高三数学高考总复习空间角与距离
高考数学复习8.7空间角与距离
1 ,1,0), 2
所以异面直线ＮＥ与ＡＭ所成角的余弦值为
解法二：对几何体细心观察，正三棱锥 B-AN 的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的 一角，从这个视角出发，又联系到 MD⊥平面 ABCD，ABCD 又恰好是正方形（正方体的一 个面） ，如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理 的。 如图８－２２３所示，连接 BQ，易知 BQ∥AM，设 BQ∩NE＝F，则∠NFQ 即为 AM 与 NE 所成的角，在正方体 BC-QN 中，E 为 BC 中点，NQ＝１，由△BEF∽△NQF，从而
高考数学复习-第七节 空间角与பைடு நூலகம்离
考纲解读 1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平 面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系 与区别 ，弄清他们各自的取值范围 。 2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。 命题趋势探究 异面直线所成角，线面角，二面角时高考中考查的热点，解答与空间角有关的问题时既 可用传统法，又可用向量法。在新课程标准下，对立体几何的基本理论知识要求有所降低， 因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适 当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。 空间角是立体几何中的一个重要概念， 它是空间图形的一个突出量化指标， 是空间图形 位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答 题中均有出现。 知识点精讲 一、空间角的定义和范围 （1） 两条异面直线所成角θ的范围是 （ 0， ] ，当θ= 时，这两条异面直线互相垂直。 2 2
1 , 0, 1), AM (1, 0,1) ， 2 1 NE AM 2 10 因为 cos NE , AM 10 | NE || AM | 5 2 2 10 。 10
高三数学空间的角和距离
9．5空间的角和距离一、明确复习目标1.掌握空间三种角的概念和求法；2.掌握空间中各种距离的概念和求法；3．能利用这些概念和方法进行论证和解决有关问题.二．建构知识网络1．空间的三种角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。
平面与平面所成二面角.2．距离有七种，即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离.空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用下列计算公式.3.常用计算公式（1）S ′=S .cos α （2）cos θ=cos θ1²cos θ2能想象上式中α，θ，θ1，θ2是什么角，S ，S ′表示什么吗？ (3) 异面直线上两点间距离公式:设异面直线a ，b 所成角为θ 则EF 2=m 2+n 2+d 2±2mncos θ三、双基题目练练1．在正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC =21AB ，这时二面角B —AD —C 大小为 （ ）A ．600B .900C .450D .12002.在△ABC 中，AB =15，∠BCA =120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是 （ ）A .13B .11C .9D .73.三棱锥V —ABC 中，V A =BC ，V B =AC ，V C =AB ，侧面与底面ABC 所成二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cos α+cos β+cos γ等于 （ ）A .1B .2C .21 D .23 4.设P A ⊥Rt △ABC 所在的平面α，∠BAC =90°，PB 、PC 分别与α成45°和θθ30°角，P A =2，则P A 与BC 的距离是_____________；点P 到BC 的距离是_____________.5．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______ .6。
2024高考数学基础知识综合复习第21讲空间角与距离课件
3
A.-4
3
B.4
1
C.8
1
D.-8
解析 如图,取 CC1 中点 M,AC 中点 N,连接 MN,MB1,NB1,NB.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=AA1=2,BC=1,所以 AA1⊥平面 A1B1C1.
设
2-
BM=t,因为△B1C1M∽△CNC1,由相似比得
2
解得
2 2 -2+4
AN=
,由等面积法得
2-
2 -2+4
≥1(当且仅当
3
CG=
2 3
2 -2+4
=
2
4
,CN= ,由余弦定理可
2-
,所以
1
tan∠C1GC=
t=1 时,等号成立),故(cos∠C1GC)max=
求解.
考向3
二面角
典例4直三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均等于2,M为线段BB1上的动点,则平
面ABC与平面AMC
1所成的二面角为锐角,则该角的余弦值的最大值为
2
___________.
2
解析 延长 C1M 交 CB 于点 N,连接 AN,则平面 AMC1∩平面 ABC=AN,作 CG
⊥AN 于点 G,连接 C1G,∠C1GC 为所求的二面角的平面角.
1.空间角
(1)异面直线所成的角
①定义:已知两条异面直线 a,b 经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a,b'∥b,
我们把直线 a'与 b'所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲
高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。
高三数学空间向量夹角跟距离
F D1 A1
D
A
M C1
∠MFE即异面直线
B1 E AB与EF所成的角
C B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z D1 F A1
D A x
解：以D为原点，
C1 DA,DC,DD1分别为x
B1
轴，y轴，z轴建立直
E 角坐标系.
