九年级数学10月月考试题(含解析) 新人教版
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣2＝（y+3）2C．x2+−5＝0D．x2＝02．已知x＝0是关于x的一元二次方程2x2+3x+k﹣4＝0的一个根，则k的值为（）A．4B．﹣4C．±1D．±43．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（）A．（x﹣5）2＝14B．（x+5）2＝14C．（x﹣5）2＝36D．（x+5）2＝36 4．已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定5．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°8．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．4B．4C．4D．410．如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（1，1 ）D．（﹣1，6）二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分）11．一元二次方程3x（x+1）＝3x+3的解是．12．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，则k的取值范围是．13．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是．14．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为米．15．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．16．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝．17．如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．18．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）19．解下列方程：（1）x2+2x﹣2＝0．（配方法）（2）x（x﹣1）＝x；20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．21．如图，为建设美丽校园，学校准备利用一面围墙和旁边的空地，建一个面积为160m2的长方形花坛，另三边用木质围栏围成，木栏总长36m，若围墙足够长，则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米？22．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．24．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．25．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，四、五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？26．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．27．阅读以下材料：若x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x、y的值．思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出x、y．解：∵x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2﹣10y+25）＝0，∴（x﹣2）2+（y ﹣5）2＝0，∴x＝2，y＝5．请你根据上述阅读材料解决下列问题：（1）若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m+n的值；（2）求证：无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣2＝（y+3）2C．x2+−5＝0D．x2＝0【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．解：A．a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以A选项不符合题意；B．x2﹣2＝（y+3）2为二元二次方程，所以B选项不符合题意；C．x2+﹣5＝0为分式方程，所以C选项不符合题意；D．x2＝0为一元二方程，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．已知x＝0是关于x的一元二次方程2x2+3x+k﹣4＝0的一个根，则k的值为（）A．4B．﹣4C．±1D．±4【分析】把x＝0代入方程2x2+3x+k﹣4＝0得k﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝0代入方程2x2+3x+k﹣4＝0得k﹣4＝0，解得k＝4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（）A．（x﹣5）2＝14B．（x+5）2＝14C．（x﹣5）2＝36D．（x+5）2＝36【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．解：∵x2﹣10x+11＝0，∴x2﹣10x＝﹣11，则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．4．已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．解：∵OP＝7，r＝4，∴OP＞r，则点P在⊙O外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．5．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，如图，先根据垂径定理得到CP＝DP，再计算出OP＝2，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到CD的长．解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∵AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴PB＝2，∴OP＝2，∴PC＝＝＝2，∴CD＝2PC＝4．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．2C．3D．4【分析】连接OA，OB，可得∠AOB＝90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝3，即⊙O的半径是3，故选：C．【点评】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB ＝90°．7．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．解：连接OC，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，∴，∴∠COB＝∠BOD，∵∠A＝26°，∴∠COB＝2∠A＝52°，∴∠BOD＝52°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．故选：B．【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．8．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．4B．4C．4D．4【分析】连接OC、OA，AO的延长线交CD于E点，如图，先根据切线的性质得到OA ⊥AB，则利用平行线的性质得到AE⊥CD，再根据垂径定理得到CE＝DE＝4，然后利用勾股定理先计算出OE，再计算AC的长．解：连接OC、OA，AO的延长线交CD于E点，如图，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵CD∥AB，∴AE⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，在Rt△ACE中，AC＝＝＝4．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．10．如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（1，1 ）D．（﹣1，6）【分析】根据题意画出旋转后的图形，根据点M为△ABC的内心，可得点M为△ABC 角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，所以DM ＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，根据S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，列式求出r的值，进而可以解决问题．解：将矩形绕点C顺时针旋转90°，如图所示：∵点M为△ABC的内心，∴点M为△ABC角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，∴DM＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，在矩形OABC中，∵B（﹣4，3），∴AC＝＝5，∵S△ABC＝3×4＝6，∴S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，∴r×3+r×4+r×5＝6，∴r＝1，∴DM＝EM＝FM＝r＝1，∴M′（﹣1，6）．则点M的对应点坐标为（﹣1，6）．故选D．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分）11．一元二次方程3x（x+1）＝3x+3的解是x1＝﹣1，x2＝1．【分析】先提公因式，然后移项，再提公因式，即可解答本题此方程．解：3x（x+1）＝3x+3，3x（x+1）＝3（x+1），3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，（x+1）（3x﹣3）＝0，∴x+1＝0或3x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1，故答案为：x1＝﹣1，x2＝1．【点评】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．12．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，则k的取值范围是k≤2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，∴Δ＝42﹣4×1×2k≥0，故答案为：k≤2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．13．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是10%．【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次下降的百分率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），∴平均每次下降的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为4米．【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．解：因为跨度AB＝16m，拱所在圆半径为10m，所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO＝6（m），进而得拱高CD＝CO﹣DO＝10﹣6＝4（m）．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．可通过作辅助线建立模形，利用垂径15．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB 的长是解题的关键．16．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝100°．【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、C、D是⊙A上的点，∠BCD ＝130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．解：在优弧上取点E，连接BE，CE，∵∠BCD＝130°，∠E+∠BCD＝180°，∴∠E＝180°﹣∠BCD＝50°，∴∠BAD＝2∠E＝100°．故答案为：100°．【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．【分析】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，即可找到四点共圆的圆心，再利用勾股定理可求解该圆的半径．解：连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，则O为△BCD的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，由勾股定理得OB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，找到圆心是解题的关键．18．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为．【分析】延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF＝EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF ＝EF＝CD＝1，得出EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，进而求出AE，即可得到△AEF的外接圆半径．【解答】解答】解：延长EF交AD的延长线于G，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，∴∠GDF＝∠C，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，在△DFG和△CFE中，，∴△DFG≌△CFE（ASA），∴DG＝CE，GF＝EF，∵∠AFE＝90°，∴AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，∵AG∥BC，DE⊥BC，F是CD的中点，∴DE⊥AG，GF＝EF＝CD＝1，∴EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2﹣AD2＝EG2﹣DG2，即（2+x）2﹣22＝22﹣x2，解得：x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），∴DG＝﹣1，∴AE＝AG＝AD+DG＝+1，∵∠AFE＝90°，∴AE是△AEF的外接圆的直径，∴△AEF的外接圆半径为，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）19．解下列方程：（1）x2+2x﹣2＝0．（配方法）（2）x（x﹣1）＝x；【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x2+2x﹣2＝0，x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，∴x＝，∴x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；（2）x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法以及配方法，本题属于基础题型．20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．21．如图，为建设美丽校园，学校准备利用一面围墙和旁边的空地，建一个面积为160m2的长方形花坛，另三边用木质围栏围成，木栏总长36m，若围墙足够长，则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米？【分析】根据“木栏总长36m，长方形花坛的面积为160m2”可得相应的一元二次方程．解：设花坛垂直于墙的一边长应安排x米，根据题意得：x×（36﹣2x）＝160，解得：x1＝8，x2＝10．答：花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．22．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P即为所求．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．24．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣4）m.在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m；（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣1＝5.5（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.52＝12，∴EN＝2≈3.4（m）．∴MN＝2EN≈6.8m＜7.8m．∴此货船不能顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．25．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，四、五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出∠OCB＝∠OBC，∠CFD＝∠EBF，由垂线的性质得出∠OCB+∠CFD＝90°，进而得出∠EBA＝90°，即可证明BE是⊙O 的切线；（2）先由勾股定理求出AD＝8，再证明△DAO∽△BAE，由相似三角形的性质即可求出BE＝15．【解答】（1）证明：∵BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠CFD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠CFD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AE⊥OC，∴∠OCB+∠CFD＝90°，∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°，∵AB是直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10，∴OA＝10，AB＝20，∵AE⊥OC，OD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE，∴△DAO∽△BAE，∴，即，∴BE＝15．【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．27．阅读以下材料：若x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x、y的值．思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出x、y．解：∵x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2﹣10y+25）＝0，∴（x﹣2）2+（y ﹣5）2＝0，∴x＝2，y＝5．请你根据上述阅读材料解决下列问题：（1）若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m+n的值；（2）求证：无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．【分析】（1）根据材料完成配方即可求解；（2）把已知代数式配方成为两个完全平方式和一个正数的和的形式，然后利用完全平方式的非法性即可求解．【解答】（1）解：∵m2+2m+n2﹣6n+10＝0，∴m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0，∴（m+1）2+（n﹣3）2＝0，∴m＝﹣1，n＝3，∴m+n＝2；（2）证明：x2﹣4xy+5y2+2y+5＝x2﹣4xy+4y2+2y+1+y2+4＝（x﹣2y）2+（y+1）2+4，∵（x﹣2y）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2y）2+（y+1）2+4＞0，∴无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．【点评】此题主要考查了配方法的应用，同时也利用了完全平方式的非负性．28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．【分析】（1）如图1中，设PD＝t．则PA＝6﹣t．首先证明BP＝BC＝6，在Rt△ABP 中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；解：（1）如图1中，设PD＝t．则PA＝6﹣t．∵P、B、E共线，∴∠BPC＝∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴∠BPC＝∠PCB，∴BP＝BC＝6，在Rt△ABP中，∵AB2+AP2＝PB2，∴42+（6﹣t）2＝62，∴t＝6﹣2或6+2（舍弃），∴PD＝6﹣2，∴t＝（6﹣2）s时，B、E、P共线．（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，∴EM＝＝＝，∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，∴△ADC∽△DME，＝，∴＝，∴AD＝4，（当AD＝4时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
某某省池州市石台中学2015-2016学年九年级数学下学期第一次月考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣22．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师X超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米4．分式有意义，则x的取值X围是（）A．x＞1 B．x≠1C．x＜1 D．一切实数5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和108．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：110．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]=．12．分解因式：4a2﹣16b2=．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是（填序号）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．16．解不等式：1﹣＞．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD支撑，AB=25cm，CG⊥AF，FD⊥AF，点G、点F分别是垂足，BG=40cm，GF=7cm，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图某某息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是（只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值X围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么X围时，满足≤t≤1？2015-2016学年某某省池州市石台中学九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，∴﹣3＜﹣2＜0＜2，∴最小的数是﹣3．故选B．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案．【解答】解：A、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误，B、原式=（5﹣3）a2=2a2，故本选项错误，C、原式=a2a3=a5，故本选项正确，D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，关键在于根据相关的法则进行逐项分析解答．3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师X超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：20微米=20÷1 000 000米==2×10﹣5米，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．分式有意义，则x的取值X围是（）A．x＞1 B．x≠1C．x＜1 D．一切实数【考点】分式有意义的条件．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【考点】平行线的判定与性质．【分析】直接利用平行线的判定方法分别进行判断得出答案．【解答】解：A、若∠3=∠2，则d∥e，故此选项错误，符合题意；B、若∠3+∠5=180°，则a∥c，正确，不合题意；C、若∠1=∠2，则a∥c，正确，不合题意；D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和10【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10、12，最中间的数是9，则这组数据的中位数是9；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10；故选C．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数8．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】由于a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论即可求解．