对数求导法导数基本公式高阶导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个摘要：一、高数求导概述1.导数的定义与意义2.求导的基本方法二、高数常用求导公式1.常数函数的导数2.幂函数的导数3.指数函数的导数4.对数函数的导数5.三角函数的导数6.反三角函数的导数7.复合函数的导数8.隐函数的导数9.参数方程的导数10.高阶导数的求法11.反函数的导数12.微分方程的求解三、求导公式在实际问题中的应用1.优化问题2.变化率问题3.函数极值与最值问题4.曲线拟合与插值问题5.微分方程在实际问题中的应用四、求导公式的记忆与技巧1.分类整理记忆2.导数与微分的关系3.常见求导错误解析4.求导公式的综合运用正文：一、高数求导概述1.导数的定义与意义导数是描述函数在某一点变化率的数学量，可以反映函数在某一点的瞬时变化情况。
求导是高等数学中的重要内容，为研究函数的性质和解决实际问题提供了有力工具。
2.求导的基本方法求导的基本方法有：直接求导法、反函数求导法、隐函数求导法、参数方程求导法、高阶导数求导法等。
二、高数常用求导公式1.常数函数的导数为0。
2.幂函数y=x^n（n为实数）的导数为nx^(n-1)。
3.指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的导数为a^xlna。
4.对数函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为1/(xlna)。
5.三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为1/cos^2(x)。
6.反三角函数的导数：反正弦函数arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)；余弦函数arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)；正切函数arctan(x)的导数为1/(1+x^2)。
7.复合函数的导数：(u*v)" = u"v + uv"；(u/v)" = u"v - uv"。
8.隐函数的导数：设y = f(x)，则y" = f"(x)/(f(x))"。
高阶导数十个常用公式张宇
高阶导数十个常用公式
在微积分中，导数是表示函数变化率的重要指标。
高阶导
数则是导数的导数，反映了函数的曲率、凹凸性等更高阶的特征。
在实际问题中，高阶导数常常用于描述物理过程、工程问题以及经济学模型等各种领域。
下面列举了十个常用的高阶导数公式。
一阶导数
1.对常数函数y=y求导，导数为y′=0。
2.对幂函数y=y y求导，导数为y′=yy(y−1)。
3.对指数函数y=y y求导，导数为y′=y y。
4.对对数函数 $y = \\ln x$ 求导，导数为 $y' =
\\frac{1}{x}$。
二阶导数
5.对一阶导数y′求导，即求二阶导数，常表示为y″。
6.一阶导数为幂函数的情况下，二阶导数为y″=
y(y−1)y(y−2)。
三阶导数
7.对二阶导数y″求导，即求三阶导数，常表示为y‴。
n 阶导数
8.对 n-1 阶导数y(y−1)求导，即求 n 阶导数，常表示
为y(y)。
9.对幂函数y=y y求 n 阶导数，结果是y(y)=y!。
链式法则
10.对复合函数y=y(y(y))求导，应用链式法则，即
可得到高阶导数的求导规则。
这些高阶导数的公式是微积分中的基础内容，对于深入理解函数特性和求解实际问题都非常重要。
学生在学习微积分过程中，应熟练掌握这些高阶导数的计算方法，以便更好地应用于实际问题中。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式求导和定积分是微积分中的基础概念，求导是一种衡量函数变化率的方法，而定积分是对函数在一定区间上的面积或体积的计算。
在实际问题中，求导和定积分公式的应用非常广泛。
下面是一些常用的求导公式：1.基本导数公式：- 常数函数： $ \frac{d}{dx} (c) = 0$- 幂函数：$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$- 指数函数：$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$- 对数函数：$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x}$-三角函数：- 正弦函数：$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)$- 余弦函数：$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x)$- 正切函数：$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x)$2.基本运算法则：- 常数乘以函数：$ \frac{d}{dx} (cf(x)) = cf'(x)$- 函数的和或差：$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$- 乘法法则：$ \frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)$- 除法法则：$ \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$- 复合函数法则：$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$3. 链式法则：如果函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$4. 高阶导数：将求导的操作应用多次可以得到高阶导数，例如二阶导数表示为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
取对数求导法
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
高阶导数求法举例
下面是补充题：
例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y 1 1 x2
y
1 ( 1 x2
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例16 求 y x sinx 的导数 (x 0).
解 两边取对数，有
lny sinx lnx
两边同时对x求导，可得
1 y (sin x) lnx ln x sin x
(2) cu(x cu(x) (c是常数）
(3) u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
(4) v(x)
v2 (x)
(v(x) 0)
❖ 复合函数的求导法则
设y f (u), 而u (x),则复合函数 y f [ (x)]
(C) 0
(x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
2.2.5 导数基本公式
❖ 常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a
y(n) (1)n 2n e2x
课堂练习 Ex2 10 (6)
10 (6) 设 y ln(1 x), 求y (n) .
