导数与微分测试题及答案一
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 ? 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x )C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.10. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i=f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.已知g(x)=且复合函数f(g(x))对x的导数为，那么．A.1√D.2由已知条件[f(g(x))]’=f"(g(x)).g’(x)=f"(g(x)).即(C)．3.f(x)在(一∞，+∞)内可导，若一x)]，则( )是奇函数．A.g(x)B.g(一x)C.g’(x) √D.1+∫0x g(t)dt由已知得g(一x)=g(x)，故g(x) g’(x)=一g’(一x) 故g’(x)是奇函数．4.设函数f(x)可导，则的导数y’等于( )A.B.C.D. √5.设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x 2，则x=0必是f(x)的( )．A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且f"(0)=0 √D.可导的点，且f’(0)≠0令x=0，由|f(0)|≤0知f(0)=0．而0≤|f(x)一f(0)|=|f(x)|≤x 2，由夹逼定理可知所以f(x)在x=0处连续．再讨论f(x)在x=0处的左、右导数，由|f(x)|≤x 2，得一x 2≤f(x)≤x 2．6.设f"(x)=(x一1)(2x+1)，x∈(一∞，+∞)，则在区间1)内有( )．A.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凹的√B.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凹的C.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凸的D.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凸的因为时，f"(x)=(x一1)(2x+1)＜0，f"(x)=4x一1＞0 f(x)单调减少且曲线y=f(x)为凹的．7.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x)，且有f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则f(x)在x=1处( )．A.不可导B.可导且f"(1)=aC.可导且f"(1)=bD.可导且f"(1)=ab √在f(1+x)=af(x)中，令x=0，得f(1)=af(0)8.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且．则A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√举反例说明．比如φ(x)=e -|x|，f(x)=2e -|x|，g(x)=3e -|x|，则有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且存在．但若取φ(x)=e -|x| +x，f(x)=2e -|x| +x，g(x)=3e -|x| +x，则有9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0，则当x∈(a，b)时，有( )．A.f(x)g(x)＞f(b)g(a)B.f(x)g(x)＞f(b)g(a)C.f(a)g(b)＞f(b)g(a)D.f(x)g(x)＞f(b)g(b) √令F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知 F’(x)=f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0 (a≤x≤b)．于是，F(x)在[a，b]上单调减少，故当x∈(a，b)时，F(x)＞F(b)，即f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.下述极限中，等于e的是( )A.B. √C.D.11.设函数f(x)在(a，b)内可微，则( )．A.在[a，b]上连续B.若f(x)在(a，b)上严格单调递增，则f"(x)≠0C.若f(x)严格单调递增，且f(x)≠0√D.在(a，b)内f(x)必存在极限．因为f(x)严格递增，所以f"(x)≥012.填空题__________________________________________________________________________________________13.若函数f(x)在x 0点可导，则填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3f"(x 0 )．）0 )+2f"(x 0 ) =3f"(x 0 )．14.设函数f(x)在x 0点可导，填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不能确定．）因为由f"(x 0 )存在，可知因此，若f(x 0 )=0，则有若f(x 0 )≠0，则有原极限值不能确定．15.设函数f(x)在(一∞，+∞)上满足2f(1+x)+f(1一x)=e x，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）先求f(x)的表达式．令x=一t，则等式变为由此可解得 3f(1+t)=2e t—e -t，再令1+t=x，可得于是有16.函数f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）由|x 4一x|=|x||x一1|(x 2 +x+1)，可知f(x)的不可导点至多有两个点：x 1 =0，x 2 =1．下面我们来分析这两点是否不可导．在x 1=0点处，在x 2=1点处所以f(x)在x 2=1点可导，因此f(x)的不可导点只有一个．17.函数y=y(x)是由方程e xy +x一y一2=0所确定，则y’(0)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）在等式e xy +x—y一2=0两边求导，有 e xy (y+xy’)+1一y’=0，由此可得又由方程知y(0)=一1，于是有18.设函数y=y(x)由方程x y =y x所确定，则y’(1)= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）利用对数求导法，有ylnx=xlny，上式两边对x x=1时，可解得y(1)=1，代入上式，有y’(1)=1．19.当x≠0时，函数f(x)满足f(x 3，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）先求函数f(x)的表达式：令等式化为 f"(1)=一1．20.已知填空项1:__________________因f"(x)=而21.计算题__________________________________________________________________________________________22.设f(x)与φ(x)在x=0处均连续，求φ(0)和φ’(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(x)在x=023.求函数x=0点处的左、右导数f - "(0)与f + "(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(y=|x|在x=0点处左、右导数都存在，但不相等．因此，此函数在x=0点处导数不存在．)24.已知f"(a)=a 2，__________________________________________________________________________________________正确答案：(25.__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即所以可得)26.求函数y=ln|x|的导数。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