【解答】解：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误；B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]= 2015 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出的X围，再求出2020﹣的X围，即可得出答案．【解答】解：∵4＜＜5，∴﹣4＞﹣5，∴2016＞2020﹣＞2015，∴[2020﹣]=2015，故答案为：2015．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出2016＞2020﹣＞2015，难度不是很大．12．分解因式：4a2﹣16b2= 4（a+2b）（a﹣2b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据提取公因式，再运用公式法，可分解因式．【解答】解：原式=4（a2﹣4b2）=4（a+2b）（a﹣2b），故答案为：4（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式，分解到不能再分解为止．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设2014、2015两年平均每年降价的百分率是x，那么2014年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%），2015年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%）2，然后根据2015年的7200元/m2即可列出方程解决问题．【解答】解：设设两年平均每年降价的百分率为x%，根据题意得：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200；故答案为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200．【点评】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是①②④（填序号）．【考点】几何变换综合题．【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；②易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式③根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．④当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），故①正确；②易得△AC1F∽△ACD，∴解得：S△AC1F=（x﹣2）2（0＜x＜2）；故②正确；③∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵x=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB=D1C1，又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形，故③错误；④如图所示：则可得BD=DD1=BD1=2，∴△BDD1为等边三角形，故④正确．综上可得正确的是①②④．故答案为：①②④【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先算减法通分，再算除法，由此顺序化简，再进一步代入求得数值即可．【解答】解：原式===．当a=﹣3时，原式=．【点评】此题考查分式的化简求值，掌握运算顺序，化简的方法把分式化到最简，然后代值计算．16．解不等式：1﹣＞．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据解不等式的基本步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．【解答】解：去分母，得：6﹣（x﹣3）＞2x，去括号，得：6﹣x+3＞2x，移项，得：﹣x﹣2x＞﹣6﹣3，合并同类项，得：﹣3x＞﹣9，系数化为1，得：x＜9．【点评】本题主要考查解不等式的能力，熟知解不等式的基本步骤是基础，去分母和系数化为1时注意不等号的方向是解不等式易错点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【解答】解：∵PQ∥BC，∴，，∴MN∥BC，∴==，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【点评】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD支撑，AB=25cm，CG⊥AF，FD⊥AF，点G、点F分别是垂足，BG=40cm，GF=7cm，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据直角三角形的解法分别求出BC，CD的长，即可求出钢管ABCD的长度．【解答】解：在△BCG中，∠GBC=30°，BC=2BG=80cm，CD=≈41.2，钢管ABCD的长度=AB+BC+CD=25+80+41.2=146.2≈146cm．答：钢管ABCD的长度为146cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，根据两个班的购票费之和为1126元和824元建立方程组求出其解即可；（2）根据单独购票的费用大于团体购票的费用确定选择团体购票，可以节省的费用为1126﹣824元．【解答】解：（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，由题意，得，解得：．答：八年级（一）班有48人、（二）班有55人；（2）∵1126＞824，∴选择团体购票．团体购票节省的费用为：1126﹣824=302元．∴团体购票节省的费用302元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图某某息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为60 人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是ACD （只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？【考点】扇形统计图；条形统计图．【专题】数形结合．【分析】（1）根据完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%．可求出抽查的学生人数；（2）根据总人数，现有人数为补上那12人，画图即可；（3）根据中位数、众数、频率的意义对各选项依次进行判断即可解答；（4）先求出60人里学生每天完成课外作业时间在120分钟以下的人的比例，再按比例估算全校的人数．【解答】解：（1）6÷10%=60（人）．（2）补全的频数分布直方图如图所示：（3）A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内，正确；B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数不在第三组内，错误；C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°．正确；D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15，正确．故答案为：60；ACD．（4）==60%，即样本中，完成作业时间不超过120分钟的学生占60%．∴560×60%=336．答：九年级学生中，课业负担适中的学生约为336人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值X围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么X围时，满足≤t≤1？【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值X围；（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值X围：0≤m≤或≤m≤1．【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1当x=b时，y=﹣b+1．则，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1）当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．【点评】本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．。
湖北省武汉市武汉第三寄宿中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案解析)
湖北省武汉市武汉第三寄宿中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将一元二次方程2316x x +=化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，一次项系数和常数项分别是 （ ） A ．1，6B ．1，-6C ．-6，1D ．6，12．一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=43．二次函数()2312y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ．（-1，2） B ．（-1，-2）C ．（1，2）D ．（1，-2）4．抛物线2yx 经过平移得到抛物线2(6)3y x =-+，平移过程正确的是( )A ．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D ．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位5．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为2(0)y ax bx c a =++≠．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为（ ） A ．2011B ．2012C ．2013D ．20147．对于任意实数t ，抛物线y=x 2+(2-t)x+t 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A ．（1，0）B ．（-1，0）C ．（-1，3）D ．（1，3）8．如图所示，正方形ABCD 的边长为1．E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图.对称轴是直线x =-1．有以下结论：①0abc >；②24ac b <；③20a b -=；④0a b c -+>；⑤930a b c -+>．其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题10．某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂5、6月份平均每月的增长率为x ，那么下列方程错误的是（ ） A ．250(1)182x += B ．25050(1)50(1)182x x ++++= C ．50(12)182x += D ．5050(1)50(12)182x x ++++=三、填空题11．一元二次方程()()22131x x x +-=+的一般形式是__________．12．关于x 的方程2690kx x -+=，k =_____时，方程有实数根．13．若二次函数y =ax 2–2ax +c 的图象经过点（–1，0），则方程ax 2–2ax +c =0的解为______． 14．有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.设每个支干长出x 个小分支，根据题意可列方程为______.15．如图，在∆ABC 中，∠C =30°，∠ABC =90°，AC =4，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，BD=CE =x ．点F 为AC 的中点，点G 为DF 的中点．连接AG 、BE ，若11x <时，设AGn BE=．试写出n 值________．四、解答题16．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号） ①方程220x x --=是倍根方程．②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=． ③若2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程．④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点M （1,t s +），N （4,t s -）都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 17．解方程：（1）20.50.020x -=； （2）22410x x --=．18．有一块长为a 米，宽为b 米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x 米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．（1）已知26,15a b ==，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x 为多少米?（2）已知a ：b =2：1，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米?19．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12x x ，. （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k 的值；如果不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为243y x x =-+． （1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：（2）当x 满足 ______时，函数值大于0； （3）当14x <<时，y 的取值范围是______．21．某校九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第()190x x ≤<天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少? （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元? 22．阅读下列材料并解决问题． [问题]解方程：42230x x +-=；[提示]可以用“换元法”解方程．解：设2x t =（0t ≥），则原方程为2230t t +-=，解得11t = ，23t =-（舍去） 所以21x =，11x =，21x =-． [解决问题]（1）解方程2250x x ++=；（2）对于关于x 的方程222x x m -+=恰好有3个不相等的实数根满足此方程，求m的值．23．在正方形ABCD 中，AB =4，O 为对角线AC 、BD 的交点．（1）如图1，延长OC ，使CE=OC ，作正方形OEFG ，使点G 落在OD 的延长线上，连接DE 、AG ．求证：DE=AG ；（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°（0<α<180），得到正方形OE F G '''，连接AE E G '''、． ①当α=30时，求点A 到E G ''的距离；②在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为 ，并写出此时的旋转角α= ．24．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）如图3，一次函数y kx=（k>0）的图象与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线1:l y x bk=-+交线段OC于点M（不与O、C重合），过点T作直线TN//y轴交OC于点N，若在点T运动的过程中，2ONOM=常数m，求m、k的值．参考答案1．C【分析】化为一般形式，分别判断计算即可；【详解】将方程化为一般形式2x x-+=，3610-，常数项为1，其中二次项为23x，一次项为6x∴一次项系数为6-，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程一般形式，准确理解判断是解题的关键．2．A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可.【详解】解：移项得：x2-6x=5，两边同时加上9得：x2-6x+9=14，即（x-3）2=14，故选A．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键.3．B【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．【详解】解：∵二次函数y=-3（x+1）2-2∴顶点坐标为（-1，-2），故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．4．C【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可 【详解】 由题意得： 由抛物线2yx 先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线2(6)3y x =-+故答案为：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律,掌握二次函数图象平移的规律是解题关键． 5．B 【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x ＝7和x ＝14代入求得a 和b 的关系，再求得2bx a=-即可求得结果； 【详解】解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x ＝7和x ＝14代入求得a 和b 的关系： 49a ＋7b ＝196a ＋14b ， 即b ＋21a ＝0 又2bx a=-时，炮弹所在高度最高， 将b ＋21a ＝0代入即可得： x ＝10.5． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题是解题关键． 6．C 【分析】等式x 2-x -1=0，变形得x 2-x =1，代入原式求解即可． 【详解】解：由已知得x 2-x ＝1，∴()322222201220122012120122013x x x x x x x x -++=--++=-++=+=．故选：C 【点睛】本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，属于常见题型，要求学生能够熟练掌握和应用． 7．D 【分析】先把二次函数的解析式变形得到关于t 的不定方程得（1-x ）t=y-x 2-2x ，由于t 有无数个值，所以1-x=0且y-x 2-2x=0，然后求出x 与y 即可得到固定的点的坐标． 【详解】把y=x 2+（2-t ）x+t 变形得到（1-x ）t=y-x 2-2x ，∵对于任何的实数t ，抛物线y=x 2+（2-t ）x+t 总经过一个固定的点， ∴1-x=0且y-x 2-2x=0， ∴x=1，y=3，即这个固定的点的坐标为（1，3）， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 8．B 【分析】根据条件可知AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△，设AE 为x ，则1AH x =-，根据勾股定理22222(1)EH AE AH x x =+=+-，进而可求出函数解析式，由此可求出答案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，∴AB BC CD DA ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒， 又∵AE BF CG DH ===， ∴BE CF DG AH ===，AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△（SAS ）．设AE 为x ，则1AH x =-，根据勾股定理，得22222(1)EH AE AH x x =+=+-， 即22(1)s x x =+-2221x x =-+ 22()1x x =-+2112()144x x =-+-+ 2112()22x =-+，∴所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线12x =． 由题意可知自变量的取值范围是01x <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴． 9．C 【分析】根据抛物线的开口方向、与y 轴的交点和对称轴即可求出a 、b 、c 的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x 轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x =−1时，y >0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x =−3时，y <0，然后代入即可判断⑤； 【详解】解：由图象可知：a <0,c>0;对称轴是直线x =−1 根据对称轴在y 轴左侧，a 、b 同号，可得b <0，abc >0 故①正确；抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ=b 2−4ac >0 4ac <b 2 故②正确； 对称轴是直线x =−1∴2b a=−1 ∴b =2a∴2a −b =0故③正确；当x =−1时，y >0∴a −b +c >0故④正确；对称轴是直线x =−1，且由图象可得：当x =-3时，y <0∴9a −3b +c <0故⑤错误．综上，正确的有①②③④．故答案为：C ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．10．ACD【分析】设该厂5、6月份平均每月的增长率为x ，根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）可用x 分别表示5、6月份的产量，然后根据题意可得出方程，即可得答案．【详解】设该厂5、6月份平均每月的增长率为x ，∵农机厂4月份生产零件50万个，∴5月份产量为50（1+x ），6月份产量为50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2，∵第二季度共生产零件182万个，∴50+50（1+x ）+50（1+x ）2=182，∴方程错误的是ACD ，故选：ACD ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确表示出该厂五、六月份生产的零件数量是解题关键．11．2_540x x -=【分析】把方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式即可求解．【详解】()()22131x x x +-=+，2x 2-6x+x−3＝x 2＋1，2_540x x -=．故答案为：2_540x x -=．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12．1k ≤【分析】由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：①当0k =时，直接进行求解；②当0k ≠时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定k 的取值范围，最后综合①②即可求出满足题意的k 的取值范围．【详解】解：①当0k =时，方程化为：690x -+=， 解得：32x =，符合题意； ②当0k ≠时，∵方程有实数根，∴0≥，即()26490k --⨯⨯≥，解得：1k ≤，∴1k ≤且0k ≠；综上所述，当1k ≤时，方程有实数根，故答案为：1k ≤．【点睛】题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键．13．–1或3【分析】二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则当x=0时，y=0，即ax2-2ax+c=0的解是x=-1，据此求解．【详解】∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），∴当x=-1时，ax2-2ax+c=0成立，∴方程ax2-2ax+c=0的一个解是x1=-1．∴a+2a+c=0，∴c=-3a，∴原方程可化为a（x2-2x-3）=0，∵a≠0．∴x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3，故答案是：-1或3．【点睛】考查了方程的解与二次函数的关系，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．14．1+x+x2＝73【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目＝73，把相关数值代入即可.【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为：x×x＝x2，∴可列方程为：1+x+x2＝73.故答案为：1+x+x2＝73.【点睛】考查列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的总数的等量关系是解决本题的关键． 15．12【分析】首先可判断四边形ADHF 是平行四边形，再由直角三角形30°角所对的边等于斜边一半可得△ADH ≌△BFE ，再根据全等三角形的判定和性质解答即可；【详解】证明：延长AG 至H ，使GH =AG ，连接DH ，FH ，∵GD =GF ，四边形ADHF 是平行四边形，∴FH =AD ，AF =DH ．连接BF ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =30°，AF =CF ，∴BF =AF =CF =AB =12AC ，∴∠BAF =∠ABF =∠AFB =60°，∵BD =CE ，∴AD =EF ，在平行四边形ADHF 中,AD ∥FH ,AF ∥HD∴∠HDA =∠AFH =∠BFE =120°，∵DH =AF ，∴DH =BF ，在△ADH 和△BFE 中，,,AD EF HDA BFE DH BF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴△ADH ≌△BFE (SAS )，∴AH =BE =2AG ； ∴12AG n BE ==故答案为:12【点睛】 此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解本题的关键．