(完整版)隐函数的求导方法总结
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些什么是隐函数
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些什么是隐函数说到函数的解题方式，其实也是有很多种的，数学并没有我们想象中的这么枯燥。
店铺这带你们去了解一下隐函数求导的基本步骤与方法有哪些，感兴趣的朋友快过来围观哦。
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些1、隐函数求导的基本原则对于隐函数求导一般不赞成通过记忆公式的方式来求需要计算的导数，一般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同一变量的求导数的方式来求解。
即用隐函数求导公式推导的方式求隐函数的导数。
这样的方式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适用。
具体过程可以参见下面列出的课件!2、多元复合函数求导数的基本步骤(1)确定最终函数与最终变量。
(2)通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
(3)关键：绘制变量关系图。
(4)链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。
从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数;依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。
(5)完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
什么是隐函数隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。
设F(x,y)是某个定义域上的函数。
如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。
记为y=y(x)。
显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。
隐函数求导法
隐函数求导法一、隐函数求导法1、原理及注意事项。
隐函数的导数在隐函数为连续型或可微型的情况下才能进行讨论。
隐函数在有限区间[0， +infty)上连续或可微时可采用“隐函数求导”的方法来推断其导数，即由隐函数的表达式通过隐函数求导公式，求出其导数值。
注意：隐函数为分段函数时不能采用此方法。
2、例题7。
已知f(x)在[-infty， 0]上连续， f(x)=-f(x+3/2)， x∈[0， -infty)。
f(x)=-1，求导数f'(x)=-2*3/2-1*3/2=3/2。
f'(x)=-6*3/2=18/24、解题方法：①如果对方程求导，得到f(x)与f'(x)，那么，我们可以直接求出f'(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f(x)。
②如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。
3、注意事项：隐函数求导不仅适用于连续和可微两种情形，而且可以在处处不等价的情形中运用。
对于处处不等价的情形要注意“极限的思想”。
二、分段函数的导数1、原理及注意事项。
在研究分段函数时，有些函数(如正弦、余弦函数)的导数也可用“隐函数求导”的方法来求，这是因为有些分段函数虽然各段不等，但导数仍满足一定的条件。
在此介绍几个典型的例子。
这种做法是直接利用一般的导数求导公式求出隐函数，同时求出一般的导数。
隐函数的导数也称为隐函数的“因式分解”。
2、例题3、解题方法：①如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们可以直接求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f'(x)。
②如果对方程求导，得到f''(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。
隐函数的求导方法总结Word版
河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (3)3.隐函数存在定理3 (3)三. 隐函数求偏导的方法 (3)1.公式法 (3)2.直接法 (3)3.全微分法 (3)参考文献 (3)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。
例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。
如等时时321,10=-===y x y x 。
二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。
，y 。
）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。
，y 。
）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有yxy F F d d x -=。
例1:验证方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。
解 令),(y x F =2x -2y ,则x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有dx dy =y x F F -=y x 22=yx故1=x dxdy =)1,(!yx=1 2.隐函数存在定理 2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,。
关于隐函数的三种求导法
关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
2.4隐函数求导
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
思考与练习
d y t f ′′(t) =t, = 解: f ′′(t) dx
练习: 练习 112 题8(1) 解:
dy −1 = ; dx t
d y = 2 dx
2
1 t2
1 = 3 t t
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 1π R2h − 1π r 2 (h − x) = π R [ h3 − (h − x)3 ] 3 3 3h2 两边对 t 求导 r h− x = dV π R2 dV h = 2 ⋅ (h− x)2⋅ dx , 而 = 25 (cm3 s)R h− x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h − x)
y& x& ψ′′(t)ϕ′(t) −ψ′(t)ϕ′′(t) &&x − &&y = = 3 x3 ϕ′ (t) &
注意 : 已知 例4. 设
×
2
?
x = f ′(t) d2 y . , 且 f ′′(t) ≠ 0,求 y = t f ′(t) − f (t) d x2
隐函数的求导方法
两边对x 求偏导
Fx
Fy
0
Fz
z x
0
在 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz 0
z Fx x Fz
同理 z Fy y Fz
z f (u,v) u (x, y) v ( x, y) z z u z v
x u x v x
设 z f ( x, y) 是方程 F ( x, y, z) 0
(3) Fz ( x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
的某一邻域内可唯一
确定一个单值连续函数 z = f (x , y)，满足
并有连续偏导数 z Fx , z Fy
x Fz y Fz
设 z f ( x, y)是方程 F ( x, y, z) 0 所确定的隐函数，则
F(x, y , f (x , y ) ) 0
函数，y看作常数.
cos( x
3z)
(1
3
z x
)
z x
两边对 y 求偏导，z 是y的
函数，x看作常数.
cos( x
3z)
(3
z ) y
2
z y
[1 3cos( x 3z)] z cos( x 3z) [1 3cos( x 3z)] z 2
x
x
解得
z cos( x 3z) x 1 3cos( x 3z)
由全微分计算 公式：
dz z dx z dy x y
解得 dz cos( x 3z) dx
2
dy
1 3cos( x 3z) 1 3cos( x 3z)
于是得
z x
cos( x 3z) , 1 3cos( x 3z)
z y
隐函数求导法
连续偏导数的反函数 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ).
