隐函数参数方程表示的函数求导
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隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
§3.4 隐函数及参数方程表示的函数的导数
f ( x y) 1 1 y 1 f ( x y) 1 f ( x y)
y d 1 1 dx 1 f ( x y )
f ( x y ) f ( x y )(1 y) 2 1 f ( x y) 3 1 f ( x y)
解
dy 1 1 dy dt 1 t2 1 t 2t 2 dx dx 1 t2 dt
d 2 y d dy ( ) 2 dx dx dx
1 1 t2 2 2t 4t 1 t2
8.529
10
5
tatan ( t)
0 5
2
4
6
8.529 10 0 ln 1t
2
1 代入 x 0, y 1, y(0) 得 4
1 y( 0) . 16
f 例4 设f ( x )二次可微，且 ( x ) 1, y y( x )由y f ( x y) 确定，求 . y
解
由y f ( x y)两边对 求导得 x
y f ( x y)(1 y)
（ln y)
例7 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x x
d y d ( y ) dt [ t ] 1 x 2 dx dx dt [ f ( t )] f ( t )
2
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例4 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 1 解 1 dx dx dt 3a sin 2 t cos t 3 ( sin( t) ) 2 1 0 3a cos t ( sin t ) tan t
y d 1 1 dx 1 f ( x y )
f ( x y ) f ( x y )(1 y) 2 1 f ( x y) 3 1 f ( x y)
解
dy 1 1 dy dt 1 t2 1 t 2t 2 dx dx 1 t2 dt
d 2 y d dy ( ) 2 dx dx dx
1 1 t2 2 2t 4t 1 t2
8.529
10
5
tatan ( t)
0 5
2
4
6
8.529 10 0 ln 1t
2
1 代入 x 0, y 1, y(0) 得 4
1 y( 0) . 16
f 例4 设f ( x )二次可微，且 ( x ) 1, y y( x )由y f ( x y) 确定，求 . y
解
由y f ( x y)两边对 求导得 x
y f ( x y)(1 y)
（ln y)
例7 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x x
d y d ( y ) dt [ t ] 1 x 2 dx dx dt [ f ( t )] f ( t )
2
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例4 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 1 解 1 dx dx dt 3a sin 2 t cos t 3 ( sin( t) ) 2 1 0 3a cos t ( sin t ) tan t
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
5
Yunnan University
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 二、参数方程所表示函数的求导法
平面曲线参数方程的一般形式
x (t),
y
(t
),
t [ , ]为参数.
若x (t)与y (t)都可导，且(t) 0. 又x (t)存在
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
例1. 设y(x)是由方程x2 y2 r 2确定的隐函数，求dy . dx
解法一：因y y(x)是方程x2 y2 r 2确定的隐函数，故有恒 等式 x2 y2 (x) r 2. 视y2 (x)为复合函数，在恒等式两边关于x 求导，得
2x 2 y(x) y(x) 0,
即
y y(x) x x .
y(x) y
方法I : 对于由方程F (x, y) 0确定的隐函数，只需应用复合函数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式 或方 程 两 端 关 于x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数 的 导 数 （ 注 意y是x的 函 数 ）.
例4. x2 y2 1，a, b const. a2 b2
解： (1)
隐函数求导法，y
b2 a2
x y
.
(2) 椭圆的参数方程
x
y
a cos，（0 bsin
2）,
则
dy y( ) b cos b ctg .
dx x( ) a sin a
7 x 2，即 7x 4 y. 2y
解方
程组
x2 2
y2 7
1，得两点(4,7)和(4,7).
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
2.4-隐函数和由参数方程所确定的函数求导法
对数求导法是对函数等式的两边同时取对数， 再用隐函数的求导法求解. 适合用对数求导法的函 数有：
（1）由多个因式相乘、除、乘方或开方的函 数；
（2）形如 y u(x)v(x) 的幂指函数.
