2014-2015年辽宁省葫芦岛市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lnx=0B．∃x∈R，tanx=C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R，3x＞02．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a4＞b43．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=4：5：8，则△ABC一定为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形4．（5分）“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．m B．0＜m＜1C．m＞0D．m＞15．（5分）方程为的椭圆左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2B．C．D．38．（5分）已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣9．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设x2+y2+z2=1，若λxyz≤对一切x，y，z∈R*均成立，则λ的最大值为（）A．2（+1）B．（+1）C．4D．312．（5分）已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A．B．4C．D．9二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程是．14．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=．15．（5分）已知a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值为．16．（5分）若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知△ABC的周长为12，顶点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），C为动点．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）过原点作两条关于y轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求sinB的值；（2）若b=2，且a=c，求△ABC的面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB ∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：AB⊥平面BEF；（2）设PA=kAB，若平面EBD与平面BDC的夹角是大于45°的锐角，求k的取值范围．22．（12分）已知P是圆F1：（x+1）2+y2=8上任意一点，又F2（1，0），直线m 分别与线段F1P，F2P交于M，N两点，且=（+），|+|=|﹣|．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线x=my+2与椭圆交于A、B两点，点D在椭圆上，且+=λ，E（﹣，），设△EAB的面积为S，若0＜S≤1，求λ的取值范围．2014-2015学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lnx=0B．∃x∈R，tanx=C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R，3x＞0【解答】解：A．∃x=1，ln1=0，因此正确；B．取x=arctan，则tan=，正确；C．取x=0时，02=0，因此不正确；D．∀x∈R，3x＞0，正确．故选：C．2．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a4＞b4【解答】解：A．∵a＜b＜0，∴，化为，因此正确；B．∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴a（a﹣b）＞0，∴==＜0，∴，因此B不成立；C．∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，即|a|＞|b|，因此正确；D．由C可知：|a|＞|b|，∴a4＞b4．综上可知：只有B不成立．故选：B．3．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=4：5：8，则△ABC一定为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：由正弦定理，sinA：sinB：sinC=4：5：8，即为a：b：c=4：5：8，令a=4t，b=5t，c=8t，则cosC==﹣＜0，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形．故选：D．4．（5分）“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．m B．0＜m＜1C．m＞0D．m＞1【解答】解：∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△=（﹣1）2﹣4m＜0，解得m＞，A、A是充要条件，故A错误；B、因为m＞推不出0＜m＜1，故B错误；C、∵m＞⇒m＞0，反之不能推出，故C正确；D、∵m＞1⇒m＞，所以m＞1是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误；故选：C．5．（5分）方程为的椭圆左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：以椭圆为中心建立直角坐标系，D（0，b），A（﹣a，0）F1（﹣c，0）F2（c，0）∵∴﹣3c=﹣a+2c左右两边同除a推出求得e==故选：D．6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA∴结合题意a2=b2+c2+bc，得cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=故选：C．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2B．C．D．3【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选：B．8．（5分）已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx﹣y+1=0与直线x=0垂直时，满足条件，此时k=0，当直线kx﹣y+1=0与直线y=2x垂直时，满足条件，此时k=﹣，综上k=0或﹣，故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，则：，==则：S n=a1+a2+…+a n==，则：，故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选：A．11．（5分）设x2+y2+z2=1，若λxyz≤对一切x，y，z∈R*均成立，则λ的最大值为（）A．2（+1）B．（+1）C．4D．3【解答】解：∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy．