九年级上学期10月月考数学试题

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湖北武汉部分学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷+答案

2024-2025学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题.（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。

1．（3分）方程2x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（）A．1、2B．2、﹣1C．﹣2、﹣1D．﹣2、12．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣4）2＝13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（）A．2B．3C．12D．54．（3分）下列一元二次方程中没有实数根的是（）A．x2+2x﹣1＝0B．C．x2+x﹣2＝0D．5．（3分）将抛物线y＝x2+1先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+2）2D．y＝（x+1）2﹣16．（3分）已知方程6x2﹣7x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为（）A．B．C．D．7．（3分）当函数是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a＝﹣18．（3分）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（）A．1B．﹣1C．2D．09．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点（﹣2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，则p的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．（3分）函数y＝ax+（a，b为常数，且a＞0，b＜0）的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题.（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）方程（2﹣3x）（6﹣x）＝0的根为．12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是．13．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．14．（3分）某工厂一月份生产零件30万个，第一季度生产零件152.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，则x满足的方程是．15．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①当x＞1时，y随x增大而减小；②a+b＜0③3a+b+c＞0；④当时，OC＞2．其中结论正确的有（填序号）．16．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（m+4）x+3m+2在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥2恒成立，则m的取值范围为．三、解答题.（共有8小题，共72分）17．（8分）解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．18．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3．（1）该抛物线的对称轴是直线；（2）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝0的解为；（3）当x满足时，y＞0；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是．19．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0的两个实数根．（1）求t的取值范围；（2）若，求t的值．20．（8分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21．（8分）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），点D是AB上一点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：（1）直接写出△ABC的形状；（2）作线段AB关于AC的对称线段AE；（3）在线段AE上找点F，使AF＝AD；（4）在AB上画点G，使∠BCG＝∠BAC．22．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？23．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，过点A作直线AE，作DG⊥AE于点G，且AG＝GE，连接DE．（1）求证：DE＝DC；（2）若∠CDE的平分线交直线AE于F点，连接BF，求证：DF﹣FB＝FA；（3）在（2）的条件下，当正方形边长为2时，求CF的最大值为．24．（12分）已知：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），点B（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线第三象限上的一点，若∠PBA＝2∠BCO，求点P的坐标；（3）如图2，点M为抛物线在点A左侧上的一点，点M与点N关于抛物线的对称轴对称，直线BN、BM分别交y轴于点E、D，求OE﹣OD的值．2024-2025学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题.（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。

深圳外国语学校2024年九年级上学期月考数学试卷(10月份)北师大版

九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 如果32x y =，则x y y+=（） A. 12 B. 32 C. 52 D. 252. 一元二次方程2650x x −+=配方后可化为（）A 2(3)4x −=− B. 2(3)14x +=− C. 2(3)4x −= D. 2(3)14x += 3. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A 四条边相等，四个角相等B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段152AC =，则线段AB 的长是（） A. 52 B. 2 C. 32 D. 55. 已知关于x 的一元二次方程2210mx x +−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A. 1m <−B. 1m >C. 1m <且0m ≠D. 1m >−且0m ≠ 6. 若ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积比为1:16，则AB 与DE 的比是（）A. 1:4B. 1:8C. 1:16D. 1:327. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为22m ．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为2520m ，求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽度为m x ，根据题意所列方程为（）..A. (402)(22)520x x −−=B. (40)(22)520x x −−=C. (40)(222)520x x −−=D. (40)(22)520x x −+=8. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 、F 分别是BD 、CD 边上一点，连接AE 、AF ，BD 交AF 于点G ，若3BE =，EAF ABD ∠=∠，则DG 的长为（）A. 87B. 97C. 107D. 117二、填空题：本题共53分，共15分．9. 一元二次方程240x x a −+=一个解为1x =，则a =______．10. 如图，在菱形ABCD 中，2AB =，则菱形ABCD 的周长为___________．11. 已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为___________．12. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ．若4AB =，3AE =，则ON 的长为______．的13. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，AC =6CB =，D 为AC 中点，E 为BC 上一点，连接AE 、BD 交于点F ，若30AFD ∠=°，则CE 的长为___________三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：22450x x +−=；（2）已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且48a b c ++=，345ab c ==，求ABC 三边的长． 15. 在44×的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与ABC 相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围）16. 根据以下素材，探索完成任务．素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．问题解决的任务1求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？17. 如图，D 是ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知ABD C ∠=∠．（1）求证：ABD ACB ∽△△（2）若6AB =，4=AD ，求线段CD 的长18. 如图，在矩形ABCD 中，13cm,4cm AB AD ==，点E 、F 同时分别从D 、B 两点出发，以1cm/s 的速度沿DC BA 、向终点C 、A 运动，点G 、H 分别为AE CF 、的中点，设运动时间为()s t ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形．（2）填空：①当t 为______s 时，四边形EGFH 菱形；②当t 为_____s时，四边形EGFH是矩形．19. 如图，已知平行四边形ABCD ，AB x ∥轴，6AB =，点A 的坐标为()14−，，点D 的坐标为()34−，，点B 在第四象限，点P 是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）点B 的坐标为_________；点C 的坐标为________；是（2）点G 是AD 与y 轴的交点，求点G 的坐标；（3）若点P 在AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线1y x =−上，求点P 的坐标；（4）若点P 在折线D A B −−上，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们交于点M ，将PGM △沿直线PG 翻折，点M 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P 的坐标． 20. 如图，在菱形ABCD 中，点P 为对角线AC 上的动点，连接DP ，将DP 绕点D 按逆时针方向旋转至DQ ，使QDP CDA ∠=∠，PQ 与CD 交于点E ．（1）请在图中找出与APD △相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下）（2）已知5AD =，8AC =，①当DP AD ⊥时，求PEC 的面积； ②连接CQ ，当EQC 为直角三角形时，求AP 的长； ③当DC 将DPQ 分成的两部分的面积之比为1:2时，请直接写出AP 值．。

福州一中2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试题(解析版)