16．②③【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求m 、n 的数量关系；③根据pq =2求出方程的两个根，从而得出答案；④由方程ax 2+bx +c =0是倍根方程，得x 1=2x 2，由相异两点都在抛物线上，通过抛物线对称轴求得x 2的值．【详解】解方程x 2−x −2=0得：x 1=2，x 2=−1，∴方程x 2−x −2=0不是倍根方程，故①错误；②∵(x −2)(mx +n )=0是倍根方程，且x 1=2，x 2=n m-， ∴n m -=1或n m -=4， ∴m +n =0，4m +n =0，∵4m 2+5mn +n 2=(4m +n )(m +n )=0， 故②正确；③∵pq =2，解方程px 2+3x +q =0得：x 1=1p -，x 2=2p -， ∴x 2=2x 1， 故③正确；④∵方程ax 2+bx +c =0是倍根方程，∴设x 1=2x 2，∵相异两点M (1+t ，s )，N (4−t ，s )都在ax 2+bx +c =0抛物线上，∴抛物线的对称轴12145222x x t t x +++-===， ∴x 1+x 2=5，∴x 2+2x 2=5，∴x 2=53故④错误． 故答案为：②③．【点睛】本题考查了定义新运算，一元二次方程的解法，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．17．（1）10.2x =，20.2x =-；（2）12x x ==【分析】（1）直接利用直接开平方法求解即可；（2）直接利用公式法求解即可．【详解】解：（1）20.50.020x -=，20.50.02x =，20.04x =，解得：10.2x =，20.2x =-；（2）22410x x --=，∵2,4,1a b c ==-=-，∴224(4)42(1)240b ac -=--⨯⨯-=>，∴x ===，∴1x =2x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法与公式法，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解决本题的关键．18．（1）每条道路的宽为2米；（2）原来矩形场地的长为28米，宽为14米．【分析】（1）根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由a ：b =2：1可得出a =2b ，根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于b 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）四块矩形场地可合成长为（26-x）米，宽为（15-x）米的矩形．依题意，得：（26-x）（15-x）=312，整理，得：x2-41x+78=0，解得：x1=2，x2=39（不合题意，舍去）．答：每条道路的宽x为2米．（2）四块矩形场地可合成长为（2b-2）米，宽为（b-2）米的矩形．依题意，得：（2b-2）（b-2）=312，整理，得：b2-3b-154=0，解得：b1=14，b2=-11（不合题意，舍去），∴a=2b=28．答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．19．（1）1312k<且1k≠；（2）k不存在．理由见解析．【分析】（1）因为方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k 的值．【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k-1≠0，∴k≠1且Δ=-12k+13＞0，可解得1312k<且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2=0，∴231kk--=-，∴32k<，又∵1312k<且1k≠；∴k不存在．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．20．（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）x<1，或x>3，（3）-1≤y<3．【分析】(1)计算函数值填表；然后根据表格造平面直角坐标系中，描点，用平滑的曲线顺次连结即可，(2)利用图像法，先理解y>0，找出y>0，在x轴上半平面，即在方程的两根之外，在图上找到抛物线与交点横坐标即可，(3)抛物线的对称轴x=2，在1<x<4抛物线可以取到最小值-1，在边值上进行比较，取两值中较大的即可．【详解】（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）由y>0，图像在x 轴的上方，说明在两个之外，由图可知y=0时x 2-4x+3=0的两根为，x=1,与x=3，为此x<1，或x>3，答案为：x<1，或x>3，(3) 当1<x<4时，-1≤y<3．答案为：-1≤y<3．【点睛】本题考查。
无锡市江阴10月九年级上月考数学试卷含答案解析
江苏省无锡市江阴二中学2022-2023九年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．84．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似5．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC =1，S△ADE=3，则S△CDE等于（）A．B．C．D．26．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：99．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2510．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．12．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，则CD 的长为 ．13．如图，△ABC 中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB= ．14．若方程x 2﹣3x +m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= ．15．如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=CE 时，EP +BP= ．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=．三、解答题19．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．20．（6分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．25．（10分）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）26．（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023江苏省无锡市江阴二中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质内项之积等于外项之积，即可判断．【解答】解：∵2m=3n，∴=或=或=，故选C．【点评】本题考查比例的性质，记住比例的性质内项之积等于外项之积是解题的关键．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵=，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，∴3：4=6：AC，∴AC=8．故选D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得①与③相似．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，故选：B ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．5．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC =1，S △ADE =3，则S △CDE 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由题意在四边形ABCD 中延长AD 、BC 交于F ，则BECF 为平行四边形，然后根据相似三角形面积之比等于边长比的平方来求解．【解答】解：延长AD 、BC 交于F ，则DECF 为平行四边形，∵EC ∥AD ，DE ∥BC ，∴∠ADE=∠DEC=∠BCE ，∠CBE=∠AED ，∴△CBE ∽△DEA ，又∵S △BEC =1，S △ADE =3， ∴==，∵CEDF 为平行四边形，∴△CDE ≌△DCF ，∴S ▭CEDF =2S △CDE ，∵EC ∥AD ，∴△BCE ∽△BFA ， ∴=，S △BCE ：S △BFA =（）2，即1：（1+3+2S △CDE ）=， 解得：S △CDE =． 故选C ．【点评】解答此题的关键是根据平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似及相似三角形的性质来解答．6．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，根据勾股定理求出其斜边；再根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB==．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S，正方形ABCD1∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE ：S△COA=1：25，∵DE ∥AC ， ∴==， ∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE=BE ，证出FE=AB ，延长FD=FE ，①正确；证出∠ABC=∠C ，得出AB=AC ，由等腰三角形的性质得出BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH=BC=2CD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出=，即BC •AD=AB •BE ，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC •AD=AE 2；③正确；由F 是AB 的中点，BD=CD ，得出S △ABC =2S △ABD =4S △ADF ．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC =2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．故答案为5．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．13．如图，△ABC中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=5．【考点】解直角三角形．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=AC=，由勾股定理得：AD=CD=3，∵tanB==，∴BD=2，∴AB=2+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质的应用，关键是能正确构造直角三角形．14．若方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=2．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两个为a、b，且a=2b，根据a+b=3可求出a、b的值，将其代入m=ab即可得出结论．【解答】解：设方程的两个为a、b，且a=2b，∵a+b=3b=3，∴b=1，a=2，m=ab=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b=3、ab=m是解题的关键．15．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE 求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形．【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又∵∠DAB+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BE=AD=3，CE=2+3=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=，故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是或．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE=AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=±4或±．【考点】相似三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，可求得A 与B的坐标，又由坐标平面内有一点P（m，3），可得∠AOB=∠OBP=90°，然后分别从当=时，△AOB∽△PBO，与当=时，△AOB∽△OBP，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，∴点A（﹣4，0），点B（0，3），∵P（m，3），∵∠AOB=∠OBP=90°，∴当=时，△AOB∽△PBO，∴BP=OA=4，∴m=±4；当=时，△AOB∽△OBP，∴BP==，∴m=±．故答案为：±4或±．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题19．（12分）（•江阴市校级月考）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．【考点】解分式方程；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到a与b 的值，代入计算即可求出值；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=﹣3﹣+=﹣3；（2）原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣==﹣，方程组，①+②得：2a=6，即a=3，①﹣②得：2b=2，即b=1，则原式=﹣；（3）去分母得：3x﹣6﹣x﹣2=0，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．21．（10分）（•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根与系数的关系．22．（10分）（•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）（•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．24．（10分）（•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE•AC，即AB2=x•3x∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，连接AF，则AF=BF=CF，∠ACB=30°，∠ABC=60°，又∵∠ABD=∠ADB=30°，∴∠CBD=30°，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．25．（10分）（•江阴市校级月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．【解答】解：（1）如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．（2）解：由题意得：△ABC∽△GHC，∴=，∴=，解得：GH=4.8（m），答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m．（3）同理△A1B1C1∽△GHC1，∴=，设B1C1长为x（m），则=，解得：x=（m），即B1C1=（m）．同理=，解得B2C2=1（m），∴=，解得：B n C n=．故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．26．（16分）（•齐齐哈尔）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D 的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．。
陕西西安市高新一中2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份) 含解析
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣14．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝97．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝19．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．810．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝米．（结果保留根号）15．如果，那么k的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b ＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，∴＝，解得：a＝2cm．故选：A．2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：该组合体的俯视图为故选：A．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣1【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝4x是正比例函数；B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；C、y＝﹣是反比例函数；D、y＝x2﹣1是二次函数；故选：C．4．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小．相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．故选：A．5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米【分析】由题可知，易得题中有一组相似三角形，利用它们的对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意得：AD：DE＝AB：x∴解得：x＝0.8．故选：C．6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D ∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝1【分析】根据相似三角形的判定得出△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，∴＝，∵EG∥AC，∴＝，∴≠，故本选项符合题意；B、∵GE∥AC，∴△DEG∽△DAC，∴＝，故本选项不符合题意；C、∵EF∥BD，EG∥AC，∴，，∴，故本选项不符合题意；D、∵GE∥AC，EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，∴，，∴＝＝1，故本选项不符合题意；故选：A．9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．10．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4【分析】可设BE＝x，CE＝y，由题意可得△ABE≌ECF，并且△ECF∽△FDG，从而得出关于x、y的两个方程，求解后即可得出矩形ABCD的周长．【解答】解：∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故选：C．二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．【分析】将＝变形为+2＝，再根据等式的性质即可求解．【解答】解：＝，+2＝，＝．故答案为：．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为12 ．【分析】由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为2，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．【解答】解：设俯视图的正方形的边长为a．∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2，∴a2+a2＝（2）2，解得a2＝4，∴这个长方体的体积为4×3＝12．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约8 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈7.8≈8，经检验y≈7.8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝（18﹣10）米．（结果保留根号）【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．∵物高与影长的比是1：，∴＝，则AF＝EF＝10，故DE＝FB＝18﹣10．故答案为（18﹣10）15．如果，那么k的值为或﹣1 ．【分析】①当a+b+c≠0时，由等比定理（若a：b＝c：d（其中b，d≠0），则（a+c）：（b+d）＝（a﹣c）：（b﹣d）＝a：b＝c：da：b＝c：d＝e：f＝…m：k则（a+c+e+…+m）：（b+d+f+…+k）＝a：b称为等比定理）解答k的值；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，将其整体代入比例式解答k的值．【解答】解：①当a+b+c≠0时，由等比定理得＝k，即k＝；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，∴，∴k＝﹣1；故答案为：或﹣1．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，∴3×＝9AF，AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E＝，即AD+DE的最小值是；故答案为：．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．【解答】解：如图所示：．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可．【解答】解：如图所示：19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．【分析】（1）延长AO到C使得OC＝2OA，延长BO到D，使得OD＝2OB，连接CD，△OCD 即为所求．（2）根据C，D的位置写出坐标即可．（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△OCD即为所求．（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2），（3）S△OCD＝24﹣×4×2﹣×6×2﹣×2×4＝10．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，可得，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝7，所以EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F，∴△ABE∽△ECF，（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝7．∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．∴，∴．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC＝45∴MN＝3000，答：直线隧道MN长为3000米．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．【分析】（1）首先连接GA、HC并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OE并延长即可确定影子；（2）OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度．【解答】解：（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；（2）作OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，由△GAB∽△GOM得＝即：①，由△CDH∽△OMH得即：②由①②得，x＝4.8，y＝0.6．答灯的高度为4.8米．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．②存在．由题意：∠DMN＝∠DGM．可以推出∠DNM＝∠DMG，推出∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．。
2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【人教版】