大学高等数学导数与微分 自测自检题 含参考解答
第二章 导数与微分自测自检题参考解答一、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则()0f '= 解法一：由定义000()(0)(1)(2)()0(0)limlim0lim(1)(2)()!x x x f x f x x x x n f x x x x x n n →→→-+++-'==-=+++= 解法二：由于()(1)(2)()()f x x x x n x '=++++ ，因此()0f '=!n .2、设()01f x '=-，则()()00lim2h hf x h f x h →---=解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000000000000000200lim21lim 21lim21lim 2(2)212lim(2)lim 212(2)lim lim2h h h h h h h h hf x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h →→→→→→-→-→---=---=--+--=+--+---⋅+--=+--+---⋅+--=+--+---+-()()()000121hf x f x -=''-+=3、设()y y x =由方程cos()0x y e xy +-=所确定，则0d x y==解：对方程两边直接求微分，得到()d cos()0x y e xy +-=，即()()()d d sin d d 0x y e x y xy y x x y +++⋅+=，解出()()sin d d sin x y x ye y xy y x e x xy +++=-+. 在方程cos()0x y e xy +-=中，当0x =时，0y =，因此()()0sin d d d sin x y x y x x y e y xy y x x e x xy ++===+=-=-+.4、曲线arctan y x =在1x =处的切线方程是 ，法线方程是 解：由于(1)4y π=，()21111(1)arctan 12x x y x x ==''===+，因此曲线arctan y x =在1x =处的切线方程为()1142y x π-=-，法线方程为()214y x π-=--，即曲线的切线方程为2420x y π-+-=，法线方程为8480x y π+--=.5、设()f x 在0x 可导，0x x x ∆=-，()()0y f x f x ∆=-，则0lim x y ∆→∆=解：()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续，由连续的定义，0lim x y ∆→∆=0.二、选择题1、设可导函数()f x 是奇函数，则()f x '是（ ）A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 不能确定解：因为()f x 是奇函数，因此()()f x f x -=-，即()()f x f x =--，所以()f x '=()()()()()1f x f x f x '''--=---=-，亦即，()()f x f x ''-=，()f x '是偶函数。
导数与微分习题及答案
C . a =—2 , b =1D . a = 2 , b = —1第二章导数与微分(A)1. 设函数y = f (x )，当自变量x 由x o 改变到Xo +A X 时，相应函数的改变量A. f (x 0+A x )B. )+i xC. f (x 0+A x )—)D. f(x 0 2 .设 f (x 准 X 0 处可，则匹 f (X0-")—f (X0)=()A. — f '(x0)B. f '(—X0)C. f '(x0)D. 2f '(X0) 3.函数f (x 在点x 0连续，是f (x )在点x 0可导的( )5.若函数f(x )在点a 连续，则f(x )在点a ( )A.左导数存在；B.右导数存在； C .左右导数都存在 D .有定义 6.f (x )=x -2|在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在7.曲线y =2x 3 -5x 2+4x -5在点(2,-1 )处切线斜率等于( )A. 8B. 12C. -6D. 6 &设y=e 逹且f(x 厂阶可导，则/=() B . e f*)f “(X ) C . e f (X f (x )r(x » D . e f (XX f (x 护 +f “(x 9B . a =1, b = 2A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件C.充分必要条件4.设函数y = f(u 是可导的，且UA . f '(X 2 )B . xf T x 2 )C . 既不充分也不必要条件 =x 2，则 ¥=()dx2xf T x 2 ) D . X 2 f (X 2 )A . e f(x9.若f (x )才axe ,b +sin2x, X <0X >0在x=0处可导，则a , b 的值应为( )10. 若函数f(x )在点X o 处有导数，而函数 g(x )在点X o 处没有导数，则 F(x )= f (x )+g (x ), G(x )= f (X )—g(x )在 x 处( )11. 函数f (x )与g (x )在x o 处都没有 导数，贝U F (x )= f (x )+g (x ), G(x )= f (X )—g(x 在 X o 处( )12.已知 F (x )=f [g (x )],在 x = x o 处可导，则()113. y = arctg ，则 y'=()Xf (a +hf (a )——h ——=() hA. 乎 B .3 C. 2f® D . —f®15.设f (x )在(a, b 内连续，且X o 巳a, b )，则在点x o 处( )A. f (x )的极限存在，且可导B. f (x )的极限存在，但不一定可导16.设f (x )在点x = a 处可导，则『八3h L设函数y = y (x )由方程xy-eX +e y=0所确定，则y'(0) =A .一定都没有导数 B •—定都有导数 C.恰有一个有导数D.至少一个有导数A .一定都没有导数 B. —定都有导数 C.至少一个有导数D .至多一个有导数A. f(x ), g(x 都必须可导B. f (x )必须可导C. g(x )必须可导D. f (X )和g(x )都不一定可导 B.1 1+x 2C.2X1 +x 22X 1 +14.设f(x )在点x = a 处为二阶可导，则 lh m o C. f(x )的极限不存在D . f(x )的极限不一定存在17. 函数y = X +1导数不存在的点 18.设函数 f (x )=sin 〔2x +巴〕 I 2丿19.若函数 y=eX(cosx+sinx )，贝U dy = 若 f （x ）可导，y = f {f 【f （x W ，则―25.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: -1 Cxsin- , X H 0 x0, X =0设 y = f （g x e f （X ）且 f '（X ）存在，求 dy 。
高数 导数与微分习题及答案
3、若函数 f ( x ) 在点 x 0 不连续，则 f ( x ) 在 x 0 ( （A）必不可导； （B）必定可导； （C）不一定可导； （D）必无定义. 4、如果 f ( x ) =（ ） ，那么 f ( x ) 0 . (A) arcsin 2 x arccos x ； (B) sec 2 x tan 2 x ； (C) sin 2 x cos 2 ( 1 x ) ； (D) arctan x arc cot x . 5、如果 （A） a （C） a
一、 选择题： 1、函数 f ( x ) 在点 x 0 的导数 f （A）
f (x0 x) f (x0 ) x f (x0 x) f (x0 ) x f (x) f (x0 ) x f (x) f (x0 )
x x0
测验题
( x 0 ) 定义为（
）
；
（B） lim （C） lim （D） lim
x x0
；
x x0
； ；
x x0
