知识点20 隐函数及参数方程的求导
所以 y
1 y 2 2( x 2 y 2 ) . x y ( x y )3
巧招：利用微分形式的不变性求导数 对隐函数求微分实际上用到了“微分形式的不变性”，其特点是无须区分变量 的“身份”，即无需区分变量是自变量、中间变量或因变量，只管“形式”，不管“内 容”.微分形式的不变性与隐函数可谓是相得益彰，在看似“糊里糊涂”中求得了导 数值. 此方法亦广泛应用于求复合函数的导函数以及积分中的凑微分.
d2 y . dx 2
设 f (t ) 二阶可导，且 f (t ) 0 ，有
x f (t ) ，求 y tf (t ) f (t )
解析：基础题型，参数方程求导. 解：
dy y (t ) tf (t ) d 2 y d dy 1 1 ． t ，则 2 ( ) dx dt dx dx f (t ) dx x(t ) f (t ) dt
例20.4(难度系数0.4)
设 y y ( x) 由
x 3t 2 2t 3 d2 y 确定，求 y dx 2 e sin t y 1 0
t 0
.
解析：此题在参数方程中又含有隐函数.将两种常规方法机械地结合. 解：因为
xt 6t 2 ， yt
e y cos t e y cos t ， 1 e y sin t 2 y
例20.9(难度系数0.6，跨知识点53)
x t
2
t 0
.
解析：此题特别注意，式 t 1 e u du 实际上是一个隐函数. 解：由 t 1 e u du 得 (
2
2 2 dx 1)e ( x t ) 1 ，所以 x '(t ) e( x t ) 1 . dt dy dy e y cos t 由 e y sin t y 1 0 得 e y sin t e y cos t 0 ，所以 y '(t ) . dt dt 2 y
1 y ln( x 2 y 2 ) arctan ， 2 x
化简得 y
dy x y . dx x y x y 得 ( x y ) y x y ，两边再对 x 求导得 x y
由 y
(1 y ) y ( x y ) y 1 y ,
当 x 9 时，由 x 1 2t 2 和 t 0 得 t 2 ，故
e . 16(1 2ln 2) 2
例20.7(难度系数0.4,跨知识点53)
x cos t 2 dy 设 ，求 ， t2 1 2 cos udu dx y t cos t 1 2 u
所以
dy 2et dy dt 1 2ln t e ， dx dx 4t 2(1 2ln t ) dt 2 d y d dy d dy 1 e ( ) ( ) 2 ， dx 2 dx dx dt dx dx 4t (1 2ln t ) 2 dt
d2 y dx 2
x 9
所以
dy yt e y cos t ， dx xt 2(2 y )(3t 1)
d 2 y d dy dt 1 e y ( yt cos t sin t )(2 y )(3t 1) e y cos t[ y (3t 1) 3(2 y )] ( ) 2 dx 2 dt dx dx 4 (3t 1)3 2 y
d2 y dx 2 t
2
.
解析：同例20.5.
dy y 解： t dx xt
d2 y dx 2 t
cos t 2 t sin t 2 2t
1
2
2 t 2t sin t 2
cos t 2 2t
t .
1 . 2
2
t
xt
t
2
1 2t sin t 2
dy dx 0.
5(t ) 4t t y (t )[5 4sgn(t )] lim lim 0， x 0 x t 0 t 0 2(t ) t 2 sgn(t )
2
t 0
妙招：求参数方程高阶导与反函数求导的“除法原则”. 一元函数导数的形式可写为“ 以独立地存在, 故它又可称为“微商”.导数的这个特点使得大家在求导数尤其是求高阶导时可以 类似求简单除法式一样方便！ 比如反函数的求导公式
dy 1 ,大家可以看作分式分子分母同时“除以”dy. dx dx dy
dy ”，其中的 dy 与 dx 分别为y与x的微分,它们可 dx
x t
所以
dy dy y '(t ) e y cos t ，将 t 0, x 1, y 1 代入，易得 ( x t )2 dx dx x '(t ) [e 1](2 y )
t 0
e ． e 1
例20.10(难度系数0.6) 错解： 当 x 0 时，因 解析：
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点20 隐函数及参数方程的求导 精选习题 作者：邹群
x ln(1 t 2 ) y arctan t
例20.1(难度系数0.2) 设
，求 y , y .
解析：基础题型，利用参数方程求导公式.
1 dy dy dy 1 d( ) d( ) d( ) 2 dy 1 t 2 1 d 2 y 1 1 t2 解： ， 2 dx dx dx 2t 3 . 2t 2t dx 2t dx dx dx dt dx 4t 2 1 t dt 1 t 2
t
1 2
2
2
例20.8(难度系数0.4) y (0) 及 y (0) .
设 y f ( x) 是方程 e y e x xy 0 所确定的函数，求
解析：隐函数求导，可边求导边代入，这样可以简化运算. 解:方程两边对x求导，得 e y y e x y xy 0 .因为 y (0) 0 ，所以得
设
dy x 2t t , 求当 t 0 时的导数 . 2 dx y 5t 4t t ,
t 0
dx dy dy ， 不存在，故 dt dt dx
也不存在.
dx dy dy ， 存在是 存在的充分条件，但不是必要条件. dt dt dx
解： 用导数定义处理.注意 | t | t sgn t （ sgn t 是符号函数）. 由于 lim 故
y (0) 1 .而 e y y e y ( y ) 2 e x 2 y xy 0 ，易知 y (0) 2 .
x t u2 dy dy t 1 e du 已知 ，求 ， y dx dx e sin t y 1 0
又比如参数方程的二阶导公式
d2 y dx 2 d( dy dy dy ) d( ) d( ) dx dx dx 1 , dx dx dt dx dt
其中最后一个等式左右两边也可以看作“除法”. 我们将以上的理解法称为“除法原则”,此原则使得我们无需机械地记忆公式.
