如何求异面直线所成的角
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法之袁州冬雪创作异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有杰出的空间观和作图才能.一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心.求A 1E 和B 1F 所成的角的大小.解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上.作法：保持B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，保持GH ，有GH//A 1E.过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，保持SH ，保持GS.由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH.在△GHS 中，设正方体边长为a.B ACD F EB 1A 1 D 1 C 1G HSRP Q（作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形），（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），（作直线GP交BC于点GPDS为直角梯形）.∴Cos∠所以直线A1E与直线B1F解法二：（向量法）分析：因为给出的平面图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以操纵点的坐标暗示出空间中每个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角.以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2.则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；1-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ知足cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有杰出的作图才能，且可以在作图完毕后可以看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小.而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角.当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比方刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们便可以建立空间直角坐标系，从而操纵向量的坐标暗示来求两个向量的夹角.如果没有这样的性质，我们也可以操纵空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合暗示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角.例2：已知空间四边AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为AM和CN所成的角为α，求cosα的值且两两之间的夹角均为60°.角）知足cosθ2）2；21+1+1）a2 a2；2=2a2.所以cosα=| cosθ例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，AB和CD所成的角的大小.解：取AC上点G，使AG：GC=1：2.保持EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD..则由2==4+1+4cosθ=7，得cosθAB和CD所成的角为60°.二、操纵模子求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2.求证：cosθ= cosθ1·cosθ2.ABCDEFG证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示.则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，保持PB. 可知PB ⊥AB. 所以cos θ1 cos θcos θ2所以cos θ= cos θ1·cos θ2.这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线.我们无妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角.很分明，线线角是这三个角中最大的一个角.我们可以操纵这个模子来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ.从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影.例4：如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角. 解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°，PbA BO α ABCD M所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，知足cos θ=cos45°· cos45°所以直线AC 与MB 所成的角为60°.例5：如图，在平面图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成的角的大小.解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面 ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°， 射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为45°， 所以直线与直线所成的角θ知足 cos θ=cos60°· cos45°所以其大小为由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到操纵线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的先容，不再重PE DF ABC复.。
异面直线所成角的计算
C1
D
C
则MON=120，
即异面直线AC与BD所成的角为60°.
2.已知正方体的棱长为a , M为AB的中点,N 为 BB1的中点， 求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值.
解： 如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中 D1 C1
1 2 1 2
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角（或其补角）
∵ EG AD 1, FG BC 1 ，
EG 2 FG 2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 在 EGF 中， cos EGF 2 EG FG 2
，
∵两异面直线所成角的范围是： 00 , 90 0 ∴异面直线 AD, BC 所成的角为 60
BG=BE=
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
5 2
a,， F C1 =
6 a 2
A1
E
F
B1
G D N C
想一想：还有其他定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
则∠FNC为所求角.
A
M
B
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化 归的数学思想.
化归的一般步骤是：定角
方法归纳： 平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中， 由余弦定理得
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。
2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。
3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。
4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。
具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。
由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。
为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。
由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。
因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。
通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。
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如何求异面直线所成的角
立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。
其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。
I 、用平移法作两条异面直线所成的角
、端点平移法
例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，
QDF//EC 且 DF EC
四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC
EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设 AB 2,则 EF 76，AF
730
arccos 10
、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ，
Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点，
NO 为DAM 的中位线， NO//AM ，
ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
広 J 7
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO —
2 2
皿 NO 2 CN 2 CO 2
故 cos ONC -----------------
2NOgCN
2 ONC arccos-故EFA
EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA
730 10
75，EA 45
M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
EFA
A l
A
D
三、特殊点平移法
例3、如图，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点, AF BE 1
7 ,———— -，求异面直线AB与CD所成的角。
FD EC 3
在BD上取一点G , 已知AB 4 , CD 20 ,
EF
解: 使得匹-，连结EG、FG , GD 3 1
-,故EG//CD ,
3
BCD 中, BE 更
EC GD
同理可证：FG//AB
FGE （或它的补角）为AB与CD所成的角。
Q EG//CD ,
EG BE
CD BC 同理可得：-,故EG 4
FGZ/AB，且H DF
AD -，故FG 3; 4
在FGE中，利用余弦定理可得
cos FGE EG2 GF2EF2
2EGg3F 3252 72
2 3 5
故 FGE 120 .
因为EG //CD , FG / /AB，所以EG与FG所成的锐角等于于是AB与CD所成的角等于60 .
D AB与CD所成的角,
点评：作两条异面直线所成的角时，我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线，常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）.
四、交线平移法
例4、正三棱柱ABC AB1C1的各棱长都相等,求AB i与BC i所成的角的余弦值。
解：取BB i的中点0 ， B iG的中点F ， AB的中点E,
Q F、0分别B i C i、BB i为的中点,
FO为B i BC i的中位线,
FO //
BC i,
同理可证：OE/ZAB j
FOE （或它的补角）为AB i与BC i所成的角。
设正三棱柱 ABC A1B1C1的棱长为2,
解：如图，在正方体 ABCD A i B i C i D i 的上方补上一个 同样大小的的正方体 ABiGD i A 2B 2C 2D 2，连结 AD 2.
Q AA//D 1D 2 且 AA i
D 1D 2
四边形AD 1D2A 为平行四边形 A 1D 2//AD 1
CA 1D 2 （或它的补角）为AC 与AD i 所成的角。
设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则有AD 2 2S /2， AC 又因为 CD 22
AD 22
AC 2
故AC 与AD i 所成角为90 . 解：（法二）平移法
连结AC ，取AC 的中点O , AA 的中点E ，
AD i 的中点F ,连结EF ，EO ,
Q E 、F 分别AA,、A i D i 为的中点,
z B
/
/■;
D
z
-4
O
/
-
C i
EF 为AAD i 的中位线,
EF //AD ,，
OE 2 OF 2 EF 2
cos FOE ------------------
2OEgOF 1 arccos-.
4
点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线 时,这条直线总是跑到图形的外面去，此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这 样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段 ，然后在这条线段的中点作这两条异面直线 的平行线（如练习中BB i ）
U 、用补形法作两条异面直线所成的角
例5、如图所示,正方体ABCD A i B i C i D i 中,求 AC 与AD i 所成角的大小. （法一）补形法
同理可证：OE//AC
则有 OE OF 42，EF V 22
12
45
所以AB i 与BC i 所成的角为 ^/8，CD 2
720
A i
E
FEO （或它的补角）为AC与AD i所成的角。
连结FO ,
设正方体ABCD ABC i D i的棱长为2,则有EF 近，EO J3，FO J5 又因为FO2 EF2 EO2故AC与AD i所成角为90 .
点评：补形法就是在长方体或者正方体中，当我们在其中的任意一条直线所对应线段的顶点作另一条直线的平行线时，这条直线跑到图形的外面去，此时，可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体，从而作出异面直线所成的角的平面角.。