(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具，对于几何体中有关夹 角，距离，垂直，平行的问题，可将 其转化为向量间的夹角，模，垂直， 平行的问题，利用向量的方法解决。
再见！
带来の人就只是婉然壹各，其它の女眷在他の心目中全部都是陪衬，包括穆哲在内。按照壹贯の规矩，二十三小格壹行来到王府之后，男宾女眷即刻分道扬镳，他先去书院拜会王爷， 女眷们则去拜会四福晋，然后再共进晚膳。二十三小格与王爷虽是亲兄弟，但却比十三小格与王爷の关系差得很远，因此，宴席就改为摆在王府正式对外の宴客厅，而不是霞光苑。 又因为全都是至亲の自家亲戚，就那么几各人，因此也就没有分开男宾、女眷，而是共聚壹桌用膳。王爷这边因为是主人，因此所有の女眷都集体出席。对此，前壹天，排字琦特意 差红莲到怡然居询问咯壹下年侧福晋是否能参加。其实哪里还用排字琦来询问，水清早早地就盼着这壹天の到来。万壹婉然姐姐能够壹同前来，她们姐妹难得有壹各见面の机会，该 是壹件多么令她高兴の事情。直到现在她仍然懊悔当初壹时冲动，坏咯姐姐与王爷の好事，假设她能够冷静地处理，现在姐姐也会被王爷迎娶到府里，她们姐妹就可以朝夕相处，哪 里还需要像现在这样，连见各面都要历尽千辛万苦！此刻，王府の女眷们都齐齐地聚在宴客厅西侧边の堂间里，等待二十三弟妹们壹行。不多时，就听门外杂乱の脚步声响起，眨眼 之间，在霞光苑大太监何全、大丫环红莲の引领下，四位弟妹们鱼贯而入，而排字琦则是早早地就起身迎接。打头阵の是穆哲，众人都是老相识，因此相互之间状似热烈而又不失分 寸地寒暄两句。随后是完琦，也是老相识，照例是壹番既热烈又有分寸の寒暄；再后面是塔娜，改口茶那天见过面；最后就是婉然。当婉然最后壹各出现在众人面前，壹屋子の四嫂 们，从福晋到水清，从淑清到惜月，连最老实本分木讷の韵音，统统全都倒吸咯壹口冷气：天啊，婉然怎么会这样？壹会儿在宴席上，自家爷要是见到咯她现在这副模样，该会是多 么の心痛！第壹卷 第466章 利箭此时此刻，随着婉然の出现，刚刚还被排字琦刻意营造出来の妯娌之间欢声笑语、喜气洋洋の热烈气氛，立即变得鸦雀无声，而各位四嫂们の心情 更是忑忑不安起来。排字琦是女主人，首当其冲第壹各见到咯怀着身孕の婉然，那身形竟然与同样怀着身孕の水清差不咯好些！看来这两各人怀胎の月份应该是前后脚，不相上下。 对此，排字琦与众女眷们壹样の震惊，但是不同于众女眷の是，她在片刻之后，却又立即转惊为喜，并且不住地暗自庆幸、欢喜不已：这就好，这就好，这才是最好不过の事情！于 是转惊为喜の排字琦赶快向婉然展开壹各灿烂の笑容，同时故作亲热地拉上她の手说道：“唉呀，我说小弟妹，上次四嫂跟你说の那些话，你可是全忘记咯？不是跟你说过咯嘛，有 啥啊事情壹定要跟四嫂说，你到底是真忘记咯，还是跟四嫂客气呀！唉，你可真是の，白白让四嫂替你操心牵挂，若是早晓得你跟二十三叔の小日子过得是这么の和和美美、圆圆满 满，又是喜得贵子，四嫂我也就早点儿放下心来，早早地替你多多拜谢菩萨呢！”“多谢四嫂为婉然牵挂受累，都是小弟妹の不是，让您受累咯。”水清壹直盼啊盼啊，终于盼到咯 姐妹相见の这壹刻，她早就是心潮澎湃，万分激动。对于怀有身孕の婉然姐姐，她确实是急切地想晓得事情の真相。可是这些场面上の事情，当然首先要由排字琦出面张罗，稍后才 能轮到她这各侧福晋。就在婉然中规中矩地谢过福晋之后，好不容易轮到水清可以发话之际，却是耳畔响起咯苏培盛の声音：“启禀各位主子，爷和二十三爷马上就到咯！”两位爷 の驾到，令所有女眷们都立即停止咯闲聊与攀谈，赶快敛眉肃目、俯身垂首、静静恭候。二十三小格随着王爷步入宴客厅，他の脸上写满咯志得意满，甚至是得意洋洋の神情。王爷 是兄长，因此所有在场の女眷均需立即向他行礼请安。即使婉然也如众人壹样俯身垂首，即使她混同在十来各诸人中间，他仍是壹眼就将她认咯出来，然后他の那颗心，就像是被狠 狠地、准准地射入咯壹枚利箭，随即那枚利箭穿透咯他の胸膛，不给他任何壹各呼救の机会。因为在他面前出现の，是壹各至少怀咯四各月身孕の婉然。就在王爷の心中被深深地刺 入壹枚利箭の同时，二十三小格の心头上也同时有壹枚利箭穿胸而过，而且同样没有给他任何壹各呼救の机会。因为在他面前出现の，是壹各至少怀咯四各月身孕の水清。刚刚那份 志得意满の神情瞬间被这各突如其来の情况震惊得目瞪口呆。他完全没有料到，竟然会是这各结果！小四嫂，不是被四哥打入冷宫の吗？怎么会？难道这是四哥在报复他这各二十三 弟吗？可是，自己の心思没有告诉过任何人，连最亲近の十哥都没有说过，四哥怎么会晓得の呢？第壹卷 第467章 避开王爷不但被婉然震惊得半天没有缓过神儿来，更是将水清の 出现忘在咯脑后。当他收到二十三小格帖子の时候，脑海中确实转咯壹各弯：谁会陪同二十三弟壹并前来？婉然吗？相信不会！二十三弟巴不得他和婉然今生今世永远不得相见呢， 怎么可能亲手创造这各旧情人相见の机会。而王爷之所以想到婉然是否壹同前来这各问题，并不是他多么盼望着与婉然の相见，而是他万分担心婉然见到现如今の水清。水清再是瘦 弱，现如今也是无法遮掩住那突飞猛进の身形。虽然他发自内心地承认咯自己の错误，虽然他积极主动地承担起咯作为壹各男人所应当承担起来の责任，并且千叮咛万嘱咐咯排字琦，
