异面直线及其所成的角

异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．（2015•浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解答：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（2015•哈尔滨校级二模）在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．来源：2015年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．4．（2015•昆明二模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．来源：2015年云南省昆明市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征．专题：计算题；空间角．分析：将图形补成正方体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，即可得出结论．解答：解：如图所示，将图形补成正方体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC=AE=CE，所以∠ACE=．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础．5．（2015春•武汉校级期末）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．6．（2015春•宜昌期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为．来源：2014-2015学年湖北省宜昌市高一（下）期末数学试卷（A卷）难度：0.80专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1===3，AC===2，∴sin∠AC1C==，故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014秋•凤凰县校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D1、C1C 中点，则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年湖南省湘西州湘潭凤凰中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1D与MN所成角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），M（1，0，2），N（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，2，﹣1），cos＜，＞===．∴异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．（2014•泸州模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：设正方体的边长为a，由平行公理可得CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，通过解直角三角形△CC1M，即可得到所求值．解答：解：设正方体的边长为a，则CM=，由于CC1∥BB1，BB1∥AA1，则CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，在△CC1M中，cos∠CC1M===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2014春•嵩明县校级期末）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为60°．来源：2013-2014学年云南省昆明市嵩明一中高一年级（下）期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．10．（2014秋•济宁期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．来源：2014-2015学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．11．（2014秋•易县期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC与C1D1所成的角的度数为90°．来源：2014-2015学年河北省保定市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由C1D1∥CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数．解答：解：∵C1D1∥CD，又CD⊥BD，∴BC与C1D1所成的角的度数为90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．12．（2014秋•利川市校级期末）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为60°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结B′D′，AB′，BD∥B′D′，∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，由△AB′D′是等边三角形，能求出异面直线BD与AD′所成的角．解答：解：连结B′D′，AB′，∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，∵△AB′D′是等边三角形，∴∠AD′B′=60°，∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．故答案为：60°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（2014秋•罗湖区校级期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．来源：2014-2015学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答：解：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（2014秋•嘉兴期末）已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为45°．来源：2014-2015学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解答：解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BD的中点，∴EG∥AD，FG∥BC，EG=AD，FG=BC∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AD=BC，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵DO⊥BC，AO∩DO=O∴BC⊥平面AOD∵AD⊂平面AOD∴BC⊥AD，∵EG∥AD，FG∥BC∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故答案为：45°．点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．15．（2014秋•唐山期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．16．（2014秋•信阳期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．来源：2014-2015学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．17．（2014秋•唐山期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BO==，C1O=，，∴cos∠BC1O===，∴∠BC1O=30°．∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18．（2014秋•台州期末）在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，若沿EF 将正方形折成一个二面角A﹣EF﹣D使得AD=AE，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BE，CE、BC，由AD∥BC，得∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE=，由此能求出异面直线AD与CE所成角的余弦值．解答：解：连结BE，CE、BC，设AE=x，则DE=x，AD=CB=，∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，=，∵AD∥BC，∴∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．19．（2014秋•济宁期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，若D为BC的中点，则AB1与C1D所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1D所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，﹣1，﹣2），设AB1与C1D所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴AB1与C1D所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（2014秋•大连期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（﹣1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．21．（2014秋•沈河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．来源：2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2.==2，||==2，=（+）•（）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos ＜，＞|=，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．