2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【人教版】数学（人教版）注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的．1.一元二次方程212302x x --=的一次项系数是()A.2B.12C.12-D.－32.对于二次函数()253y x =+的图象，下列说法不正确的是（）A.开口向上B.对称轴是直线3x =-C.顶点坐标为()3,0- D.当3x <-时，y 随x 的增大而增大3.关于x 的一元二次方程224(41)0x m x m +++=有实数根，则m 的最小整数值为（）A.1B.0C.－1D.－24.二次函数()220y ax ax c a =-+≠的图象过点()3,0，方程220ax ax c -+=的解为（）A.123,1x x =-=-B.121,3x x =-=C.121,3x x == D.123,1x x =-=5.2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x ，则可列方程为（）A.600(12)2850x += B.2600(1)2850x +=C.2600600(1)600(1)2850x x ++++= D.22850(1)600x -=6.若点()13,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线22y x x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.123y y y >> B.231y y y >> C.321y y y >> D.213y y y >>7.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限8.如图，在平面直角坐标系中，点A 、E 在抛物线2y ax =上，过点A 、E 分别作y 轴的垂线，交抛物线于点B 、F ，分别过点E 、F 作x 轴的垂线交线段AB 于两点C 、D ．当点()24E ，，四边形CDFE 为正方形时，则线段AB 的长为（）A.4B.C.5D.9.如图，四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线AC BD ，的长度分别是一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，DH 是AB 边上的高，则DH 值为（）A.1.2B.2.4C.3.6D.4.810.已知，0ab >，420a b c ++=，420a b c -+>，则下列结论成立的是（）A.0a >，24b ac≥ B.0a >，24b ac< C.0<a ，24b ac< D.0<a ，24b ac>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，则m 的值是________．12.将二次函数22y x x =+的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是________．13.非零实数m ，()n m n ≠满足220m m --=，220n n --=，则11m n+=______．14.在平面直角坐标系中，设二次函数()()1y x a x a =+--，其中0a ≠．（1）此二次函数的对称轴为直线x =______；（2）已知点(),P t m 和()1,Q n 在此函数的图象上，若m n ≤，则t 的取值范围是______；三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程（1）2x 2+4x +1=0（配方法）（2）x 2+6x =5（公式法）16.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,5A ，()0,3B ，()1,3C --三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,m -，()2,n 在二次函数23y x bx =+-的图象上．（1）当m n =时，求b 的值；（2）在（1）的条件下，当32x -<<时，求y 的取值范围．18.定义：如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c -+=，那么我们称这个方程为“黄金方程”．（1）判断一元二次方程22530x x ++=是否为黄金方程，并说明理由．（2）已知230x ax b -+=是关于x 的黄金方程，若a 是此黄金方程的一个根，求a 的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于x 的方程()23260x k x k +--=．若等腰三角形ABC 的一边6a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．20.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，AD 两边）．（1）若花园的面积为400米2，求AB 的长；（2）若在直角墙角内点P 处有一棵桂花树，且与墙BC ，CD 的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出AB 的值；若不能，请说明理由．六、（本题满分12分）21.在平面直角坐标系中，抛物线()2220y x mx m m x =-+-+≥的顶点为A ，与y 轴相交于点B ．（1）点A 的坐标为________，点B 的坐标为________；（用含m 的式子表示）（2）设抛物线()2220y x mx m m x =-+-+≥的函数图象最高点的纵坐标为n ．①当1m =时，n =________；当1m =-时，n =________；②写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．七、（本题满分12分）22.已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若221210x x +=，求k 的值；（3）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足122x x +=，试求k 的值．八、（本题满分14分）23.如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于点()30A -,和点C ，与y 轴交于点()0,3B ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴上一动点，当PBC 的周长最小时，求点P 的坐标；的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得ABQ不存在，请说明理由．2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【人教版】数学（人教版）注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的．1.一元二次方程212302x x --=的一次项系数是()A.2 B.12C.12-D.－3【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．【详解】解：一元二次方程212302x x --=的一次项系数是12-，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．2.对于二次函数()253y x =+的图象，下列说法不正确的是（）A.开口向上B.对称轴是直线3x =-C.顶点坐标为()3,0- D.当3x <-时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．【详解】解：因为二次函数的表达式为25(3)y x =+，所以抛物线的开口向上，故A 说法正确；又抛物线的对称轴是直线3x =-，故B 说法正确；因为抛物线的顶点坐标为()3,0-，故C 说法正确；因为抛物线对称轴为直线3x =-，且开口向上，所以当3x <-时，y 随x 的增大而减小．故D 说法不正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．3.关于x 的一元二次方程224(41)0x m x m +++=有实数根，则m 的最小整数值为（）A.1B.0C.－1D.－2【答案】B 【解析】【分析】根据判别式24b ac ∆=-用含有m 的式子将∆表示出来，再根据有实数根，则可知0∆≥，列出不等式即可解决问题．【详解】解： 224(41)0x m x m +++=，∴()2222411616811681m m m m m m ∆=+-=++-=+，有实数根，∴810m +≥，∴18m ≥-，∴最小整数值为0．故选：B ．【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解决本题的关键是熟记根的情况与判别式的关系．4.二次函数()220y ax ax c a =-+≠的图象过点()3,0，方程220ax ax c -+=的解为（）A.123,1x x =-=-B.121,3x x =-=C.121,3x x ==D.123,1x x =-=【答案】B 【解析】【分析】首先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，进而利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线212ax a-=-=，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为()3,0，且1(31)1--=-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴方程220ax ax c -+=的解为：121,3x x =-=．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5.2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x ，则可列方程为（）A.600(12)2850x += B.2600(1)2850x +=C.2600600(1)600(1)2850x x ++++= D.22850(1)600x -=【答案】C 【解析】【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x ，则由题意得：2600600(1)600(1)2850x x ++++=．故选：C ．【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．6.若点()13,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线22y x x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.123y y y >>B.231y y y >> C.321y y y >> D.213y y y >>【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线22y x x =-+的开口向下，对称轴为直线1x =，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线22y x x =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为直线()2121x =-=⨯-，而()13,A y -离直线1x =的距离最远，()21,B y 在直线1x =上，∴231y y y >>．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【答案】C 【解析】【分析】先根据二次函数图象与系数的关系得到a<0，0b >，再根据一次函数图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴002ba a<>-，，∴0b >，∴一次函数y bx a =+的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，正确推出a<0，0b >是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，点A 、E 在抛物线2y ax =上，过点A 、E 分别作y 轴的垂线，交抛物线于点B 、F ，分别过点E 、F 作x 轴的垂线交线段AB 于两点C 、D ．当点()24E ，，四边形CDFE 为正方形时，则线段AB 的长为（）A.4B.C.5D.【答案】B 【解析】【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A 横坐标为m ，则4CD CE ==，从而得出()8A m ，，将点坐标代入解析式求解．【详解】解：把点()24E ，代入2y ax =中得44a =，解得1a =，∴2y x =，∵点()24E ，，四边形CDFE 为正方形，∴4CD CE EF ===，设点A 横坐标为m ，则()8A m ，，代入2y x =得28m =，解得m =或m =-．∴2AB m ==．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．9.如图，四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线AC BD ，的长度分别是一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，DH 是AB 边上的高，则DH 值为（）A.1.2B.2.4C.3.6D.4.8【答案】B【解析】【分析】根据对角线AC BD ，的长度分别是一二次方程2240x mx ++=的两实数根，得到24AC BD ⨯=，根据菱形的面积公式得到1122ABCD S AC BD =⨯=菱形，再根据ABCD S AB DH =⨯菱形得到12 2.45DH ==．【详解】解：∵对角线AC BD ，的长度分别是一二次方程2240x mx ++=的两实数根，∴24AC BD ⨯=，∴1122ABCD S AC BD =⨯=菱形，∵ABCD S AB DH =⨯菱形，∴12AB DH ⨯=，∴12 2.45DH ==，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解题的关键．10.已知，0ab >，420a b c ++=，420a b c -+>，则下列结论成立的是（）A.0a >，24b ac≥ B.0a >，24b ac < C.0<a ，24b ac < D.0<a ，24b ac >【答案】D【解析】【分析】设2y ax bx c =++，由0ab >，420a b c ++=，420a b c -+>可得二次函数过(2,0)，(2,)t -()0t >，且其对称轴在x 轴负半轴，即可求解．【详解】解：设2y ax bx c =++，∵420a b c ++=，420a b c -+>，∴二次函数过(2,0)，(2,)t -()0t >，∵0ab >，∴二次函数对称轴<02b x a=-，二次函数的大致图象如下：由图象可知0<a ，∵二次函数与x 轴有2个交点，∴240b ac ∆=->，即24b ac >，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，则m 的值是________．【答案】1-【解析】【分析】把0x =代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m -=，∴1m =±，∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-；故答案为：1-.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.12.将二次函数22y x x =+的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是________．【答案】()0,1【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【详解】解：()22211y x x x =+=+- ，∴二次函数22y x x =+的图象的顶点坐标是()11--，，图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是()0,1．故答案为：()0,1．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．13.非零实数m ，()n m n ≠满足220m m --=，220n n --=，则11m n+=______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】根据已知判断出m ，n 是方程220x x --=的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数m ，()n m n ≠满足等式220m m --=，220n n --=，∴m ，n 是方程220x x --=的两实数根，∴1m n +=，mn 2=-，∴111122m n m n mn ++===--，故答案为：12-．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m ，n 是方程220x x --=的两实数根是解题的关键．14.在平面直角坐标系中，设二次函数()()1y x a x a =+--，其中0a ≠．（1）此二次函数的对称轴为直线x =______；（2）已知点(),P t m 和()1,Q n 在此函数的图象上，若m n ≤，则t 的取值范围是______；【答案】①.12##0.5②.01t ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次函数()()1y x a x a =+--，经过(),0a -和()1,0a +，是对称点，算出对称轴即可；（2）根据对称轴为直线12x =，点(),P t m 和()1,Q n 在二次函数()()1y x a x a =+--的图象上，画出函数图象，点Q 关于对称轴的对称点Q '，分析图象，写出t 的取值范围即可．【详解】（1） 二次函数()()1y x a x a =+--，∴函数经过(),0a -和()1,0a +，是对称点，∴对称轴为直线1122a a x -++==，故答案为：12（2） 二次函数()()1y x a x a =+--，∴二次项系数为10>，∴函数图象开口向上，又(),P t m 和()1,Q n 在此函数的图象上，对称轴为直线12x =，∴画出图象如下图，点Q 关于对称轴的对称点Q '横坐标12102=⨯-=，m n ≤ ，∴点P 应在线段QQ '下方部分的抛物线上（包括点Q 、Q '），01t ∴≤≤，故答案为：01t ≤≤【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程（1）2x 2+4x +1=0（配方法）（2）x 2+6x =5（公式法）【答案】（1）121122x x =-+=--（2）13x =-+，23x =-．【解析】【分析】（1）配方法求解可得；（2）公式法求解可得．【小问1详解】（1）解：2x 2+4x =﹣1，x 2+2x =﹣12，x 2+2x +1=﹣12+1，即（x +1）2=12，∴x +1=±22，则x =﹣1±2∴121122x x =-+=--【小问2详解】解：x 2+6x ﹣5=0，∵a =1，b =6，c =﹣5，∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，则x =62142-±=﹣313x =-+，23x =-．【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键．16.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,5A ，()0,3B ，()1,3C --三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．【答案】（1）二次函数的解析式为2243y x x =-++（2）顶点坐标是()1,5【解析】【分析】（1）将点()1,5A 、()0,3B 、()1,3C --代入二次函数的解析式2y ax bx c =++，利用待定系数法求得这个二次函数的解析式；（2）利用（1）的结果，将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．【小问1详解】解：将()1,5A 、()0,3B 、()1,3C --代入二次函数2y ax bx c =++，得533a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=-⎩，解得243a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴二次函数的解析式为2243y x x =-++．【小问2详解】解：∵()22243215y x x x =-++=--+，∴顶点坐标是()1,5．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，采用了“配方法”．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,m -，()2,n 在二次函数23y xbx =+-的图象上．（1）当m n =时，求b 的值；（2）在（1）的条件下，当32x -<<时，求y 的取值范围．【答案】（1）1b =-（2）1394y -≤<【解析】【分析】（1）将点()1,m -，()2,n 代入23y xbx =+-可得2m b =--，12n b =+，结合m n =，再建立方程求解即可；（2）由22113324y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭可得函数最小值，再分别计算3x =-，2x =时的函数值，从而可得答案.【小问1详解】解：将点()1,m -，()2,n 代入23y xbx =+-，得2m b =--，12n b =+，∵m n =，∴212b b --=+，∴1b =-．【小问2详解】∵22113324y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当12x =时，最小值134y =-，当3x =-时，9y =，当2x =时，1y =-，∴当32x -<<时，y 的取值范围为1394y -≤<．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用图象性质求解函数值的取值范围是解本题的关键.18.定义：如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c -+=，那么我们称这个方程为“黄金方程”．（1）判断一元二次方程22530x x ++=是否为黄金方程，并说明理由．（2）已知230x ax b -+=是关于x 的黄金方程，若a 是此黄金方程的一个根，求a 的值．【答案】（1）一元二次方程22530x x ++=是黄金方程，理由见解析（2）1a =-或32a =【解析】【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；（2）根据黄金方程的定义得到3b a =--，则原方程为2330x ax a ---=，再由a 是此黄金方程的一个根，得到2230a a --=，解方程即可．【小问1详解】解：一元二次方程22530x x ++=是黄金方程，理由如下：由题意得，253a b c ===，，，∴2350a b c -+=+-=，∴一元二次方程22530x x ++=是黄金方程；【小问2详解】解：∵230x ax b -+=是关于x 的黄金方程，∴()30b a +--=，∴3b a =--，∴原方程为2330x ax a ---=，∵a 是此黄金方程的一个根，∴22330a a a ---=，即2230a a --=，∴()()1230a a +-=，解得1a =-或32a =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于x 的方程()23260x k x k +--=．若等腰三角形ABC 的一边6a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．【答案】周长为14【解析】【分析】当0∆≥时，求出k 值，进而找出方程的根，再进行分类讨论从而得出三角形的周长．【详解】解：∵22224(32)4(6)9124(32)0b ac k k k k k ∆=-=--⋅-=++=+≥，∴无论k 取何值，方程总有实数根．①若6a =为底边，则b ，c 为腰长，则b c =，则Δ0=，∴()2320k +=，解得23k =-．此时原方程化为2440x x -+=，∴122x x ==，即2b c ==．此时ABC 三边为6，2，2，不能构成三角形，舍去；②若6a =为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设6b a ==，将6x =代入方程，得()2663260k k +--=，解得2k =-，则原方程化为28120x x -+=，∴12x =，26x =，即6b =，2c =，此时ABC 三边为6，6，2，能构成三角形．综上所述，ABC 三边为662，，，∴周长为66214++=．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．20.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，AD 两边）．（1）若花园的面积为400米2，求AB 的长；（2）若在直角墙角内点P 处有一棵桂花树，且与墙BC ，CD 的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出AB 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）10米或40米（2）不能，见解析【解析】【分析】（1）设AB 的长为x 米，则BC 的长为()50x -米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；（2）设AB 的长为x 米，则BC 的长为()50x -米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：设AB 的长为x 米，则BC 的长为()50x -米，由题意得：()50400x x -=，解得：121040x x ==，，即AB 的长为10米或40米；【小问2详解】解：花园的面积不能为625米2，理由如下：设AB 的长为x 米，则BC 的长为()50x -米，由题意得：()50625x x -=，解得：1225x x ==，当25x =时，50502525BC x =-=-=，即当25AB =米，25BC =米<30米，∴花园的面积不能为625米2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．六、（本题满分12分）21.在平面直角坐标系中，抛物线()2220y x mx m m x =-+-+≥的顶点为A ，与y 轴相交于点B ．（1）点A 的坐标为________，点B 的坐标为________；（用含m 的式子表示）（2）设抛物线()2220y x mx m m x =-+-+≥的函数图象最高点的纵坐标为n ．①当1m =时，n =________；当1m =-时，n =________；②写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【答案】（1）(),m m ，()20,m m -+（2）①1，2-；②2,0,0m m n m m m ≥⎧=⎨-+<⎩【解析】【分析】（1）首先将抛物线转化成顶点式，即可求出A 点坐标，然后将0x =代入即可求出B 点坐标；（2）①首先将抛物线转化成顶点式，分别将1m =或1m =-代入求解即可；②首先将抛物线转化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】∵()2222y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴(),A m m ，令0x =，则2222y x mx m m m m =-+-+=-+，∴()20,B m m -+．