隐函数与参数方程求导法则
2.4 隐函数求导法则
2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
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即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
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1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
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隐函数与参数方程求导法则
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
隐函数与参变量函数求导法则
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即 dy dt dx dx
dt
dt
例6
求由参数方程
x y
t arctan ln(1 t 2 )
t
所表示的函数
y y( x)的导数.
dy
2t
解
dy dx
dt dx
dt
1 t2
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参变量函数求导: 实质上是利用复合函数求导法 则.
dx |x0 x e y x0 1.
y0
例3 求由方程 x3 3xy y3 3所确定的曲线
y f ( x)在点M(1, 2)的切线方程.
解 方程两边对x求导,
3x2 3 y 3xy 3 y2 y 0
y
y y
x2 2x
，y
(1,2)
1 3
所求切线方程为
y 2 1 ( x 1) 3
x 2t, x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
2
上式两边对 x求导得
1 y
y
2x
1 2
1 x1
1 x2
1 x 3
y ex2 2
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
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解得隐函数的导数
.
例3证明过双曲线 上一点 的切线方程是
.（1）
证明首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点 的值.
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
例1求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
，
，
，
解得隐函数的导数 .
例2求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
， .
由复合函数与反函数的求导法则，有
.
这就是参数方程的求导公式。
例8求椭圆 上一点 的切线斜率 .
解法一点 在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是
， .
则
解法二由隐函数求导法，有
或 ，
则
.
解法三将椭圆化为参数方程
.
点 对应的参数 .由参数方程求导法，有
则
.
例9设炮弹的弹头初速度是 ，沿着与地面成 角的方向抛射出去，求在时刻 时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
或 .
从而斜率 .在点 的切线方程是
.
它在 轴与 轴上的截距分别是 与 .于是，二截距之和是
（ ）+（ ）
= = = = .
求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：
二元方程F(x，y)=x +y -a =0(a>0)在A=[-a，a]确定两个连续的（B =[0，+ )与
B =（- ，0])隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 = ,且
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
例5求函数 的导数。
解等号两端取绝对值的对数，有
.
由隐函数的求导法则，有
，
即
.
例6求幂指函数 的导数。
解将幂指函数等号两端取对数，有
.
按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有
，
由此得到
.
例7求函数 的导数.
解等号两端取绝对值的对数，有
由求导数法则，有
，
即
.
二、参数方程求导法则
参数方程的一般形式是
若 与 都可导，且 ，又 存在反函数 ，则 是 的复合函数，即
5.3隐函数与参数方程求导法则
一、隐函数求导法则
表示函数 （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系 是由二元方程F（x，y）=0所确定。
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R确定（从中解得）一个隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 ,且
F（x , )=2x-3 -1 0.
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
， ， ，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。