课堂练习解答：
求导法则与高阶导数计算
求导法则与高阶导数计算导数是微积分中一个重要的概念，求导法则是用来计算函数导数的一系列规则。
无论是简单的一次导数还是更高阶的导数，掌握这些求导法则对于解决实际问题和理解函数的性质都具有重要意义。
一、基本导数法则1. 变量的导数对于自变量是单个变量的函数，导数的计算方法如下：- 若函数是常数：导数为零。
- 若函数是自变量的线性函数：导数为常数。
- 若函数是自变量的幂函数（幂指数是常数）：导数为幂函数的幂指数乘以常数。
- 若函数是自变量的指数函数（底数是常数）：导数为指数函数的自然对数乘以常数。
2. 和差的导数法则对于函数的和差，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的和：导数等于两个函数各自的导数之和。
- 若函数为两个函数的差：导数等于两个函数各自的导数之差。
3. 乘法的导数法则对于函数的乘法，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的乘积：导数等于一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以一个函数。
4. 商的导数法则对于函数的商，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的商：导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数除以分母的平方。
二、高阶导数计算高阶导数是指导函数的导数再次求导的结果。
高阶导数的计算可以使用以下方法：1. 一次求导后再次求导。
2. 利用高阶导数的公式，如幂函数和指数函数的高阶导数规律。
3. 利用递推法则，将高阶导数表示为一阶导数的形式。
三、实例分析下面通过几个实例来说明求导法则和高阶导数的计算方法：例1：求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数和二阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = 6x + 4然后求二阶导数：f''(x) = 6例2：求函数f(x) = e^x / x的导数和三阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = (e^x * x - e^x) / x^2然后求二阶导数：f''(x) = (2e^x - e^x * x + e^x) / x^3最后求三阶导数：f'''(x) = (6e^x - 6e^x * x + 3e^x * x^2 - e^x) / x^4通过这些例子可以看出，求导法则和高阶导数的计算非常有用，可以帮助我们快速准确地获得函数的导数信息，并进一步分析函数的性质、变化趋势等。
高等数学2-4隐函数+对数求导+参数方程的导数+相关变化率(应用,如灌水速率).
高阶导数的直接求法：逐阶求导然后归纳
高阶导数的间接求法：利用已知的高阶导数公式
(sin x)(n) sin( x n )
2
1 1 x
(n)
(1)n
(1
n! x)n1
(cos x)(n) cos( x n π ) 2
(ax )(n) ax lnn a (a 0)
( x )(n) ( 1)L ( n 1) xn (注意 的n 情况)
例1 3) 设 y y( x) 由方程 sin( x2 y2 ) e x xy2 0 确定, 求 y.
解 cos( x2 y2 ) (2x 2 yy) e x y2 2xyy 0
dy dx
y2 e x 2cos( x2 y2 ) 2 ycos( x2 y2 ) 2xy
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2ln( x 4) x 3
上式两边对 x 求导得：
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2ex
[
1 x 1
1 3( x 1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求 y.
高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式
y 1 b ax
y(n)
b
1 ax
(n)
(1)n n! (b ax)n1
an
y ln(b ax),
y(n)
an
(1)n1(n 1)!
ax bn
sin(ax b) (n) an sin(ax b n )
2
cos(ax b) (n) an cos(ax b n )
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上 一点 ( 3 , 的3)切线方程，并证明曲线 C 在该点的法
对数求导法导数基本公式高阶导数
对数求导法导数基本公式高阶导数一、对数求导法1. 令原函数为y=f(x)，其中f(x)是一个复杂函数，将y=f(x)两边取对数得到ln y = ln f(x)。
2. 对等式两边关于x求导，利用对数函数的求导法则，得到(lny)'=(ln f(x))'。
3. 根据对数函数的求导法则，我们有(ln y)'=1/y*(y')。
4. 化简得到ln y' = (ln f(x))'。
5. 对上式两边关于x求导，得到(d/dx)(ln y') = (d/dx)((lnf(x))')。
6. 根据链式法则，我们有(d/dx)(ln y') = y'/y*(y")，(d/dx)((ln f(x))') = (f(x))'/f(x)*(f(x))"。
7.化简得到y'/y*(y")=(f(x))'/f(x)*(f(x))"。
8.将结果回代到原函数中，即可得到原函数的导数。
二、对数函数的求导1. 自然对数函数ln x的导数：自然对数函数的导数为1/x，即(d/dx)(ln x) = 1/x。
2. 一般对数函数loga x的导数：一般对数函数的导数为1/(x*ln a)，即(d/dx)(loga x) = 1/(x*ln a)。
3.指数函数a^x的导数：指数函数的导数为a^x*ln a，即(d/dx)(a^x) = a^x*ln a。
4.对数函数的链式法则：若y=u(x)是一个可导函数，z=f(u)是一个可导函数，则有(dz/dx) = (dz/du)*(du/dx)。
三、基本公式在求导过程中，一些基本公式常常被使用。
1.常数函数的导数：若f(x)=c，其中c为常数，则有(d/dx)(c) = 0。
2.幂函数的导数：若f(x)=x^n，其中n为常数，则有(d/dx)(x^n) = nx^(n-1)。
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f ( x) u( x)
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x) ( ln sin x cos x ln x) x sin x ln x 1 (sin x) ( ln sin x cot x ln x) x
授课内容
取对数求导法 导数基本公式 高阶导数
Math2-4
知 识 点
幂指函数转化成隐函数 反三角函数的求导公式 导数基本公式 二阶导数、高阶导数
重
点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一些 情形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求它 的导数很困难或很麻烦 ，例 如幂指函数 y u 及一种因子之幂的连乘 积的函数， 如 y3 x(3x - 1) . (5x 3)(2- x)
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（1） 必可导； （3）不一定可导. （2）必不可导；
思考题解答： 正确地选择是（3）
例 f ( x)
2 x3
, x (,) 在 x=0 处不可导;
下面，我们给出四个反 三角函数的求导公 式，证明这些公式需要 用到反函数的求导法 则，这里略去不证 .