故答案为：(),m m ，()20,m m -+；【小问2详解】()()22220y x mx m m x m m x =-+-+=--+≥．①当1m =时，()()2110y x x =--+≥，则函数的最高点为()1,1；当1m =-时，()()2110y x x =-+-≥，则函数的最高点为()0,2-，故答案为：1，2-．②()2222y x mx m m x m m =-+-+=--+，则抛物线的对称轴为x m =．当0m ≥时，()()20y x m m x =--+≥的图象过顶点(),m m ，则n m =；当0m <时，()()20y x m m x =--+≥的图象都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，所以函数的最高点为()20,m m -+，则2n m m =-+，综上，2,0,0m m n m m m ≥⎧=⎨-+<⎩．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．七、（本题满分12分）22.已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若221210x x +=，求k 的值；（3）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足122x x +=，试求k 的值．【答案】（1）1k ≤-（2）2k =-（3）1k =-【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出122x x k +=，2121x x k k =++，结合221210x x +=可得出关于k 的方程，解之即可得出k 的值；（3）由（2）可知：122x x k +=，2121x x k k =++，根据22131024k k k ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，可得120x x >，即由122x x +=，可得22112224x x x x ++=，进而可得22112224x x x x ++=，则有()2124x x +=，即()224k =，问题得解．【小问1详解】∵关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根，∴()()222Δ424110b ac k k k =-=--⨯⨯++≥，解得：1k ≤-；【小问2详解】∵方程22210x kx k k -+++=的两个实数根为1x ，2x ，∴122x x k +=，2121x x k k =++，∵221210x x +=，∴222121212()210x x x x x x +=+-=，∴()22(2)2110k k k -++=，整理得：260k k --=，解得：3k =或者2k =-，∵根据（1）有1k ≤-，即2k =-；【小问3详解】由（2）可知：122x x k +=，2121x x k k =++，∵22131024k k k ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，∴120x x >，∵122x x +=，∴()2124x x +=，∴22112224x x x x ++=，∵120x x >，∴22112224x x x x ++=，∴()2124x x +=，∴()224k =，∴1k =±，∵根据（1）有1k ≤-，即1k =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．八、（本题满分14分）23.如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于点()30A -,和点C ，与y 轴交于点()0,3B ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴上一动点，当PBC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q ，使得ABQ 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+（2）点P 坐标为()1,2-（3）存在，点Q 的坐标为315,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）易得抛物线的对称轴为1x =-，又可求出()1,0C ．连接AB 与对称轴1x =-的交点即为所求点P ．利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式，令=1x -，则2y =，即点P 坐标为()1,2-；（3）设()2,23Q x x x --+是第二象限的抛物线上一点，过点Q 作QD x ⊥轴交直线AB 于点E ，则点E 的坐标为(),3x x +，从而可求出23QE x x =--，再根据ABQ BQE AQE S S S =+△△△，结合二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =-++的图象经过点()30A -,和点()0,3B ，∴0933b c c =--+⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+；【小问2详解】解：()222314y x x x =--+=-++，∴抛物线的对称轴为1x =-，令2230y x x =--+=，解得：13x =-，21x =，∴()1,0C ．∵点C 与点A 关于直线1x =-对称，∴连接AB 与对称轴1x =-的交点即为所求点P ．设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴303k m m -+=⎧⎨=⎩，解得：13k m =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =+；当=1x -时，2y =，∴点P 坐标为()1,2-；【小问3详解】存在．设()2,23Q x x x --+是第二象限的抛物线上一点，过点Q 作QD x ⊥轴交直线AB 于点E ，∴点E 的坐标为(),3x x +，∴2223(3)3QE x x x x x =--+-+=--，∴()22133327322228ABQ BQE AQES S S QE OA x x x ⎛⎫=+=⋅=-+=-++ ⎪⎝⎭△△△，∴当32x =-时，ABQ S △取得最大值，此时215234y x x =--+=，∴315,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，在第二象限的抛物线上，存在一点Q ，使得ABQ 的面积最大，且点Q 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．。
广西壮族自治区贵港市港北区第六初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题
广西壮族自治区贵港市港北区第六初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，其图象不经过点()1,1-的是（）A ．2y x =-B ．1y x=-C ．2y x =-D ．1y x=2．已知=1x -是一元二次方程220x mx m ++=的一个实数根，则m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知四条线段2，3，4，x 成比例，则x 的值不可能是（）A ．6B ．32C ．8D ．834．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（）A ．都含有一个30°的内角B ．都含有一个45°的内角C ．都含有一个60°的内角D ．都含有一个80°的内角5．设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20226．当5b c +=时，关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定7．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +3＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．k ＜13B ．k ＞﹣13C ．k ＞﹣13且k ≠0D ．k ＜13且k ≠08．已知34x y =，那么下列等式中，不成立的是（）A ．37x x y =+B ．14x y y -=C ．3344x y +=+D ．4x=3y9．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为（）A ．250(1)175x +=B ．()25050150(1)175x x ++++=C ．()250150(1)175x x +++=D ．25050(1)175x ++=10．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，AD ＝4DE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC 的值是（）A ．3：2B ．4：3C ．2：1D ．2：311．如图，函数12y x =+与函数23y x=的图象交于()1,M m 和()3,N n -两点，若120y y -<，则x 的取值范围是（）A ．3x <-或01x <<B ．3x <-或1x >C ．30x -<<或01x <<D ．30x -<<或1x >12．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下三个结论：①AG AFAB FC=；②若点D 是AB 的中点，则AF AB ；③若12BD AD =，则S △ABC =6S △BDF ；其中正确的结论的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，()2,P a a 是反比例函数()0ky k x=>的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于36，则k 的值为__________．14．反比例函数y ＝13mx-，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．那么m 的取值范围是_____．15．把方程2830x x -+=化成()2x m n +=的形式，则m n +的值是__________16．如图，已知平面直角坐标系中有点()11A ，，()15B ，，()31C ，，且双曲线ky x=与ABC 有公共点，则k 的取值范围是__________．17．如图，在Rt ABC ，90B Ð=°，3AB =，4BC =，点D 、E 分别是AC BC ，的中点，点F 是AD 上一点，将CEF △沿EF 折叠得C EF ' ，C F '，交BC 于点G ，当CFG △，ABC 相似时，CF 的长为__________．18．如图，在平面直角坐标系中，函数()30y x x=>与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式11a b-的值为______．三、解答题19．解下列方程：(1)2210x x --=；(2)()()2232x x -=-(3)()()251x x --=-20．先化简，再求值211231a a a a ⎛⎫÷+ ⎪+--⎝⎭，其中a 满足：2450a a +-=．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数图象交于点(),A a a ，点1,22B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数()0ky x x =>图象上的点，连接OB ，AB ，且AOB S ∆为3．(1)求反比例函数的解析式；(2)点P 为y 轴上一动点，当ABP 的周长最小时，直接写出点P 的坐标．22．如图ABC 与DEA △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC D ∠=∠=︒，DEA △绕点A 旋转，边AD AE 、与BC 分别相交于点F 、G ．(1)求证：GAF GBA ≌△△；(2)求证：2AF FG FC =⋅．23．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若ABC 的一条边BC，另两边AB AC ，的长分别为关于x 的一元二次方程2410x x k -++=的两个实数根．当2k =时，请判断ABC 的形状，并说明理由；(3)设方程两实数根分别为12,x x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．24．已知：正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像相交于点A 、B （如图），点A 在第一象限，且点A 的横坐标为1，作AD ⊥x 轴，垂足为D 点，1AOD S =△．(1)求点A 的坐标；(2)求这两个函数的解析式；(3)如果OAC 是以OA 为腰的等腰三角形，且点C 在x 轴上，求点C 的坐标．25．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨，经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量y （支）是销售单价x （元）的一次函数，已知销售单价为7元/支时，销售量为16支；销售单价为8元/支时，销售量为14支．（1）求这种康乃馨每天的销售量y （支）关于销售单价x （元/支）的一次函数解析式；（2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支5元，商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为多少元？（3）在（2）的条件下，当销售单价x 为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大？并求出获得的最大利润．26．小文解答这样一个数学问题：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，12CD BD ：＝：，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值．小文经过思考发现，如图2，过点A 作AF BC ∥，交BE 的延长线于点F ，通过构造AEF △，经过推理和计算就能使问题得到解决．(1)解决问题：请你根据小文的解题思路，完成求APPD的值的过程；(2)拓展应用：参考小文思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，123DC BC AC ：：＝：：．①求APPD的值；②若=2CD ，求BP 的长．参考答案：1．D【分析】将点()1,1-分别代入下列选项中的函数关系式，不满足的函数关系式即为所求的函数关系式．【详解】A 、当x=1时，y=-1，即该函数关系式经过点()1,1-；故本选不符合题意；B 、当x=1时，y=-1，即该函数关系式不经过点()1,1-；故本选不符合题意；C 、当x=1时，y=-1，即该函数关系式经过点()1,1-；故本选不符合题意；D 、当x=1时，y=1，即该函数关系式不经过点()1,1-；故本选符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上的点一定满足该函数的解析式．2．C【分析】将x =−1代入方程得到关于m 的方程，从而可求得m 的值．【详解】解：将x =−1代入方程x 2+2mx +m =0得：1−2m +m =0，解得：m =1．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m 的方程是解题的关键．3．C【分析】将2，3，4，x 列比例等式求解即可．【详解】解：当2，3，4，x 成比例时，有以下情况：①234∶∶=x ，可知83x =；②243∶∶=x ，可知32x =；③324∶∶=x ，可知6x =；∴x 的值可能是6，32，83，不可能为8，故选：C ．【点睛】本题考查比例，关键是列出比例式进行求解．4．C【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出答案．【详解】解：等腰三角形的一个内角为30°，这个角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个30°的内角的两个等腰三角形不一定相似，∴A 不能判定；同理：B 、D 也不能判定；等腰三角形的一个角为60°，为等边三角形，所有的等边三角形都相似∴都含有一个60°的内角的两个等腰三角形一定相似；∴C 能判定；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，熟知等腰三角形的顶角的范围是解决问题的关键．5．D【分析】由a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，得1a b +=-，22023a a +=，整体代入22a a b ++即可得到答案．【详解】解：∵a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，220230a a +-=，∴22023a a +=，∴()222202312022a a b a a a b ++=+++=+-=，故选：D【点睛】此题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程的解等知识，整体代入是解题的关键．6．A【分析】由5b c +=可得出5c b -=-，根据方程的系数结合根的判别式可得出2(6)24b ∆=-+，由偶次方的非负性可得出2(6)240b -+>，即0∆>，由此即可得出关于x的一元二次方程230x bx c +-=有两个不相等的实数根．【详解】∵5b c +=，∴5c b -=-，∴()22Δ431260b c b b =-⨯⨯-=-+，∵221260(6)240b b b -+=-+>，∴0∆>，∴关于x 的一元二次方程230x bx c +-=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．D【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k 的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k 不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣12k ＞0，且k ≠0∴k ＜13且k ≠0，故选D ．【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．8．B【详解】【分析】根据比例的基本性质逐项进行求解即可.【详解】A ，∵x 3y 4=，∴x 3x y 7=+，此选项正确，不合题意；B ，∵x 3y 4=，∴x y y -=–14，此选项错误，符合题意；C ，∵x 3y 4=，∴x 33y 44+=+，此选项正确，不合题意；D ，∵x 3y 4=，∴4x=3y ，此选项正确，不合题意，故选B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握和应用比例的性质是解题的关键.9．B【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)增长次数，本题可先用x 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【详解】解：二月份的产值为：()501x +，三月份的产值为：()()2501150(1)x x x ++=+，故第一季度总产值为：()25050150(1)175x x ++++=．故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．10．A【分析】过点D 作DG ∥AC,根据平行线分线段成比例定理，得FC=2DG ，AF=3DG ，因此得到AF ：FC 的值．【详解】解：过点D 作DG ∥AC ，与BF 交于点G ．∵AD=4DE ，∴AE=3DE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴12BD BC =∵DG ∥AC ∴33AF AE DEDG DE DE ===，即AF=3DG 12DG BD FC BC ==，即FC=2DG ，∴AF ：FC=3DG ：2DG=3：2．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键．11．A【分析】直接观察图象可得当3x <-或01x <<时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，即可求解．【详解】解∶∵120y y -<，∴12y y <，观察图象得：当3x <-或01x <<时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，∴若120y y -<，则x 的取值范围是3x <-或01x <<．故选：A【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．12．C【分析】①先证明△AFG ∽△CFB ，然后根据相似三角形的性质得AG AF AB FC =；②由点D 是AB 的中点，易证得13AF AC =，再根据AC 即可求解；③先判断出AF =14AC ，进而得出S △BDF =112S △ABC ，即S △ABC =12S △BDF ．【详解】∵∠ABC =90°，∠GAD =90°，∴AG //BC ，∴△AFG ∽△CFB ，∴AG AF BC FC =，∵AB =BC ，∴AG AF AB FC=，故①正确．∵∠BCD +∠EBC =∠EBC +∠ABG =90°，∴∠BCD =∠ABG ，∵AB =BC ，∠CBD =∠BAG =90°，∴△CBD ≌△BAG ，∴AG =BD ，∵BD =12AB ，∴12AG BC =，∴12AF FC =，∴13AF AC =，∵AC AB ，∴AF =3AB ，故②正确；∵AG =BD ，12BD AD =，∴13BD AB =，∴13AG AB =，∵AG AF AB CF =，∴13AF CF =，∴AF =14AC ，∴S △ABF =14S △ABC ；∵S △BDF =13S △ABF ，∴S △BDF =112S △ABC ，即S △ABC =12S △BDF ，故③错误；故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．13．18【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，再根据点()2P a a ，得到正方形的边长，可求出a 的值，进而得出反比例函数的解析式．【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，∵()2P a a ，，∴正方形的边长为224a a a +=，∴216364a =⨯，∴29a =，∴22218k a a a =⋅==故答案为：18．【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式及正方形的性质，根据题意得到求出正方形的边长，进而根据阴影部分的面积求出2a 的值是解题的关键．14．m ＞13【分析】由题意根据反比例函数y ＝k x（k≠0）的性质可得到1﹣3m ＜0，然后解不等式即可．【详解】解：∵反比例函数y ＝13m x-，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴1﹣3m ＜0，∴m ＞13．故答案为：m ＞13．【点睛】本题考查反比例函数的图像及其性质，反比例函数图象为双曲线，当k ＞0，图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小；当k ＜0，图象分布在第二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大．15．9【分析】先将方程进行配方，求出m 和n 的值，再代入求解即可．【详解】解：2830x x -+=∴283x x -=-，∴281613x x -+=，即()2413x -=，∴4,13m n =-=，∴4139m n +=-+=．故答案为：9【点睛】本题主要考查了将一元二次方程进行配方，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．16．4918k ≤≤##4918k ≥≥【分析】结合图形可知当双曲线过A 点时k 有最小值，当直线BC 与双曲线只有一个交点时k 有最大值，从而可求得k 的取值范围．【详解】解：若双曲线与ABC 有公共点，则双曲线向下最多到点A ，向上最多到与直线BC 只有一个交点，当过点A 时，把()11A ，代入双曲线解析式可得111k =⨯=；当双曲线与直线BC 只有一个交点时，设直线BC 解析式为y ax b =+，∵()15B ，，()31C ，，∴把B 、C 两点坐标代入可得531a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得27a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为27y x =-+，联立直线BC 和双曲线解析式得到27k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 整理可得2270x x k -+=，则该方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即()2780k --=，解得498k =，∴k 的取值范围为：4918k ≤≤．故答案为：4918k ≤≤．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时k 的值是解题的关键，属于中考常考题型．17．4或2.8【分析】①当FG BC ⊥时，根据折叠的性质得到C C '∠=∠，2C E CE '==，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当GF AC ⊥时，如图，根据折叠的性质得到1245∠=∠=°，于是得到HF HE =，根据三角函数的定义得到36255EH =⨯=，根据勾股定理得到85C H '==，即可得到结论．