2) 求 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ) 对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F (x, y,u, v) ≡ x − x (u, v) = 0
G(x, y,u, v) ≡ y − y (u, v) = 0
22
例4. 设
xu− yv
= 0,
y u + x v = 1,
求
∂u , ∂u , ∂v , ∂v . ∂x ∂y ∂x ∂y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x ∂u − y ∂v = −u ∂x ∂x
y ∂u + x ∂v = −v ∂x ∂x
练习:
求
∂u ∂y
,
∂v ∂y
答案:
由题设 J = x − y = x2 + y2 ≠ 0 yx
dy dx
x=0
,
d2y dx2
x=0
解: 令 F (x, y) = sin y + ex − xy −1, 则
① Fx = ex − y, Fy = cos y − x 连续 , ② F (0,0) = 0,
③ Fy (0,0) = 1 ≠ 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
19
∂u = − 1 ∂(F,G) = − ∂x J ∂( x, v )
1 Fu Fv
Fx Fv Gx Gv
Gu Gv
∂u = − 1 ∂(F,G) = − 1
Fy Fv
∂y J ∂( y, v)
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
∂v = − 1 ∂(F,G) = − ∂x J ∂(u, x)
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
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河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (6)1.公式法 (6)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任y x 和()0,=y x F x 一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内y ()0,=y x F 确定了一个隐函数。
例如，方程表示一个函数，因为当变量在013=-+y x x 内取值时，变量有确定的值与其对应。
如。
()∞+∞-，y 等时时321,10=-===y x y x 二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数在P （x 。
，y 。
）在某一领域内具有连续偏导数，0),(=y x F 且，，则方程在点（x 。
，y 。
）的某一领域内恒能0),(= y x F 0),(≠ y x F y 0),(=y x F 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有)(x f y =)( x f y =。
yxy F F d d x -=例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=12x 2y 时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在x=1处的值。
)(x fdxdy解令=-,则),(y x F 2x 2y=2x ，=-2y ，=0，=-2≠0x F y F )1,1(F )1,1(y F由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函2x 2y 数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有===dx dy y x F F-y x 22yx 故==11=x dxdy)1,(!yx2.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续()z y x F,,）（ z y x P ,,偏导数，且=0，，则方程在点的某一邻）（ z y x F ,,0,,≠）（ z y x F z ()0,,=z y x F () z y x ,,域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件()y x f z ,=并有。
() y x f z ,=zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,例2：设函数由方程所确定，求()y x z z ,=z y x z xy ++=2yz∂∂解：设()zy x z xy z y x F ---=2,,则（将x ，y 当常数，对z 求偏导）012≠-=xy F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）12-=xyz F z 根据定理2：22112112xy xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域()v u y x F ,,,()v u y x G ,,,()0000,,,v u y x P 内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)）()()v F vG u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,在点不等于零，则方程组在点()0000,,,v u y x P ()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数()0000,,,v u y x ),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有Gv Gu Fv Fu Gv Gx Fv Fx v x G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1x GvGu Fv Fu Gx Gu Fx Fu x u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1xGv Gu Fv Fu Gv Gy FvFyv y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1y GvGu Fv Fu Gy Gu FyFuy u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1y 例3：设，求1,0=+=-xv yu yv xu .,,,yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂解：⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u xvy x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对由定理3可求 022≠+===-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y xx y v F vG u F uG 且则22y x yv xu xu y xx y y x u v +=-==∂∂----22y x xv yu xv y xx y u v x y +-==∂∂---{⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y vy y u x uyv x y u y yv y v y u x y v x y u y u yv xu xv yu 00y 01求导方程两边对 同上可求得22y x yuxv y u +-=∂∂22y x yu xv y v +--=∂∂三. 隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式-,-。
=xzZ X F F =y z z y F F 类型条件公式()0,=y x F ()00≠≠x y F F 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x y yx F F dx dyF F dx dy或类型条件公式≠x F xz x y F Fz x F F y x -=∂∂-=∂∂,0≠y F yz y x F F z y F F x y -=∂∂-=∂∂,()0,,=z y x F≠z F zy z x F F y z F F x z-=∂∂-=∂∂,()(){,,,0,,,==v u y x F v u y x G ()(),≠=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂v F vG u F u G v u G F J ，，()()v x G F J x u ,,1∂∂-=∂∂()()x u G F J xv,,1∂∂-=∂∂，()()v y G F J y u ,,1∂∂-=∂∂()()y u G F J y v ,,1∂∂-=∂∂2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y 看作独立变量，z 是x,y 的函数，得到含的两个方程，解方程可求出.yz x z ,y z x z ,3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成则的系数便是，在求全微分时，应看做自变量.,),,(),,(dy z y x v dx z y x u dz +=dy dx ,yz x z ,z 例1.已知，求.xy y x arctan ln 22=+22dx y d 解. 方法一：令-22ln ),(y x y x F +=)ln(21arctan22y x x y +=xyarctan -则2222),(,),(y x xy y x F y x y x y x F yx +-=++=所以=dx dy =-y x F F xy y x -+-上式再对x 求导得3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法二：方程两端分别对x 求导得,0arctanln22=-+xyy x22'y x yy x ++022'=+--y x yxyyx y x dx dy -+=3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法三：方程，两端分别求微分得xyy x arctanln22=+ )(arctan )(ln 22xyd y x d =+利用全微分不定性，上式化为x yd xy y x dy dx 2222221121+=++ 由全微分运算法则计算并化简得3222'22)()(2)(22)()(y x y x y x y xy dx y d xy y x dx dy dx y x dy y x -+=--=-+=+=-参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，2014.7【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，2014.8【3】邵燕南.高等数学【M】北京：高等教育出版社，2014.7【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】南京：东南大学出版社，2014.5【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】北京：高等教育出版社，2004.4。