如何求异面直线所成的角
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成的角求法课件
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
例说求异面直线所成角或角的三角函数值的方法
ʏ胡景月异面直线是空间中两条直线的位置关系的特殊情况,求异面直线所成角的关键是寻找异面直线所成角的平面角㊂下面举例分析求异面直线所成角的几种方法,供大家学习与参考㊂一㊁勾股定理法例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M ㊁N 分别是C D ㊁C C 1的中点,则异面直线A 1M 与D N 所成角的大小是( )㊂图1A .30ʎB .45ʎC .60ʎD .90ʎ解:设E 为C N 的中点㊂因为M 是C D的中点,所以M E ʊD N ,所以A 1M 与D N 所成的角即为A 1M 与M E 所成的角,即øA 1M E ㊂令正方体的棱长为2,则A 1M =3,A 1E =412,M E =52㊂在әA 1M E 中,A 1M 2+M E 2=A 1E 2,所以A 1M ʅM E ,所以øA 1M E =90ʎ,所以异面直线A 1M 与D N 所成角的大小是90ʎ㊂应选D ㊂评注:利用勾股定理,既可以判断三角形是直角三角形,也可以作为直角三角形的性质进行应用㊂二㊁余弦定理法例2 如图2,圆锥的底面直径A B =2,其侧面展开图为半圆,底面圆的弦A C =1,则异面直线A C 与S B 所成角的余弦值为㊂图2解:分别取S A ,B C ,O A 的中点M ,N ,P ㊂因为O 为A B 的中点,所以O M ʊS B ,O N ʊA C ,所以øM O N 是异面直线A C 与S B 所成的角(或其补角)㊂因为M P ʊS O ,所以M P ʅP N ㊂因为圆锥的底面直径A B =2,其侧面展开图为半圆,所以2πˑ1=πˑS B ,解得S B =2,所以S O =22-12=3,则M P =12S O =32㊂在R t әA B C 中,A C =1,AB =2,则øA BC =30ʎ㊂易得P B =32,B N =32,在әP N B 中,由余弦定理得P N 2=P B 2+B N 2-2P B ㊃B N ㊃c o s 30ʎ=34,所以P N=32,所以MN =M P 2+P N 2=62㊂在әM O N 中,因为O M =12S B =1,O N =12A C =12,MN =62,所以c o søM O N =O M 2+O N 2-MN 22O M ㊃O N =-14㊂结合异面直线夹角的范围得异面直线A C 与S B 所成角的余弦值为14㊂评注:根据定义将异面直线所成的角转化为三角形中的一个角,再结合余弦定理求得结果㊂三㊁三角函数定义法例3 在正四棱锥P -A B C D 中,若侧面51知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.与底面所成二面角的大小为60ʎ,则异面直线P A 与B C 所成角的正切值等于㊂解:取A D 的中点E ,作P O ʅ平面A B C D ,如图3所示㊂图3因为P E ʅA D ,O E ʅA D ,所以øP E O为侧面与底面所成二面角的平面角,则øP E O =60ʎ㊂设A B =2,则E O =1,P E =2,A E =1㊂因为B C ʊA D ,所以øP A D 为异面直线P A 与B C 所成的角㊂据此可得t a nøP A D =P EA E=2㊂评注:根据定义将异面直线所成的角转化为直角三角形中的一个锐角,再结合三角函数的定义求得结果㊂四㊁特殊点法例4 如图4,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M 是棱D D 1的中点,P 是底面A B C D 内(包括边界)的一个动点,若M P ʊ平面A 1BC 1,则异面直线M P 与A 1C 1所成角的取值范围是㊂图4解:取A D 中点E ,D C 中点F ,取E F 的中点O ㊂在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,M是棱D D 1的中点,所以M E ʊB C 1,M F ʊA 1B ㊂因为M E ⊄平面A 1BC 1,A 1B ,B C 1⊂平面A 1B C 1,所以M E ʊ平面A 1B C 1㊂同理可得M F ʊ平面A 1B C 1㊂因为M E ɘM F =M ,M E ,M F 是平面E F M 内两相交直线,所以平面A 1B C 1ʊ平面E F M ㊂因为P 是底面A B C D 内(包括边界)的一个动点,M P ʊ平面A 1B C 1,所以P 的轨迹是线段E F ㊂因为M E =M F =E F ,O 是E F的中点,所以O M ʅE F ㊂因为E F ʊA 1C 1,所以O M ʅA 1C 1,所以当P 与O 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成的角取最大值π2㊂因为M E =M F =E F ,P 是E F 上的动点,E F ʊA 1C 1,所以当P 与E 或F 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成的角取最小值π3㊂故异面直线M P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3,π2㊂评注:解题的关键是确定点P 的轨迹是线段E F ,当P 与O 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成角取最大值,当P 与E 或F 重合时,异面直线M P 与A 1C 1所成角取最小值㊂如图5,在四面体A B C D 中,E ,F 分别是A C ,B D 的中点,若A B =2,C D =4,E F ʅA B ,则E F 与C D 所成角的大小为㊂图5提示:取A D 的中点G ㊂因为E ,F 分别是A C ,B D 的中点,所以E G =12C D =2,F G =12A B =1,且F G ʊA B ,E G ʊC D ,所以E F 与C D所成的角即为øG E F ㊂因为E F ʅA B ,所以øE F G =90ʎ,所以әE F G 为直角三角形,所以s i nøG E F =F G E G =12,所以øG E F =30ʎ㊂作者单位:江苏省南京市雨花台中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
异面直线所成角的几种求法
第 1 页 共 3 页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角)来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：(作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。
作法:连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS.由B 1H//C 1D 1//FS,B 1H=FS ，可得B 1F//SH. 在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，连QH,可知△GQH 为直角三角形）， HS=a(连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形)，GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=.所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。
