0.015,那么样本甲比样本乙波动A. 大B. 相等C. 小D.无法确定 ( )13.频率分布直方图的重心是 ( )A.众数B.中位数C.标准差D.平均数14.能反映一组数据的离散程度的是 ( )A.众数B.平均数C.标准差D.极差15.与原数据单位不一样的是 ( )A.众数B.平均数C.标准差D.方差16.下列数字特征一定是数据组中数据的是 ( )A.众数B.中位数C.标准差D.平均数17.数据：1,1,3,3的众数和中位数分别是 ( )A. 1或3,2B. 3,2C. 1或3,1或3D. 3,318.某医院为了了解病人每分钟呼吸次数,对20名病人进行测量,记录结果如下：12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13,求这组数据的平均数,中位数,众数.19.某班进行个人投篮比赛,受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：同时,已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球,进球4个或4个以下人平均每人投进2.5个球.那么投进3个球和4个球的各有多少人？20.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如下表所示：⑴请估计这批棉花纤维的平均长度与方差；⑵如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200,两者允许误差均 不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格？2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征甲11.C 12.A 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A18.解：平均数3891920x =≈,中位数是18,众数为18. 19.解：设投进3个球和4个球的各有x,y 人,则3410 3.5221434 2.510x y x y x y x y++⎧=⎪++⎪⎨+++⎪=⎪++⎩ .化简得,6318x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解之得：126x y =⎧⎨=⎩答：投进3个球和4个球的分别有12人和6人.20.解：⑴由题知,这批棉花纤维长度的样本平均值为：4.85(厘米),棉花纤维长度的方差为：()()()2223 4.850.255 4.850.46 4.850.35-⨯+-⨯+-⨯=1.3275(平方厘米).由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85(厘米),方差为1.3275(平方厘米).⑵棉花纤维长度的平均值达到标准,而方差超过标准,可以认为这批产品为不合格.。
高中数学人教新课标B版必修3--《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计4
基于概念的数据分析
一．教学目标：
知识与技能目标：利用统计与概率基本概念的意义，进行数据分析，并做出推断。
过程与方法目标：经历“用样本估计总体”的过程，体会这一重要统计思想的应用。
培养学生提取
数字特征，分析数据的能力。
情感、态度和价值观目标：从身边的例子入手，激发学生兴趣，提高分析问题、解决问题的能力。
渗透应用意识，学有用的数学。
二．教学重点：在理解概念的意义的基础上，进行数据分析．
三．教学难点：有针对性的分析数据，并做出合理推断．
四．教学环节：目标引入→问题提出→数据分析→分析推断→问题解决→课堂小结→思考练习
题的一种常用方法。
材料：下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空
气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200
表示空气重度污染.
看似是图，实则是数据信息，也可用表的形式呈现。
根据上图，你能提出哪些问题？
1.由图判断从哪天开始连续三天的空气质量最好?最差？(结论
不要求证明)
2.由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结
论不要求证明)
3.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并
停留2天
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布
列与数学期望.
1。
山东省高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案2 新人教A版必修3
第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 121312512125135125135125乙115 112513115125125145125145哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论. (3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- .意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］.显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s 甲=2.用类似的方法，可得s 乙≈1.095.由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值. 解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为 ［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 ［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24. 因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390灯泡数1111820251672分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命. 解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 知能训练 （1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________. (3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2(3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x aa =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入. 课堂小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度. 2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确. 作业习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、2.设计感想统计学科,最大的特点就是与现实生活的密切联系,也是新教材的亮点.仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式,简单模仿课本例题”来学习,是绝对不行的.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,其原因在于样本的随机性.这种偏差是不可避免的.虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本的容量很大时,它们确实反映了总体的信息.教师建议：亲身经历“提出问题,收集数据,分析数据,并作出合理决策”过程,在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解,更重要的是发展了思维,培养了分析及解决问题能力,同时在情感、意志等领域也得到了协调发展,这才是学校学习的科学而全面的目标,习题设置有层次,尽量源于教材,又高于教材,这也是高考命题原则.。
人教版高中数学必修三(教案)2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(一)
第三课时2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(一) 教学要求：正确理解样本数据分布直方图的意义和作用，从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数），并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学重点：从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数）.教学难点：对比初中所学众数、中位数、平均数的概念.教学过程：一、复习准备：1. 提问：作样本频率分布直方图的基本步骤是怎样的？2. 讨论：如何通过样本的频率分布直方图分析出一些规律？（给出一个图，试着分析）3. 已知数据：10,11,12,12,13,13,13,14,15，根据初中所学的知识，试求中位数、众数、平均数.复习：初中学习的中位数、众数、平均数概念？（样本众数：样本观测值中出现次数最多的数；样本中位数：将一组数据从按大小依次排列，处在最中间的一个数据；平均数.）讨论：如何通过样本的数字特征来了解总体的数字特征？引入：这节课学习如何通过频率分布直方图分析数字特征（中位数、众数、平均数）.二、讲授新课：1、教学众数、中位数、平均数的估计：①讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计众数？（注意哪段范围的数最多）②估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字. （最高矩形的中点）③思考：从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t，翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（结论：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
）④讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计中位数？（注意中位数分离标准）⑤估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.原因：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。
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1
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1
授
课 时间 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课
人
学
习
目
标
1. 掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用；
2. 根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
重
点
难
点
根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
学
习
过
程
与
方
法 自主学习 复习回顾 1. 什么叫平均数？有什么意义？ 2. 什么叫中位数？有什么意义？ 3. 什么叫众数？有什么意义？ 练习1： 某公司员工的月工资情况如表所示： 月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500 员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2 （1） 分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。 （2） 公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？ 【解】
4. 什么叫极差？有什么意义？
5. 什么叫方差？有什么意义？
练习2： 在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用
茎叶图表示，如图
（1） 甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（2） 你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？
2
精讲互动
例1 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产
抽取10件进行测量，结果如下表所示
甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39
乙 40.0 40.0 399 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39
（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？
提出问题：什么叫标准差？有什么意义？
（2） 分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差
达标训练
1. 课本31页 练习
2. 教辅资料
作习题1-4 1，2
3
业
布
置
学
习
小
结
/
教
学
反
思