例20.2(难度系数0.2)
arctan y x
例20.3(难度系数0.4)
设 x2 y 2 e
，求 y ', y '' .
解析：两边取对数后，再求微分，从而通过微分得到导数 y ' . 解：原方程两边取对数得 两边微分得
xdx ydy 1 xdy ydx 2 2 ， y x y x2 1 ( )2 x
dy d2 y |t 0 e ，所以 2 dt dx
t 0
因此
因为 y |t 0 1,
2e 2 3e . 4
t
例20.5(难度系数0.4，跨知识点53) 设 x u ln udu ， y u 2 ln udu ，求
1
t2
1
dy 和 dx
d2 y （ t 0 ）. dx 2
例20.6(难度系数0.4,跨知识点53)
x 1 2t 2 , d2 y u （ t 1 ）所确定，求 2 1 2ln t e dx du y 1 u
设函数 y y ( x) 由参数方程 .
x 9
解析：同例20.5. 解：由
dx dy e1 2ln t 2 2et ， 4t ，得 dt 1 2ln t t 1 2ln t dt
解析：由于 y f ( x) 是参数方程的形式，而且是变上限积分，因此在对t求导时 可以采用变上限积分的求导公式. 解：因为
dx dy 4 2 t ln t ， t ln t 2t ，所以 dt dt
dy dy dt 2t 5 ln t 2 2t 4 ， dx dx t ln t dt d 2 y d dy 1 16t 2 3 1 ( ) 16 t . dx 2 dt dx dx t ln t ln t dt
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学
隐函数及参数方程导数
隐函数及参数方程导数隐函数的概念隐函数是指在数学上表达关系式时，将一个变量的值表示为另一个变量的函数形式，而不是直接给出变量间的具体关系式。
隐函数可以在一些情况下简化表达式，使得关系更加清晰。
隐函数的求导法则对于一个隐函数，我们可以使用隐函数的求导法则来求其导数。
隐函数的求导法则有三个基本步骤：1.将隐函数两边分别对变量求导。
2.将所有涉及未知函数的导数项放在一起，将未知函数的导数视为一项。
3.对于求导后的表达式，将解释为隐函数的形式。
当我们有一个隐函数的关系式时，我们需要将其改写为求导的形式，然后根据隐函数的求导法则进行求导。
参数方程的概念参数方程是一种使用参数来表示曲线、曲面或空间中的点的方式。
在参数方程中，曲线或曲面上的每个点都可以通过一个参数的取值来确定。
参数方程的求导法则对于参数方程中的点，我们可以使用参数方程的求导法则来求其导数。
参数方程的求导法则与一般函数的求导法则不同，它根据参数的导数来求解。
参数方程的求导法则可以表示为：1.对于曲线的参数方程，使用链式法则求导。
2.对于曲面的参数方程，使用偏导数的求导法则求导。
在求导参数方程时，我们需要对参数进行求导，并将参数的导数代入到参数方程中，再进行求导。
隐函数和参数方程在数学上表示了相同的关系，但使用不同的表达形式。
隐函数更多用于关系的研究，参数方程更多用于几何的研究。
二者之间存在着一一对应的关系。
在一些情况下，可以通过一个隐函数推导出一个参数方程，或者反过来，通过一个参数方程推导出一个隐函数。
隐函数与参数方程的求导对于隐函数的求导，我们可以使用隐函数的求导法则进行求导。
隐函数的求导法则适用于一般的隐函数。
对于参数方程的求导，我们可以使用参数方程的求导法则进行求导。
参数方程的求导法则适用于一般的参数方程。
需要注意的是，在求导隐函数或参数方程时，我们需要明确表示出需要求导的变量是隐函数中的变量或参数方程中的参数。
总结隐函数和参数方程是数学中表示关系的两种不同形式。
D2_3隐函数及参数方程求导法
dx dx
dt
1 2
t
2
t
1. t
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例7
设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2
dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x
3
3 x (2 x)2
1 2ln x x
3(2 x)
2x 3(2
x)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
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例8 求螺线
在对应于
的点处的切线方程.
x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
dy cos cos sin
当
π 2
时对应点
M (0,
π 2
y(0) 1 . e
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
16
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
18
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高数 隐函数与参数方程求导讲解
1
f (t)
24
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
25
作业 P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）（3）; 6 ; 7 (2) （4）; 8.
2 2(t
2t 1
1) 2
23
例14 已知 x f (t) y t f (t) f (t)
求
d2 dx
y
2
.
解: d y dx
t f (t) t,
f (t)
, 且 f (t) 0,
x f (t) y t
d2y dx2
d y dx
t f t
其运动轨迹方程为：x v0 cos at
表示。
y
v0
sin
at
1 2
gt
2
15
参数方程求导
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
11
例7 求下列函数的导数 y.
1.
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。