解答：解：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2．∵=﹣+，=﹣，∴===2，||====2，=（+）•（）=﹣2+﹣=4+4﹣4+2﹣2=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．22．（2014秋•成都校级期中）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年四川省成都十一中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．解答：解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB=1，则：AA1=2AB=2，∵E为AA1的中点，∴AE=1，，BE=在△A1BE中，利用余弦定理求得：=即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．23．（2014秋•荥经县校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则异面直线MN与AC所成角的度数是60°．来源：2014-2015学年四川省雅安市荥经中学高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线的夹角．解答：解：设正方体正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，建立直角坐标系D﹣xyz，根据题意得到：A（2，0，0）C（0，2，0），由于M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，M（0，0，1），N（0，1，0）则：，设：异面直线MN与AC所成角为θ则：cosθ==由于：0°＜θ≤90°所以：θ=60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关的运算问题．24．（2014秋•雁峰区校级期中）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．来源：2014-2015学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25．（2014秋•无为县校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．来源：2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．26．（2014秋•太原校级期中）空间四边形PABC中，PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，则cos= ﹣．来源：2014-2015学年山西省太原五中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可．解答：解：如图所示，∵PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，∴cos======﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题．27．（2014秋•合阳县校级月考）空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N 分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．来源：2014-2015学年陕西省渭南市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．解答：解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．28．（2014秋•香坊区校级月考）若四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，则直线PD和BC成的角的大小为．来源：2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．解答：解：建立坐标系如图：因为底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，所以P（0，0，3），D（0，3，0），B（3，0，0），C（6，3，0），所以=（0，3，﹣3），=（3，3，0），所以cos＜＞==，所以直线PD和BC成的角的大小为；故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算．29．（2014秋•仁寿县校级月考）如图在四面体ABCD中，E、F为BC、AD的中点，且AB=CD，EF=AB，则异面直线AB与CD所成角为60°．来源：2014-2015学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（上）10月月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先来找异面直线AB，CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G，并连接EG，FG，则∠EGF或其补角便是异面直线AB，CD所成角．所以需要求出∠EGF，这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1，EF=，所以根据余弦定理即可求出∠EGF=120°，所以异面直线AB，CD所成角为60°．解答：解：如图，取BD中点G，并连接EG，FG，则EG∥AB，且EG=，FG∥CD，且FG=；∴异面直线AB与CD所成角等于∠EGF或其补角；设AB=2，则：EG=1，FG=1，EF=；∴在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=；∴∠EGF=120°；∴异面直线AB与CD所成角为60°．故答案为：60°．点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理．30．（2014秋•蜀山区校级月考）如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年安徽省合肥市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可．解答：解：因为几何体是正方体，AA1∥DD1，AA1与B1D所成角等于∠B1DD1，设正方体的棱长为：1，所求异面直线所成角的余弦值为：cos∠B1DD1==．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查．异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2014秋•惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90°．来源：2014-2015学年广东省惠州市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能求出对角线BD与AC所成的角的大小．解答：解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=AD，BC=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为90°．故答案为：90°．点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2．（2014秋•连城县校级月考）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60 度．来源：2014-2015学年福建省龙岩市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到∠DD1和BC1所成的角是BC1C，利用直角三角形的三角函数解之．解答：解：因为已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥DD1，所以∠DD1和BC1所成的角是BC1C，又AB=2，AD=2，AA1=2，所以tan∠BC1C=，所以∠BC1C=60°；故答案为：60．点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法；关键是将空间角转化为平面角．3．（2014秋•普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A 与B1C所成的角的大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tan∠BB1C=，所以得到异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan．解答：解：根据已知条件知，；∴BB1=4；∵BB1∥AA1；∴∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；∴在Rt△BCB1中，tan∠BB1C=；∴．故答案为：arctan．点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法．4．（2014秋•桥东区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为AA1和BB1的中点，那么直线CM与D1N所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年河北省邢台二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．解答：解：取C1C的中点P，连接A1P∵A1M∥CP，且A1M=/CP，∴四边形A1MCP是平行四边形∴A1P∥MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角∵正方体的棱长为1，∴A1P=MC==，D1O=A1O=cos∠A1OD1=，即直线CM与D1N所成角的余弦值是故答案为：点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．5．（2014秋•嵊泗县校级月考）已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，直线m、n满足m⊥α，n⊥β，则异面直线m、n所成的角为60°．来源：2014-2015学年浙江省舟山市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，。