隐函数及其求导方法
隐函数参数方程求导法则
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由 例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数 例5. 设由方程 （其中 为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程 （其中 为参数）确定函数 y cos
隐函数及其求导法则
x 1 3 z
y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解 令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导， 得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因 为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解 令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元 隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
隐函数极其求导法则
隐函数极其求导法则隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。
注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！隐函数的求导若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数，用复合函数求导法则进行。
例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，故=注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数，在x=0处的导数解答：两边对x求导故当x=0时，y=0.故有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法积分黎曼积分如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1)存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
隐函数求导法则
隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。
求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如：y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
关于隐函数的三种求导法
关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
隐函数求导的基本步骤与方法
隐函数求导的基本步骤与⽅法
1、隐函数求导的基本原则
对于隐函数求导⼀般不赞成通过记忆公式的⽅式来求需要计算的导数，⼀般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同⼀变量的求导数的⽅式来求解。
即⽤隐函数求导公式推导的⽅式求隐函数的导数。
这样的⽅式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适⽤。
具体过程可以参见下⾯列出的课件！
2、多元复合函数求导数的基本步骤
（1）确定最终函数与最终变量。
（2）通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
（3）关键：绘制变量关系图。
（4）链式法则：
分段⽤乘, 分叉⽤加, 单路全导, 叉路偏导。
从最终函数到最终变量有⼏条路径就有⼏项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接⾮常准确地写出计算式。
（5）完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构⼀样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，⼀般先进⾏四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使⽤复合函数求导法则进⾏计算，将计算得到的结果代⼊原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
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2013--1--23
案例导出
案例： 由方程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)对 应的平面曲线一般称为笛卡尔叶形线。 请求出笛卡尔叶形线在点（3，3）处的 切线方程。
案例分析
根据导数的几何意义，要求笛卡尔叶形线在点（3，3） 处的切线方程，只要求出切线的斜率y'（3），但由方 程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)与我们前面所遇到的 函数有所不同，前面我们遇到的不管是一元函数还是 二元函数，都是因变量可由含有自变量的数学表达式 直接表示出来的函数形式，如y=sinx ,y=√1-x2 等，我 们称这样的函数为显式函数。但是，有些时候函数的 因变量与自变量之间的表达式却不是这样直接的，如 方程x+y-10=0和z-x-y=0,换句话说，将因变量与自变量 之间的函数关系隐藏在方程里，这种函数我们称为隐 函数。案例中的函数就是隐函数。将隐函数化为显式 函数，叫做隐函数的显式化。但案例中的函数无法显 式化，求这种函数的导数或偏导数就称为隐函数求导。
方法一：等式两边关于自变量求导
我们知道，一元隐函数y=f(x)由方程 F(x,y)=0确定，对方程两边同时关于自变 量x求导，注意到y是x的函数，利用复合 函数求导方法，可以得到一个含有y'的方 程，解出y'即找到了一元隐函数的导数。
方法二：公式法求隐函数的导数
(1).方程F(x,y)=0,可以确定一个一元隐函 数，如y=y(x),可以得到一元隐函数的求 导公式dy/dx=-F'x/F'y. (2).方程F(x,y,z)=0,可以确定一个二元隐 函数，如z=z(x,y),也可类似地得到二元隐 函数的求导公式dz/dx=-F'x/F'z,dz/dy=F'y/F'z.
用公式法解本题试试？
例题六：
设y=f(x)由方程y=xlny确定，求y' 解： 令 F(x,y)=y-xlny, 则 F'x=-lny F'y=1-x/y, 于是 y'=lny/(1-x/y)=ylny/(y-x) (y-x≠0)
随堂练习
1.设x2+2xy-y2=a2求y'x 2.设cos2x+cos2y+cos2z=1求z'x,z'y 3.设xy=yx求y'x 4.设x2/a2+y2/b2+z2/c2=1求z'x,z'y 5.设y=xx求y'x
课后作业
1.求下列方程所确定的隐函数y的导数 (1).x2-y2=16 (2).xey-yex=x (3).ysinx=cos(x+y) 2.求下列函数的导数 (1).y=x√x (2).y=x2e2/(1+x)√x+2 3.求曲线y3=1+xey在与y轴交点处的切线 方程与法线方程 4.设z是由方程lnz=xyz所确定的隐函数， 求z'x,z'y
典型例题
例题1 设x2+2xy-ln(x+y)=0,求dy/dx. 解：设F(x,y)=x2+2xy-ln(x+y) F'x=2x+2y-1/x+y F'y=2x-1/x+y 所以dy/dx=-F'x/F'y=1-2(x+y)2/2x(x+y)-1
例题2 设ez=xyz,求dz/dx,dz/dy. 例题3 求出案例中笛卡尔叶形线在点（3,3）处 的切线方程 例题4 求y=(1+x2)sinx的导数.
相关知识
一般地，如果变量x,y之间的函数关系由 方程F(x,y)=0所确定，这样的函数称为由 方程F(x,y)=0确定的一元隐函数。类似地， 由方程F(x,y,z)=0确定的二元函数z=f(x,y) 称为二元隐函数。
隐函数的解法
㈠.对确定的隐函数的方程两边关于自变 量求导 ㈡.公式法求隐函数的导数
例题五：
设z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0确定，求 dz/dx ,dz/dy.
解：两边同时求对x的偏导数，y看成常数，有 2xz+x2z'x+2y2.2z.z'x=0 于是 z'x=-2xz/x2+4y2z 同样，两边同时求对y的偏导数，x看成常数，有 z'y=-(4yz2+1)/ x2+4y2z