∵λxyz≤对一切x，y，z∈R*均成立，∴对一切x，y，z∈R*均成立，∴≤，化为，而=4．当且仅当z=时取等号．∴λ的最大值为4．故选：C．12．（5分）已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A．B．4C．D．9【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程是y=2．【解答】解：由x2=﹣2py的准线方程为y=，抛物线y=﹣x2即为x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．14．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=28．【解答】解：在等差数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q．因为a3+a4+a5=12，所以a4=4．所以a1+a2+…+a7=7a4=28．故答案为28．15．（5分）已知a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值为7+2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，+=1，∴a+2b=（a+2b）（+）=7++≥7+2=7+2当且仅当=即2b2=3a2时取等号，故答案为：7+216．（5分）若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是10．【解答】解：曲线C1：的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），|PF1|﹣|PF2|=8则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|﹣1，∴|PQ|﹣|PR|的最大值=（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）=8+2=10，故答案为：10三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）n=1时，a1=1．∵2S n=3a n﹣1，∴2S n+1=3a n+1﹣1，=3a n，∴a n+1∴a n=3n﹣1．（2）∵b n=n⋅3n﹣1，∴T n=1⋅30+2⋅31+3⋅32+…+（n﹣1）⋅3n﹣2+n⋅3n﹣1，3 T n=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+（n﹣1）⋅3n﹣1+n⋅3n，两式相减可得﹣2T n=1+31+32+…+3n﹣1﹣n⋅3n，∴T n=⋅3n+．19．（12分）已知△ABC的周长为12，顶点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），C为动点．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）过原点作两条关于y轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，|CA|+|CB|=12﹣|AB|=8＞|AB|，故动点C在椭圆上，当C与A，B共线时，A，B，C三点不能围成三角形，故轨迹E不含x轴上的两点，由于定点A，B在x轴上，可设椭圆的方程为（a＞b＞0），则2a=8，焦距2c=4，从而b2=a2﹣c2=12，即得E的方程为（y≠0）．（2）设过原点所作的两条关于y轴对称的直线分别为y=kx，y=﹣kx，k＞0，由，得直线与椭圆的一个交点坐标为（），根据图形的对称性知，由四点所对应的四边形为矩形，且其面积=≤=，当且仅当即时，上式取等于号．所以所求四边形面积的最大值为．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求sinB的值；（2）若b=2，且a=c，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵已知bcosC=（3a﹣c）cosB．∴由正弦定理可得：sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，即有sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，∴sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∵A为△ABC的内角，有sinA≠0，两边同时除以sinA，可解得cosB=，∴sinB=．（2）∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，…①又∵已知b=2，a=c，由（1）知cosB=∴由①可得：4=a2+a2﹣2a2×，从而解得：a2=3∴S=acsinB=a2sinB=．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB ∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：AB⊥平面BEF；（2）设PA=kAB，若平面EBD与平面BDC的夹角是大于45°的锐角，求k的取值范围．【解答】证明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥面APD，又∵BF∥AD，EF∥PD，∴面APD∥面BEF，∴AB⊥面BEF．（2）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，k），E（1，1，），则=（﹣1，2，0），=（0，1，），设平面CBD法向量=（0，0，1），平面BDE的法向量=（x，y，z），∴，∴令y=1即=（2，1，﹣），设二面角E﹣BD﹣C大小为θ，即cosθ=|cos＜，＞|==，解得k＞．22．（12分）已知P是圆F1：（x+1）2+y2=8上任意一点，又F2（1，0），直线m 分别与线段F1P，F2P交于M，N两点，且=（+），|+|=|﹣|．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线x=my+2与椭圆交于A、B两点，点D在椭圆上，且+=λ，E（﹣，），设△EAB的面积为S，若0＜S≤1，求λ的取值范围．【解答】解：（1）∵||=（+），∴N是F2P中点，又∵|+|=|﹣|．∴⋅=0∴MN是线段F2P垂直平分线，∴|MF1|+|MF2|=|F1P|=2＞|F1F2|．∴M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，2a=2，c=1，∴M的轨迹C的方程+y2=1．（2）将直线的方程为x=my+2代入+y2=1得（2+m2）x2﹣8x+8﹣2m2=0∴△=64﹣8（2+m2）（4﹣m2）=8m2（m2﹣2）＞0即m2＞2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|AB|===．设E到直线AB的距离为d，则d==∴S==×=．由题意：0＜≤1 解得：2＜m2≤4．设D（x0，y0），由+=λ，∴x0=（x1+x2），y0=（y1+y2）∵P、A、B三点均在椭圆上，∴+y02=1，+y12=1，+y22=1，∴•+•（y1+y2）2=1，化为+（y1+y2）2=λ2 ，∴+x1x2+y12+y22+2y1y2=λ2，∴2+x1x2+2y1y2=λ2，y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）=[（x1x2﹣2（x1+x2）+4]=，2++2×=λ2，即λ2=，∴≤λ2＜4∴λ的取值范围是（﹣2，﹣]∪[，2）．。