高考数学高频考点突破-空间角与距离课件
5 3.
立体几何中常涉及的距离 (1)点面距离；(2)线面距离；(3)面面距离． 其中，点面距离是线面距离、面面距离的基础，求其他 两种距离一般应化归为这一种距离，再通过解三角形而得到 解决．
[例3] 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中， 点D是棱AB的中点，BC＝1，AA1＝ 3. (1)求C1到平面A1DC的距离； (2)求二面角D－A1C－A的大小．
13 13 .
利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的 作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过 程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有 解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、 有效，应善于运用这一方法．
[例4] 如图，四边形ABCD是边长为1的正 方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 且MD＝NB＝1，E为BC的中点． (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在， 求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
在 Rt△A1AN 中，A1N＝
AN2＋A1A中，
A1F＝ A1C21＋CF1F2＝ 14. 在△A1NF 中，cos∠A1NF＝A1N22＋·AF1NN·2F－NA1F2＝23.
所以
sin∠A1NF＝
5 3.
所以二面角
A1－ED－F
的正弦值为
|＝－35.
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35.
(2)证明：连接ED，易知 AF ＝(1,2,1)，
EA1
＝(－1，－
3 2
，4)，
ED＝(－1，12，0)，
于是 AF ·EA1 ＝0， AF ·ED ＝0. 因此，AF⊥EA1，AF⊥ED. 又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
2025年高考数学一轮复习-7.6-空间距离与空间角【课件】
3.空间向量与空间角的关系
（1）异面直线所成角设异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别为 ， ，则 .
（2）直线与平面所成角
如图所示，设 为平面 的斜线, , 为 的方向向量, 为平面 的法向量， 为 与 所成的角，则 .
（3）平面与平面的夹角设平面 ， 的法向量分别是 ， ，平面 与平面 的夹角为 ，则 .
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.空间距离
名称
概念
求法
两点距
空间中两个点连线的线段长
求向量的模
点线距
过空间一点作一条直线的垂线段的长
设直线 的单位方向向量为 , , ,设 ,则点 到直线 的距离 _______________
名称
概念
求法
点面距
过平面外一点作平面的一条垂线段的长
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )
×
（2）直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角的余角就是直线 与平面 所成的角.( )
×
（3）二面角的平面角为 ,则两个面的法向量的夹角也是 .( )
×
（4）直线 上两点到平面 的距离相等，则 平行于平面 .( )
A. B. C. D.
解析：选 B.因为直线 的一个方向向量为 ，取直线 的一个单位方向向量为 .又 为直线外一点，且直线 过点 ,所以 ,
√
所以 , .所以点 到直线 的距离为 .故选B.
2.在长方体 中， ， ，则点 到平面 的距离为___.
因为 ， ，所以
.因为 ,
所以 .所以 ，所以 ,所以 .因此，所求二面角的大小为 .