例2.4.3 已知
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
,求
y/ .
解 等式两边取自然对数，得
ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x 3
解 两边对x求导，( y5 2y x) 0
5y4 y 2y 1 0
y
1 5y4
2
例2.4.2 已知 y3 3xy 1 ， 求 y x0 .
解 两边对x求导，3y2 y 3y 3xy 0
y
y y2
x
当
x0
时， y 1 ，所以
y y2
x
x0
1。
y1
2.4.2 对数求导法
2.4 隐函数和由参数方程所确定的 函数求导法
2.4.1 隐函数求导法 前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地 位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数. 还 有另一种形式的函数，变量 x 、y 之间的函数关系 是隐涵在方程 F(x, y) 0 中，顾名思义称这种函数 为隐函数.
例2.4.1 求由方程 y5 2y x 0 所确定的隐函数的 导数 y/ .
上式两边对x求导，得
y/ 1 1 2 1 y x 1 3(x 1) x 4
y/
(
x (x
1)3 x 4)2ex
1
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
例2.4.4 求函数 y xx 的导数. 解 等式两边取自然对数，得
（1）由多个因式相乘、除、乘方或开方的函 数；
（2）形如 y u(x)v(x) 的幂指函数.
例2.4.3 已知
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
,求
y/ .
解 等式两边取自然对数，得
ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x 3
解 两边对x求导，( y5 2y x) 0
5y4 y 2y 1 0
y
1 5y4
2
例2.4.2 已知 y3 3xy 1 ， 求 y x0 .
解 两边对x求导，3y2 y 3y 3xy 0
y
y y2
x
当
x0
时， y 1 ，所以
y y2
x
x0
1。
y1
2.4.2 对数求导法
2.4 隐函数和由参数方程所确定的 函数求导法
2.4.1 隐函数求导法 前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地 位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数. 还 有另一种形式的函数，变量 x 、y 之间的函数关系 是隐涵在方程 F(x, y) 0 中，顾名思义称这种函数 为隐函数.
例2.4.1 求由方程 y5 2y x 0 所确定的隐函数的 导数 y/ .
上式两边对x求导，得
y/ 1 1 2 1 y x 1 3(x 1) x 4
y/
(
x (x
1)3 x 4)2ex
1
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
例2.4.4 求函数 y xx 的导数. 解 等式两边取自然对数，得
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
26隐函数及参数方程所确定的函数的求导(精)
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
返回
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
即
d y ( t )( t ) ( t )( t ) . 2 3 dx ( t )
2
返回
x a cos t， 例 5 • • • • 已知椭圆的参数方程为 求椭圆在 y b sin t， t
4
处的切线方程。
解 •• 当t
时，椭圆上的相应点 M 0的坐标是： 4 a 2 x0 a cos ， 4 2 b 2 y0 b sin . 2 2 曲线在点M 0的切点斜率为：
y x
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
的情形.
例3
解
设 y x sin x ( x 0), 求y.
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
两边同时对 x 求导： 1 1 f ( x ) v( x) f ( x) u( x )
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v( x ) ln u( x ) ] u( x )
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
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第9讲
隐函数及由参数方程所 确定的函 数的导数
• 一、授课时间：2007－4－17－3、4节 • 二、教学目的要求： 在复习巩固上节显函数 导 数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与 参数方程确定的函数的求导方法。 • 三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的 求导； • 教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。 • 四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。 • 五、教学手段：多媒体＋适当板书。
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则
（常数和基本初等函数的导数公式） 1、基本导数公式
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec2 x (sec x ) sec xtgx ( a x ) a x ln a 1 (log a x ) x ln a 1 (arcsin x ) 1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。
易知函数用解析法表示的方法有：
• 【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则） • 【2】隐函数
f ( x, y) 0
• 【3】用参数方程表示的函数，即
x (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y (t )
• 问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？
dy x ， dx y x y . x y
或
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 y x.
