隐函数的求导与对数求导法则
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隐函数求导法则
（十） 隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。
从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。
它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。
但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100s i n <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。
现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。
例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '.解 当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出 ()0≠-='y yxy .思考题 证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。
解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-. 故所求切线方程为 ()1211--=-x y ， 即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y .解 方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21c o s 211,0πππ-=⋅='-y 例2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证 在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-yx xy ，求 0=x dx dy .解 两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅yy x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+ yy x xy y x xy y当0=x 时，由()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即.,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-e y e .()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点） 先看几个例题。
隐函数对数函数求导法则课件.ppt
y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法
隐函数对数函数参数方程求导数
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数 21
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数
t 1( x),则变量 y与x构成复合函数关系 y [ 1( x)].
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
代入 x 0, y 1,
y'
x0
1 4
y1
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求 y''在点(0,1)处的值.
解
代入 x 0, y 1得 y' x0 14; y1
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
a(t a(1
sin t) cos t)
所表示的函数 y y( x) 的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
a
a sin t a cos
t
1
sin t cos
t
dt
(t 2n ,n Z )
d2y dx 2
d dx
dy dx
d dx
1
sin t cos
t
d dt
1
sin t cos
dy dx
sin( x y) y cos x sin( x y) sin x
.
2
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函
隐函数求导法与对数求导法
4
4
练习：
1：求由方程 e y xy e 0 所确定的隐函数的 导数
2：求由方程 数的导数
x y 1
2 2
所确定的隐函
x2 y 2 4 2 例3.求椭圆 + =1在点P(1, )处的切线方程. 9 4 3 y
P 2 -3 O 3 x
-2
例4.求指数函数y=a x(a>0,a 1)的导数.
二、隐函数的求导法
求导方法：
求隐函数的导数，并不需要先化为显函 数，而是可以利用复合函数的求导方法，将 方程两边对 x 求导，并注意到 y是x的函数， 就可以直接求出隐函数的导数。
例 1.求方程x2 +y2 =R 2(R是常数)确定的隐函数的导数。
dy 例2.求由方程y=sin（x+y）所确定的隐函数y的导数 . dx
练习：
1.求下列隐函数的导数：
(1) y3 8( x2 y 2 )
(2) x y arctan y
y (4) ln x y arctan x
2 2
(3) ye x ln y 1
2.求下列隐函数在指定点处的导数：
(1)e y xy e，点(0,1)
1 (2) y cos x sin y, 点( , 0) 2 2
y y 2
答案：
1 1
1 2 e
5.求下列函数的导数：
2x 1 y x cos x 2 y x
1 x2x 2ln x 2
2 xcos x
2
x 1 4 3x 3 y 3 x 1 4 x 2 3 x 4 y 3 x 1
练习：求下列函数的导数
4
练习：
1：求由方程 e y xy e 0 所确定的隐函数的 导数
2：求由方程 数的导数
x y 1
2 2
所确定的隐函
x2 y 2 4 2 例3.求椭圆 + =1在点P(1, )处的切线方程. 9 4 3 y
P 2 -3 O 3 x
-2
例4.求指数函数y=a x(a>0,a 1)的导数.
二、隐函数的求导法
求导方法：
求隐函数的导数，并不需要先化为显函 数，而是可以利用复合函数的求导方法，将 方程两边对 x 求导，并注意到 y是x的函数， 就可以直接求出隐函数的导数。
例 1.求方程x2 +y2 =R 2(R是常数)确定的隐函数的导数。
dy 例2.求由方程y=sin（x+y）所确定的隐函数y的导数 . dx
练习：
1.求下列隐函数的导数：
(1) y3 8( x2 y 2 )
(2) x y arctan y
y (4) ln x y arctan x
2 2
(3) ye x ln y 1
2.求下列隐函数在指定点处的导数：
(1)e y xy e，点(0,1)
1 (2) y cos x sin y, 点( , 0) 2 2
y y 2
答案：
1 1
1 2 e
5.求下列函数的导数：
2x 1 y x cos x 2 y x
1 x2x 2ln x 2
2 xcos x
2
x 1 4 3x 3 y 3 x 1 4 x 2 3 x 4 y 3 x 1
练习：求下列函数的导数
d3_4隐函数的求导与对数求导法则
则
dy
dy
dx
dt dx
( t ( t
) )
dt
18
例6求椭圆
x a cost
y
b
sin
t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
b cos t a sin t
b a
cot t,
k
dy dx
t
b a
4
所求切线方程为: y
2b 2
b a
x
2a 2
即 bx ay 2ab 0.
