23隐函数及参数方程求导法
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D2_3隐函数及参数方程求导法
dx dx
dt
1 2
t
2
t
1. t
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例7
设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2
dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x
3
3 x (2 x)2
1 2ln x x
3(2 x)
2x 3(2
x)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
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例8 求螺线
在对应于
的点处的切线方程.
x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
dy cos cos sin
当
π 2
时对应点
M (0,
π 2
y(0) 1 . e
隐函数与参数方程求导法则
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
23隐函数、参数式求导
r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0
1 (12)2 32
18
216 (cm)3
，根据题意可知
V0
1 r 2h 3
(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y
x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化 不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法 例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐 函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导 法 (logarithm derivation)．
程为
x
y
v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t (0
sin t
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高等数学同济大学版2.3隐函数的求导法则
若函数 x (t), y (t)都可导, 且 (t ) 0, 则
dy (t) dy / dt
.
dx (t) dx / dt
dy
分析： dy dy dt
dy
1
dt .
dx dt dx dt dx dx
dt dt
例1
求由参数方程
x
y
2t t2
所表示的函数
y
y( x)的导数.
dy
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如,
x y
2t t2
t
x 2
,
y
t2
x 2
2
x2 4
,
y
x 2
.
又如,
x
y
a(t a(1
sin t) ,
cos t)
求
dy dx
.
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程求导法则：
设
x (t)
y
(t
)
tI
利用复合函数和 反函数求导法则 可证明该法则
解 等式两边取对数得
ln y sin x ln x
两边对 x 求导得
1 y
y'
cos
x
ln
x
sin
x
1 x
,
y'
ycos x ln x
sin
x
1 x
xsin x cos
x ln
x
sin x
x .
完
例2 设(cos y)x (sin x) y , 求 y'.
外导 •
内导
eln xsin x
cos
x
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例 3设 y=y(x)由方 ar程 cyt)= aln nx2 (+y2 x
确定 y. ，求
例4 求曲线x+ y= a在点 (a,a)处 44
的切线方程和法； 线证 方明 :程 在它的 人一点处的切线标 在轴 两上 坐截距的a.和为
二、对数求导法
观察函数 y=(x (x ++ 1)43)2 xe- x1, y=xsix n. 方法:
g(1)
(3)y=e x
(4)f(x)=u(x)v(x)
例16 证明双曲 y=线 a上任一点处的切线 x
介于两坐标轴间 被的 切一 点段 所.平分
例17 确定a,b的值，使
f
(
x)
=
1 0x
(1
-
cos
ax )
1 ln( b + x 2 ) x
x0 x=0 x0
在(-,+)内可导， 并求导函.数
例18 求函 y=f数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
上式两x边 求对 导得
Байду номын сангаас
1y=coxslnx+six n1
y
x
y=y(cx o ln sx+sixn 1) x
=xsix n(cx olsn x+six n ) x
一般地
f(x )= u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 ) lf ( n x ) = v ( x ) l u ( x n )
例 14 证l明 n x=： 1 x0
x
证x ： 0 ,则 l若 n x = ln x =1
x
若 x 0 ,则 lx n = ln - x )( = 1 -x =1
-x
x
综上 lnx： =1 x0
x
一般地: ln f(x)=ln f(x)=f(x)
f(x)
例15 求下列函数的导数：
(1)y= f(x2) (2)y= f2(x)+g2(x)
作业:P93, 5,6,8,10
第三节 隐函数与参数方程求导法
一、隐函数的导数
y=f(x)形式称为显函数. F(x,y)=0 y=f(x)使 F (x ,f(x) )0 , y=f(x)称为由 F(x方 ,y)=程 0所确定的 . 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方x程 y-ex +ey =0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx=0.
解 方程两边 x求对导 ,
y+xdy -ex+eydy =0
dx
dx
解得
dy ex - y dx= x + ey ,
由原方x=程 0,y知 =0,
ddxyx=0
=exx+-eyy
x=0 y=0
=1.
例2 设曲C线 的方程x3为 +y3 =3xy,求过 C上
复习：
1.函数的四则运算(和、差、积、商) 求导法则
设u = u( x), v = v( x)可导，则
（1）(u v) = u v, （2）(cu) = cu ( C是常数)
（3）(uv) = uv + uv,
（4）(
u) v
=
uv v2
uv
(v
0).
2.反函数的求导法则 f (x) = 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则
设 y=f(u),而 u=(x)则 , 复y 合 =f[函 (x)的 ]数 导数 d= yd 为 ydu或y(x)=f(u)(x).
dxdu dx
利用导数的定义及法则求得基本初等函数的导数. 4.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) = 0 (sin x ) = cos x (tan x ) = sec 2 x (sec x ) = sec x tan x
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的形情.
例5 设y=(x+1)3 x-1,求 y. (x+4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n = ln x + 1 ) ( + 1 ln x - 1 ) ( - 2 ln x + 4 ) ( - x 3
(a x ) = a x ln a
(log a
x)
=
1 x ln a
(arcsin x ) = 1 1- x2
(arctan
x )
=
1 1+ x2
( x ) = x -1 (cos x ) = - sin x (cot x ) = - csc 2 x (csc x ) = - csc x cot x
解 y = n n - 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n - 1(sx in )n (sx in )n co xns nn- x 1
=n3xn-1co xns fn-1[ n(sx in)n] n-1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2+ 3 y 2 y = 3 y + 3 x y
y (3,3) 22
y-x2 =
y2 -x
3=3 -1.
(,) 22
所求切线方程为 y-3=-(x-3) 即 x+y-3=0.
2
2
法线方 y-3 程 =x为 -3即y=x, 显然通过原点. 22
又 dln f(x)=1df(x) dx f(x)dx
f(x)=f(x)dln f(x) dx
f(x )= u (x )v (x )[v (x )lu n (x )+ v (x )u (x )] u (x )
三、由参数方程所确定的函数的导数
(e x ) = e x
(ln x ) = 1 x
(arccosx) = - 1 1- x2
(
arccot
x)
=
1
1 + x2
结论:初等函数的求导问题均可完全解决,且 可导的初等函数的导数仍为初等函数.
注意:复合函数的求导法则是最基本最重要的; 使用时,关键是合理分解初等函数的复合结构, 正确使用链式法则.
上式两边 x求对导得 y=1 + 1 - 2 -1 y x+1 3(x-1) x+4
y = (x (x + + 1 ) 4 3 )2 x e - x 1 [x 1 + 1 + 3 (x 1 - 1 )- x 2 + 4 - 1 ]
例6 设 y = x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y= sixn ln x