异面直线所成角的几种求法资料讲解

异面直线所成角的几
种求法
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角
（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

、向量法求异面直线所成的角例1:如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E、F 分别是相邻两侧面
BCC i B i及CDD i C i的中心。

求A i E和B i F所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

B i
作法：连结B i E，取B i E中点G及A i B i中点Q 连结
GH，有GH//A i E。

过F作CD的平行线RS, 分别交
CC i、DD i于点R、S，连结SH，连结GS。

p
由B i H//C i D i//FS，B i H=FS，可得B i F//SH。

在厶GHS中，设正方体边长为a。

<6
GH= a （作直线GQ//BC交BB i于点Q，
4D i S
，
D
C
A
连QH，可知△ GQH为直角三角形），
6
HS= a （连A i S，可知△ HA i S为直角三角形）
2
y 26
GS=—^a （作直线GP交BC于点P,连PD,可知四边形GPDS为直角
i 梯形）。

••• Cos/ GHS=-。

6
所以直线A i E与直线B i F所成的角的余弦值为
解法二：（向量法）
分析：因为给出的立体图形是一个正方体,
所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用
点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用
向量的方法来求出两条直线间的夹角
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB i为z轴，设BC长度为2 则点A i的
坐标为（0，2, 2），点E的坐标为（1, 0，1），
点B i的坐标为（0, 0, 2）,点F的坐标为（2, 1, 1）;
所以向量EA i的坐标为（-1, 2, 1），向量B i F的坐标为（2, 1, -1）,
所以这两个向量的夹角B满足
EA i B i F
|EA i | |B i F|
(1) 2 2 1 1(1)
.(1)2(2)2(1)2 v (2)2(1)2
1
_____ ~~。

(1)2 6
1
所以直线A i E与直线B i F所成的角的余弦值为-
6
小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕 后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线 段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。

而解法二不需要学生作图，只 需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标， 求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。

当然，如果题中给出的 是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或 者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐 标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。

如果没有这样的性 质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共 面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量 都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求 出空间中任意二个向量间的夹角。

例 2:已知空间四边形 ABCD 中,
AB=BC=CD=DA=AC=BD=a^，M 、N 分 别为BC 和AD 的中点，设AM 和CN 所成的角为a,求
cos a 的值。

解：由已知得，空间向量 且两两之间的夹角均为60°
所以向量AM 与向量NC 的夹角B （即角a 或者a 的补角） 满足cost 到竺，其中
| AM | | NC |
AM =1 ( AB +AC )，
2
NC = - AD + AC
2
由向量的加法可以得到B
C
D
AB ，AC ，AD 不共面,
1
1
AM NC 二一(AB + AC ) •( — AD + AC )
2 2
1 1^1 ・ J 1
二一(-AB AD + AB AC + ( - AD 2 2 2 -+1) =-a 2;
4 2
1 1
2
3 2 (AB + AC ) =一 (1+1+1) a = a 2； 2
4 4
/ 1 一 一 1 , 1 2 3 2
■( — AD + AC ) = — +1 a = a 。

2 4 2 4
例3:已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3 , E 、 的点，
且BE : EC=AF : FD=1: 2，EF=、-7，求AB 和CD 所成的角的大小。

解：取 AC 上点 G ,使 AG : GC=1: 2。

连结 EG 、FG, '
■. >F
可知 EG//AB ，FG//CD ，3EG=2AB ，3FG=CD 。

一 一 —— 2 一 1 — r
由向量的知识可知 EF =EG +GF = —BA + -CD ，
3 3
设向量BA 和CD 的夹角为B 。

一 2 2 一 1
2 — 1
则由 | EF |2= (— BA + —CD ) •( BA + —CD ) =4+1+4cos 9=7，
3 3 3 3
得cos 9=丄，所以AB 和CD 所成的角为60°。

2
二、利用模型求异面直线所成的角
AC + AC AC )
2 1
| AM |2
= ( AB + AC ) | NC |2= (
AD + AC
2
2
所以 COSa=|
F 分别是BC 、AD 上
B ..
E
引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为B i,平面a内的一条直线b与斜线a所成的角为B,与它的射影a'所成的角为B。

求证：cos9=
PA PA OA
所以cos 9= cos 0i •os 92。

这一问题中，直线a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。

我们不妨把9i叫做线面角，9叫做线线角，9 2叫做线影角。

很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。

我们可以利用这个模型来求两条异面直线a和b所成
的角，即引理中的角9。

从引理中可以看出，我们需要过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。

例4:如图，MA丄平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且
M MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角
解：由图可知，直线MB在平面ABCD
直线MB与平面ABCD所成的角为45°,
直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45 所以直线AC 与直MB 所成的角为满足
1 cosB=cos45° cos45° —
所以直线AC 与MB 所成的角为60
例5:如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形,
/ BAD=90 °,AD//BC , AB=BC=a , AD=2a , 且 PA 丄底面 成30°角,AE 丄PD 于D 。

求异面直线AE 与CD 所成的角的大小。

由PA 丄底面ABCD 可知，直线 AE 在平面
ABCD 内的射影为AD ,
直线AE 与平面ABCD 所成的角为/ DAE ，其大小为60 射影AD 与直线CD 所成的角为/ CDA ，其大小为45°, 所以直线与直线所成的角B 满足
cos6=cos60 cos45 =—,
4
所以其大小为arccos —2。

4
由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可
以联想到利用线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也 可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的介绍，不 再重复。

解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ,
PD 与底面
C。