2024-2025学年九年级10月适应性练习数学学科一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）和轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形和轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；C ．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C 正确；D ．中心对称图形，不是轴对称图形，故D 错误．故选：C ．2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. 21x y −=B. 223x x +=C. 2240x y −+=D. 2210x x −+=【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．【详解】解：A 、21x y −=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B 、223x x+=，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；是C 、2240x y −+=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、2210x x −+=，是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D3. 如图，在O 中，60ABC ∠=°，则AOC ∠等于（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.【详解】解：∵60ABC ∠=°，∴2120AOC ABC ∠=∠=°故选：C4. 已知点()2,A m 和点(),1B n −关于原点对称，则m n +=（） A. 1B. 1−C. 3D. 4−【答案】B【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及代数式求值，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出m 与n 的值，然后代入式子计算即可．【详解】解：点()2,A m 和点(),1B n −关于原点对称，∴2n =−，1m =， ∴()121m n +=+−=−，故选：B ． 5. 抛物线22y x =−+的对称轴是（）A. 直线2x =B. 直线2x =−C. 直线x =D. y 轴【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案．【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：抛物线22y x =−+的对称轴是直线0x =，即y 轴，故选：D ．6. 将抛物线22y x =−先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（）A. 22(4)5y x =−+−B. 22(4)5y x =−++C. 22(x 4)5y =---D. 22(4)5y x =−−+ 【答案】B【解析】【分析】此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可.【详解】解：将抛物线22y x =−先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为22(4)5y x =−++，故选：B7. 某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x ，根据题意列出方程为（）A. 2234(1)345x +=B. 2345(1)234x −=C. 2345(1)234x +=D. 2234(1)345x −=【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．根据工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．【详解】解：根据题意，得2234(1)345x +=，故选A ．8. 如图，在ABC 中，DE ∥BC ，1DE =，2BC =，则:ADE DECB S S △四边形的值是（）A. 14B. 15C. 25D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法．先根据DE BC ∥证明ADE ∽ABC ，可得14ADE ABC S S = ，即可解答．【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠， ∴ADE ABC △△∽，1DE =，2BC =，214ADE ABC S DE S BC ∴== ， ∴()1::1:33ADE ADE ABC ADE DBCE S S S S S =−==四边形 △△△，故选：D ．9. 如图，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，点E 、F 分别是ABD △和ACD 的重心，如果6BC =，那么线段EF 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接AE 并延长交BD 于M ，连接AF并延长交CD 于N ，由三角形重心的性质得出12DM BD =，12DN CD =，2AE EM =，2AF FN =，从而得出3MN =，证明AEF AMN △∽△，由相似三角形的性质可得23EF MN =，计算即可得解．【详解】解：如图，连接AE 并延长交BD 于M ，连接AF 并延长交CD 于N ，∵点E 、F 分别是ABD △和ACD 的重心， ∴12DM BD =，12DN CD =，2AE EM =，2AF FN =， ∵6BC =， ∴()111132222MN DM DN BD CD BD CD BC =+=+=+==， ∵22213AE AF AM AN ===+，EAF MAN ∠=∠， ∴AEF AMN △∽△， ∴23EF MN =，即233EF =， ∴2EF =，故选：A ．10. 如图，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是CD 边上一点，且23DE CE =，点F 是BD 上一点，若45FAE ∠=°，则AF 的长为（）A. B. C. D. 92【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到545CD AB AD BAC ACD ABD ======°，∠∠∠，90ABC ADE ∠=∠=°，则由勾股定理得到AC =2DE =，则AE，再证明ABF ACE ∽△△，得到AB AF AC AE =，=AF =．【详解】解：如图所示，连接AC∵四边形ABCD 是正方形，∴545CD AB AD BAC ACD ABD ======°，∠∠∠，90ABC ADE ∠=∠=°，∴AC， ∵23DE CE =， ∴335CE CD ==， ∴2DE =，∴AE∵45FAE BAC ∠=∠=°，∴BAF CAE ∠=∠，又∵45ABF ACE ∠=∠=°，∴ABF ACE ∽△△，∴AB AF AC AE==，∴AF = 故选：B ．二、填空题11. 如图，ABC 与DEF 是位似图形，相似比为1:3，2OA =，则OD 的长为________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得13AC DF =，AC DF ∥，再证出OAC ODF ∽△△，根据相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵ABC 与DEF 是位似图形，相似比为1:3， ∴13AC DF =，AC DF ∥， ∴OAC ODF ∽△△， ∴3ODDF OA AC ==， ∵2OA =， ∴32OD =，解得6OD =，故答案为：6．12. 若方程()22230aa x x −−−=是关于x 的一元二次方程，则a 的值为____________．【答案】2−【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可．【详解】解：∵方程()22230aa x x −−−=是关于x 的一元二次方程，∴222a −=且20a −≠，∴2a =−．故答案为：2−．13. 如图是二次函数2y ax bx c ++的部分图象，其中与x 轴的一个交点坐标是()5,0，对称轴是直线2x =，则它与x 轴的另一个交点坐标为________．【答案】()1,0−【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键．利用二次函数对称性求解即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c ++的部分图象，其中与x 轴的一个交点坐标是()5,0，对称轴是直线2x =，， ∴它与x 轴的另一个交点的横坐标为：()2521−−=−． ∴它与x 轴的另一个交点的横坐标为：()1,0−．故答案：()1,0−．14. 如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=°，则ABC ∠等于_____________度．【答案】130为【解析】【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到50D BEC ∠=∠=°，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可．【详解】解：∵BE AD ∥，∴50D BEC ∠=∠=°，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=°，∴130ABC ∠=°，故答案为：130．15. 方程2450x x +−=的解是11x =，25x =−，现在给出另一个方程()()22142150x x −+−−=，它的解是______．【答案】1x =或2x =−【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设21x t −=，则方程()()22142150x x −+−−=可以化为2450t t +−=，根据题意可得方程2450t t +−=的解是11t =，25t =−，则211x −=或215x −=−，据此求解即可．【详解】解：设21x t −=，则方程)()22142150x x −+−−=可以化为2450t t +−=，∵方程2450x x +−=的解是11x =，25x =−，∴方程2450t t +−=的解是11t =，25t =−，∴211x −=或215x −=−，解得1x =或2x =−，故答案为：1x =或2x =−，16. 如图，已知抛物线223y x x =−−，抛物线与x 轴从左到右分别交于A 、B ．点M 在抛物线的对称轴上，点N 为抛物线上位于第四象限一点，满足ON =．点P 在抛物线上，且满足CAP CMO ∠=∠，则点P 的坐标为______．【答案】1557,416【解析】【分析】在AP 上取一点Q ，使得45ACQ ∠=°，过点Q 作QH CA 延长线于H ，分别过点Q 、C 作y 轴的垂线，分别与过点H 平行于y 轴的直线交于点E 、F ，EF 交x 轴于点D ，根据点M 在抛物线的对称轴上，ON =，求出点N 的坐标，求出直线ON 的解析式，进而求出点M 的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明ACQ MCO ∽，得出AC AQ QC MC MO OC，结合图形与坐标，求出AQ 、QC ，利用AAS 证明EQH FHC ≌，证明ADH AOC ∽，得出AH AD DH AC OA OC，求出AD 、DH ，根据图形与坐标，求出点Q 的坐标，结合点A 的坐标，求出直线AQ 的解析式，结合抛物线的解析式，求出点P 的坐标即可．【详解】解：如图，在AP 上取一点Q ，使得45ACQ ∠=°，过点Q 作QH CA 延长线于H ，分别过点Q 、C 作y 轴的垂线，分别与过点H 平行于y 轴的直线交于点E 、F ，EF 交x 轴于点D ，∴90QEH HFC ，∵抛物线223y x x =−−，抛物线与x 轴从左到右分别交于A 、B ，∴当0y =时，2230x x −−=，()()130x x +−=，解得：11x =−，23x =，当0x =时，=3y −，∴()1,0A −，()3,0B ，CC (0,−3)，∴1OA =，3OB OC ==，AC ==∴45BCO ACQ ∠=∠=°，设直线BC 解析式为y kx =，则303k b b += =− ，解得：13k b = =− ，∴直线BC 解析式为3y x =−，∵点M 在抛物线的对称轴上，ON ，∴点M 的横坐标2122ba ，点N的横坐标:点M 的横坐标::ON OM OM∴点N 的横坐标=∵当x =223y −−=−∴N −，∴设直线ON 解析式为y kx =解得：2k =−，∴直线ON 解析式为2y x =−，当1x =时，=2y −，∴()1,2M −，∴MO =，MC =∵直线BC 解析式为3y x =−，当1x =时，=2y −，∴点M 也在线段BC 上，∴45ACQ MCO ，∵CAP CMO ∠=∠，∴ACQ MCO ∽，∴AC AQ QC MC MO OC，3QC ，解得：5AQ =，QC∵45ACQ ∠=°，QH CA ， ∴90QHC∠=°，HQ CH，AH HC AC ， ∴90EHQ FHC ，又∵90EHQ EQH ，∴EQH CHF ，在EQH △和FHC 中， 90QEH HFC EQH FHC HQ CH ∠=∠=° ∠=∠ =， ∴()AAS EQH FHC ≌，∵90ADH AOC ，DAH OAC ，∴ADH AOC ∽，∴AH AD DH AC OA OC，13AD DH =，解得：12AD =，32DH =， ∴13122EH FC AD OA，3393222EQ FH DH DF OC ， ∴33322DE EH DH ， ∴点Q 的纵坐标3=，横坐标191322 ， ∴()3,3Q ，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+，把()1,0A −，()3,3Q 代入得：1111033k b k b −+= += ，解得：113434k b = =，∴直线AQ 的解析式为3344y x =+， ∵点P 是直线AQ 与抛物线的交点， ∴令2342343x x x −+−=，整理得2041115x x −−=，因式分解得：()()4151x x −+=，解得：1154x =，21x =−（为点A 的横坐标）， ∴点P 的横坐标154=，纵坐标31535744416， ∴点P 的坐标为1557,416．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键．三、解答题17. 解下列方程：（1）2230x x −−=；（2）()2211x x −=−．【答案】（1）1213x x =−=，（2）12312x x ==，【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2230x x −−=， ∴()()310x x −+=， ∴30x −=或10x +=，解得1213x x =−=，；【小问2详解】解：∵()2211x x −=−，∴()()22110x x −−−=， ∴()()21110x x −−−=， ∴2210x −−=或10x −=，解得12312x x ==，． 18. 