显函数.隐函数.参数方程求导总结
隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
隐函数及参数方程确定函数求导法则
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
【考研数学】2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数笔记小结
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则:
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
若方程 F(x, y) 0确定的是y关于x的函数，
则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x, y) 0两端关于x求导，其中y
视为x 的函数.
（2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式，
在表达式中允许保留y
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求y.
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
隐函数与参数方程的导数(2)
2021/4/22
2
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铃
把一个 隐函数 化为 显函数 , 称为 隐函数的显化
例如由方程 4x y3 1所确定的隐函数，可 由方程 解出y ，得显函数 y 3 4x 1.
注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如 方程 xy ex ey 0 所确定的隐函数就不能显化。
§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数求导法 二、由参数方程所确定的函数的导数
2021/4/22
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1铃
一、隐函数的导数
❖显函数与隐函数
(1) 显函数: 我们把函数y可由自变量x的解析式 y f ( x)来表示的这种函数,称为显函数.
例如 ysin x yln xex 都是显函数
例1 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得
ln ysin xln x 上式两边对x 求导 得
1 y
y
cos
xln
x sin
x
1 x
y xsinx(cos xln x sin x) x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.
yx sin xe sin x·ln x
ln y ln(x 1) 2 ln( 3x 1) 1 ln( x 2)
3
3
上式两边对 x求导 :
1 y
y
x
1
1
2 3
31 3x
1
1 3
x
1
2
y
(x
1)
3
(3x
1)2 ( x
2)
x
2.4-隐函数和由参数方程所确定的函数求导法
（1）由多个因式相乘、除、乘方或开方的函 数；
（2）形如 y u(x)v(x) 的幂指函数.
例2.4.3 已知
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
,求
y/ .
解 等式两边取自然对数，得
ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x 3
解 两边对x求导，( y5 2y x) 0
5y4 y 2y 1 0
y
1 5y4
2
例2.4.2 已知 y3 3xy 1 ， 求 y x0 .
解 两边对x求导，3y2 y 3y 3xy 0
y
y y2
x
当
x0
时， y 1 ，所以
y y2
x
x0
1。
y1
2.4.2 对数求导法
2.4 隐函数和由参数方程所确定的 函数求导法
2.4.1 隐函数求导法 前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地 位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数. 还 有另一种形式的函数，变量 x 、y 之间的函数关系 是隐涵在方程 F(x, y) 0 中，顾名思义称这种函数 为隐函数.
例2.4.1 求由方程 y5 2y x 0 所确定的隐函数的 导数 y/ .
上式两边对x求导，得
y/ 1 1 2 1 y x 1 3(x 1) x 4
y/
(
x (x
1)3 x 4)2ex
1
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
例2.4.4 求函数 y xx 的导数. 解 等式两边取自然对数，得
导数的基本公式与运算法则(3)
x 2t , 2 y t ,
x t 2
消去参数 t
2 x x y t 2 ( )2 2 4
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例 解 上式两边取对数，得 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 上式两边对 x 求导，得 a a b y ln b x x y
( x 1)3 x 1 例： 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边对x求导.
例： 设 x4 xy y4 1, 求y在点 (0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
3 4x y xy 4 y y 0 3
代入 x 0, y 1得
y
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
4
因x=0时y=0, 故
例：设曲线C的方程为 x 3 y 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
D3_4 隐函数、参数方程的求导
t , t 均可导， 且
t 0 时， 有：
(t ) 0
d y d y d t d y 1 t d t ; d x d t d x d t d x t d t dt
时， 有
F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I
y 若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y x 或 x x y
则称该隐函数可以被显化。
3 例如： 方程 x y 3 1 0 就确定了一个显函数 y x 1 ;
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？
解: 先求速度大小:
dx dy 速度的水平分量为： v1 , 垂直分量为： v2 gt , dt dt
故抛射体速度大小
dx dy v dt dt
再求速度方向 设 为切线倾角， 则
2
2
v v2 gt
dy
d y sin x d cos x y 0
y cos x sin x y
sin x y sin x
dx
y cos x sin x y dy 由此得： sin x y sin x dx
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说明:
1) 对幂指函数
y u
v
可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 u v y v ln u y u uv v y u v ln u u
注意:
dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx
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显函数.隐函数.参数方程求导总结
我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。
显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。
如：()sin cos x x '=`
()x
x
e e '
=`
()2
1arcsin 1x x
'=
-等等。
刚开始的时候是一
些很明显的函数。
如：sin y x =. 2
455y x x =++ x
y e =等。
而后来的我
们又学习了一些复合函数。
如
x y e =
1
sin
y x =等。
这时我们就必须
设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()(
)()y x f u x ϕ
'''=。
等到了大学我们就碰到了像
3
10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。
而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。
这样就可以用显函
数的求导方法了。
例如310x y =-=可以化为3
1y x =-。
但实际问题中，
有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 方程0y
e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy
dx 。
解 方程两边分别对x 求导
(
)()0y
d e xy e dx '+-=
y dy dy e y x dx dx ++=
从而y
dy y dx x e =-+ y
x e +=()
例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22
d y dx 。
解 方程两边对x 求导
()1cos 02x y y '⎛⎫'
-+= ⎪⎝⎭
11cos 02dy dy y dx dx -+=
22cos dy dx y
=
-
方程两边再对x 求导
()()223
22sin 4sin 2cos 2cos dy dx
d y y y dx y y --==
--
之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。
但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 已知参数方程为sin cos x t y t =⎧⎨
=⎩（t 为参数），求dy
dx 。
解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt
t
t dy dy dt
t dx dt dx
t
t '===
=-
'
例 已知参数方程2
21t x y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数），求2
2
d y dx 。
解 由公式
()()2
2
11dy dt dx t dt
t dy dy dt
dx dt dx
t
'-====-
'
则
()
()
()
()2 21
23
2
1
dy
dx
dy
dx t t
dx
t
x dt
t
d
d
d y dy dt dt
dx dx dt dx t
'
'-
⎛⎫
=====
⎪'
⎝⎭
综上所述就是我在上学期对显函数.隐函数.参数方程求导总结，希望老师给予评价。