这是新方法，想一想，不用这个办法你会求切线方程吗？ 19
四 、综合举例
例7.设 y ln[sin(10 2x2 )] , 求 y
解
y
1 sin(10
2x2
)
[sin(10
2x2
)]
1 sin(10
2x2
)
[cos( 10
15
例5.设 y
(x 1)1(x 2)2
(x 3)3(x 4)4 ,求 y
解
两边取自然对数
ln y 1 lnx 1 2lnx 23lnx 3 4lnx 4
2 方程两边对x求导
y 1 1
y 2 x 1
2 x2
3 x3
4
x4
1234
x 1 x 21).取对数, ln y v(x) ln u(x)
y e 2).变形成复合指数函数,
v( x)lnu( x)
13
一般地:
第二章 4节 隐函数与对数求导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ( t ) dy dt dx dt dx dt dx ( t ) 即 dx dx dt dt
10
故，若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
又
x 1时y 1. 因此 y x1 1
21
例5.
x y 1, 求 y
2 2
解: 2 x 2 y y 0 x y y
(1)
y ( x ) xy xy 2
y y
x y x( ) 2 2 y x y பைடு நூலகம்1 3 3 2 y y y
16
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
dy dy dy dt dy 1 ( t ) dy dt dx dt dx dt dx ( t ) 即 dx dx dt dt
10
故，若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
又
x 1时y 1. 因此 y x1 1
21
例5.
x y 1, 求 y
2 2
解: 2 x 2 y y 0 x y y
(1)
y ( x ) xy xy 2
y y
x y x( ) 2 2 y x y பைடு நூலகம்1 3 3 2 y y y
16
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
隐函数的导数 对数求导法
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
1、隐函数的导数 P78
定义: 设在方程 F ( x, y) 0 中, 当 x 取某区 间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y的值存在, 那么就说方程F ( x, y) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x) .
y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
.
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
vx
dx dt
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
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7
练习
求由方程
e x y 1. 所确定的隐函数 y 的导数 y
xy 2 2
解.方程两边对
x 求导,
得
e xy 1 y xy 2 x 2 yy 0
解方程得,
2 x ye xy y 2 y xe xy
8
二、对数求导法
9
例3 解
已知 方法1：
yx
x
2 x 2 yy 1 xy y 2 2 2 y x 2 2( x y ) 1 ( ) x x y y x y
22
例10. y
解
f [(3x 2 a) n ]
求
y
，其中 f 可导, a 为常数
y ( f [(3x 2 a) n ]) f [(3x 2 a) n ] ((3x 2 a) n ) f [(3x 2 a) n ] n(3x 2 a) n1 6 x
由复合函数求导法则,得
x 求导,
x f x f x xf x e e f x 0
从而
x x dy e y f x f x e f y x dx e x e x
4
例1. 求由方程
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 .