如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，若60ADE ∠=°，求证：DCE ABD ∽．【答案】见解析【解析】【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得DCE ABD ∽的关键．由60ADE ∠=°，证明BAD EDC ∠=∠，可证得DCE ABD ∽．【详解】证明：ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=°∴，60ADE ∠=° ，18060120ADB EDC ∴∠+∠=°−°=°，60∠=° B ，120ADB BAD ∴∠+∠=°，BAD EDC ∴∠=∠，∴DCE ABD ∽．19. 关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m −++=．（1）试判断该方程根的情况；（2）若1x ，2x 是该方程的两个实数根，且11222212x x x x −+=，求m 的值．【答案】（1）当3m =时，0∆=，方程有两个相等的实数根；当3m ≠时，0> ，方程有两个不相等的实数根；（2）6m =−【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式：（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；（2）根据11222212x x x x −+=求出m 即可．【小问1详解】解：()()222Δ343169123m m m m m m =−+−××=++−=− ， ∴当3m =时，0∆=，方程有两个相等的实数根；当3m ≠时，0> ，方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意得121233x x m x x m+=+ = ， 11222212x x x x −+= ，()23312m m ∴+−=，解得：6m =−．20. 如图，AB 是O 的弦，点D 是AB 的中点，连接OD 并反向延长交O 于点C ．若16AB CD ==，求O 的半径．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键．设O 的半径为r ，根据点D 是AB 的中点，CD 是过圆心O 的直线，可得CD AB ⊥，在Rt AOD 中，由勾股定理得222OA AD OD =+，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设O 的半径为r ，则OA OC r ==，16OD CD r r =−=−，∵点D 是AB 的中点，CD 是过圆心O 的直线，∴CD AB ⊥，1116822AD AB ==×=，在Rt AOD 中，由勾股定理得222OA AD OD =+，即()222816r r =+−，解得10r =，∴O 的半径为10．21. 如图，已知O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD CD ⊥．（1）若65BC OA ==,，求AC 的长；（2）若AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是O 的切线．【答案】（1）8 （2）见解析【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到ABC 是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解；（2）连结OC ，证明AD OC ∥，再得到90DCO ∠=°，利用切线的判定即可证明．【小问1详解】∵5OA =，∴10AB =．AB 为直径，90ACB ∴∠=°，6BC = ，10AB =，∴根据勾股定理可得：8AC，∴AC 的长为8．【小问2详解】连结OC ， OA OC = ，CAO OCA ∴∠=∠AC 是DAB ∠的角平分线，DAC CAO ∴∠=∠DAC OCA ∴∠=∠，∥O C A D ∴∴180D DCO ∠+∠=°，AD CD ⊥ ，∴90D ∠=︒，∴90DCO ∠=°，OC CD ∴⊥∴直线CD 是O 的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．22. 某地今年种植12万千克的莲藕，计划在甲、乙两店销售，其中在乙店的销售量为x （万千克），销售情况如下表：甲店乙店利润（万元/万千克） 20.2 4.2x −+（1）若在甲店销售莲藕2万千克，求销售完这批莲藕的获利总数；（2）若该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，求x 的值．【答案】（1）66万元（2）x 的值为3或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列式计算是解题的关键．（1）因为今年种植12万千克的莲藕，在甲店销售莲藕2万千克，则在乙店销售莲藕10万千克，再结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式计算，即可作答．（2）结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式()()2120.2 4.228.8x x x ×−+−+=，然后计算，则1238x x ==，，即可作答．【小问1详解】解：依题意，()()220.2122 4.212266 ×+−×−+×−=（万元）， ∴在甲店销售莲藕2万千克，销售完这批莲藕的获利为66万元；【小问2详解】解：依题意，()()2120.2 4.228.8x x x ×−+−+=，则211240x x −=+，解得1238x x ==，，∴该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，x 的值为3或8．23. 阅读与思考请阅读以下材料并完成相应任务．伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：①如图，已知 AB ，C 是弦AB 上一点，作线段AC 的垂直平分线DE ，分别交 AB 于点D ，AC 于点E ，连接AD CD ，．②以点D 为圆心，DA 的长为半径作弧，交 AB 于点F （F ，A 两点不重合），连接DF BD BF ，，．引理的结论：BC BF =．（1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．（2）任务二：请你完成引理结论的证明过程．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可；（2）先由线段垂直平分线的性质得到AD CD =，则由等边对等角得到DAC ACD ∠=∠，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到BCD BFD =∠∠，再根据弦与圆周角的关系推出ABD DBF ∠=∠，则可证明()AAS BCD BFD ≌，得到BC BF =．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】的证明：DE 垂直且平分AC ，AD CD ∴=，DAC ACD ∴∠=∠．180,180DAB BFD ACD BCD ∠+∠=°∠+∠=° ，BCD BFD ∴∠=∠．AD DF = ，,CD DF ABD DBF ∴=∠=∠，()AAS BCD BFD ∴ ≌，BC BF ∴=．【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键.24. 如图1，AB 为O 的直径，12,AB C =是O 上异于,A B 的任一点，连接,AC BC ，过点A 作射线,AD AC D ⊥为射线AD 上一点，连接CD ．（1）若点,C D 在直线AB 同侧，且ADC B ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若在点C 运动过程中，始终有60ADC ∠=°，连接OD ．①如图2，ADC CAB ∽时，求OD 的长度；②求OD 长度取值范围．【答案】（1）见解析（2）①OD =OD ≤≤【解析】【分析】（1）根据AB 为O 的直径，得出90ACB ∠=°，证明AD BC ∥，DC AB ∥，即可得出四边形ABCD 为平行四边形；（2）①根据ADC CAB ∽，60ADC ∠=°，得出60CAB ADC ∠=∠=°，求出1cos 601262AC AB =×°=×=，sin 60AC CD ==°，根据306090OCD ∠=°+°=°，得出的OD =；②过点A 作射线AF AB ⊥，使60AOF ∠=°，连接OC CF ，．得到30OFA ∠=°，12OF =，根据AF =．AC =，可得AC AF AD OA =，根据DAO CAF ∠=∠，得到CAF DAO ∽，得CF AC DO AD ==，得到OD =．根据OF OC CF OF OC −≤≤+，得到618CF ≤≤，即得OD ≤≤【小问1详解】证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=°，∵AD AC ⊥，∴90DAC ∠=°，∴DAC ACB ∠=∠，∴AD BC ∥，∴180B DAB ∠+∠=°，∵ADC B ∠=∠，∴180ADC DAB ∠+∠=°，∴DC AB ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形；【小问2详解】解：①如图，连接OC ．∵ADC CAB ∽，60ADC ∠=°，∴60CAB ADC ∠=∠=°，∵90ACB ∠=°，12AB =，∴1cos 601262AC AB =×°=×=，∵90CAD ∠=°，∴sin602ACCD==°，906030DCA∠=°−°=°，∵162OC OA AB===，60CAO∠=°，∴ACO△为等边三角形，∴60ACO∠=°，∴306090OCD∠=°+°=°，∴在Rt COD中，OD=；②如图，过点A作AF AB⊥，使60AOF∠=°，连接OC CF，．则90OAF∠=°，∴30OFA∠=°，∴212OF OA==，∴AF=，∵tan tan60ADC∠=°=，∴AC=，∴AC AFAD OA==∵90DAC OAF∠=∠=°，∴DAC CAO OAF CAO∠+∠=∠+∠，即DAO CAF∠=∠，∴CAF DAO∽，∴CF ACDO AD==，∴OD=．∵OF OC CF OF OC −≤≤+，∴618CF ≤≤，∴OD ≤≤【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．25. 如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于()3,0,A B −两点，与y 轴交于C 点，对称轴直线1x =−．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，直线1x =−与抛物线，x 轴分别交于点,,M N ND AC ⊥于点D ，点E 在坐标平面内，若DNC ABE S S =△△，求点E 的纵坐标；（3）如图2，若过（2）中点D 的直线与抛物线交于P Q 、两点（点P 在点Q 左侧），过P 点的直线2y x c =+与抛物线交于点R ，探究直线QR 是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+ （2）1±（3）经过定点(2,5)−【解析】【分析】（1）根据抛物线23y ax bx ++与x 轴交于(3,0)A −，对称轴为直线1x =−，得933012a b b a−+= −=− ，即可解得抛物线解析式为223y x x =−−+；（2）易得()1,0N −，过D 作DH x ⊥轴于H ，求出(0,3)C ，3OC =，可得45CAO ACO ∠=∠=°，故ADN △，AHD ，NHD △都是等腰直角三角形，又2AN OA ON =−=，即得(2,1)−D ，分割法求出DNC S △，再根据12ABE E DNC S AB y S =⋅= ，进行求解即可；（3）设过点(2,1)−D 的直线为y kx d =+，则12k d =−+，即得直线PQ 解析式为21y kx k =++，由22321x x kx k −−+=++得2(2)220x k x k +++−=，设2(,23)P m m m −−+，2(,23)Q n n n −−+，则2m n k +=−−，22mn k =−，有226mn m n =−−−，设2(,23)R t t t −−+，可得2232t t t c −−+=+，2232n n n c −−++，即可得4t n =−−，设直线PR 解析式为y k x b ′′=+，把2(,23)P m m m −−+，2(,23)R t t t −−+代入可解得直线PR 解析式为(2)3y m t x mt =−−−++，从而知直线PR 解析式为(2)229y m n x m n =−++−++，故直线PR 必过定点(2,5)−．【小问1详解】解：抛物线23y ax bx ++与x 轴交于(3,0)A −，对称轴为直线1x =−， ∴933012a b b a−+= −=− ，解得12a b =− =−， ∴抛物线解析式为223y x x =−−+；小问2详解】∵直线1x =−与x 轴分别交于点N∴()1,0N −，∴1ON =，∵()3,0A −，∴点A 关于对称轴的对称点()1,0B ，∴4AB =；过D 作DH x ⊥轴于H ，如图：【在223y x x =−−+中，令0x =得3y =， (0,3)C ∴，3OC =，OA OC ∴=，45CAO ACO ∴∠=∠=°，ND AC ⊥ ，DH x ⊥轴，ADN ∴ ，AHD ，NHD △都是等腰直角三角形，312AN OA ON =−=−= ，112AH DH NH AN ∴====， 112OH ON NH ∴=+=+=，(2,1)D ∴−，∵CDN AOC NCO NAD S S S S =−− ，111331321222=××−××−×× 2=， ∴114222ABE E E S AB y y =⋅=×=， ∴1E y =，∴1E y =±，即点E 的纵坐标为1±；【小问3详解】直线PR 必经过某个定点，理由如下：设过点(2,1)−D 的直线为y kx d =+，则12k d =−+， 21d k ∴+，∴直线PQ 解析式为21y kx k =++，由22321x x kx k −−+=++得2(2)220x k x k +++−=，设2(,23)P m m m −−+，2(,23)Q n n n −−+，则2m n k +=−−，22mn k =−， 226mn m n ∴=−−−，设2(,23)R t t t −−+，2(,23)R t t t −−+ ，2(,23)Q n n n −−+在直线2y x c =+上，2232t t t c ∴−−+=+，2232n n n c −−++，2223(23)2(2)t t n n t c n c ∴−−+−−−+=+−+，整理得4t n =−−，设直线PR 解析式为y k x b ′′=+，把2(,23)P m m m −−+，2(,23)R t t t −−+代入得： 222323m m k m b t t k t b −−+=+ −′′′′−++，解得23k m t b mt ′′=−−− =+， ∴直线PR 解析式为(2)3y m t x mt =−−−++，4t n =−− ，∴直线PR 解析式为(2)43y m n x m mn =−++−−+，226mn m n =−−− ，∴直线PR 解析式为(2)229y m n x m n =−++−++，令2x =−得5y =，∴直线PR 必过定点(2,5)−．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式．。