【详解】解：①当FG BC ⊥时，∵将CEF △沿EF 折叠得C EF ' ，∴C C '∠=∠，2C E CE '==，∴sin sin C C '∠=∠，∴AB E C C G A E='，∴ 1.2EG =，∵FG AB ∥，∴CCG CF BC A =，即3.245CF =，∴4CF =；②当GF AC ⊥时，如图，∵将CEF △沿EF 折叠得C EF ' ，∴1245∠=∠=°，∴HF HE =，∵sin sin AB AC EH C C C E '∠=∠=='，∴36255EH =⨯=，∴85C H '==，∴ 1.6 1.2 2.8CF C F C H HF ''==+=+=．综上所述，当CFG △与ABC 相似时，CF 的长为4或2.8．故答案为：4或2.8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．13-【分析】因为函数3(0)y x x=>与1y x =-的图像交于点(,)P a b ，将P 点坐标代入到两个解析式，可以得到3ab =和1b a -=-，将代数式11a b -变形成b a ab -，代入即可解决．【详解】解： 函数3(0)y x x=>与1y x =-的图像交于点(,)P a b ，3ab ∴=，1b a =-，1b a ∴-=-，∴1113b a a b ab --==-，故答案为13-．【点睛】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式11a b-变形成b a ab -，再运用整体思想进行代入，是本题的突破口．19．(1)1211x x ==；(2)1225x x ==，；(3)1x 2x ．【分析】（1）采用配方法即可求解；（2）先移项，再采用因式分解法即可求解；（2）整理后，采用公式法即可求解．【详解】（1）解：移项得221x x -=，配方得22111x x -+=+，即()212x -=，∴1x -=即1211x x ==；（2）解：()()2232x x -=-，移项得()()22320x x ---=，∴()()2230x x ---=，∴20x -=，50x -=，即1225x x ==，；（3）解：()()251x x --=-，整理得27110x x -+=，∵1711a b c ==-=，，，∴()2247411150b ac ∆=-=--⨯⨯=>，∴x =，∴1x =2x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键．20．13a +，12-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再解一元二次方程求出满足题意的a 的值，最后代值计算即可．【详解】解：211231a a a a ⎛⎫÷+ ⎪+--⎝⎭()()11311a a a a a -+=÷+--()()131aa a a a -=⋅+-13a =+，∵2450a a +-=，∴()()510a a +-=，解得5a =-或1a =（舍去），∴原式1113532a ===-+-+．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．21．(1)4y x=；(2)100,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）先求出直线OA 的解析式为y x =，直线OB 的解析式为4y x =，过点A 作AC x∥轴，交OB 于C ，在求出1,4C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得出1344AC a a a =-=，根据21313324244AOB AOC ABC S S S a a a a a =+=⨯⨯+⨯⨯= ，再根据面积即可得出a 的值，求出()2,2A ，即可得出答案；（2）根据（1）可得：()2,2A ，()1,4B ，由于点D 与点A 关于y 轴对称，可知当PA PB +的值最小，即B ，P ，D 三点在同一直线上时ABP 的周长最小，求出直线BD 的解析式为21033y x =+，即可得出答案．【详解】（1）解：∵设直线OA 的解析式为1y k x =，将(),A a a 代入，得出：11k =，∴直线OA 的解析式为y x =，设直线OB 的解析式为2y k x =，将1,22B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得出：24k =，∴直线OB 的解析式为4y x =，过点A 作AC x ∥轴，交OB 于C ，∵(),A a a ，∴点C 的纵坐标为a ，∵点C 在直线OB 上，∴点c 的横坐标为：14a ，∴1,4C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1344AC a a a =-=，∴21313324244AOB AOC ABC S S S a a a a a =+=⨯⨯+⨯⨯= ，∴2334a =，解得：12a =，22a =-（舍去），∴()2,2A ，∴224k =⨯=，∴反比例函数的解析式为：4y x=；（2）解：根据（1）可得：()2,2A ，()1,4B ，∵点D 与点A 关于y 轴对称，∴PA PD =，∴AB PA PB AB PD PB ++=++，∵AB 为定值，∴当PA PB +的值最小，即B ，P ，D 三点在同一直线上时ABP 的周长最小，∴()2,2D -，设直线BD 的解析式为y ax b =+，将()1,4B ，()2,2D -，代入得：422a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：23103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BD 的解析式为21033y x =+，当0x =时，103y =，∴100,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，轴对称的性质，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45C B DAE E ︒∠=∠=∠=∠=，由外角的性质得到CFA B FAB ∠=∠+∠，GAB FAG FAB ∠=∠+∠，于是得到CFA BAG ∠=∠，即可得到结论；（2）方法同（1）证得AGF ACF ∽△△，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵ABC 与DEA △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC D ∠=∠=︒，∴45C B DAE E ︒∠=∠=∠=∠=，∵CFA B FAB ∠=∠+∠，GAB FAG FAB ∠=∠+∠，∴CFA BAG ∠=∠，∴GAF GBA ≌△△；（2）证明：∵ABC 与DEA △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC D ∠=∠=︒，∴45C B DAE E ︒∠=∠=∠=∠=，∵FGA B EAC ∠=∠+∠，CAF FAG EAC ∠=∠+∠，∴AGF CAF ∠=∠，∴AGF ACF ∽△△，∴AF CF FG FG AF==，∴2AF FG FC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．(1)3k ≤(2)△ABC 是直角三角形，理由见解析(3)3k =-【分析】（1）有两个实数根，判别式大于等于0，列不等式即可解得．（2）先求出方程的两个跟，再根据勾股定理逆定理判断．（3）根据根与系数的关系式，即可求解．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：3k ≤，故k 的取值范围为：3k ≤．（2）当2k =时，∴原方程化为：2430x x -+=，解得：123,1x x ==，∵2231+=，∴ABC 是直角三角形；（3）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-，可得()12121234x x x x x x +=-，代入12x x +和12x x 的值，可得：12141k k =+-+解得：13k =-，25k =，∵3k ≤．∴3k =-经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．【点睛】此题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系，解题的关键是熟悉判别式公式、根与系数的关系式．24．(1)点A 的坐标为()12，；(2)正比例函数的解析式为2y x =，反比例函数的解析式为2y x =；(3)点C 的坐标为)或()或()20，．【分析】（1）根据点A 的横坐标可得出1OD =，从而结合△AOD 的面积可得出AD 的长度，从而得出点A 的坐标；（2）将点A 的坐标代入正比例函数及反比例函数解析式，可得出两个函数的解析式；（2）分两种情况讨论，①OA OC =，②OA AC =，分别求出点C 的坐标即可．【详解】（1）解：∵点A 的横坐标为1，AD x ⊥轴，∴1OD =，∵1AOD S =△，∴112OD AD ⨯=，解得：2AD =．∴点A 的坐标为()12，；（2）解：∵点()1，2A 在正比例函数1y k x =的图象上，∴121k =⋅，解得：12k =．∴所求的正比例函数的解析式为2y x =，∵点()1，2A 在反比例函数2k y x=的图象上，∴2122k =⨯=，∴所求的反比例函数的解析式为2y x=；（3）解：由题意，设点C 的坐标为()0a ，．∵()1，2A ，∴OA ==∵OAC 是以OA 为腰的等腰三角形，∴OA OC =或OA AC =，①当OA OC =时，a =，即可得：点C 的坐标为)或()；②当OA AC =时，即22OA AC =，∴()22212x =-+，∴2a =或0a =，∵点C 与点O 不重合，∴0a =不合题意舍去，∴点C 的坐标为()20，，综上所述：点C 的坐标为)或()或()20，．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．25．（1）y ＝﹣2x +30；（2）8元或12元；（3）10元，50元【分析】（1）根据销售单价为7元/支时，销售量为16支，销售单价为8元/支时，销售量为14支．即可求出一次函数解析式；（2）根据销售利润＝单件利润×销售量，列出一元二次方程求解即可；（3）根据销售问题关系式可得二次函数，并求顶点坐标，即可得结论．【详解】解：（1）设每天的销售量y （支）是销售单价x （元）的一次函数为y ＝kx +b ，∵销售单价为7元/支时，销售量为16支；销售单价为8元/支时，销售量为14支．∴7k b 168k b 14+=⎧⎨+=⎩，解得230k b =-⎧⎨=⎩，所以y 与x 的函数解析式为y ＝﹣2x +30．答：这种康乃馨每天的销售量y （支）关于销售单价x （元/支）的一次函数解析式为y ＝﹣2x +30；（2）设商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为x 元，根据题意，得（x ﹣5）（﹣2x +30）＝42整理，得x 2﹣20x +96＝0解得x 1＝8，x 2＝12．答：商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为8元或12元．（3）设花店销售这种康乃馨每天获得的利润为w 元，根据题意，得w ＝（x ﹣5）（﹣2x +30）＝﹣2x 2+40x ﹣150＝﹣2（x ﹣10）2+50∵﹣2＜0，当x ＝10时，w 有最大值，最大值为50．答：当销售单价10元时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大，最大利润为50元．【点睛】本题考查求一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的最值．（1）中掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题关键；（2）理解销售问题中的等量关系是解题关键；（3）掌握求二次函数最值的方法是解题关键．26．(1)过程见解析，32(2)①23；②6【分析】（1）根据辅助线的作法可得AEF CEB ≅△△，APF DPB △△，然后利用它们的性质可得32PA AF PD BD ==；（2）①过点A 作AF DB ∥，交BE 的延长线于点F ，可得AEF CEB ≅△△，APF DPB △△，然后利用它们的性质可得2233AP FP AF k DP BP DB k ====；②根据条件1232DC BC AC CD ==：：：：，，得出BC ，AC ，CE ，AE 的长，由勾股定理可得EF 的长，再利用APF DPB △△的性质可求出BP 的长．【详解】（1）∵BE 是AC 边上的中线，∴=AE CE ，∵FA BC ∥，∴F CBE ∠=∠，，在AEF △和CEB 中===AEF BEC F CBE AE CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴()AAS AEF CEB ≅△△，∴=AF BC ．设CD k =，则23DB k AF BC k ===，，∵AF BC ∥，∴APF DPB △△，∴32PA AF PD BD ==．（2）①过点A 作AF DB ∥，交BE 的延长线于点F，如图，设DC k =，由12DC BC =：：得23BC k DB DC BC k ==+=，．∵E 是AC 中点，∴=AE CE ．∵AF DB ∥，∴1F ∠=∠．在AEF △和CEB 中，=12=3=F AE CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴()AAS AEF CEB ≅△△，∴2EF BE AF BC k ===，．∵AF DB ∥，∴AFP DBP △△，∴2233AP FP AF k DP BP DB k ====．∴AP DP 的值为23；②当=2CD 时，46BC AC ==，，∴132EC AC ==，5EB ==，∴510EF BE BF ===，．∵23FP BP =，AFP DBP △△∴53BF BP =，∴3310655BP BF ==⨯=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和平行线的性质，解决本题的关键是正确的做出辅助线．。
武汉XX中学九年级上月考数学试卷（10月）含答案解析
2022-2023湖北省武汉九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1．将一元二次方程3x2﹣1=x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，0 B．3，1 C．3，﹣1 D．3x2，﹣x2．对于抛物线y=﹣2（x+5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）3．如果2是方程x2+c=0的一个根，那么c的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣24．对称轴是x=﹣2的抛物线的是（）A．y=﹣2x2﹣2 B．y=2x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=2（x﹣2）25．方程x2+3=2x的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根6．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y=x2﹣3x+5，则有（）A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=﹣15 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=217．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y28．在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分（如图），则他与篮底的水平距离l（如图）是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m9．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（）A．x3=x1+x2B．x3=+C．x1x2=x2x3+x3x1D．x1x3=x2x3+x1x210．如图，已知抛物线y1=x2﹣2x，直线y2=﹣2x+b相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，取m=（|y1﹣y2|+y1+y2）则（）A．点B的坐标随b的值的变化而变化B．m随x的增大而减小C．当m=2时，x=0D．m≥﹣2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程2x2﹣8=0的解是．12．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为．13．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则斜边的长是cm．14．已知抛物线y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则它的顶点为，n=．15．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为m．16．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：4x2﹣x﹣9=0．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x轴交点的坐标；（2）在网格中建立坐标系，画函数的图象；（3）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y轴交点的坐标．19．用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为101cm2的矩形？请说明理由．20．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．21．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？23．如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的四条边上的动点，AE=DH=CG=FB，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）如图2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M为垂足，则GM的长是否为定值？若是，求其值；若不是，求其范围；（3）若AB=25，AD=15，设AE=x，四边形EFGH的面积为y，当x为何值时，y最大？24．已知抛物线y=ax2+2（a+1）x+（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点．经过第三象限中的定点D．（1）直接写出C、D两点的坐标．（2）当x=x0时，二次函数的值记住为y0，若存在点（x0，y0），使y0=x0成立，则称点（x0，y0）为抛物线上的不动点，求证：抛物线y=ax2+2（a+1）x+存在两个不动点．（3）当△ABD的面积等于△CBD时，求a的值．2022-2023湖北省武汉九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1．将一元二次方程3x2﹣1=x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，0 B．3，1 C．3，﹣1 D．3x2，﹣x【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先移项进而利用二次项系数和一次项系数的定义得出答案．【解答】解：整理得：3x2﹣x﹣1=0，故二次项系数为：3，一次项系数为：﹣1．故选：C．2．对于抛物线y=﹣2（x+5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x+5）2+3中k=﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（﹣5，3），故选C．3．如果2是方程x2+c=0的一个根，那么c的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=2代入方程即可求解．【解答】解：∵x=2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4+c=0，∴c=﹣4．故选：B．4．对称轴是x=﹣2的抛物线的是（）A．y=﹣2x2﹣2 B．y=2x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=2（x﹣2）2【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，对称轴为直线x=﹣可对A、B进行判断；利用抛物线的顶点式y=a（x+）2+，其对称轴为直线x=﹣可对C、D进行判断．【解答】解：A、抛物线y=﹣2x2﹣2的对称轴为直线x=0，所以A选项错误；B、抛物线y=2x2﹣2的对称轴为直线x=0，所以B选项错误；C、抛物线y=（x+2）2的对称轴为直线x=﹣2，所以C选项正确；D、抛物线y=2（x﹣2）2的对称轴为直线x=2，所以D选项错误．故选C．5．方程x2+3=2x的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根【考点】根的判别式．【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵x2+3=2x，∴x2﹣2x+3=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根．故选：A．6．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y=x2﹣3x+5，则有（）A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=﹣15 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=21【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出y=x2﹣3x+5的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，∴y=x2﹣3x+5的顶点坐标为（，），∵向右平移3个单位，向下平移2个单位，∴平移前的抛物线的顶点的横坐标为﹣3=﹣，纵坐标为+2=，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴平移前的抛物线为y=（x+）2+=x2+3x+7，∴b=3，c=7．故选：A．7．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】对于二次函数y=﹣x2+bx+c，根据a＜0，抛物线开口向下，在x＜1的分支上y随x的增大而增大，故y1＜y2．【解答】解：∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2．故选：B．8．在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分（如图），则他与篮底的水平距离l（如图）是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m【考点】二次函数的应用．【分析】当y=3.05时，求出对应的横坐标，与2.5m相加即可．【解答】解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），∴L=2.5+1.5=4米，故选：B．9．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（）A．x3=x1+x2B．x3=+C．x1x2=x2x3+x3x1D．x1x3=x2x3+x1x2【考点】二次函数的性质．【分析】先将直线y=kx+b与抛物线y=ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x轴的交点横坐标，即可得出答案．【解答】解：由题意得x1和x2为方程kx+b=ax2的两个根，即ax2﹣kx﹣b=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣；∴+===﹣；∵直线与x轴交点的横坐标为：x3=﹣，∴=+．∴x1x2=x2x3+x3x1．故选C．10．如图，已知抛物线y1=x2﹣2x，直线y2=﹣2x+b相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，取m=（|y1﹣y2|+y1+y2）则（）A．点B的坐标随b的值的变化而变化B．m随x的增大而减小C．当m=2时，x=0D．m≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】将点A的横坐标代入y1=x2﹣2x求得y1=﹣2，将x=2，y=﹣2代入y2=﹣2x+b求得b=2，然后将y1=x2﹣2x与y2=﹣2x+2联立求得点B的坐标，然后根据函数图形化简绝对值，最后根据函数的性质可求得m的范围．【解答】解：∵将x=2代入y1=x2﹣2x得y1=﹣2，∴点A的坐标为（2，﹣2）．∵将x=2，y=﹣2代入y2=﹣2x+b得b=2，∴y2=﹣2x+2．将y1=x2﹣2x与y2=﹣2x+2联立，解得：x1=2，y1=﹣2或x2=﹣2，y2=6．∴点B的坐标为（﹣2，6）．故A错误；∵当x＜﹣2时，y1＞y2，∴m=y1=x2﹣2x．∴m＞6，且m随x的增大而减小．∵当﹣2≤x＜2时，y1＜y2∴m=y2=﹣2x+2．∴﹣2＜m≤6且m随x的增大而减小．令m=0，求得x=0．∵当x≥2时，y1＞y2，∴m=y1=x2﹣2x．∴m≥﹣2，m随x的增大而增大．故B错误；令m=2，求得：x=2+2．故C错误．综上所述，m≥﹣2．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程2x2﹣8=0的解是x1=2，x2=﹣2．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】将方程的常数项移到方程右边，两边同时除以2变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，即可得到原方程的解．【解答】解：方程2x2﹣8=0，移项得：2x2=8，即x2=4，可得x1=2，x2=﹣2．故答案为：x1=2，x2=﹣2．12．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．故答案为：=28．13．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则斜边的长是cm．【考点】勾股定理．【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm2，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【解答】解：设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，则x•（x+5）=7，整理得：x2+5x﹣14=0，∴（x+7）（x﹣2）=0，∴x=2或x=﹣7（舍去）．