隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
5
Yunnan University
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 二、参数方程所表示函数的求导法
平面曲线参数方程的一般形式
x (t),
y
(t
),
t [ , ]为参数.
若x (t)与y (t)都可导，且(t) 0. 又x (t)存在
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
例1. 设y(x)是由方程x2 y2 r 2确定的隐函数，求dy . dx
解法一：因y y(x)是方程x2 y2 r 2确定的隐函数，故有恒 等式 x2 y2 (x) r 2. 视y2 (x)为复合函数，在恒等式两边关于x 求导，得
2x 2 y(x) y(x) 0,
即
y y(x) x x .
y(x) y
方法I : 对于由方程F (x, y) 0确定的隐函数，只需应用复合函数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式 或方 程 两 端 关 于x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数 的 导 数 （ 注 意y是x的 函 数 ）.
例4. x2 y2 1，a, b const. a2 b2
解： (1)
隐函数求导法，y
b2 a2
x y
.
(2) 椭圆的参数方程
x
y
a cos，（0 bsin
2）,
则
dy y( ) b cos b ctg .
dx x( ) a sin a
7 x 2，即 7x 4 y. 2y
解方
程组
x2 2
y2 7
1，得两点(4,7)和(4,7).
2.4-隐函数和由参数方程所确定的函数求导法
（1）由多个因式相乘、除、乘方或开方的函 数；
（2）形如 y u(x)v(x) 的幂指函数.
例2.4.3 已知
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
,求
y/ .
解 等式两边取自然对数，得
ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x 3
解 两边对x求导，( y5 2y x) 0
5y4 y 2y 1 0
y
1 5y4
2
例2.4.2 已知 y3 3xy 1 ， 求 y x0 .
解 两边对x求导，3y2 y 3y 3xy 0
y
y y2
x
当
x0
时， y 1 ，所以
y y2
x
x0
1。
y1
2.4.2 对数求导法
2.4 隐函数和由参数方程所确定的 函数求导法
2.4.1 隐函数求导法 前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地 位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数. 还 有另一种形式的函数，变量 x 、y 之间的函数关系 是隐涵在方程 F(x, y) 0 中，顾名思义称这种函数 为隐函数.
例2.4.1 求由方程 y5 2y x 0 所确定的隐函数的 导数 y/ .
上式两边对x求导，得
y/ 1 1 2 1 y x 1 3(x 1) x 4
y/
(
x (x
1)3 x 4)2ex
1
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
例2.4.4 求函数 y xx 的导数. 解 等式两边取自然对数，得
隐函数及参数方程函数的求导及取对数的方法介绍
dy 存在可导的反函数 t x ，则 存在，且 t dx dy yt dx xt
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 y ( t ) dx dt dx dt dx x( t ) dt
即
记住公式
y t 0 dy y t 且 dx x x0 xt x x0 xt0
即 y x a( 2 ) 2
例9
不计空气的阻力 以初速度 v0 , 发射角 ,
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 g t , 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 1 x 2 x2 2 y x yt ( ) 2 2 4 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x x( t ), y y( t )可导, x( t ) 0，且x xt
dy a sin t sin t dy dt 解 dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. 当 t 时, x a( 1), y a . t dx 2 2 2 1 cos 2
所求切线方程为 y a x a( 1) 2
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
参数方程含有隐函数求导
显函数：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值是，由这式子能确定对应的函数值。
如y=sin x,y=ln (x+2)
隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。
如e^y+xy-e=0。
隐函数对x求导：
①直接对x求导法：把y看成常数，直接用公式对x求导，y不变。
②两边取对数求导法：这种方法适用于含有幂指数函数。
两边先取对数，再进行求导。
三、由参数方程所确定的函数导数
参数方程：
一般地，若参数方程
确定的y与x的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由参数方程所的函数
参数方程的导数：
四、相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率
间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
隐函数参数方程求导
20m,在此人的正下方有一条小船以 4 m s 的速度在
与桥垂直的方向航行, 求经5s后,人与小3 船相分离的
速度. 解：设经t秒钟后人行走距离为x m,
桥面
x
船航行距离y m,船与人的距离为z m, z
(1) z2(t ) x2(t ) y2(t ) 202
20m
水面
(2) 对t求导 2z dz 2x dx 2 y dy
dt
d 1 1 140
(rad/ min)
d t 2 500
导数与微分
24
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2
d
dt
500 x2
x (t) 利用新的参数方程 dy (t) ,可得
dx (t)
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2(t)
(t )
(t
)
(t) ( 3(t)
t
)
(t
)
yx xy x 3
导数与微分
13
例6.
求摆线
x y
a(t a(1
x
4
2 a, 2
y
4
2a 2
导数与微分
22
四、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对t 求导
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
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例1.
? ? ?
x y
? ?
arcsin ln(1 ? t
t ，求 2)
dy dx
；
解： dy ? y?(t) dx x?(t )
2t
?
1? t2 1
1? t2
?
2t 1? t 2 1? t2
例2.
设由方程
?x ? t2 ? 2t
? ?
t
2
?
y?
