隐函数求导法则
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
高数课件25隐函数求导法则
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
隐函数的求导法则
Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法 方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导 怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若 则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y
隐函数求导 隐函数方程组求导
1 = − 3 [FxxFz2 − 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
∂ ∂ ( Fx )Fz − Fx ( Fz ) 2 ∂ z ∂x = −∂ ∂x 2 Fz2
Fx ∂z =− , Fz ∂x
∂ 2z ∂ 2z 类似地可求得 , 2 ∂ x∂ y ∂ y ②直接法 方程两边连续求导两次
二、方程组的情形
1、对于方程组 、 怎样求偏导数
{
F ( x, y,z )=0 Φ ( x, y,z )=0
首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)
隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数， 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x )，它满足条件 y0 = f ( x0 )，并 有
解 令 u = x + y + z, 则
v = xyz ,
z = f ( u, v ),
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z + f ⋅ ( yz + xy ∂z ), = f u ⋅ (1 + ) v ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyf v
隐函数求导法则
隐函数求导法则
1.求导法则
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；
方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；
方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为
f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
2.显函数与隐函数
显函数
解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数
如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
隐函数与显函数的区别
1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如：y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
§8.5隐函数求导法
2. F(x, y, z)=0 隐函数存在定理2: 设函数F(x, y, z)在点 0, y0, z0) 隐函数存在定理 设函数 在点P(x 在点 的某一邻域内有连续的偏导数, 的某一邻域内有连续的偏导数 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)≠0, 则方程 在点P ≠ 则方程F(x, y, z)=0在点 0的某一邻域内恒能 在点 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x, y), 它满足条件 0=f(x0, y0), 并有 它满足条件z Fy Fx ∂z ∂z (2) =− , =− . Fz ∂y ∂x Fz 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图: 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图 x (1) F y x (2) F z y
∂2z 例3: 设 x2+y2+z2–4z=0, 求 2 . ∂x 解: 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2–4z. 则Fx=2x, Fz=2z–4, Fx x ∂z , =− = 所以 ∂x Fz 2 − z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x 2 ( 2 − z )2 + x 2 ∂ z 2−z = ∂x = = . 2 2 2 3 (2 − z ) (2 − z ) (2 − z ) ∂x
2
dy Fx x+ y =− =− . dx Fy y− x
在点(0, 的某邻域内能 例2: 验证方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导, 的隐函数y=f(x), 唯一确定一个单值可导 且 x=0 时 y=1 的隐函数 时的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在 x=0 时的值 解: 令F(x, y)= x2+y2–1 = 0, 则Fx=2x, Fy=2y, 而 F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0, ≠ 依定理知, 在点(0, 的某邻域内 依定理知 方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f(x). 该函数的一阶和二阶导数为 函数的一阶和二阶导数为: dy Fx x dy =− | x = 0 = 0, =− , dx Fy y dx x y − x( − ) 2 1 d2y d y y − xy′ y =− | = − 1. =− 3, =− 2 2 2 2 x =0 y dx y y dx
一,隐函数的求导法则
(t) (t)
，则导数
dy (t) dx (t)
例十、求导数y’：
x t
y
cost t sin t
解：由公式得：
dy yt sin t t cost dx xt 1 sin t
说明：参数方程的导数中一定含有Байду номын сангаас变量。
2020年7月13日1时36分
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第二节 导数的运算
本节
7
第二节 导数的运算
例1 求y arcsin x(1 x 1)的导数
本节 知识
解
由y arcsin x可得x sin y
引入
本节 目的
两边同时对x求导，得
1 cos y dy
与要 求
dx
本节 重点 与难 点
(arcsinx) 1
cos y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
本节
复习
复习
指导
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
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代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
2020年7月13日1时36分
6
第二节 导数的运算
反函数求导法则
• 反函数的导数，亦可以用隐函数的求导方法求出。
2020年7月13日1时36分
重点
与难 点
(a x ) dy y ln a a x ln a
本节
dx
复习
指导
特别地 (e x ) e x .
主 页 后退 目录 退 出
2020年7月13日1时36分
隐函数的求导法则__取对数求导法
隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。
在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。
然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。
在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。
本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。
1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。
2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。
(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。
(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。
对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。
根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。
对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。
(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。
3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。
首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。
根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。
右侧的导数为0。
于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。
最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。
4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。
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函数的一阶和二阶导数为
dy dx
Fx Fy
x y
,
dy 0, d x x0
y 1
d2y dx2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d 2y dx2 x0 1.
y 1
例 2 已 知 ln x 2 y 2 ar x y ， c 用 公 t式 a 求 d d n . x y
解 令 F (x,y)lnx2y2arcyt, an x
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy d x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2Fy
yFx
(Fx Fy
)
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
法2
d2y dx2
d ( Fx ) d x Fy
(FxxFxyddyx)FyFy2Fx(FyxFyyddyx)
b1 b2
a1b2 a2b1
0 ，则方程组有唯一解：
c1 b1
a1 c1
； 。 x c2 b2 b2c1 b1c2
J
a1b2 a2b1
y a2 c2 a1c2 a2c1
J
a1b2 a2b1
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gu
v x
Gx
这是关于
u x
,
v x
的
二元线性方程组。
则
Fx
ln
x2y2 arctayn xx
1 x2y2
2
2x x2y2
11y2xy2
x
x x2
y y2
Fylnx2y2arctx ya yn
1 x2y2
2
2y x2y2
11y2
1 x
x
y x2
x y2
,
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
2 . F (x ,y ,z) 0
隐函数存在定理 2
将
d y Fx dx Fy
代入得
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
Fx
xy x
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能 唯一确定一个有连续导数且 x 0时 y 1的隐函 数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0的值.
