隐函数参数方程求导解析
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隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数与参数方程求导法则
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
5
Yunnan University
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 二、参数方程所表示函数的求导法
平面曲线参数方程的一般形式
x (t),
y
(t
),
t [ , ]为参数.
若x (t)与y (t)都可导，且(t) 0. 又x (t)存在
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
例1. 设y(x)是由方程x2 y2 r 2确定的隐函数，求dy . dx
解法一：因y y(x)是方程x2 y2 r 2确定的隐函数，故有恒 等式 x2 y2 (x) r 2. 视y2 (x)为复合函数，在恒等式两边关于x 求导，得
2x 2 y(x) y(x) 0,
即
y y(x) x x .
y(x) y
方法I : 对于由方程F (x, y) 0确定的隐函数，只需应用复合函数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式 或方 程 两 端 关 于x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数 的 导 数 （ 注 意y是x的 函 数 ）.
例4. x2 y2 1，a, b const. a2 b2
解： (1)
隐函数求导法，y
b2 a2
x y
.
(2) 椭圆的参数方程
x
y
a cos，（0 bsin
2）,
则
dy y( ) b cos b ctg .
dx x( ) a sin a
7 x 2，即 7x 4 y. 2y
解方
程组
x2 2
y2 7
1，得两点(4,7)和(4,7).
第四节隐函数与参数方程的求导法
则由反函数求导法则知
−1
：
dt 1 x = ϕ ( t )的反函数 t = ϕ ( x )也可导, 且 其导数 = dx dx 再设 y = ψ ( t )也可导 dt −1 ∵ y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) ∴ y = ψ [ϕ ( x )]
由复合函数及反函数的求导法则得其导数
3 3 ( , ) 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 x 求导得 4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 ⋅ y′
x =0 y =1
(1)
= 0 ∴ y′ x = 0
2
h tanα = 500
h米
α
500米
dt
dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
仰角增加率
五、小结 隐函数求导法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率:通过两个相互依赖的变量之间的关系 确定两个相互依赖的变化率之间的关系.
方程两边对 x 求导 , 得 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ = 2 y −x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
−1
：
dt 1 x = ϕ ( t )的反函数 t = ϕ ( x )也可导, 且 其导数 = dx dx 再设 y = ψ ( t )也可导 dt −1 ∵ y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) ∴ y = ψ [ϕ ( x )]
由复合函数及反函数的求导法则得其导数
3 3 ( , ) 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 x 求导得 4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 ⋅ y′
x =0 y =1
(1)
= 0 ∴ y′ x = 0
2
h tanα = 500
h米
α
500米
dt
dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
仰角增加率
五、小结 隐函数求导法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率:通过两个相互依赖的变量之间的关系 确定两个相互依赖的变化率之间的关系.
方程两边对 x 求导 , 得 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ = 2 y −x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT
所d d 以 t0.1(弧 4 /度 分 )
--------对数求导法 适用范围
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解 等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求 对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解 设气球 t分上 钟 ,其 升 后 高h,度 观为 察员 的视 仰
角为 ,则
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因 为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值
3.3隐函数与参数方程求导法则
(t ) 0 时, 有
例5 已知圆的参数方程为
求
解
dy dy dx (a sin t ) ' a cos t / cos t dx dt dt (a cos t ) ' a sin t
参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求 和 的导数，再求它们的商。因而，利用 求参数方程所确定的函数的导数可以用 D[y , t]/ D[x , t]
(3 y 2 x 0)
2
y ' |(1,1) 1
则所求切线方程为
即
y 1 (1)( x 1)
x y2 0
求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成. 因而，在 Mathematica 中可使用D 和 Solve 语句， 求由方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数的导数。
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
例3 求由方程 dy 。 dx 解
x 4 y 4 所确定的隐函数的导数
2 2
方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
意义是 的一阶导数。
一样的，都表示函数
例4
求方程 导数。
所确定的隐函数的
解
即
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
例1 求由方程 y 1 xe
y
解
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
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解： 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y )2 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1, y
y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
9
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
第节
隐函数的导数、 由参数方程所确定的函数的导数、 高阶导数
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
例如,
可确定显函数 可确定y是x的函数 , 但此隐函数不能显化 .