解 方程两边求导，得
( y x e xy ) ' 0 y ' 1 e xy ( xy) ' 0 y ' 1 e xy ( y xy ' ) 0
y y ( x)称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
当 1 - xexy 0 时，解得
xy d y y e 1 ' y ， xy dx 1 xe ye xy 1 y . x xy 1 xe
即
例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲 线上的点的切线方程.
解 方程两边求导数，可得
dy x 3 ( y 0). dx 2y
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求导，得
dy 1 cos y dx
1 y . cos y
第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数
• 【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 • 【2】总结 • 【3】课堂练习
第二章 导数与微分
【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的 函数的导数 三、对数微分法
一、隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的函数
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
课堂练习1－例2。30
设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)， 求 dy ? . dx 解 将方将程两边求导，可得 当y0时
将 x = 4 代入方程，得 y = 1. 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 在 P2 处切线的 斜率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0
2、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c 是常数), （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu (
v Байду номын сангаас uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
继续【2－2】课堂练习
• 课堂练习： • 习题2－2 ）2（14）
已知
y sin ln(x ) , 求其导数。
2
2 2 ' 2
1 解：y cosln(x ).[ln(x )] cosln(x ). 2 .2 x x 2 cosln(x 2 ) x
复习：导数公式与求导法则
• 1、基本导数公式 • 2、求导法则
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y )的反函数为y f ( x ), 则有 1 f ( x ) . ( x )
(3) 复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数y f [( x )]的导数为 dy dy du 或 y ( x ) f ( u) ( x ). dx du dx
隐函数及由参数方程所 确定的函 数的导数
• 一、授课时间：2007－4－17－3、4节 • 二、教学目的要求： 在复习巩固上节显函数 导 数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与 参数方程确定的函数的求导方法。 • 三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的 求导； • 教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。 • 四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。 • 五、教学手段：多媒体＋适当板书。
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则
（常数和基本初等函数的导数公式） 1、基本导数公式
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec2 x (sec x ) sec xtgx ( a x ) a x ln a 1 (log a x ) x ln a 1 (arcsin x ) 1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。
易知函数用解析法表示的方法有：
• 【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则） • 【2】隐函数
f ( x, y) 0
• 【3】用参数方程表示的函数，即
x (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y (t )
• 问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？
dy x ， dx y x y . x y
或
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 y x.
解 方程两边求导，得
( y x e xy ) ' 0 y ' 1 e xy ( xy) ' 0 y ' 1 e xy ( y xy ' ) 0
y y ( x)称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
当 1 - xexy 0 时，解得
xy d y y e 1 ' y ， xy dx 1 xe ye xy 1 y . x xy 1 xe
即
例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲 线上的点的切线方程.
解 方程两边求导数，可得
dy x 3 ( y 0). dx 2y
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求导，得
dy 1 cos y dx
1 y . cos y
第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数
• 【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 • 【2】总结 • 【3】课堂练习
第二章 导数与微分
【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的 函数的导数 三、对数微分法
一、隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的函数
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
课堂练习1－例2。30
设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)， 求 dy ? . dx 解 将方将程两边求导，可得 当y0时
将 x = 4 代入方程，得 y = 1. 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 在 P2 处切线的 斜率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0
2、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c 是常数), （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu (
v Байду номын сангаас uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
继续【2－2】课堂练习
• 课堂练习： • 习题2－2 ）2（14）
已知
y sin ln(x ) , 求其导数。
2
2 2 ' 2
1 解：y cosln(x ).[ln(x )] cosln(x ). 2 .2 x x 2 cosln(x 2 ) x
复习：导数公式与求导法则
• 1、基本导数公式 • 2、求导法则
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y )的反函数为y f ( x ), 则有 1 f ( x ) . ( x )
(3) 复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数y f [( x )]的导数为 dy dy du 或 y ( x ) f ( u) ( x ). dx du dx