? sin
y?
1
(0 ? ? ? 1) 确定
函数 y ? y( x )，求 dy ; dx
隐函数求导法则 :
用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .
例 1. Kepler equation : y ? x ? ? sin y ? 0；
2. 求 x 2 ? y2 ? R 2 (R ? 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M 0( x0 , y0 ) 的切线方程；
3. 求 y ? (sin x )cos x (sin x ? 0) 的导数 .
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx d t ? 2t ? 2
2t ? d y ? ? cos y d y ? 0
dt
dt
d x ? 2(t ? 1) dt d y ? 2t
d t 1? ? cos y
故
dy dx
?
dy dt
dx dt
t ?
(t ? 1)(1? ? cos y)
例3.
? ? ?
两边取对数
( ln u )?? u? u
ln y ? 1?ln x ? 1 ? ln x ? 2 ? ln x ? 3 ? ln x ? 4 ?
2
对 x 求导
y?? 1 ? 1
?
1
?
1 ?
1
?
y 2 x?1 x?2 x?3 x?4
?1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
x?1 x?2 x?3 x?4
隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .
代表平面上一条曲线，
设
x
?
? (t) 的反函数为
t ? ? ?1( x ), 并且设它满足反函数求 导法则(严格单调，连续 )
于是 y 看做复合函数 y ? ? (t), t ? ? ?1( x ),则有
dy dx
?
dy dt ?
dt dx
?
dy 1 dt ?dx
?
? ?
?(t ) ?( t )
dt
上式两边对 x求导得
y?? 1 ? 1 ? 2 ? 1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4
?
y??
(
x (
? x
1)3 ? 4)
x? 2ex
1
[
x
1 ?
1
?
1 ?
3( x ? 1)
2 x?
? 4
1]
例5. x y ? y x ,求由方程确定的隐函数 y 的导数； 解: 两边取对数， y ln x ? x ln y
2x ? 2 yy? x ? yy? 2 x2 ? y2 ? x2 ? y2
?
arctan
e
y x
? 1?
1 (y
)2
?
xy?? x2
y
x
?
x2 ?
y2
?
xy?? x2
y
? x ? yy?? xy?? y
(1)
y?? x ? y x? y
再对(1)式两端关于 x 求导： 1? y?2 ? yy??? xy??
?
?
??(t )? ?(t ) ? ? ??(t )? ? ?3(t )
?(t )
注意 : 已知
?t ),
? ?
y
?
a(1 ?
注意： 1. 两端求导时，始终 y ? y( x );
2. 求导式充分简化表达式 。
说明:
1) 对幂指函数 y ? uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y ? v ln u
1 y?? v?ln u ? u?v
y
u
y?? uv ( v?ln u ? u?v ) u
y?? uv ln u ?v? ? vu v?1 ?u?
对数求导法则： 从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对 数，再求导。
例4.
设
y
?
( x ? 1)3 x ? 1 , 求y?. ( x ? 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ? ln( x ? 1) ? 1 ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3
x? y?
f (t) f (e3t
? ? ，其中
? 1)
f
可导，且
f ?(0) ?
0，求
dy ； dx t? 0
解： dy ? f ?(e3t ? 1) ?e3t ?3
dx
f ?(t )
dy ? dx t? 0
3 f ?(0) f ?(0)
?3
例4.
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t),求 (t)
d2y dx 2
§3 隐函数和参数方程求导法
? 隐函数求导 ? 参数方程求导 ? 导数的简单应用
一. 隐函数求导
定义: 由方程 F ( x , y) ? 0 所确定的函数 y ? y( x )称 为隐函数 .
y ? f ( x ) 形式称为显函数 .
F (x, y) ? 0
y ? f ( x ) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?
将 y?? x ? y 代入上式有： x? y
y???
2( (
x x
2 ? y2 ? y)3
)
.
二. 参数函数求导法则
若参数方程
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函数关系
,
称此为由参数方程所确 定的函数 .
由复合函数及反函数的求导法则得。
?x
? ?
y
? ? (t ), ? ? (t).
;
解：
dy dx
?
? ?
?(t ?(t
) )
d2y dx 2
?
d dx
?? ?
dy dx
?? ?
?
d dx
?????
?(t ) ?(t )
??? ?
d dt
?????
?(t ) ?(t )
?? ?
? dt dx
?
?
1 ??
?(t )
??(t )?
?(t ) ? ? ??(t )? ? ?2(t )
?(t )
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y ? x ln a ? a[ ln b ? ln x ] ? b[ ln x ? ln a ] b
两边对 x 求导
y? ?
ln a
?
a
?
b
y bxx
又如, y ?
( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 3)( x ? 4)
再求导 y?ln x ? y ? ln y ? x y?
x
y
? y?? y( x ln y ? y) . x ( y ln x ? x )
arctan y
例6.
求由方程
e x2
?
x
y2
?
1所确定的隐函数
y ? y( x ) 的二阶导数。
y
解:
将方程化为：
x2 ?
y2
?
arctan
e
x
两端对 x 求导