广州中学2024--2025学年九年级数学上学期10月月考试卷(解析版)

广州中学2024学年第一学期10月测试九年级数学试卷满分：120分，考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等；2.选择题用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效；4.本次考试禁止使用计算器．一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1. 下列方程是一元二次方程的是（）A. 32x y +=B. 323x x =−C. 250x −=D. 123x x+= 【答案】C【解析】【详解】A 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；B 、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，该选项不符合题意；C 、是一元二次方程，该选项符合题意；D 、1x不是整式，不是一元二次方程，该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义（等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程）是解题的关键． 2. 抛物线2(5)8=−+y x 的顶点坐标是（）A. (5,8)B. (5,8)−−C. (5,8)−D. (5,8)−【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数()()20y a x h k a =−+≠的顶点坐标为(),h k 即可作答．【详解】解：抛物线2(5)8=−+y x 的顶点坐标是(5,8)，故选：A ．3. 如果1x =是方程20x x k ++=的解，那么常数k 的值为（）A. 2B. 1C. 1−D. −2 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法等知识点，将1x =代入20x x k ++=，即可求得常数k 的值，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程．【详解】把1x =代入20x x k ++=，得110k ++=，解得：2k =−，故选：D ．4. 关于x 的方程()()11110m m xm x ++−−+=是一元二次方程，则m 的值是（） A. 1−B. 1C. 1±D. 0 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0)a ≠，特别要注意0a ≠的条件．本题根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：根据题意得：1012m m +≠ +=，解得：1m =．故选：B ．5. 若方程23x 6x m 0−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是A.B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵方程23x 6x m 0−+=有两个不相等的实数根，∴△＝36－12m ＞0，解得m ＜3．不等式解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此不等式m ＜3在数轴上表示正确的是B ．故选B ．6. 在国务院房地产调控政策影响下，建德市区房价逐步下降，2012年10月份的房价平均每平方米为11000元，预计2014年10月的房价平均每平方米回落到7800元，假设这两年我市房价的平均下跌率均为x ，则关于x 的方程为（）A. 211000(1)7800x +=B. 211000(1)7800x −=C. 211000(1)3200x −=D. 23200(1)7800x −=【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1×+增长率），然后根据已知条件可得出方程．【详解】解：依题意知这两年我市房价的平均下跌率均为x ，故第一次降价为11000(1)x −元，第二次降价为211000(1)7800x −=故选：B ．7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax b =+与一次函数(0)y ax b a =+≠的图像可能是( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a b 、的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解： A ．由二次函数图像可知，0,0a b >>，由一次函数图像可知：00a b <>，，矛盾，故不符合；B ．由二次函数图像可知，0,0a b <>，由一次函数图像可知：00a b ><，，矛盾，故不符合；C ．由二次函数图像可知，0,0a b ><，由一次函数图像可知：00a b >>，，矛盾，故不符合；的D ．由二次函数图像可知，0,0a b <<，由一次函数图像可知：00a b <<，，符合题意．故选∶D ．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．8. 九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得： ()11452x x −=，化简，得2900x x −−=，解得110x =，29x =−（舍去），答：参加此次比赛的球队数是10队．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．9. 已知二次函数212y a x a =−−（0a ≠），当512x −≤≤时，y 的最小值为6−，则a 的值为（） A. 6或2−B. 6−或2C. 6−或2−D. 6或2 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质；先求出对称轴，再分两种情况讨论，当>0a 时，根据二次函数的图象和性质可知，当12x =时，y 有最小值，即可求出a 的值，当0<a 时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当52x =时，y 有最小值，即可求出a 的值．【详解】解：二次函数解析式为212y a x a =−−，∴二次函数的对称轴为直线12x =，当>0a 时，此时当12x =时，y 有最小值，y 最小=6a −=−， 6a ∴=，当0<a 时，1151<222−−− ， ∴当52x =时，y 有最小值，y 最小2513622a a a =−−==−， 2a ∴=−，综上所述，a 的值为2−或6，故选：A ．10. 如图，抛物线2()6y x h =−−的顶点为A ，将抛物线向右平移n 个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B ，设两条抛物线交于点C ，ABC 的面积为8，则n =（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移是解题的关键；根据二次函数的平移求得新的二次函数解析式，再求出两个二次函数的交点坐标，根据三角形的面积求解即可．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，抛物线2()6y x h =−−的顶点为A ，(,6)A h ∴−，将抛物线向右平移n 个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B ，AB n ∴=，(,6)B h n +−，新的抛物线解析式为2()6y x h n =−−−，联立22()6()6y x h y x h n =−− =−−− ，解得：212164x h n y n =+ =−， 211(,6)24C h n n ∴+−， 22116(6)44CD n n ∴=−−−=， ABC 的面积为8，21118224ABC S CD AB n n ∆∴=⋅=×⋅=，解得：4n =，故选：B ．二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11. 方程25x x =的解是______．【答案】10x =，25x =【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：25x x =，移项得：250x x −=，因式分解得：(5)0x x −=， ∴0x =或50x −=，∴10x =，25x =，故答案为：10x =，25x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．12. 若m 是方程22310x x −+=的一个根，则2692024m m −+的值为______．【答案】2021【解析】【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据m 是方程22310x x −+=的一个根得到2231m m −=−，再整体代入求解即可．【详解】解：∵m 是方程22310x x −+=的一个根，∴22310m m −+=即2231m m −=−，∴()2269202432320242021m m m m −+=−+=，故答案为：2021．13. 将抛物线()234y x =−−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________．【答案】()242y x =−−【解析】【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：将抛物线2(3)4y x =−−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：2(31)42y x =−−−+，即2(4)2y x =−−．故答案为：2(4)2y x =−−．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．14. 长方形的周长为36cm ，其中一边()018cm x x <<，面积为2 c m y ，那么y 与x 的关系是________．【答案】218y x x =−+##218y x x =− 【解析】【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案．根据长方形的面积公式即可获得y 与x 的关系式．【详解】解：长方形的周长为36cm ，其中一边()018cm x x <<，∴另一边长为()36218cm x x ÷−=−，()21818∴=−=−+y x x x x ，故答案为：218y x x =−+．15. 已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．【答案】3【解析】【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等．．．．．实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=−=−+，代入12122x x x x ++⋅=，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等．．．．．的实数根， ∴()()22242480m m m m ∆=−−+=−>，解得2m >，∵212122,2x x m x x m m +=−=−+，12122x x x x ++⋅=， ∴2222m m m −+−+=，解得123,0m m ==（不合题意，舍去），∴3m = 故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．16. 如图所示，己知二次函数2y ax bx c ++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若2OC OA =，的对称轴是直线1x =．则下列结论：①0abc <；②42ac b +=−；③90a c +<；④若实数1m <，则2am a b bm −>−；⑤若直线y kx b =+（0k >）过点C 和点(2,0)−，则当2x <−时，ax b k +>，其中结论正确的序号是____________．【答案】①③⑤【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点可判断①；根据与x 轴的交点,02c A − 可判断②；由当2x =−时，0y <，结合2b a =−，0a <，可判断③；由当1x =时函数的值最大可判断④；由直线y kx b =+（0k >）过点C 可知b c =，然后利用当2x <−时，一次函数图象在二次函数图象上方可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴0c >． ∵102b a−=>， ∴20b a =−>，∴0abc <，故①正确；∵当0x =时，y c =，∴OC c =．∵2OC OA =， ∴,02c A −，代入2y ax bx c ++，得2022c c a b c ×−+−+=， ∴42ac b +=，故②不正确；∵当2x =−时，0y <，∴420a b c −+<，∴80a c +<，∵0a <，∴90a c +<，故③正确；∵当1x =时函数的值最大，∴2am bm c a b c ++<++，∴2am a b bm −<−，故④不正确； ∵直线y kx b =+（0k >）过点C ， ∴b c =，∵当2x <−时，一次函数图象在二次函数图象上方，∴2kx b ax bx c +>++，∴2kx ax bx >+，∴ax b k +>，故⑤正确．综上可知，正确的有①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，利用函数图象解不等式，以及一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17. 解方程：267x x −=．【答案】127,1x x ==−【解析】【分析】先化为一般形式，进而根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：267x x −=2670x x −−=()()710x x −+=解得127,1x x ==−【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18. 已知关于x 的一元二次方程230x x k −+=有实数根，若方程的一个根是2−，求方程的另一个根．【答案】5【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程230x x k −+=的两个实数根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=−，12c x x a=．根据根与系数的关系可得123x x +=，即可求出方程的另一个根．【详解】解：令方程230x x k −+=的两个实数根分别为1x 、2x ，123x x ∴+=，方程的一个根是2−，∴方程的另一个根是()325−−=．19. 如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程22350x x +−=是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2360x x m ++=是关于x 的凤凰方程，求这个方程的实数根．【答案】（1）是，理由见解析；（2）11x =，23x =−．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及解一元二次方程，理解凤凰方程的定义是解题关键．（1）根据凤凰方程的定义进行计算即可；（2）先根据凤凰方程的定义求出m 的值，再利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：是凤凰方程，理由如下：22350x x +−=，其中，2a =，3b =，5c =−，2350a b c ∴++=+−=，∴一元二次方程22350x x +−=是凤凰方程；【小问2详解】解：2360x x m ++= 是关于x 的凤凰方程，360m ∴++=，9m ∴=−，∴23690x x +−=，其中3a =，6b =，9c =−，()26439144∴∆=−××−=，6126x −±∴=， ∴这个方程的实数根为11x =，23x =−．20. 为了节约耕地，合理利用土地资源，某村民小组准备利用一块闲置的土地修建一个矩形菜地，其中菜地的一面利用一段30m 的墙，其余三面用60m 长的篱笆围成，要最大限度的利用墙的长度围成一个面积为2400m 矩形菜地，矩形菜地的边长应为多少？【答案】该矩形菜地平行于墙面的一边长为20m ，垂直于墙面的一边长为20m ．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程实际应用，根据问题列出方程是解题的关键；设该矩形菜地平行于墙面的一边长为m x ，则垂直于墙面的一边长为60m 2x −，根据矩形的面积公式，列出方程求解即可．【详解】解：设该矩形菜地平行于墙面的一边长为m x ，则垂直于墙面的一边长为60m 2x −，由题意得，60()4002x x −=，解得：1220,40x x ==，的0<30x ≤ ，20x ∴=，∴垂直于墙面的一边长为6020m 2x −=，答：该矩形菜地平行于墙面的一边长为20m ，垂直于墙面的一边长为20m ．21. 已知二次函数223y x x =+−．（1）选取适当数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象； x ……y ……（2）根据图象回答下列问题：①当0y <时，x 的取值范围是____________；②当22x −<<时，y 的取值范围是____________．【答案】（1）见解析（2）①3<<1x −；②4<5y −≤【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用；（1）根据五点作图法，先填表，再描点，最后用光滑的曲线画图即可；（2）①根据图象可知，当0y <时，应取x 轴下方的图象对应的x 的范围即可；②根据x 的范围，求出y 的最大值和最小值，再根据图象求解即可．【小问1详解】的解：列表如下： x… 3− 2− 1− 0 1 … y … 0 3− 4− 3−0 … 画图象如下：【小问2详解】①根据图象可知，当0y <时，x 的取值范围是3<<1x −，故答案为：3<<1x −；②当2x =时，5y =最大，当1x =−时，=4y −最小，∴根据图象可知，当22x −<<时，y 的取值范围是4<5y −≤，故答案为：4<5y −≤．22. 己知二次函数yy =aaxx 2+bbxx +cc （a ，b ，c 均为常数且0a ≠）．（1）若该函数图象过点(1,0)A −，点(3,0)B 和点(0,3)C ，求二次函数表达式：（2）若21b a =+，2c =，且无论a 取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．【答案】（1）223y x x =−++ （2）()0,2，()2,0−【解析】【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题．（1）根据二次函数图象过点(1,0)A −和点(3,0)B ，设二次函数在解析式为()()13y a x x =+−，把(0,3)C 代入求解即可；（2）将二次函数转化为()22y x x a x =+++，根据定点与a 的值无关，得到0x =，20x +=，求出x 值，代入解析式，求出对应的y 值，即可得到点的坐标．【小问1详解】∵二次函数图象过点(1,0)A −和点(3,0)B ，∴设二次函数在解析式为()()13y a x x =+−，把(0,3)C 代入，得33a =−，∴1a =−，∴()()21323y x x x x =−+−=−++ 【小问2详解】若21b a =+，2c =，则()()2221222y ax bx c ax a x x x a x =++=+++=+++， ∴当0x =时，2y =，当2x =−时，0y =，∴若21b a =+，2c =，且无论a 取任何实数，该函数图象恒过定点()0,2，()2,0−， 23. 已知a ，b 均为实数，且满足660a +=和2660b b ++=．（1）求a b +的值；（2+的值．【答案】（1）6−（2【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，解答此题需要熟练掌握根与系数的关系．(1)根据题意，利用根与系数的关系求出a b +的值即可；(2)根据题意，利用根与系数的关系求出ab 的值，原式变形后代入计算即可求出值．【小问1详解】解： a ，b 均为实数，且满足2660a a ++=和2660b b ++=， ,a b ∴可看作一元二次方程2660x x ++=的两个根，的6a b ∴+=−；【小问2详解】解：6,6a b ab +=−= ， 0,0a b ∴<<，24. 已知关于x 的一元二次方程2(1)(2)0x x p −−−=．（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两实数根为1x ，2x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及p 的值：（3）若无论p 取何值时，关于x 的一元二次方程22(1)(2)(22)0x x p m p m −−−−+−=总有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）194x =，234x =，p =（3）38m <−【解析】20(a 0)++=≠ax bx c ：若0∆>，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若0∆=，则一元二次方程有两个相等的实数根；若0∆<，则一元二次方程没有实数根；若12x x ，是一元二次方程的两个根，则12b x x a+=−，12c x x a = ；是解本题的关键．（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可；（3）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式建立不等式，解不等式即可解答．【小问1详解】证明：∵2(1)(2)0x x p −−−=，∴22320x x p −+−=，∴()22942140p p ∆=−−=+>，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：由（1）得22320x x p −+−=， ∴123b x x a+=−=，2122c x x p a ==− ， ∵123x x = ∴2233x x +=，22232x p =− ∴234x =，12934x x ==，227216p −=，∴p = 【小问3详解】解：∵22(1)(2)(22)0x x p m p m −−−−+−=，∴22232(22)0x x p m p m −+−−+−=，∴22942(22)0p m p m ∆=−−−+−> ，∴2214(88)40p m p m ++++>，∴()241830p m m ++−−>，∴830m −−>， ∴38m <−． 25. 已知关于x 的函数2(2)35y k x kx k =−−+，其中k 为实数．（1）若函数经过点(1,7)，求k 的值；（2）若函数图像经过点(1,)m ，(2,)n ，试说明9mn ≥−：（3）已知函数2121y x kx =−−−，当23x ≤≤时，都有1y y ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）3 （2）见解析（3）18k ≥−【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键．（1）将(1,7)代入2(2)35y k x kx k =−−+得到关于k 的方程，解方程即可；（2）将点(1,)m ，(2,)n 代入2(2)35y k x kx k =−−+，则()()()22323893016359mn k k k k k −−−+−−，即可求证9mn ≥−；（3）当23x ≤≤时，都有1y y ≥恒成立转化为10y y −≥恒成立，21251y kx kx y k =+−−+，令2251kx k t x k −+=+，即当23x ≤≤时，0t ≥恒成立，即min 0t ≥成立即可，分类讨论，0,0,0k k k =><，利用函数的增减性进行分析即可．【小问1详解】解：若函数经过点(1,7)，将(1,7)代入2(2)35y k x kx k =−−+得：2357k k k −−+=，解得：3k =；【小问2详解】解：∵函数图像经过点(1,)m ，(2,)n ，∴将点(1,)m ，(2,)n 代入2(2)35y k x kx k =−−+得：23532m k k k k =−−+=−()4232538n k k k k −−×+−，∴()()()22323893016359mn k k k k k −−−+−−， ∵()2350k −≥，∴()23599k −−≥−，∴9mn ≥−；【小问3详解】解：当23x ≤≤时，都有1y y ≥恒成立转化为10y y −≥恒成立， ∴()2221(2)3521251y k x kx k x kx kx kx y k −−+−−−−=−+−+=，令2251kx k t x k −+=+，即当23x ≤≤时，0t ≥恒成立，①当0k =时，10t =≥在23x ≤≤范围内恒成立，故符合题意；②当0k ≠时，可求对称轴为直线1x =，当0k >时，由于023x <≤≤， ∴在23x ≤≤范围内，y 随着x 的增大而增大，故min 0t ≥在23x ≤≤范围内成立即可， ∴当2x =时，min 44510t k k k =−++≥，解得：15k ≥−， ∴0k >；当0k <时，由于023x <≤≤， ∴在23x ≤≤范围内，y 随着x 的增大而减小，故min 0t ≥在23x ≤≤范围内成立即可， ∴当3x =时，min 96510t k k k =−++≥，解得：18k ≥−， ∴108k −≤<，综上所述，18k ≥−．。