∴5+2=7（cm），∴由勾股定理，得=，即斜边的长是cm．故答案是：．14．已知抛物线y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则它的顶点为（2，2），n=﹣2．【考点】二次函数的最值；二次函数的性质．【分析】由于抛物线y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则m2﹣2＜0，顶点坐标为（2，2），由=2，=2求得m、n值．【解答】解：抛物线y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则最高点即为顶点，把x=2代入直线得：y=1+1=2，得顶点坐标为（2，2），又m2﹣2＜0，由=2，=2，代入求得：m=﹣1，n=﹣2．15．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为10m．【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A 点坐标为（﹣10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=﹣ax2+bx+c，代入三点的坐标得到，解得．∴函数式为y=﹣x2+6．∵NC=4.5米，∴令y=4.5米，代入解析式得x1=5，x2=﹣5，∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米．故答案为：10．16．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k ＜．故答案为：﹣2＜k＜．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：4x2﹣x﹣9=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．【解答】解：4x2﹣x﹣9=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×4×（﹣9）=145，x=，x1=，x2=．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x轴交点的坐标；（2）在网格中建立坐标系，画函数的图象；（3）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y轴交点的坐标．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据描点法，可得函数图象；（3）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【解答】解：（1）y=（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1），当y=0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1或x=3，即图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（2）如图：（3）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得y=（x+2）2﹣4（x+2）+3﹣2，化简得y=x2﹣5，当x=0时，y=﹣5，即平移后的图象与y轴交点的坐标（0，﹣5）．19．用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为101cm2的矩形？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用当x（20﹣x）=101时，得出△的符号，进而得出答案．【解答】解：不能．理由如下：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=101时，x2﹣20x+101=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×101=﹣4＜0，所以此一元二次方程无实数根．故用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为101cm2的矩形．20．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．【考点】一元二次方程的应用．【分析】首先假设道路的宽为x米，根据道路的宽为正方形边长的，得出正方形的边长以及道路与正方形的面积进而得出答案．【解答】解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2=×40×24，即：x2+4x﹣5=0，解得：x1=l，x2=﹣5（舍去）．答：道路的宽为1米．21．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；（3）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围．【解答】解：（1）当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根，由图可知，方程的两个根为x1=1，x2=3．（2）根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时，x＞2．（3）如图：方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点，此时，k＜2．22．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．23．如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的四条边上的动点，AE=DH=CG=FB，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）如图2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M为垂足，则GM的长是否为定值？若是，求其值；若不是，求其范围；（3）若AB=25，AD=15，设AE=x，四边形EFGH的面积为y，当x为何值时，y最大？【考点】四边形综合题．【分析】（1）只要证明△DEH≌△BFG，得到EH=FG，同理可证EF=HG，由此即可证明．（2）GM的长不是定值．取特殊位置解决问题，如图1中，当E与D重合时，B与G重合，得GM的最大值；如图2中，当E与A重合时，得GM的最小值．（3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，∵AE=DH=CG=FB，∴DH=BF，DE=BG，在△DEH和△BFG中，，∴△DEH≌△BFG，∴EH=FG，同理可证EF=HG，∴四边形EFGH是平行三角形．（2）解：GM的长不是定值．如图1中，当E与D重合时，B与G重合，则四边形HMBC是矩形，所以GM=HC=m﹣n，如图2中，当E与A重合时，四边形EFGH是矩形，M与G重合，MG=0，综上所述，0≤MG≤m﹣n．（3）解：如图3中，∵AE=DH=CG=BF=x，AD=BC=15，AB=CD=25，∴DE=BG=15﹣x，CH=AF=25﹣x，∴S=15×25﹣2××x×（15﹣x）+2××x（25﹣x）=2x2﹣40x+375=2（x﹣10）2=2（x﹣10）2+175．∵2＞0，∴x=10时，S有最大值，最大值为175．24．已知抛物线y=ax2+2（a+1）x+（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点．经过第三象限中的定点D．（1）直接写出C、D两点的坐标．（2）当x=x0时，二次函数的值记住为y0，若存在点（x0，y0），使y0=x0成立，则称点（x0，y0）为抛物线上的不动点，求证：抛物线y=ax2+2（a+1）x+存在两个不动点．（3）当△ABD的面积等于△CBD时，求a的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令x=0即可求出C点坐标，由定点可知在解析式中含有字母a的单项式之和为0，即可求出对应的x的值；进而求出点D坐标；（2）令x=y=x0，运用一元二次方程的根的判别式即可进行证明；（3）表示三角形面积根据题意列方程求解即可．【解答】解：（1）y=ax2+2（a+1）x+，令x=0，解得y=，∴C（0，），y=ax2+2（a+1）x+=，由题意可得：ax2+2ax=0，解得：x=﹣2，或x=0（舍去）当x=﹣2时，y=﹣，∴D（﹣2，﹣）；（2）由题意可得：x0=，，△==4＞0，所以方程总有两个不相等的实数根，抛物线y=ax2+2（a+1）x+存在两个不动点；（3）如图1连接AC，由△ABD的面积等于△CBD可知AC∥BD，y=ax2+2（a+1）x+（a≠0），令y=0，得x=或x=，可知A（，0），B（，0），又OC=，D（﹣2，﹣），由AC∥BD可得，=，解得：a=﹣2．11月21日。
辽宁省大连市西岗区第三十四中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案解析)
辽宁省大连市西岗区第三十四中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．3x +2y ﹣1＝0B ．5x 2﹣6y ﹣3＝0C ．﹣x +2＝0D ．x 2﹣1＝0 2．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大5倍，则tan A 的值（ ）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定 3．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，若:3:4AD AB =，则:AE EC =（ ）A ．3:1B ．4:1C ．4:3D ．3:2 4．如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，1sin 3B =，2AC =，则BC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．用配方法解方程2670x x --=，可变形为（ ）A ．()2316x +=B ．()2316x -=C ．()232x +=D ．()232x -= 6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，AC ，BE 交于点O ，若:1:2AE ED =，则:AOE COB S S ∆∆=（ ）．A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:9 7．某工厂2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元，设年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()1001180x +=B ．()10012180x +=C ．()21001180x x ++=D ．()21001180x +=8．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（ ）A ．1sin 3A =B ．cos B =C ．tan A =D ．tan B 9．如图，小正方形的边长均为1，则A 、B 、C 、D 四个选项中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．关于x 的一元二次方程()221620k x x k k -+++-=有一个根是0，则k 的值是（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．1或-2二、填空题 11．方程250x x -=的解是________________．12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若5sin 13B =，则tan A =__． 13．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．14．在平面直角坐标系中，111A B C △和ABC 的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2,4)，则其对应点1A 的坐标是__．15．如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC 的值为_____．16．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ．点P 为线段AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．设AP x =，BQ y =，则y 关于x 的函数解析式为______．（注意：不需要写自变量的取值范围）三、解答题17．计算：(22112cos45()3-︒+． 18．用适当的方法解下列方程：（1）2(3)40x --=；（2）2480x x --=．19．如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，ABC ACD ∠=∠.（1）求证：ABC ACD ∆∆∽；（2）若4,9AD AB ==求AC 的长.20．如图，△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =4，求AB 的长.21．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？22．如图所示，AD 、BC 为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m ，小明站在P 处，小亮站在Q 处，小明在路灯C 下的影长为2m ，已知小明身高1.8m ，路灯BC 高9m ．小明在路灯BC 下的影子顶部恰好位于路灯DA 的正下方，小亮在路灯AD 下的影子顶部恰好位于路灯BC 的正下方．①计算小亮在路灯D 下的影长；②计算建筑物AD 的高．23．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5,1AB BD ==，3tan 4B =．（1）求AD 的长；（2）求sin α的值．24．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD AC ⊥于点D 、//PE AC ，过点D 作//DE AB ，DE 与PE 交于点E ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）线段AD 的长为 ．（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 落在BC 边上时，求t 的值．（3）设DPE 与ABC 重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．25．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角 ；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．26．阅读下面材料：数学课上，老师出示了这样一个问题:如图1，在Rt ABC 中，CB =CA ，∠C =90°，∠CAB 的平分线与外角∠CBE 的平分线相交于点D ，过点B 作BK ⊥AD 于点K ，设AD 交BC 于点F ，探究AF 与BD 之间的数量关系，并证明某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量，发现∠D 的值是固定的.”小强:“通过观察和度量，发现图1中∠CAF 与∠KBF 存在某种数量关系.”小伟:“因为AF 平分∠BAC ，BK ⊥AD ，所以通过构造三角形，再通过证明三角形全等，进而可以得到AF 与BD 之间的数量关系.”……老师:“如图2，若CB ≠CA ，再过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，DM 与BK 交于点N .如果给出DKFK 的值，那么可以求出BN DN的值” （1）∠D 的度数为 ；（2）探究AF 与BD 之间的数量关系；（3）当CB ≠CA 时，若DK n FK = (n ＞1)，求BN DN的值(用含n 的代数式表示)参考答案1．D【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析即可，一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．【详解】A. 3x+2y﹣1＝0，是二元一次方程，不符合题意；B. 5x2﹣6y﹣3＝0，是二元二次方程，不符合题意；C. ﹣x+2＝0，是一元一次方程，不符合题意；D. x2﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；故选D【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．A【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有变，∴tanA的值不变．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦，记作sinA．3．A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可．【详解】解：:3:4AD AB=，∴=，:3:1AD DB//DE BC ，::3:1AE EC AD DB ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．C【分析】本题利用正弦三角函数的定义即可直接作答．【详解】∵90?A ∠=，1sin 3B =，2AC =， ∴21sin 3AC B BC BC ===， ∴=6BC ．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可． 5．B【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，从而得出答案．【详解】解：∵x 2-6x -7=0，∴x 2-6x =7，则x 2-6x +9=7+9，即（x -3）2=16，故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．D【分析】通过平行四边形的性质可以得到AD BC =且//AD BC ，进而得到AOE COB ∽，再通过:1:2AE ED =，得到:1:3AE BC =，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =且//AD BC ，∴EAO BCO ∠=∠，AEO CBO ∠=∠，∴AOE COB ∽，∵:1:2AE ED =，∴:1:3AE AD =，∴:1:3AE BC =，∴:1:9△△=AOE COB S S ，故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．D【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x ，根据“2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元”即可得出方程．【详解】解：设年平均增长率为x ，则2022的数字化改造总投入为：100（1+x ）万元，2023的数字化改造总投入为：100（1+x ）2万元，那么可得方程：100（1+x ）2=180．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率某工厂对数字化改造总投入相等的方程．8．C【分析】 根据勾股定理求出BC =【详解】∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴BC =∴sin BC A AB ===，故A 错误；cos sin B A ==，故B 错误；tan ===BC A AC C 正确；tan=AC B BC D 错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．9．A【分析】先求出已知三角形三边长，再分别求出选项中三角形三边长，按小中大进行求比值看是否相等即可判断【详解】解：根据勾股定理AC，BC =2，ABA ．三条线段长分别为1， 故选项A 中的三角形与ABC 相似；B 3，31110≠≠，， 故选项B 中的三角形不与ABC 相似；C ．三条线段长分别为1，≠≠ 故选项C 中的三角形不与ABC 相似；D ．三条线段长分别为2，≠， 故选项D 中的三角形不与ABC 相似．故选择A ．【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键．10．C【分析】把x=0代入方程，得到220k k +-=，解得k 值后，验证二次项系数不为零，判断即可．【详解】∵x 的一元二次方程()221620k x x k k -+++-=有一个根是0，∴220k k +-=，且k-1≠0，解得k= -2或k=1，且k≠1，∴k= -2，故选C ．【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．11．x =0或x =5【分析】根据因式分解的方法解方程即可；【详解】250x x -=()50x x -=，解得：10x =，25x =；故答案是：x =0或x =5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程因式分解法，准确计算是解题的关键．12．125【分析】根据题意画出相应图形，然后利用三角函数的定义及勾股定理求解即可．【详解】 解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5sin 13AC B AB ==， ∴设5AC x =，则13AB x =，∴12=BC x ，1212tan 55AC BC x A x ∴===． 故答案为：125．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，通过设参数的方法求三角函数值是解决本题的关键．13．1k >-且0k ≠【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且440k +>，解得1k >-且0k ≠，故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．14．(1,2)或(1,2)--【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A 点横纵坐标分别乘以12或12-得到其对应点1A 的坐标即可．【详解】解：∵111A B C △和ABC 的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为(2,4)，∴点A 对应点1A 的坐标为11(2,4)22⨯⨯或11(2,4)22-⨯-⨯， 即点1A 的坐标为(1,2)或(1,2)--．故答案为：(1,2)或(1,2)--．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．15．34【分析】过A 作AE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【详解】解：过A 作AE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，设小正方形的边长为1，则AE =3，BE =4，所以tan ∠ABC =34AE BE =， 故答案为：34【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．16．32544y x =-+ 【分析】连结AE ，设BE =m ，CE =8-m ，，根据垂直平分线可得AE =BE ，AD =BD ，在Rt △CAE 中，由勾股定理得，222AC CE AE +=， 可得254m =，AD =BD =5，可求EQ =EB -QB =25-y 4，可证△APD ∽△EQD ，可得AD AP ED EQ =， 可求325=+44y x -即可． 【详解】解：连结AE ，设BE =m ，CE =8-m ，∵点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，∴AE =BE ，AD =BD ，在Rt △CAE 中，由勾股定理得，222AC CE AE +=，即()22268m m +-=， 解得：254m =， 在R t △ABC 中AB10=，∴AD =BD =5，在Rt △DBE 中ED154=， ∴EQ =EB -QB =25-y 4， ∵PD ⊥QD ， ∴∠ADP +∠PDE =∠PDE +∠EDQ =90°，∴∠ADP =∠EDQ ，又∵∠CAB +∠B =∠DEB +∠B =90°，∴∠CAB =∠DEB 即∠P AD =∠DEQ ，∴△APD ∽△EQD ， ∴AD AP ED EQ =，即5152544x y =-，∴325=+44y x -． 故答案为：325=+44y x -．【点睛】本题考查直角三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握直角三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质构造y 关于x 的函数关系是解题关键．17．12【分析】直接利用完全平方公式，二次根式的性质，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂法则计算即可．【详解】解：原式1229=+-129=+-12=【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂法则是解决本题的关键．18．（1）125,1x x ==；（2）1222x x ==【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以利用平方差公式分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解．（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵（x -3）2-4=0，∴（x -3-2）（x -3+2）=0，∴x -3-2=0，x -3+2=0，∴125,1x x ==；（2）∵2480x x --=，∴a =1，b =-4，c =-8，∴Δ=24b ac -=2(4)4(8)--⨯-=48，∴x =2==，∴1222x x ==【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=∠ACD ，∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ACD ；（2）解：∵△ABC ∽△ACD ， ∴AC AB =AD AC ，即AC 9=4AC， 解得：AC=6.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型．20．【详解】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C 作CD ⊥AB 于D 点，然后分别根据Rt △ADC 中∠A 的正弦、余弦值和Rt △CDB 中∠B 的正切值得出AD 和BD 的长度，从而得出AB 的长度.试题解析：过点C 作CD ⊥AB 于D 点，在Rt △ADC 中，∠A=30°，AC=4，∴CD=12AC=12×4=2，∴=在Rt △CDB 中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴．21．羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.【详解】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400，解得 x 1=20，x 2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去． 即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．22．①1.5米 ②12米【分析】①根据,,EP AB CB AB ⊥⊥找到90EPA CBA ∠=∠=︒，求证出,EAP CAB 根据相似三角形对应边成比例代入数据即可②根据,,FQ AB AD AB ⊥⊥找到BFQ BDA ∠=∠求证出,BFQ BDA 根据对应边成比例代入数据计算即可【详解】①∵,,EP AB CB AB ⊥⊥∴90EPA CBA ∠=∠=︒ ,,,EAP CAB EAP CAB ∠=∠∵∴EP AP BC AB∴= ， ∴1.829AB = ， ∴AB=10,∴BQ = 10- 2- 6.5= 1.5，即小亮在路灯D 下的影长是1.5米．②∵,,FQ AB AD AB ⊥⊥∴FQ AB ,∴BFQ BDA ∠=∠ ,,,BQF BAD BFQ BDA ∠=∠∵∴ BQ FQ BA DA=∴ ， ∴1.5 1.810DA= ， 解得DA=12，∴建筑物的高为12米．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解。