解法二：（向量法）分析:因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角. 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z则点A 1的坐标为（0,2,2)，点E 的坐标为（1，0，1)，点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为(2,1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1）,向量的坐标为（2，1，—1)，所以这两个向量的夹角θ满足cos θ===-。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
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如何求异面直线所成的角
立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角
一、端点平移法
例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若
1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC =
∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴
EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,
则EF =
AF =
EA =
故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g
arccos
10
EFA ∴∠=
二、中点平移法
例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，
Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点，
∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2
，则有2NO =
，CN =
,2CO =, 故2222
cos 23
NO CN CO ONC NO CN +-∠=
=g 2
arccos 3
ONC ∴∠=
1
B
D
C
三、特殊点平移法 例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，
7EF =，
1
3
AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得1
3
BG GD =，连结EG FG 、，
在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，
同理可证：//FG AB
FGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
Q //EG CD ， ∴14EG BE CD BC ==,故5EG =； 同理可得：
//FG AB ，且
3
4
FG DF AB AD ==，故3FG =; 在FGE ∆中，利用余弦定理可得
2222223571
cos 22352
EG GF EF FGE EG GF +-+-∠===-⨯⨯g ,
故120FGE ︒∠=.
因为//EG CD ，//FG AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角， 于是AB 与CD 所成的角等于60︒.
点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者
中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）. 四、交线平移法
例4、正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都相等,
求1AB 与1BC 所成的角的余弦值。
解：取1BB 的中点O ，11B C 的中点F ，AB 的中点E ,
Q F 、O 分别11B C 、1BB 为的中点， ∴FO 为11B BC ∆的中位线， ∴1//FO BC ，
同理可证：1//OE AB
FOE ∴∠（或它的补角）为1AB 与1BC 所成的角。
设正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，
E C F
D A
B
B
A
C
1
则有OE OF ==
EF ==2221
cos 24
OE OF EF FOE OE OF +-∠==-g
所以1AB 与1BC 所成的角为1
arccos 4
.
点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线总是跑到图形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线
的平行线(如练习中1BB )
Ⅱ、用补形法作两条异面直线所成的角
例5、如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,求 1A C 与1AD 所成角的大小. （法一）补形法
解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -的上方补上一个 同样大小的的正方体11112222A B C D A B C D -，连结12A D .
112//AA D D Q 且112AA D D = ∴四边形121AD D A 为平行四边形
121//A D AD ∴
12CA D ∴∠（或它的补角）为1A C 与1AD 所成的角。
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,
则有12A D =
，1AC =
，2CD 又因为2222121CD A D A C =+ 故1A C 与1AD 所成角为90︒. 解：（法二）平移法
连结AC ，取AC 的中点O ，1AA 的中点E ，
11A D 的中点F , 连结EF ，EO ， Q E 、F 分别1AA 、11A D 为的中点， ∴EF 为11A AD ∆的中位线， ∴1//EF AD ，
A 1
B 1
C 1
A 2
D 1
B 2
C 2
D 2
D
C B
A
C
A B
E
O
D
F
D 1
C 1
B 1
A 1
同理可证：1
//OE AC FEO ∴∠（或它的补角）为1A C 与1AD 所成的角。
连结FO ，
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则有EF =EO =，FO =又因为222FO EF EO =+ 故1A C 与1AD 所成角为90︒.
点评：补形法就是在长方体或者正方体中,当我们在其中的任意一条直线所对应线段的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.。