河北省邯郸市临漳县2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题

河北省邯郸市临漳县2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题一、单选题1．根据表格，判断关于x 的方程()230ax bx c a ++=≠的一个解的范围是（）x1.1 1.2 1.3 1.42ax bx c ++0.59-0.842.293.76A ．1.1 1.2x <<B ．1.2 1.3x <<C ．1.3 1.4x <<D ．0.590.84x <<2．利用公式法解一元二次方程22510x x +-=可得两根为1x 、2x ，且12x x <，则1x 的值为（）A B C D 3．若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．94．若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b >，则一次函数y kx b =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知a ，b ，c 为常数，点(,)P a c 在第四象限，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定6．如图，F 是正方形ABCD 对角线B 上一点，连接AF ，C ，并延长C 交B 于点E ，若150AFC ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒7．如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AB BC =C ．四边形ABCD 面积不变D ．AC BD=8．某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在Rt ABC △中，6AB =，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF ，若36AMEF S =正方形，则ABC S = （）A ．B ．18C ．D ．1210．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFC =120°，若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则AEB '∠为（）A ．70°B ．65°C ．30°D ．60°11．如图，在MON ∠的边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =；分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、B 、OC ．若6cm =AB ，四边形AOBC 的面积为215cm ，则OC 的长为（）A ．4cmB ．8cmC ．5cmD ．10cm12．如图，三个边长为6cm 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O 是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（）A ．29cmB ．218cmC ．212cmD ．224cm 13．如图，四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线AC ，B 的长度分别是一元二次方程2120x mx ++=的两个实数根，DH 是B 边上的高，则DH 的长为（）A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.214．如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、交于O 点，8,6AC BD ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ⊥于点M ，作PN DC ⊥于点N ，则PM PN +的值为（）A ．485B ．15C ．245D ．2315．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程（）A ．()22001728x +=B ．()()220012001728x x +++=C ．()22001728x x ++=D ．()()220020012001728x x ++++=16．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如24x =和()()230x x -+=有且仅有一个相同的实数根2x =．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的参数同时满足0a b c ++=和0a b c -+=．且该方程与()()20x x n +-=互为“同伴方程”，则n 的值为（）A ．1或1-B ．1-C ．1D ．2二、填空题17．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点E 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发沿AC 方向运动，点F 同时以每秒1个单位长度的速度从点C 出发沿CA 方向运动，若AC ＝12，BD ＝8，则经过秒后，四边形BEDF 是矩形．18．20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A ，B 两种菱形进行了密铺，则菱形B 的锐角的度数为°．19．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2140x x m ++=，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为．三、解答题20．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过B 点作BG AE ⊥，垂足为点G ，延长BG 交CD 于点F ，连接AF ．(1)求证：BE CF =．(2)若正方形边长是5，2BE =，求AF 的长．21．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．22．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为2i 1=-①，这个数i 叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为i a b +（a ，b 为实数），a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程21x =-，解得：1i x =，2i x =-．2i ===．读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：3i =______，4i =______，2342021i i i i +++⋅⋅⋅+=______．（2）已知()()i i 13i a b ++=-，写出一个以a ，b 的值为解的一元二次方程．（3）在复数范围内解方程：2480x x -+=．23．【操作感知】如图1，在矩形纸片ABCD 的AD 边上取一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接60PM BM DPM ∠=︒、．，则MBC ∠的大小为______度．【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD 按照【操作感知】进行折叠，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．（1）判断MBQ V 与CBQ △的关系并证明；（2）若正方形ABCD 的边长为4，点P 为AD 中点，则CQ 的长为______．24．如图，在矩形ABCD 中，6cm =AB ，12cm BC =，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿B 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 向点C 移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设移动的时间为s t ．求：(1)当t 为多少时，PBQ 的面积等于28cm ？(2)当t 为多少时，PQD △是以PD 为斜边的直角三角形？25．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．(1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？(3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由．。

九年级上学期月考数学试卷(10月份)附答案

九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题4分，40分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=x2﹣（x﹣1）2C．D．2．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=03．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y=x2+2x﹣2 B．y=x2+2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+14．将一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正确的是（）A．（x﹣）2=16 B．2（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．以上都不对5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17 C．17或19 D．196．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）A．一，二，三象限B．一，二，四象限C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=10008．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）A．a c+1=b B．a b+1=c C．b c+1=a D．以上都不是9．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x=0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1二、填空题（每空4分，20分）11．使分式的值等于零的x的值是．12．已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，则a+b=．13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．14．若关于x的方程a（x+m）2+b=0的两个根﹣1和4（a．m．b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣3）2+b=0是．15．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，某学霸从下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．准确找到了其中错误的信息，它们分别是（只填序号）三、解答题16．（16分）解方程①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）②x2+2x=7．17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（﹣2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式．18．若﹣3+是方程x2+kx+4=0的一个根，求另一根和k的值．19．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？21．如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；（2）求出DE的最小值．22．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面高度为3.05m．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？23．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C 在直线y=x﹣2上．（1）求矩形各顶点坐标；（2）若直线y=x﹣2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．一、选择题（每题4分，40分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=x2﹣（x﹣1）2C．D．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义逐一进行判断．解答：解：A、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；B、原式化简后可得，y=2x﹣1，故本选项错误；C、符合二次函数的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了二次函数的定义，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2．2．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=0考点：一元二次方程的一般形式．分析：先把（x﹣）（x+）转化为x2﹣2=x2﹣5；然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．解答：解：（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0即x2﹣2+4x2﹣4x+1=0移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4=0故选：A．点评：本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．3．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y=x2+2x﹣2 B．y=x2+2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+1考点：二次函数图象与几何变换．分析：由于抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．解答：解：由题意得：，代入原抛物线方程得：y'+1=（x'+2）2，变形得：y=x2+2x+1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．4．将一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正确的是（）A．（x﹣）2=16 B．2（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．以上都不对考点：解一元二次方程-配方法．分析：方程移项后，方程两边除以2变形得到结果，即可判定．解答：解：方程移项得：2x2﹣3x=﹣1，方程两边除以2得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，故选C．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17 C．17或19 D．19考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答：解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故选D．点评：求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．6．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）A．一，二，三象限B．一，二，四象限C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由a＞0可以得到开口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出对称轴x=﹣＞0，由c=0可以得到此函数过原点，由此即可确定可知它的图象经过的象限．解答：解：∵a＞0，∴开口方向向上，∵b＜0，a＞0，∴对称轴x=﹣＞0，∵c=0，∴此函数过原点．∴它的图象经过一，二，四象限．故选B．点评：此题主要考查二次函数的以下性质．7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．解答：解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选：D．点评：考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）A．a c+1=b B．a b+1=c C．b c+1=a D．以上都不是考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由OA=OC可以得到点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．解答：解：∵OA=OC，∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），∴把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得，ac2﹣bc+c=0，∴c（ac﹣b+1）=0，∵c≠0∴ac﹣b+1=0，∴ac+1=b．故选A．点评：此题考查了点与函数的关系，解题的关键是灵活应用数形结合思想．9．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x=0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．解答：解：∵a=2＞，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，1），所以②③错误；当x＜3时，y随x的增大而减小，所以④错误；当x=3时，y有最小值1，所以⑤错误．故选A．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：根的判别式．分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．解答：解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．二、填空题（每空4分，20分）11．使分式的值等于零的x的值是6．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值为零：分子为0，分母不为0．解答：解：根据题意，得x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，解得，x=6．故答案是：6．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，则a+b=﹣2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：由于P、Q两点的纵坐标相等，故这两点是抛物线上关于对称轴对称的两点；而抛物线y=2x2+4x ﹣3的对称轴为x=﹣1，根据对称轴x=，可求a+b的值．解答：解：已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，因为点P（a，m）和Q（b，m）点的纵坐标相等，所以，它们关于其对称轴对称，而抛物线y=2x2+4x﹣3的对称轴为x=﹣1；故有a+b=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于y轴对称的点坐标之间的关系．13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先判断x2﹣x+3=0没有实数解，则两个方程的所有实数根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的两根之和，然后根据根与系数的关系求解．解答：解：方程2x2﹣3x﹣1=0的两根之和为∵x2﹣x+3=0没有实数解，∴方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．故答案为．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．若关于x的方程a（x+m）2+b=0的两个根﹣1和4（a．m．b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣3）2+b=0x1=2，x2=7．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：先利用直接开平方法得方程a（x+m）2+b=0的解为x=﹣m±，则﹣m+，=1，﹣m ﹣，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m±，然后利用整体代入的方法得到方程a （x+m﹣3）2+b=0的根．解答：解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m±，∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，∴﹣m+，=﹣1，﹣m﹣，=4，∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m±，∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．故答案为x1=2，x2=7．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．15．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，某学霸从下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．准确找到了其中错误的信息，它们分别是（1）（2）（5）（只填序号）考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系；根据抛物线与x轴交点个数判断b2﹣4ac与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系；根据对称轴在x=﹣1的左边判断2a﹣b与0的关系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判断a+b+c＜0是否成立．解答：解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故本信息正确；（2）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，故△=b2﹣4ac＞0；故本信息正确；（3）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，所以c＜1，故本信息错误；（4）由图示，知对称轴x=﹣＞﹣1；又∵a＜0，∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息错误；（5）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，所以a+b+c＜0，故本信息正确；故答案为（1）（2）（5）．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题16．（16分）解方程①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）②x2+2x=7．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：①先移项，再把等号左边因式分解，最后分别解方程即可；②先在等号左右两边加上一次项系数的一半的平方，再进行配方，然后开方即可得出答案．解答：解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，（5x﹣1）（5x﹣4）=0，x1=，x2=；②x2+2x=7，x2+2x+1=8，（x+1）2=8，x+1=±2，x1=﹣1+2，x2=﹣1﹣2．点评：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（﹣2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，a=﹣，函数解析式为y=﹣（x+2）2+1，展开得y=﹣x2﹣x+．所以该抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+．点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．18．若﹣3+是方程x2+kx+4=0的一个根，求另一根和k的值．考点：根与系数的关系．分析：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两根的积等于4，两根的和等于﹣k，即可求解．解答：解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：（﹣3+）•m=4，且﹣3++m=﹣k，解得：m=﹣3﹣，k=6．即方程的另一根为﹣3﹣，k=6．点评：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．19．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．解答：解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴将x=1.2代入函数式，得y≈﹣1.6，∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．点评：本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．解答：解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．根据题意得（45﹣x）=2100，解得x1=10，x2=30．因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元．点评：需要注意的是：（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．21．如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；（2）求出DE的最小值．考点：二次函数的应用．分析：（1）设AC=x，则BC=2﹣x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式；（2）利用函数的性质进行解答即可．解答：解：如图，设AC=x，则BC=2﹣x，∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2﹣x），∴∠DCE=90°，故DE2=DC2+CE2=x2+（2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴y=．（2）y=当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．点评：此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．22．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面高度为3.05m．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？考点：二次函数的应用．分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵蓝球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h=0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．点评：本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．23．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C 在直线y=x﹣2上．（1）求矩形各顶点坐标；（2）若直线y=x﹣2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由于AD=2，即C点的纵坐标为2，将其代入已知的直线解析式中，即可求得C点的横坐标，进而由AB的长，求得A、D的横坐标，由此可确定矩形的四顶点的坐标．（2）根据直线y=x﹣2可求得E点的坐标，进而可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．（3）根据（2）所得抛物线的解析式，即可由配方法或公式法求得其顶点坐标，进而根据矩形的四顶点坐标，来判断此顶点是否在矩形的内部．解答：解：（1）如答图所示．∵y=x﹣2，AD=BC=2，设C点坐标为（m，2），把C（m，2）代入y=x﹣2，即2=m﹣2，∴m=4，∴C（4，2），∴OB=4，AB=3，∴OA=4﹣3=1，∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．（2）∵y=x﹣2，∴令x=0，得y=﹣2，∴E（0，﹣2）．设经过E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，∴，解得；∴y=．（3）抛物线顶点在矩形ABCD内部．∵y=，∴顶点为，∵，∴顶点在矩形ABCD内部．点评：此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、矩形的性质、二次函数解析式的确定等知识，难度不大，细心求解即可．。