高三数学 6利用向量法求空间角和距离试题
6利用向量法求空间角和间隔1向量法求异面直线所成的角【例1】 (15期末) 如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，那么直线EF 和BC 1所成的角是________.【解析】以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为zAB ＝BC ＝AA 1＝2，那么C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，那么EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.【评注】用向量求解异面直线所成角，利用坐标运算求解，公式计算要准确. 设两异面直线a b ，所成的角为,θ，m n 分别是a b ，的方向向量，那么有cos cos ,θ⋅==m n m n m n．异面直线所成角的范围是02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，，因此，假如按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，那么应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角就为为锐角或者直角． 【变式1】正三棱锥中利用向量的坐标运算求异面直线所成的角在正三棱锥P —ABC 中，底面正△ABC 的中心为O ，D 是PA 的中点，PO =AB =2，求异面直线AC 和BD 所成的角余弦值． 30【解析】以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因ABC ∆是正三角形，故y 轴平行于BC ，而PO =AB =2，那么(0,0,2)P ，23(A ，3(B ，3(1,0)C -，D 是PA 的中点，故3(D ， 23(1,1)3BD =-，(3,1,0)CA =， ABC PD Oxyzcos ,|131BD CA <>====+ 【例2】 〔2021·理〕三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， ∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，那么异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 【解析】选准基底，由题意知，AB 1→＝AB →＋AA 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →＝BA →＋AC →＋AA 1→. 又∠CAA 1＝∠BAA 1＝∠BAC ＝60°，设边长、侧棱长为1， 那么AB 1→2＝(AB →＋AA 1→)2＝AB →2＋AA 1→2＋2AB →·AA 1→＝3，所以|AB 1→|＝3， 同理可得|BC 1→|＝ 2.AB 1→·BC 1→＝AB →·BA →＋AB →·AC →＋AB →·AA 1→＋AA 1→·BA →＋AA 1→·AC →＋AA 1→2＝1，所以cos 〈AB 1→·BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝13·2＝66.【评注】求异面直线所成角底，利用基向量法和线性运算以及数量积，沟通角与向量之间的关系求解。
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数学高考总复习：空间角与距离
知识网络
目标认知
考试大纲要求：
能用解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能求距离.
重点：
线线角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等的求值问题.
难点：
正确作出异面直线所成的角，斜线与平面所成角以及二面角的平面角.
知识要点梳理
知识点一：异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与
点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简
便，点通常取在异面直线的一条上.
（2）异面直线所成的角的范围：.
说明：异面直线所成的角为直角时，则称两异面直线互相垂直.
（3）求异面直线所成角的步骤：作证算
（4）求异面直线所成角的方法：平移法、向量法、补形法等.
知识点二：线面角
（1）定义：斜线和平面所成的角是指平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所
成角的范围是(0,)；直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们
所成角为.
（2）直线和平面所成角的范围：[0,].
说明：直线和平面所成角为直角时，则直线垂直于平面.
（3）求直线和平面所成角的步骤：作证算
知识点三：二面角
（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直
线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面
角的面.若棱为，两个面分别为的二面角记为；
（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线
，则
叫做二面角的平面角；
（3）二面角的平面角范围：；
说明：二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直.
（4）求二面角的步骤：作证算
（5）作二面角的平面角的方法：
①定义法：在棱上找一点O，以O为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线组成平面角.
②垂面法：在棱上找一点O，经过O点画垂直于棱的平面与两个面的交线组成平面角.
③特殊图形中的中线法：二面角A-LM-B中AM=AL，BM=BL，则取LM的中点O，连结AO、BO，
∠AOB是二面角的平面角.
④三垂线定理（或逆定理）法：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，
垂足为B，再由B向棱作垂线交于C，则∠ACB为该二面角的平面角.
⑤面积射影法：如果一个多边形在一个平面内的射影是多边形，且这两个多边形所在平面的二面
角为则.
知识点四：空间距离
（1）异面直线的距离：两异面直线间公垂线段的长度.
（2）点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为
，则唯
一，则是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平
面的距离.
（3）直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面
的距离(转化为点面距离).
（4）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
规律方法指导
1、角
（1）异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角.
（2）求异面直线所成的角或求角的余弦值时，一定要注意角的范围是，不要将余弦值求为负值.
（3）求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所
成的角来度量.
（4）两平面相交所成二面角，一般有两个，要注意所求的是哪一个.
2、距离
（1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离.
（2）线面距离，面面距离常化归为点面距离.
（3）求点到平面的距离的方法：
①直接法：先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算.
②间接法：用等体积法或者转化法.转化法即进行点面、线面、面面之间的转化，直到求出距离.。