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法：
先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围：
8
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
（对数求导法）
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
1 1 f ( x ) v ( x ) ln u( x ) v ( x ) u( x ) f ( x) u( x )
y
33 ( , ) 22
y x2 2 1. 33 y x ( 2, 2 )
3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
5
3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2
例3. 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
10
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ),
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
即 y x a(2 ) 2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x)仍是 x 的可导函数，就称 y f (x) 的导数为函数 f ( x) 的二阶导数,记作
d2 y y，f (x) ， 2 dx
即
d 2y y ( y)，f (x) [ f (x)] ， 2 dx
d f (x) 或 d x2
2
d dy d d d2 说明： y 2 y dxdx d x d x d x
类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,
14
y仍是x的函数，还可以进一步考虑
16
例3 设
解
y sin x ，求 y ( n )
y (sin x) cos x sin x 2
y cos x －sin x sin x 2 2 y ＝－sin x ＝－cos x sin x 3 2
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
18
dy dx
x 0
ex y x ey
x 0 y0
1.
4
例2. 设曲线C的方程为x 3 y 3 3 xy, 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点. 解： 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x ) 的情形.
7
例5. 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解： 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
2
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
两边对x求导
(含导数 y 的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x 0 .
解： 方程两边对 x求导, dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y , 由原方程知 x 0, y 0, 解得 y dx x e
3 d y ， 有三阶导数 y 或 dx3
四阶导数 y
……
(4)
4 d y 或 dx4
，
n阶导数 y ( n )
dny 或 dxn
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
15
问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，将函数逐次求导，利用已知 函数的一阶导数公式及前面介绍的导数运算 法则 注意：对于形式较为复杂的函数，求出 一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的 好习惯
12
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6. 求摆线 2 y a (1 cos t )
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
11
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y ( t ) ,可得 d x ( t ) d d y dx d2 y d d y ( ) ( ) 2 d x dx dx d t dx d t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t ) 2 (t ) y x ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) x y 3 x (t ) 3
y ＝－ cos x ＝sin x ……
4
y
(n)
sin x n 2
(n)
即 (sin x)
(n)
同理可得 (cos x)
cos x n 2
sin x n 2
17
内容小结
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y )2 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1, y
y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
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三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
第节
隐函数的导数、 由参数方程所确定的函数的导数、 高阶导数
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一、隐函数的导数
定义: 由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
例如,
可确定显函数 可确定y是x的函数 , 但此隐函数不能显化 .
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法：
先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围：
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一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
（对数求导法）
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
1 1 f ( x ) v ( x ) ln u( x ) v ( x ) u( x ) f ( x) u( x )
y
33 ( , ) 22
y x2 2 1. 33 y x ( 2, 2 )
3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
5
3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2
例3. 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ),
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
即 y x a(2 ) 2
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四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x)仍是 x 的可导函数，就称 y f (x) 的导数为函数 f ( x) 的二阶导数,记作
d2 y y，f (x) ， 2 dx
即
d 2y y ( y)，f (x) [ f (x)] ， 2 dx
d f (x) 或 d x2
2
d dy d d d2 说明： y 2 y dxdx d x d x d x
类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,
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y仍是x的函数，还可以进一步考虑
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例3 设
解
y sin x ，求 y ( n )
y (sin x) cos x sin x 2
y cos x －sin x sin x 2 2 y ＝－sin x ＝－cos x sin x 3 2
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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dy dx
x 0
ex y x ey
x 0 y0
1.
4
例2. 设曲线C的方程为x 3 y 3 3 xy, 求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点. 解： 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x ) 的情形.
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例5. 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解： 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
2
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
两边对x求导
(含导数 y 的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x 0 .
解： 方程两边对 x求导, dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y , 由原方程知 x 0, y 0, 解得 y dx x e
3 d y ， 有三阶导数 y 或 dx3
四阶导数 y
……
(4)
4 d y 或 dx4
，
n阶导数 y ( n )
dny 或 dxn
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
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问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，将函数逐次求导，利用已知 函数的一阶导数公式及前面介绍的导数运算 法则 注意：对于形式较为复杂的函数，求出 一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的 好习惯
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x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6. 求摆线 2 y a (1 cos t )
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
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若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y ( t ) ,可得 d x ( t ) d d y dx d2 y d d y ( ) ( ) 2 d x dx dx d t dx d t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t ) 2 (t ) y x ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) x y 3 x (t ) 3
y ＝－ cos x ＝sin x ……
4
y
(n)
sin x n 2
(n)
即 (sin x)
(n)
同理可得 (cos x)
cos x n 2
sin x n 2
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内容小结