y 1 1 2 3 4 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 2 3 4 x 1 x 2 x 3 x 4
16
说明
1、对数求导法常用于两个方面： 1） 幂指函数求导 2）简化运算
2、对数求导法的步骤: 1). 两边取对数; 3).将 y 结果表示为 x 的显函数. 2).两边对x求导; 隐函数求导法则
，并求在点（0，0）处的切线方程。
x 0
dy x 0 处的导数 dx
解.方程两边对
6 1 21 x 5 y 4 y 2 y 1 21x 0 解得 y 4 5y 2
x 求导,
得
6
当 所以
x 0 时, 从原方程得 y 0 dy 1 1 y 切线方程为 2 x dx x 0 2
10
例4.设 解
yx
sin x
( x 0), 求y
ln y sin x ln x 1 cos x ln x 1 sin x 两边对 x 求导, 得 y x y 1 y y (cos x ln x sin x ) x 1
两边取对数，得
x
sin x
(cos x ln x sin x ) x
x y
法2： 直接求导，
1. y x y e x e y y 0
dy dx
x e y y y 解方程得, e x y 注意： de x de x x y e x e e y ey dx dy
de y e y x e y y dx
ln y v( x ) ln u( x )
对数求导法
2).变形成复合指数函数,
ye
v ( x ) ln u ( x )
13
一般地:
对幂指函数 y u v 求导 :
ln y v ln u
1 y v ln u v 1 u y u
y u v ( v ln u v u) u
23
例11. 求由方程
x y
y
x
所确定的隐函数
y yx
dy 的导数 dx
x 1
解 两边取自然对数，得
y ln x x ln y
1 1 两边关于ｘ求导，得 y ln x y ln y x y x y y ln y x y 整理，得 ln x x y
又
x 1 时y 1 因此
y x1 1
24
小 结
掌握隐函数导数的求法 掌握对数求导法的两种用途
两条经验
(1).隐函数求导数一定要小心含y的项 (2).对数求导法有两种用途
25
作业 P 183 10 11 12
26
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
1
(arccos x)
1
隐函数的求导与对数求导法
• • • • 一、隐函数的求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、综合举例
2b b 2a 所求切线方程为: y x 2 a 2 bx ay 2ab 0. 即4源自20四 、综合举例
例8.设 解
y ln[sin( 10 2 x )] ,
2
求y
1 2 y [sin( 10 2 x )] 2 sin( 10 2 x ) 1 2 2 [cos( 10 2 x )]( 10 2 x ) 2 sin( 10 2 x ) 1 2 [cos( 10 2 x )] 4 x 2 sin( 10 2 x )
2
一、隐函数的导数 若 • 隐函数：
x 与 y 的函数关系由方程 F ( x, y ) 0 所确定,
y R ,
2 2
2 2 或 y R x y R x
称这类函数为隐函数. 例如， (1). x
2
2 2
(2).2 x 3 y 2 0,
y
(3). xy e x e y 0.
19
(t ) 0 时, 有
例7求椭圆 解
t 4
x a cos t y b sin t
在t 4
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
常数和基本初等函数的导数 (P169)
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
14
例5.设
y xsin x
cos x
, 求
y
15
( x 1) ( x 2) 例6.设 y 3 4 ,求 y ( x 3) ( x 4)
1 2
解：
两边取自然对数
1 ln y ln x 1 2 ln x 2 3 ln x 3 4 ln x 4 2 方程两边对x求导
17
练习：用对数求导法则计算下列函数的导数
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
18
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
11
另解
yx
sin x
e
sin x ln x sin x ln x
y (e
sin x ln x
) e
(sin x ln x )
x
sin x
1 (cos x ln x sin x ) x
12
说明
对于幂指函数 有两种方法: 1).取对数,
y u( x )
v( x)
[u( x) 0] 求导,
形如， y
2 2x 3
y ?
f ( x ) 的函数称为显函数.
3
例1. 求由方程
解 . 法 1 ：设
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 . y f x 为方程确定的函数，
x y
dy dx
代入原方程得 方程两边对
xf x e x e f x 0
4 x cot( 10 2 x )
2
21
解 两边对 x 求导, 得
y 例9.设 ln x y arctan x
2 2
,求
y
1 y 2 2 (ln( x y )) (arctan ) 2 x 1 y ( x 2 y 2 ) ( ) 2 2 2( x y ) 1 ( y )2 x
x
x 0
，求
y
两边取自然对数 两边对 x 求导 整理，得 方法2：
ln y x ln x
y yln x 1 x x ln x 1
1 1 y 1 ln x x y x
用对数的变型公式
x ln x
ue
lnu
y x e
x
x ln x x x ln x y e x ln x e ln x 1 x ln x 1
三者之间的区别
5
一般地, 设方程 步骤
F ( x, y ) 0
,
dy 求 dx
（1） 方程两边对x 求导, 视
y 为 x 的函数 y y ( x ),
（2） 由复合函数求导法则,得到关于y 的方程,解出即可.
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例2. 求由方程 y