北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷

北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷一、单选题1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A ．2，1，3 B ．2，1，3- C ．−2，1，3 D ．2，1-，3- 2．巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ． 3．抛物线2(4)5y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（）A ．开口向下，(4,5)-B ．开口向上，(4,5)-C ．开口向下，(4,5)--D ．开口向上，(4,5)--4．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是( )A ． ()222x +=B ．(()222x -=C ．()222x -=-D ．()226x -= 6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A ．0a <B ．0c >C ．0b >D ．20a b +>7．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．已知点()()()1212,2024,,2024P x Q x x x ≠在二次函数21y ax bx =++的图象上，则当12x x x =+时，y 的值为（）A ．1B ．2025C ．1-D ．2024二、填空题9．方程25x x =的解是．10．点()1,2P -关于原点的对称点的坐标为．11．如果关于x 的方程2310kx x +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是． 12．将抛物线223y x =-向右平移2个单位，向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2),(1,0)-，将线段AB 绕点(2,2)逆时针旋转α角()0180α︒<<︒，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则α为，点B 的对应点B '的坐标为．14．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点1E AE =，寸，10CD =寸，求直径AB 的长．小宇对这个问题进行了分析：（1）由直径AB CD ⊥于E ，可得5CE DE ==，其依据是．（2）连接OC ，则有OC OA =，在COE V中利用勾股定理列方程可求得OC 的长，从而得到直径AB 长为寸．16．如图，菱形ABCD 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD 的对称中心O 处，此时这个直角的两边分别交边,BC CD 于M ，N ，若ON CD ⊥，且2ON =，则MN 的长为．三、解答题17．解方程：233x x x -=+．18．如图，ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE V ．连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19．已知1x =是关于x 的方程2230x mx m -+=的根，求代数式2(2)(3)(1)m m m -+-+的值． 20．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点(0,3),(1,0)A B ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象；(3)写出当13x -<<时，函数值y 的取值范围．21．判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明）(1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；(2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．22．已知关于x 的一元二次方程22230x mx m --=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程恰有一个实根大于1-，求m 的取值范围．23．如图，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为t （单位：秒）．(1)①当运动停止时，t 的值为______.②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）(2)设PCQ △的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示），并写出t 的取值范围；②S 是否可以为7？若可以，请求出此时t 的值，若不能，请通过计算说明理由． 24．如图，MPN α∠=，点A ，B 在射线PN 上，以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆交射线PM 于点C ，D ．(1)如图1，当30α=︒时，若,AB 10CD 6==，求AP 的长；(2)如图2，若PC OB =，且AB ，求α的值．25．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．(1)经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求y 与x 满足的函数关系式．(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =--+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11x y ，，()21a y +，在抛物线22y x ax c =-+上．(1)抛物线的对称轴为______（用含a 的式子表示），当01a <<时，2y 与c 的大小关系为2y ______c （填“>”“<”或“=”）；(2)若110x -<<，且对于每个1x ，都有12y y >成立．①求a 的取值范围；②若抛物线还过点()33a y ，，求证：如果1230y y y <，那么()2130y y y ->．27．如图，在ABC V 中，90,45,ACB BAC D ∠=︒∠<︒为边AC 上一点（不与点A ，C 重合），点D 关于直线AB 的对称点为E ，连接BD ，将线段BD 绕点B 旋转，使点D 的对应点F 恰好在线段AE 的延长线上．(1)求证：12ABC DBF ∠=∠； (2)连接DF ，过点C 作AB 的垂线，分别交,AB DF 于点G ，H ．①依题意补全图形；②用等式表示DH 与HF 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a b ，对于点M 给出如下定义：将点M 向右（0a ≥）或向左(0)a <平移a 个单位长度，得到点M '，点M '关于点P 的对称点为N ，称点N 为点M 关于点P 的“联络点”．(1)若点(2,0)M -，点(1,1)P ，则点M 关于点P 的“联络点”的坐标为______；(2)如图，若点M 与点P 关于原点O 对称，点M 关于点P 的“联络点”为点N ，①求作：点M '和点N （尺规作图，保留作图痕迹）；②连接MN ，在MN 上取点T ，使PT x ∥轴，连接OT ，求证：14OT M N '=；(3)已知点C 是直线2y x =+上的动点，点D 是直线y x =-上的定点，点C 关于点D 的“联络点”为点E ，若线段CE 长的取值范围是CE ≥D 的横坐标D x 的取值范围．。

福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)

福建省厦门市思明区莲花中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)- 2．已知方程2430x x -=，下列说法正确的是（）A ．只有一个根34x = B ．只有一个根0x = C ．有两个根1230,4x x == D ．有两个根1230,4x x ==- 3．点()2,3-关于原点对称的点的坐标为（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()3,2- 4．二次函数221y x x =-+的图象与x 轴的交点个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 5．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程2420x x -+=的一个解的取值范围是（）A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x << 6．某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x 满足方程()()252521521196x x ++++=，则x 表示的意义是（）A ．该厂七月份生产面包数量的增长率B ．该厂八月份生产面包数量的增长串C ．该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率D ．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率7．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形()ABCD 菜园，若菜园靠墙的一边()AD 长为x （米），那么菜园的面积y （平方米）与x 的关系式为（）A ．(12)2x x y -=B ．(12)y x x =-C ．(24)2x x y -=D ．(24)y x x =-8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线 1.x =-若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（）A ．20a b +=B ．420a b c --+>C ．2x =是关于x 的一元一次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点 x 1,y 1 ， x 2,y 2 在抛物线上，当121x x >>-时，120y y <<9．若点(),Q m n 在抛物线()20y ax a =?上，则下列各点在抛物线()21y a x =-上的是（） A ．(),1m n + B ．()1,m n + C ．(),1m n - D ．()1,m n -10．某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在12:20，13:00，14:10这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为0.49m ，0.35m ，0.44m ．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（）A ．12:20前，直杆的影子逐渐变长B ．13:00后，直杆的影子逐渐变长C ．在13:00到14:10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35mD ．在12:20到13:00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短二、填空题11．抛物线231y x =-+的开口向．（填“上”或“下”）12．若将抛物线y =x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为13．一元二次方程2231x x -=，用求根公式x =求解时c 的值是． 14．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12m ，拱桥的最高点B 到水面OA 的距离为6m ．则抛物线的解析式为．15．如图，在ABC V 中，108BAC ∠︒＝，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为．16．若点(),0p ，(),0q 是二次函数2y x bx c =++与x 轴正半轴的两个交点，且满足：在p ，q ，2-这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的平方根，则该二次函数顶点坐标为．三、解答题17．解方程：22510x x --=．18．建立直角坐标系，并画出函数21y x =-的图象．19．先化简，再求值：112+2+2+2x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭，其中2x = 20．如图，四边形ABCD 中，BD BC CD ==，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60︒得线段DE ．(1)作出线段DE （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接CE ，求证：AB EC =．21．已知关于x 的一元二次方程220x ax a -+-=.(1)求证：该方程总有两个不相等实数根；(2)若两实数根1x 、2x 满足()()21211x x a ++=，求a 的值． 22．如图，二次函数2=23y x x --的图象与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与一次函数y x b =-+的图象交于A ，C 两点．（1）求b 的值；（2）求△ABC 的面积；（3）根据图象直接写出当x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y （单位：辆）与累计驶出车辆数w （单位：辆）随统计时间t （单位：min ）变化的结果如表所示：在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y 与t 之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w 与t 之间看作一次函数关系．(1)求y 关于t 的函数解析式，写出自变量的取值范围；(2)当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？(3)当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即7:05时交通事故解除，驶出桥梁的车辆每min 增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 24．【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图1，ABC V 为等边三角形，将ABC V 绕点A 旋转180︒，得到ADE V ，连接BE ；则EBC ∠=______︒．若F 是BE 的中点，连接AF ，则AF 与DE 的数量关系是______．(2)【迁移探究】如图2，将（1）中的ABC V 绕点A 逆时针旋转30︒，得到ADE V ，其他条件不变，求出此时EBC ∠的度数及AF 与DE 的数量关系．(3)【拓展应用】如图3，在Rt ABC △中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，将ABC V 绕点A 旋转，得到ADE V ，连接BE ，F 是BE 的中点，连接AF ．在旋转过程中，当15EBC ∠=︒时，直接写出线段AF 的长．25．已知二次函数图象()2114312y ax a x a a ⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭与x 轴交于()1,0A x 、()2,0B x 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)1a =时，求该二次函数图象的顶点坐标；(2)是否存在一条直线()0y kx p k =+≠，始终与该二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由；(3)设直线BC 与直线AD 交于点(),M m n ，求m ，n 满足的数量关系．。