2019-2020学年成都市嘉祥外国语学校九年级(上)10月月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年成都市嘉祥外国语学校九年级（上）10月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题.（每小题3分，共30分）1．cos30°的值是（）A．1 B．C．D．2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．3．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为（）A．4.6×109B．46×107C．4.6×108D．0.46×1094．一些美术字体的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．若分式方程有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1 或﹣16．点P1（﹣2，y1）、P2（2，y2）、P3（5，y3）均在函数y＝﹣2x2+1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y3＞y1＝y2D．y1＝y2＞y37．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝2，AE＝3，BC＝4，则AB的长为（）A．8 B．5 C．6 D．1.58．已知关于x的方程ax2+2x＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣B．a＞﹣1且a≠0 C．a＞﹣1 D．a＞﹣且a≠09．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．如图，△ABC为等边三角形，点P从A出发，沿A→B→C→A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题.（每小题4分，共16分）11．分解因式：a2b﹣b＝．12．函数y＝的自变量x的取值范围．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3绕顶点旋转180°后的图象的解析式为．14．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为．三、解答题（共54分）15．（12分）（1）计算：（2）解分式方程：16．（6分）先化简，再求值：÷（+1），其中x为整数且满足不等式组17．（8分）如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点．（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；（2）若△ABC内部有一点P （a，b），则平移后它的对应点P l的坐标为；（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．18．（8分）如图是成都市某在建的大楼，准备上市销售，大楼前有一座有高压线的铁塔BC经过，市民想知道高压线的电辐射对居住是否有影响，则需要测量大楼到铁塔的水平距离DC的长以及铁塔BC的高度，为了安全，不能直接测量铁塔的高度，现在大楼的屋顶A处测得铁塔的塔顶B的仰角∠BAE＝58°，测得铁塔的塔底C的俯角∠EAC＝30°，大楼的高度AD＝10m．（1）求水平距离DC的长（结果保留根号）；（2）求铁塔BC的高度．（参考数据：tan58°≈1.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，≈1.73）19．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△AOB＝（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．20．（10分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．B卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）（a+b﹣2）+ab的值等于．21．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则代数式（a﹣b）22．已知线段AB＝10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长为．23．当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣（x﹣h）2+6有最大值2，则实数h的值为．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，AC长为，若将边AC平移至A'C'处，此时A'坐标为（﹣4，2），分别连接A'B，C'O，反比例函数y＝的图象与四边形A'BOC'对角线A'O交于D点，连接BD．则当BD取得最小值时，k的值是．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①；②；③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA⋅OB＝﹣．其中正确结论的有．二、解答题（共30分）26．（8分）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖300件，当以55元每件出售时，每天可以卖150件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该蛋糕店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试直接写出该“奶昔包”销售单价的范围．27．（10分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题.（每小题3分，共30分）1．【解答】解：cos30°＝．故选：B．2．【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，故选：D．3．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为4.6×108．故选：C．4．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：A．5．【解答】解：分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母得：6﹣m（x+1）＝6（x+1）（x﹣1），由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，即x＝1或x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：6＝0，无解，则它的增根是1．故选：B．6．【解答】解：函数y＝﹣2x2+1的对称轴为x＝0，∵﹣2＜0，点到对称轴的距离大对应的函数值反而小，∵P1（﹣2，y1）、P2（2，y2）、P3（5，y3），∴P1＝P2＞P3，故选：D．7．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝6，故选：C．8．【解答】解：由关于x的方程ax2+2x＝3，即ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞﹣．则a＞﹣且a≠0．故选：D．9．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y 的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y ＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．10．【解答】解：根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时，y是x的一次函数，故选项C与选项D不合题意；当点P从B→C的过程中，根据勾股定理得 AP＝，则其函数图象不是一次函数，且当点P运动到BC的中点时有最小值，所以选项B符合题意，选项A不合题意．故选：B．二、填空题.（每小题4分，共16分）11．【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．故答案为：b（a+1）（a﹣1）．12．【解答】解：根据题意得：解得x≥1且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．13．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，＝x2﹣2x+1+2，＝（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），∴抛物线y＝x2﹣2x+3绕顶点旋转180°后的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1，即y＝﹣x2+2x+1．故答案为：y＝﹣x2+2x+1．14．【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝5，∴＝，∴tan∠BAO＝＝＝，故答案为：．三、解答题（共54分）15．【解答】解：（1）原式＝1﹣3+﹣1+2＝2﹣2；（2）去分母得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．16．【解答】解：原式＝÷（+）＝•＝，解不等式组得2＜x≤，则不等式组的整数解为3，当x＝3时，原式＝＝．17．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）∵△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，∴点P （a，b）的对应点P l的坐标为（a+4，b﹣1），故答案为：（a+4，b﹣1）；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．18．【解答】解：（1）如图，延长AE交BC于点F，则AF⊥BC于点F，∵AD＝10m，∴CF＝AD＝10，在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，∴AF＝＝＝10（m），∴DC＝10m；（2）在Rt△ABF中，∵∠BAE＝58°，AF＝10m，∴BF＝AFtan∠BAF≈10×1.60≈27.68m，∵CF＝AD＝10m，∴BC＝BF+CF＝27.68+10＝37.68m，答：铁碳BC的高度约为37.68m．19．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．（2）由，解得或﹣，∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，﹣），结合图象可知：不等式kx+b≤的解集为x≤﹣4或0＜x≤9时．20．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．一、填空题（每小题4分，共20分）21．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴ab＝﹣1，a+b＝2，∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab＝（a﹣b）（2﹣2）+ab，＝0+ab，＝﹣1，故答案为：﹣1．22．【解答】解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝5﹣5，∴CD＝AD+BC﹣AB＝10﹣20cm，故答案为：10﹣20cm．23．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+6有最大值2，∴h＜﹣1或h＞2；由二次函数的性质得：当 x＝﹣1或2时，y＝2，即﹣（﹣1﹣h）2+6＝2①，或﹣（2﹣h）2+6＝2②，解①得h＝1或﹣3；解②得h＝0或4，∴h的值为4或﹣3，故答案为：4或﹣3．24．【解答】解：当BD⊥OA′时，BD取得最小值，延长A′C′交y轴于E，如图，∵A′C′∥OB，∴A′E⊥y轴，∠BOD＝∠EA′O，∴∠BDO＝∠OEA′，∴△BDO∽△OEA′，∴＝＝，∵A'坐标为（﹣4，2），∴A′E＝4，OE＝2，∴OA′＝＝2，∵OB＝AC＝，∴＝＝，∴BD＝1，OD＝2，作DF⊥OB于F，∵BD•OD＝OB•DF，即1×2＝DF，∴DF＝，∴D的纵坐标为，设直线OA′的解析式为y＝kx，∴2＝﹣4k，解得k＝﹣，∴直线OA′的解析式为y＝﹣x，把y＝代入得，＝﹣x，解得x＝﹣，∴D（﹣，），∴反比例函数y＝的图象过D点，∴k＝﹣×＝﹣，故答案为﹣．25．【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，开口向下，a＜0，因此＜0，故①不正确；抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，对称轴为x＝1，所以﹣＝1，也就是a＝﹣b，∴a+b+c＝﹣b+b+c＝c＞0，故②不正确；当y＝﹣2时，根据图象可得ax2+bx+c＝﹣2有两个不同实数根，即ax2+bx+c+2＝0有两个不等实根，因此③不正确；∵OA＝OC，∴A（﹣c，0）代入得：ac2﹣bc+c＝0，即：ac﹣b+1＝0，因此④正确；设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；综上所述，正确的有④⑤，故答案为：④⑤二、解答题（共30分）26．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，由题意得：，解得：．∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46．设利润为w元，则w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，解得：x1＝55，x2＝45，∵a＝﹣10＜0，∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．27．【解答】解：（1）如图1中，当∠BEF＝45°时，易知四边形EBFH是正方形，∵AB＝8，AE：EB＝3：1，∴AE＝6，EB＝2，∵∠C＝∠EBC＝∠BEM＝90°，∴四边形EBCM是矩形，∴EM＝BC＝6，∵EH＝BE＝2，∴HM＝6﹣2＝4．（2）如图2中，连接DE．在Rt△EAD中，∵∠A＝90°，AD＝AE＝6，∴DE＝6，在Rt△EDH中，DH＝＝2设BF＝FH＝x，则DF＝x+2，FC＝6﹣x，在Rt△DFC中，∵DF2＝DC2+CF2，∴（2+x）2＝82+（6﹣x）2，∴x＝﹣3，∴tan∠FEH＝＝．（3）如图3中，连接AC，作EM⊥AC于M．∵∠EAM＝∠BAC，∠AME＝∠B＝90°，∴△AME∽△ABC，∴＝，∴＝，∴EM＝，∵S四边形AHCD＝S△ACH+S△ADC，S△ACD＝×6×8＝24，∴当△ACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，∵当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，最小值＝﹣2＝，∴△ACH的面积的最小值＝×10×＝8，∴四边形AHCD的面积的最小值为8+24＝32．28．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在点P右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在点P左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）。
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1 天津市实验中学2015-2016学年九年级数学10月月考试题 一、选择题（12X3分，共36分） 1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ） A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0
2．二次函数y=的图象的开口方向，对称轴分别是（ ） A．向上，直线x=3 B．向下，直线x=3 C．向上，直线x=﹣3 D．向下，直线x=﹣3
3．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）
A． B． C． D． 4．下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系 D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系
5．如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x2；②y=；③y=x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 6．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，1） 2
7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣6的图象向左平移m（m＞0）个单位后过原点，则m的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289
9．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法：①abc＜0；②2a＞b；③a+c＞1；④9a+c＜3b+2，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 12．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A．y=﹣（x+1）2+2 B．y=﹣（x﹣1）2+4 C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣（x+1）2+4 3
二、填空题（6X3分，共18分） 13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 ．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y＜5时，x的取值范围是 ．
15．若函数y=+（m+2）x+m+2的图象与x轴只有一个公共点，则m= ． 16．代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值为 ． 17．抛物线y=ax2﹣4ax+m与x轴交于（1，0）和（n，0），则n= ． 18．小明在探究问题“正方形ABCD内一点E到A、B、C三点的距离之和的最小值”时，由于EA、EB、EC比较分散，不便解决．于是将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，连接EE′． （1）△EBE′是 三角形； （2）若正方形ABCD的边长为2，则AE+BE+CE的最小值是 ．
三、解答题（8小题，共66分） 19．已知关于x的方程kx2﹣4kx+k﹣5=0有两个相等的实数根，求k的值，并解这个方程．
20．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
21．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2． 4
（1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出y＜0时x的取值范围； （3）直接写出使y随x增大的减小的x的范围．
22．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数且a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C． （1）求A、B两点的坐标（坐标中可含m）； （2）若△ABC的面积为1，求a的值．
23．某农场有一块长为42米，宽为35米的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向横、纵各修一条小路，横纵道路宽度为2：3，要使种植面积为1200m2，求两条小路的宽．
解题方案： 如图，设横、纵小路宽分别为2x和3x（m），将四块种植地平移为一个长方形ABCD． （1）用含x的代数式表示： AB= ，BC= ，长方形ABCD的面积为 ． （2）根据题意，列处方程 ． （3）解这个方程，得 ． （4）检验： ． （5）答：横向道路宽为 ，纵向道路宽为 ．
24．如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A和点B（A点在B点左侧），与y轴交于点C． （1）直接写A、B、C的坐标． （2）矩形OADE的顶点D在直线BC上，将矩形OADE绕原点顺时针旋转90°后． ①判断D点的对应点D′是否在直线BC上，并证明你的结论； ②若M为直线BC上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）设M是抛物线上的一点，且它位于对称轴的右侧．若四边形OAMB的四条边的长度是四个连续的整数，求点M的坐标； 5
（3）在（2）的条件下，P是抛物线对称轴上的任意一点，求证：PA2+PB2+PM2＞28． 6
2015-2016学年天津市实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析
一、选择题（12X3分，共36分） 1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ） A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），依据一般形式即可进行判断． 【解答】解：要使ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0． 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，关键要记住二次项系数不为0．
2．二次函数y=的图象的开口方向，对称轴分别是（ ） A．向上，直线x=3 B．向下，直线x=3 C．向上，直线x=﹣3 D．向下，直线x=﹣3 【考点】二次函数的性质． 【分析】由抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，可知其顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h，a＞0，
抛物线开口向上．利用这个结论即可确定二次函数y=（x﹣3）2的图象的开口方向、对称轴． 【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，a＞0，抛物线开口向上，
而y=的a=＞0，
∴二次函数y=的图象的开口方向向上、对称轴为直线x=3． 故选A． 【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的开口方向，对称轴方程和顶点的坐标，比较容易．
3．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）
A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 7
【点评】掌握好中心对称图形的概念是解题的关键． 【链接】如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系 D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，故A错误；
B、关系式为t=，故错误； C、关系式为：S=kx，故C错误； D、S=，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
5．如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x2；②y=；③y=x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【考点】二次函数的图象． 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【解答】解：①y=3x2，
②y=x2，
③y=x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1＞， ∴抛物线②y=x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄． 故选B． 【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．