解 令 F (x,y)x2y21 则 Fx2x, Fy 2y, 均连续。 x 00 , y01 . F(0,1)0, Fy(0,1)20, 依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个有连续导数且 x 0时 y 1的函数 y f ( x)．
z x
(2
z)
x
x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
何时唯一 u 确 u(x,定 y),v函 v(x数 ,y)？
y
?
隐函数存在定理 3
设 F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结
一、一个方程的情形
1 . F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数 F(x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 F (x0, y0 ) 0 ， Fy (x0, y0 ) 0. 则方程 F(x, y) 0 在点 P(x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y f (x) ， 它满足条件 y0 f (x0 ) ，并有
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
可用公式法 常用解法：
方程两边求导法
例5.设函数 x x ( u ,v ) ,y y ( u ,v ) 在点(u,v) 的某一
邻域内有连续的偏导数,且 (x, y) 0 (u, v)
1)
证明函数组
yx
x(u,v) y(u,v)
在点
(x, y, u, v)
.
例4
设
xu yu
yv xv
0,， 1
求
u ， u ， v 和 v . x y x y
一般不会直接代入公式；而是运用公式 解 推导过程用到的的方法
将所给方程的两边对 x 求导并移项:
x
u x
y
v x
u
y
u x
x
v x
v
,
x DJ
y x2y2,
yx
x DJ
y x2y2,
yx
u y D1 v x
的
某一邻域内 唯一确定一组连续且具有连续
偏导数的反函数 u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y ) . 2) 求 u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y ) 对 x , y 的偏导数.
解: 1) F ( x ,y ,u ,v ) x x ( u ,v ) 0
令
G ( x ,y ,u ,v ) y y ( u ,v ) 0
z Fx x Fz
z Fy y Fz
例 3设 x2y2z24z0， 求 x 2z 2.
解 令 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z ,
则 Fx2x, Fz2z4,
z x
Fx Fz
2
x
z
,
2z x 2
dz x d x 2
z
(2
z) x (2 z)2
它满足条件 z0 f (x0 , y0 ) ，并有
z Fx x Fz
z y
Fy Fz
.
仅就公式推导如下
设由 F(x, y, z) 0 确定的隐函数为 z f (x, y)
则
F(x,y,f(x,y))0
两边分别对 x ，y 求导
Fx
Fz
z x
0
Fy
Fz
z y
0
在 (x0 , y0, z0 )的某邻域内 F z 0
J1 ((Fx,,G v)).
v x
D2 D
J1 ((Fu,,G x)).
类似，对
F[x,y,u(x,y)v,(x,y)]0 G[x,y,u(x,y)v,(x,y)]0
等式两边对 y 求导， 得关于
u y
,
v y
的线性方程组。
解方程组得
u y
1 J
(F,G) (y,v)
.
v y
1 J
(F,G) (u, y)
设函数 F(x, y, z) 在点 P(x0, y0, z0 ) 的某一邻域 内有连续的偏导数，且 F (x0, y0, z0 ) 0 ，
Fz (x0 , y0, z0 ) 0 ，则方程 F(x, y, z) 0 在点
P(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续偏导数的函数 z f (x, y),
则有 J (F,G) (x, y) 0, (u,v) (u,v)
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
xx(u(x,y),v(x,y)) yy(u(x,y),v(x,y))
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
②
0y u y v
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
设 yf(x)为方 F(x,程 y)0所确定,的 则 隐
F (x,f(x) )0
两边对 x 求导
FFdy0 记作 x y dx
Fx
Fy
dy dx
0
在 (x0 , y0) d y Fx dx Fy
的某邻域内
Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y, u, v) 0、 G( x, y, u, v) 0
在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y)，
u x v x
注意 J0, 从方程组②解得
1 x
u 1 x J 0
v y
1y, J v
v
x 1
v 1 x J
u y
0
1y J u
u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1x, y J v
v 1 x y J u
作业
P37 1, 3, 5, 10 (1) (2)
u yJ 1 ((F y,,G v))G F y yG F v v
F uF v, G uG v
v yJ 1 ((F u ,,G y))G F u uG F y y
F uF v. G uG v
线性方程组与克莱默法则
若方程组
aa12xx
b1 y b2 y
c1 c2
的系数行列式
J a1 a2
u x y,vD2
x y
u v
y ux.v
当DJ0 时，
u x
D1 D
xu x2