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浙江省湖州市南浔区南浔区南浔锦绣实验学校2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数是y 关于x 的二次函数的是（）A ．y x =-B ．23y x =+C ．23y x =-D ．211y x =+ 2．若二次函数()22y mx x m m =++-的图像经过原点，则m 的值为（）A ．2B ．0C ．2或0D ．13．同时抛两枚质地均匀的硬币，有且只有一枚硬币正面朝上的概率是（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．344．二次函数y =x 2−3x +2的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．二次函数241y ax x =-+有最小值3-，则a 的值为（）A ．1B ．-1C ．±1D ．126．把标有1~10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是（）A ．310B ．710C ．35D ．25 7．已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图.若12y y <，则自变量x 的取值范围是（）.A ．322x -<< B ．32 2x x ><-或 C ．322x -<< D ．32 2x x -或8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a －b ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③c ＝－3a ；④只有当a ＝ 12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有三个．其中正确的结论是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A ．5元B ．10元C ．15元D ．20元10．对于实数a,b ,定义运算“*”：a*b=a 2-ab （a≤b ）; a*b=b 2-ab （a >b ）,关于x 的方程（2x-1)*(x-1)=m 恰好有三个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．m>14B ．104m <<C ．104m -<<D ．14m <-二、填空题11．抛物线 21322y x x =+- 与y 轴的交点坐标是________. 12．一个不透明的盒子中有一定数量的完全相同的小球，分别标号为1，2，3，其中标号为1的小球有3个，标号为2的小球2个，标号为3的小球有m 个，若随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为 16，则m 的值为________. 13．小明和小乐一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两位同学同时出布的概率是__________.14．已知函数2y x 4x 5=+-，当30x -≤≤时，此函数的最大值是____________，最小值是______________.15．如图所示,将矩形OABC 置于平面直角坐标系中,点A,C 分别在x,y 轴的正半轴上,已知点B (4,2),将矩形OABC 翻折,使得点C 的对应点P 恰好落在线段OA (包括端点O,A )上,折痕所在直线分别交BC 、O A 于点D 、E ；若点P 在线段OA 上运动时,过点P 作OA 的垂线交折痕所在直线于点Q .设点Q 的坐标为(x,y),则y 关于x 的函数关系式是_______________16．如图，21y ax bx =+的图像交x 轴于O 点和A 点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y 2，y 2与x 轴交于O 点和B 点.（1）若2123y x x =-，则y 2=_____________________（2）设1y 的顶点为C ，则当△ABC 为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的1y 的表达式_________________三、解答题17．已知抛物线经过点（0,3），（1,0），（3，0），求此抛物线的函数解析式.18．已知P （-5，m ）和Q （3，m ）是二次函数y=2x 2+bx+1图象上的两点．（1）求b 的值；（2）将二次函数y=2x 2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点.（写出一种即可） 19．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数.(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率.20．已知二次函数234y x bx =+-的图像经过点（2，54）. （1）求这个二次函数的函数解析式；（2）若抛物线交x 轴于A,B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D,求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形面积.21．在直角坐标系xoy中，对于点P(x,y) 和Q(x, y′) .给出如下定义：若()0{(0)y xyy x≥=-<'，则称点Q 为点P 的“可控变点” . 例如：点（1，2）的可控变点为点（1，2），点（-1，3）的可控变点为点（-1，-3）.（1）点（-6，-3）的可控变点坐标为________．（2）若点P在函数y＝－x2＋16的图象上，其可控变点Q的纵坐标y′是7，求可控变点Q的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.23．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量（百件）与时间（为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量（百件）与时间（为整数，单位：天）的关系如下图所示.（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映与的变化规律，并求出与的函数关系式及自变量的取值范围；（2）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为（百件），求与的函数关系式；当为何值时，日销售总量达到最大，并求出此时的最大值.24．如图，抛物线y=ax2﹣32x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【解析】由二次函数的定义：“形如2y ax bx c =++（其中a b c 、、为常数，且0a ≠）”的函数叫做二次函数可知：A 、B 、D 选项均不符合定义要求，只有C 符合定义，故选C. 2．A【解析】∵二次函数2(2)y mx x m m =++-的图象经过原点， ∴()20 0m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得2m =，故选A.点睛：解这道题需注意两点：（1）二次函数中，二次项系数不能为0；（2）若抛物线过原点，则函数解析式中，常数项的值为0.3．C【解析】画树形图，由图可知：同时抛两枚质地均匀的硬币，共有“正、正”、“正、反”、“反、正”和“反、反”四种等可能事件发生，其中有且只有一枚硬币正面朝上的情况有2种，所以P （有且只有一枚硬币正面朝上）=2142=，故选C. 点睛：对于这类由若干个等可能事件组成的概率问题，我们通常通过列表或画树形图来分析解决.4．C【详解】解：∵a=1>0∴抛物线开口向上，当y=0时，x 2−3x +2=0解得：x 1=1；x 2=2∴函数与x 轴交于（1,0）（2,0）两点∵对称轴为x=1.5,在y 轴右侧，与y 轴交与（0,2），故经过第一、二、四象限不经过第三象限故选C【点睛】本题考查二次函数的性质，结合数形结合思想解题是本题的解题关键.5．A【解析】∵二次函数241y ax x =-+有最小值－3， ∴20434a ac b a >⎧⎪⎨-=-⎪⎩，即()204434a a a >⎧⎪⎨--=-⎪⎩，解得a =1，故选A.点睛：二次函数当其自变量取值范围为全体实数时，若0a >，则有最小值；若0a <时，则有最大值，且最小值（或最大值）均等于顶点的纵坐标.6．A【解析】∵每只乒乓球被取出的可能性相等，∴共有10种等可能结果，而其中小于7的奇数有1、3、5共3种，∴ P （号码为小于7的奇数）=310 故选A.7．C【详解】解:由y 1=y 2，即x 2=-12x+3，解得x 1=-2，x 2=32．由图象可知，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是-2＜x ＜32．故选C ．8．B【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为-1，3确定对称轴由此可判断①；由x=1时y 的值可判断②；由A ，B 的横坐标分别为-1，3可设交点式，由此可判断③；由△ABD 是等腰直角三角形可求出D 点坐标，于是可求出a 值，据此可判断④；分AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC 三种情况，分别求出a 值，由此可判断⑤．【详解】如图，① 由题意知对称轴x=12131222x x b a +-+-===, ∴2a=-b, 即2a+b=0,∵b≠0，得2a-b≠0，故①错误； ② ∵a>0, 抛物线与x 轴的交点的横坐标为-1,3，∴当-1<x<3时，y<0,∴当x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；③令y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a, 和原函数比较系数即得c ＝－3a ，故③正确；④ 作DE ⊥AB 于E ，∵△ADB 为等腰直角三角形．∴DE=AD=BD= 12AB =2, ∴点D 为（1，-2）当x=1时，y= a+b+c=a-2a-3a=-4a；∴-4a=-2∴a=1 2 ,∴只有a=12时,三角形ABD为等腰直角三角形.故④正确；⑤要使△ACB为等腰三角形，则有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三种情况，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16−9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴，与2a+b=0、a−b+c=0联立组成方程组，解得a=3；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，∴c2=16−1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴，再与2a+b=0、a−b+c=0联立组成方程组, 解得；同理当AC=BC时在△AOC中,AC2=1+c2，在△BOC中，BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解，可知满足条件只有两个a值，故⑤错误.综上，正确的有2项.故答案为：B. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与系数的关系以及与几何图形的综合：当a ＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=-2ba-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．体现了数形结合的思想. 9．A 【分析】设应降价x 元，表示出利润的关系式为（20+x ）（100-x-70）=-x 2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x 的值即可．【详解】解：设应降价x 元，则(20+x )(100﹣x ﹣70)＝﹣x 2+10x +600＝﹣(x ﹣5)2+625， ∵﹣1＜0∴当x ＝5元时，二次函数有最大值． ∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选：A ．【点睛】应识记有关利润的公式：利润=销售价-成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 10．B 【分析】根据题意确定函数的解析式为y =()2220(0)x x x x x x ⎧-≤⎨-+>⎩，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为y m =恰有三个互不相等的实数根时m 的取值范围．【详解】设(21)(1)y x x =-*-，则由已知条件可得：y =()()()()()()()2221211?01211?(0)x x x x x x x x ⎧----≤⎪⎨---->⎪⎩，即y =()222? 0(0)x x x x x x ⎧-≤⎨-+>⎩ ，∵方程(21)(1)x x m -*-=有三个不相等的实数根，∴ 函数y =()222? 0(0)x x x x x x ⎧-≤⎨-+>⎩的图象与直线y m =有三个不同的交点，画出函数y =()222? 0(0)x x x x x x ⎧-≤⎨-+>⎩ 的图象和直线y m =可知，若方程(21)(1)x x m -*-=有三个不相等的实数根，则m 的取值范围为：104m <<，∴选B. 【点睛】解这道题的关键要明白“一元二次方程的根从函数的角度看就是某个二次函数的图象和某根直线的交点的横坐标”，从而把问题转化，画出草图、结合其它条件分析即可找到解决问题的方法. 11．（0，32-）【解析】∵在21322y x x =+-中，当0x =时，32y =-， ∴ 抛物线21322y x x =+-与y 轴的交点坐标为3(0?)2-，. 点睛：一般情况下，抛物线2() 0y ax bx c a =++≠和y 轴的交点坐标为(0?)c ，. 