作业11隐函数与参数方程求导
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
第四节隐函数与参数方程的求导法
−1
：
dt 1 x = ϕ ( t )的反函数 t = ϕ ( x )也可导, 且 其导数 = dx dx 再设 y = ψ ( t )也可导 dt −1 ∵ y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) ∴ y = ψ [ϕ ( x )]
由复合函数及反函数的求导法则得其导数
3 3 ( , ) 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 x 求导得 4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 ⋅ y′
x =0 y =1
(1)
= 0 ∴ y′ x = 0
2
h tanα = 500
h米
α
500米
dt
dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
仰角增加率
五、小结 隐函数求导法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率:通过两个相互依赖的变量之间的关系 确定两个相互依赖的变化率之间的关系.
方程两边对 x 求导 , 得 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ = 2 y −x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
隐函数求导以及参数方程求导
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
导 y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
导数与微分
7
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
导数与微分
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数和参数方程求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
16
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
18
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数参数方程求导
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
x
2
y
cos
x
－sin
x
sin
x
2
2
y＝ －sin
x＝－cos
x
sin
x
3
2
y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y
(
y)，f
(x)
[
f
(x)]
，d 2y dx2
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
高数 隐函数与参数方程求导讲解
1
f (t)
24
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
25
作业 P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）（3）; 6 ; 7 (2) （4）; 8.
2 2(t
2t 1
1) 2
23
例14 已知 x f (t) y t f (t) f (t)
求
d2 dx
y
2
.
解: d y dx
t f (t) t,
f (t)
, 且 f (t) 0,
x f (t) y t
d2y dx2
d y dx
t f t
其运动轨迹方程为：x v0 cos at
表示。
y
v0
sin
at
1 2
gt
2
15
参数方程求导
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
11
例7 求下列函数的导数 y.
1.
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
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1、填空题
1）设函数()x y y =由方程()
x y x y x sin ln 3
2
+=+确定，则()=
'0y 1
2）设()()⎩⎨⎧-=-=13t
e f y t f x π，其中()t f 可导，且()00≠'f ，则=
=0
t dx dy
3
3）设()0,0>>⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a x x b a b y b
a
x
，则=dx
dy
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---1ln a b x
a b x b
a x a
b a b a b x a b a b 2、求下列方程所确定的隐函数()x y 的导数 1）xy
x y e +=
解：方程两边关于x 求导得：()1
11xy xy
xy
ye y e y xy y xe -'''+=+⇒=-。
2）()tan cos y x x y =+
解：方程两边关于x 求导得：()()2
tan sec 1sin y x y x y x y ''+=-++⇒。
()()2sin sec sin tan x y y x
y x y x
-+-'=++
3
()0a =>上任意一点处的切线在坐标轴上的截距和为常数
a 。
证明：方程两边关于x
0y y ''+=⇒=()00,x y 为曲线上
任意一点，此点处切线方程为)00y y x x -=-，其对应截距式方程为
1=
a ==
4、求下列函数的导数dx
dy
1）
y xe
=
解：方法一、
22cos 1x x e x y e
xe -'=
方法二、y xe
=
()21
ln ln ln sin 12
y x x x =++-
两边关于x 求导得：()()
22
cos 111
1sin 1x x y y x x -'=+
+- ()()2
2
cos 111sin 1x x y xe x x ⎫-'⎪=++⎪-⎭
2）()()x
y
y x sin cos =
解：()()x
y
y x sin cos =两边取对数得：
y x x y sin ln cos ln =
两边关于x 求导得：y y x y x y x y '⋅+=-'cot sin ln tan cos ln
y
x x y
x y y cot cos ln sin ln tan -+=
'
5、求下列参数方程所确定函数的导数
dx
dy 1）()32
ln 1x t t y t t
⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
解：
()
()()()()322323211ln 111t t dy t t
t t dx
t t t
'++===++'-+-+ 2）()⎩⎨
⎧=-=θ
θθθcos sin 1y x
解：()()()θ
θθθθθθθθθcos sin 1sin cos sin 1cos ---='-'=dx dy 6、求三叶玫瑰线()()03sin >=a a r θ上对应于4
π
θ=点处的切线方程（直角坐标形式）。
解：⎩⎨
⎧====θ
θθθθθsin 3sin sin cos 3sin cos a r y a r x ，θθθθθ
θθθsin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 3a a a a dx dy -+=
当4
π
θ=
时，2,2a y a x ==
，21
212321
234
=--+
-
==
π
θdx
dy
切线方程为：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-
2212a x a y 。
7、在摆线的一拱()()
()sin ,021cos x a t t t y a t π=-⎧⎪≤≤⎨
=-⎪⎩上求一点，使该点处切线与直线1y x =-平行，并写出切线方程。
解：因为()()()()
1cos sin 1sin a t dy t dx cocst a t t '-==-'
-，由
sin 1sin cos 1sin 1cos 4t t t t t π⎛⎫
=-⇒-=-⇒-= ⎪-⎝⎭
所以32t π=
，或2t π=（舍去函数在此点不可导），当32t π=时，31,2x a y a π⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
对应切线方程为：312y a x a π⎛⎫
⎛⎫-=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。