(arcsin x )
1 1 x
2
(arccos x)
1 1 x
2
1 1 ( arc cot x ) (arctan x ) 1 x2 1 x2
显然，有
而 f ( x) x , x (,) 在定义域内处处可导.
2
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
瞬 时 速 度 为 v(t) f (t) 设 s f (t), 则
加 速 度a是 速 度v对 时 间t的 变 化 率
a(t) v(t) [ f (t)].
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x) y cos x
2 sin x s inx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
(C ) 0 (sin x ) cos x
2
( x ) x 1 (cos x) sin x
2
(cot x) csc x (tan x ) sec x (sec x ) sec x tan x (csc x) csc x cot x
( arc cot x )
1 1 x 1 1 x2
2
函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x),v(x)可导,则 (1) u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
(2) cu(x cu (x) (c是常数） u ( x)v( x) u( x)v( x) (3) u(x)v(x)
(5) y 2 x
解 两边取对数
x
ln y ln(2 x
两边求导
x
) ln 2
x ln x
y 1 x ln x y x 2 x
即 y 2x
x
(
ln x 2 x
1 x
) x x
x
(ln x 2)
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xe
x
x
解 y e x xe x (1 x)e x y e (1 x)e (2 x)e
(arcsinx) (arccosx) (arctanx) (arccot x)
例 17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x)
解
y 1 1 - (3x )
2 2
2
(3x 2 )
6x 1 9x
4
例 17 求下列函数的导数：
(2)
x 2 x 解 y 3(arctan ) (arctan ) 2 2
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3x 1) y 3 3 (5 x 3)(2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x
例1 求下列函数的二阶导数：
(2)
解
y xcosx
y cos x x sin x
y sin x sin x x cos x
2 sin x x cos x
高阶导数求法举例
例2
解
设 f(x) x ln x ,求f (2).
2
f (x) 2x ln x x
相应地, f ( x)称为f ( x)的一阶导数.
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y 2x3 3x 2 5
解
2 y 6x 6x
y (6x 2 6x )
12x 6
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
x x x x x y e (2 x)e (3 x)e
y
(n)
( n x )e
x
请同学们注意两点：
利用取对数的方法求导，最终的表达式 中，不允许保留y，而要用相应的x 的表达式代 替；
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例 16 求 y x
解
sinx
的导数 ( x 0).
两边取对数，有 lny sinx lnx
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得 1 y (sin x) ln x sin x(ln x) y
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a 1 (arcsin x) 1 x2 1 (arctan x) 2 1 x
(e x ) e x 1 (ln x) x (arccos x )
f (x) 2ln x 3
2 f ( x ) x
(2) 1 f
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(1) y 5
解
x
x y 5 ln 5
y 5 (ln 5)
----------
x
2
y ( n ) 5x (ln 5) n
高阶导数求法举例
1 cos x ln x sin x x
s inx
即 y x
1 cos x ln x x sin x
一般地对于
f ( x) u( x)
v( x)
(u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
d 1 d 又 ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx d d f ( x) f ( x) ln f ( x) f ( x) v( x) ln u ( x) dx dx
高阶导数求法举例
下面是补充题： 例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2
y (
1 1 x2
)
2x (1 x 2 ) 2
(1 x 2 ) 2 2x f (0) (1 x 2 ) 2
f (0)
y 2! (1 x)
3
y
y
( 4)
1 (1 x) 2
3! (1 x) 4
y
( n)
(1)
n1
(n 1)! (1 x)
n
(n 1, 0! 1)
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
二阶导数记作 f ( x), y ,
d2y dx
2
或
d 2 f ( x) dx
y (
2 x
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
x0
0
2.
2(3x 2 1) (1 x 2 ) 3
x 0
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
（ 1 ）y (cosx)
s inx
v
对于这两类函数，可以通过两边取对数， 转化为隐函数，然后按隐函数求导的方法求 出导数y 。这样会使计算简单或更容易，这 种方法称作 对数求导法
取对数求导法举例
例 15 求 y
3