12．7 【解析】由题意可得：21326m =++，解得：7m =.13．19【解析】画树形图，由图可知在该游戏中，共出现了9种等可能事件，其中两位同学同时出布出现了1次，∴P （两人同时出布）=19. 点睛：对于这类由若干个等可能事件组成的概率问题，我们通常通过列表或画树形图来分析解决.14．-5 -9 【解析】∵2245(2)9y x x x =+-=+-，∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线2x =-，顶点坐标为(29)--，，又∵30x -≤≤，∴当0x =时，y 最大=2(02)95+-=-；当2x =-时，y 最小=9-.点睛：求二次函数的最值（最大或最小）时，一定要注意自变量的取值范围；当自变量的取值范围有限制时，二次函数的最值通常是在顶点处或者是取值范围的两端取得的. 15．2114y x =+ 【解析】如图，连接CQ 、CP ，设PQ 与BC 的交点为点M ，由已知条件可得：PM=OC=AB=2，CM=x ，PQ=y ，∠QMC=90°， ∴QM=PQ-PM=y -2，∵点C 和点P 关于直线QE 对称， ∴直线QE 是线段CP 的垂直平分线， ∴CQ=PQ=y ，又∵再Rt △QCM 中：222CM QM CQ +=， ∴222(2)x y y +-=，化简整理得：2114y x =+.16．223y x x =-- 21)y x =-(满足△AOC 为等边三角形即可) 【解析】（1）∵1y 与2y 的图象关于原点对称，∴1y 与2y 的二次项系数互为相反数，顶点的两个坐标也分别互为相反数，又∵22139232()48y x x x =-=-- ∴222392()2348y x x x =-++=--；（2）如图，连接OC ，∵21y ax bx =+的图像和x 轴交于点A 和原点，顶点为C 点，∴ A (?0)b a ，-、C 2(?)24b b a a--，，且OC=AC ， ∵ △ABC 是直角三角形，且点A 与B 关于原点对称， ∴ OC=12AB =OA=AC ， ∴△OAC 是等边三角形，：2()24b b a a -⋅-=，解得：b =-，∴ 当0a b >=-，ABC 为直角三角形，∴符合条件的1y 的表达式可为：211)y x =-（符合条件的解析式有很多个）. 17．(1)(3)y x x =-- 【解析】设()()13y a x x =--，代入（0,1），解得1a =. ∴ ()()13y x x =--.点睛：已知抛物线上点的坐标求抛物线解析式时，通常可根据已知点的坐标的特征把抛物线的解析式设为：（1）一般形式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）交点式：12()()?(0)y a x x x x a =--≠；（3）顶点式：224()?(0)24b ac b y a x a a a-=++≠；这道题已知三点中，有两点是抛物线与x 轴的交点，所以我们设为“交点式”来解就很简单. 18．（1）b=4（2）向下平移1个单位长度【解析】试题分析：（1）由已知条件易知，我们只需把P 、Q 的坐标代入二次函数解析式，列出关于m 、b 的二元一次方程组，解方程组就可求得b 的值；（2）由（1）中求得的解析式2y 2x 4x 1=++可求得抛物线与x 轴和y 轴的交点坐标，然后即可根据交点坐标确定怎样平移让抛物线过原点了. 试题解析：（1）把()5,m -，()3,m 代入221y x bx =++，得252519231m b m b =⨯-+⎧⎨=⨯++⎩解得 b=4.（2）在2y 2x 4x 1=++中，当0x =时，1y =；当=0y 时，解得121? 1x x =-=-+∴ 抛物线与y 轴交于点(0 1)，，与x 轴交于点(1?0)2--和点(1?0)2-+，∴需将抛物线向下平移1个单位长度（或向右平移12+个单位长度或向右平移12-单位长度）就可使抛物线过原点.19．(1)见解析；(2)算术平方根大于4且小于7的概率为38. 【详解】（1）画树状图：共有16种等可能的结果数，它们是：11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88；（2）算术平方根大于4且小于7的结果数为6，所以算术平方根大于4且小于7的概率=616=38．20．（1）y=x 2−x −34.（2）98. 【解析】试题分析：（1）把点5(2?)4，代入234y x bx =+-求得b 的值，就可求得解析式了；（2）利用（1）中求得的解析式先求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，然后把四边形ABCD 分割成三个三角形或两个三角形与一个梯形就可求出其面积了. 试题解析：（1）将52,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入234y x bx =+-，得：354244b +-=，解得：1b =-，所以二次函数为234y x x =--.（2）由题意可得：1331,0,,0,0,,,12242A B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以四边形面积为：11313119111 22424228⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.21．（1）（-6,3）;（2）3或【分析】（1）直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；（2）分两种情况：若x>0, 则y=y'=7；若x<0, 则y=-y'=-7．代入y＝－x2＋16中即可求出x 的值.【详解】（1）∵-6<0，∴点（-6，-3）的可控变点坐标为（-6,3）；（2）解：若x>0, 则y=y'=7,∴y=-x2+16=7,解得：x=±3.∴x=3.若x<0, 则y=-y'=-7,∴y=-x2+16=-7,解得：x=.∴∴可控变点Q的横坐标就3或【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，分类讨论先求出y值．22．(1) D点的坐标为(m,-m+2) ;(2) m=3或m=1.;(3) 1≤m≤3.【分析】（1）把抛物线y=x2-2mx+m2-m+2化为顶点式，即可求得点D的坐标；（2）把(1,m)代入抛物线的解析式，可得方程m=1-2m+m2-m+2，解方程求得m的值即可；（3）求得线段AB的解析式为y=m(-3≤x≤1)，与抛物线的解析式联立得方程x2-2mx+m2-2m+2=0，令y'=x2-2mx+m2-2m+2，因抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点，由此即可解答.【详解】(1)∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).(2)∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.(3)根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个交点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．23．（1）y1=﹣15t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；（2）24(010,)30(1030,)t t tyt t t≤≤⎧=⎨+<≤⎩且为整数且为整数；（3）当0≤t≤10时，y=15-t2+10t；当10＜t≤30时，y=15-t2+7t+30.当t=17或18时，y最大=91.2（百件）.【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到结论；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30，（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大=80；当10＜t≤30时，得到y最大=91.2，于是得到结论．【详解】解：（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：0255251001040c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1560a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴y 1与t 的函数关系式为：y 1=﹣15t 2+6t （0≤t≤30，且为整数）；（2）当0≤t≤10时，设y 2=kt ，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4， ∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=4t ，当10≤t≤30时，设y 2=mt+n ，将（10，40），（30，60）代入得10403060m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得130m n =⎧⎨=⎩，∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=t+30，综上所述，24(010,)30(1030,)t t t y t t t ≤≤⎧=⎨+<≤⎩且为整数且为整数；（3）依题意得y=y 1+y 2，当0≤t≤10时，y=15-t 2+6t+4t=15-t 2+10t=15-（t ﹣25）2+125， ∴t=10时，y 最大=80；当10＜t≤30时，y=15-t 2+6t+t+30=15-t 2+7t+30=15-（t ﹣352）2+3654，∵t 为整数，∴t=17或18时，y 最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y 最大=91.2（百件）．【点睛】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用及待定系数法求函数的解析式. 正确的理解题意是解题的关键． 24．（1）y=12 x 2﹣ 32 x-2；（2）M （2，-3）；（3）存在；点E 坐标为(92-,92+)、,92-)、（52,52-)或(52,52-+). 【分析】（1）根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）作MN ∥y 轴交BC 于点N ，可知BCM ∆的面积=142MN ⨯=2MN=12BC d ⋅，故当MN 最大时，BCM ∆的面积也最大，此时M 到线段BC 的距离d 也最大，据此可解；（3）假设存在，设点E 的坐标为（n ，-n ）．以点A ，点B ，点P ，点E 为顶点的平行四边形分两种情况：①以AB 为边，根据A 、B 、E 点的坐标表示出P 点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n 值，从而得出点E 的坐标；②以AB 为对角线，根据A 、B 、E 点的坐标表示出P 点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n 值，从而得出点E 的坐标．综上即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-32×4-2，解得a=12， ∴抛物线的解析式为：y=12 x 2﹣ 32x-2. （2）解：作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∵BCM ∆的面积=142MN ⨯=2MN=12BC d ⋅， ∴当MN 最大时，BCM ∆的面积也最大，此时M 到线段BC 的距离d 也最大，设直线BC 的解析式为y=kx+b,∴0420k bk b =+⎧⎨-=⨯+⎩,解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴y=12x-2， ∴MN=12x-2-(12 x 2 -32 x-2)=-12 x 2+2x=-12(x-2)2+2，∴当x=2时，MN 有最大值2， ∴M （2，-3）.∴当d 取最大值时， M 点的坐标是（2，-3）；（3）解：存在，理由如下：设点 E 的坐标为 (n,−n), 以点A,点B,点P,点E 为顶点的平行四边形分两种情况，如图，①以线段AB为边，点E在点P的左边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(5+n,−n)，∵点P(5+n,−n)在抛物线y=12x2 -32x-2上，∴−n=12(5+n)2−32(5+n)−2,解得：n1, n2，此时点E的坐标为或)；以线段AB为边，点E在点P的右边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(n−5,−n)，∵点P(n−5,−n)在抛物线y=12x2−32x−2上，∴−n=12(n−5)2−32(n−5)−2,即n2−11n+36=0，此时△=(−11)2−4×36=−23<0，∴方程无解；②以线段AB为对角线时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(3−n,n)，∵点P(3−n,n)在抛物线y=12x 2−32x−2上， ∴n=12(3−n)2−32(3−n)−2,解得：n 3=52,n 4=52- ，此时点E )或). 综上可知：存在点P 、E, 使以A 、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形, 点E 坐标为(92--,92+)、(92-+,92)、（52+,52-)或(52,52-+). 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定和性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）用面积关系；（3）分AB 为边和AB 为对角线两种情况考虑．本题属于中档题，（3）有点难度，解决该小问时，分AB 为边和AB 为对角线两种情况考虑，再根据平行四边形的性质结合三个顶点坐标找出另一顶点坐标是关键．。