2、若函数 y f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 0 ，则 曲线 y f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线（ ） （A）与 x 轴相平行； （ B）与 x 轴垂直； （C）与 y 轴相垂直； （ D）与 x 轴即不平行也不垂直：
2
2
2x 1 x
2
] sec x ；
4 、 6 x tan( 10 3 x ) ； 5、 6、
x y x y
；
1
3 ( 2 y 1 )( 2 x 1 )
x
2
x
.
四 、 1 、 a g ( 0 ) ；
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。
它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。
本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。
化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。
因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。
2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。
解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。
根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。
代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。
化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。
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导数与微分测试题（一）
一、选择题（每小题4分，共20分）
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）
A 、不连续；
B 、连续但不可导；
C 、二阶可导；
D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、
12； C 、12e
； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）
A 、1；
B 、
2e ； C 、2
e
； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()
lim x f a x f a x x
→+--等于（ ）
A 、0；
B 、()f a '；
C 、2()f a '；
D 、(2)f a '；
5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；
C 、低阶无穷小；
D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x
f x xe =，则(0)f ''=______；
3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则
01
lim ()n nf x n
→∞+=______； 4、 曲线2
28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的
切线与x 轴正向的交角为
4
π。
5、 d ______ = x
e dx - 三、解答题
1、（7分）设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，
求()f a '； 2、（7分）设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程；
4、（7分）求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx
5、（7分）设函数12
12()()
()n a a
a n y x a x a x a =---，求 y '
6、（10分）设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1
2
x =
处可导 7（7分）若2
2
()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =
导数与微分测试题及答案（一）
一、1－5 CCBCD
二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329
(,
)24
； 5. x e --； 三、1. 解：()()()()
()lim
lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--；
2. 解：1
12()ln ln a
a x
a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；
3. 解：当6
t π=
时，曲线上的点为 11(,)22
；
切线的斜率666
2sin 22cos t t t dy
dy t dt k dx dx t dt πππ===-====-， 所以，切线方程 11
2()22y x -=--， 即 4230x y +-=；
法线方程 111
()222
y x -=- ， 即 2410x y -+=；
4. 解：方程的两边对x 求12
1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y
-
+=⇒=- 继续求导 2223
24sin sin (2cos )(cos 2)
d y dy y
y dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-
方程的两边对x 求导
1212
1
n
n
a a a y y x a x a x a '=+++
---，则 1211
12()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a
y y x a x a x a x a x a =='=++
+=-----∑∏ 6. 解：因为 可导一定连续，则
2112
2
11
11
(0)lim(),
(0)lim 2224x x f ax b a b f x →
→
+=+=+-==
所以
1111
,2442
a b b a +==- 由可导知
1
112
22
11111
()
1
44242()lim lim lim 1112222
x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→
+-
+---'====---
212
1
14()lim
11
22x x f x -→-
'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时，函数()f x 在1
2
x =处可导。
7. 解：两边微分得2
2()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++=即
22()()
2()()
x y f x f y dy dx yf x xf y '--='+
8. 证明：因为 ()()0f a f b +-''•>，不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>
()()()
()lim
lim 0x a
x a f x f a f x f a x a
x a +→+→+-'==>--，则存在 10δ>， 当 11(,)x a a δ∈+时，
11()
0f x x a
>-，又因为1x a >，所以 1()0f x > 同理可知 存在 20δ>，当 22(,)x b b δ∈-时，
22()
0f x x b
>-，又因为2x b <，所以 2()0f x <，取适当小的12,δδ，使得 12a b δδ+<-，则 12x x <，因为()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在12[,]x x 上连续，且1()0f x >，2()0f x <由零点存在定理知 至少存在一点c ，使得
()0f c =，证毕。